Solucionario Ensayo M14 UC 06/2014

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MATEMÁTICA RESOLUCIÓN ENSAYO FORMA M - 14 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

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PSU

Resolución Ensayo Forma: M – 14 Matemática

Indicaciones generales

Este cuadernillo contiene la resolución de cada pregunta del Ensayo de Matemática. Te permitirá conocer preliminarmente tu puntaje de acuerdo a tus respuestas y saber cómo se responden aquellas preguntas que omitiste o respondiste erradamente. Si persiste alguna duda debes consultar en clase a tu profesor o profesora para aclararla.

Buenas Malas Omitidas

Puntaje

=

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1. Usemos la transformación de número decimal a fracción como sigue:

30,3 9 0,03 90 0,003 900

9⋅ + ⋅ + ⋅ = 9⋅ 3

90+ 90⋅ 3

900+ 900⋅

3 3 3

9. (A )

= + += ⇒

2. Recordemos que el “recíproco” de un número corresponde a su inverso

multiplicativo, por lo tanto, el recíproco de 3 es 1

3. De esta manera el

enunciado se traduce en la siguiente expresión:

2 22 1 2 7 2 49 51

2 . (B)9 3 9 3 9 9 9

+ + = + = + = ⇒

3. Notemos que al efectuar la división 628:7 se obtiene cociente 89 y resto 5, luego, de acuerdo al problema, vemos que completan 89 repisas pero la última quedará solo con 5 videojuegos. (A )⇒

4. Analicemos cada opción presentada. I) La afirmación es incorrecta en tanto entre la primera hora de

vaciado y la segunda la piscina tuvo un nivel constante y luego comenzó a subir.

II) La afirmación es correcta ya que la pendiente de la gráfica durante la primera hora es más pronunciada que la pendiente de las dos horas finales.

III) La afirmación es correcta ya que transcurrida la primera hora, la piscina tenía menos de 5.000 litros ya vaciados.

(C)⇒

5. El enunciado lo trabajaremos de la siguiente forma:

2020% del 30% de 1.000 =

10 0

30

100⋅ 1.0⋅ 00

2 30 1

60 ,

= ⋅ ⋅=

pero 60 es claramente equivalente al 10% de 600. (E)⇒

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6. Sean A y B las variables en cuestión, entonces, dicha la observación del problema 2 acerca del recíproco se sigue que si llamamos k al

valor constante, entonces el enunciado es 1

AB

⋅ = k , es decir, A

B= k ,

que corresponde a que las variables son directamente proporcionales, es decir, ambas aumentan o disminuyen en la misma proporción, es por eso que las alternativas C y D son descartadas automáticamente, mientras que A y E son equivalentes pero es proporción inversa. (B)⇒

7. Usando escala por unidad tenemos que si 2 cm 3 km= entonces 2 24 cm 9 km= , luego, 2 28 cm 18 km= . (C)⇒

8. Como A es directamente proporcional con B , entonces al formar una regla de tres simple, debemos usar el producto cruzado como sigue:

2 3 16 2 4 2 8A

3 3 3A 16

→ ⋅ ⋅⇒ = = =

→

ahora racionalizamos 8 3 8 3

. (D)33 3

⋅ = ⇒

9. Directamente usando notación científica:

6 6 6 5a b 2,5 10 50 10 52,5 10 5,25 10 . (E)− − − −+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ ⇒

10. Notemos que los vértices superiores corresponden a la secuencia de números naturales, mientras que el vértice inferior izquierdo es la secuencia de los impares positivos. Pero el vértice inferior derecho corresponde al cuadrado del producto de los otros dos vértices, es por ello que la quinta figura tendrá vértice superior 5, inferior izquierdo 9 e

inferior derecho igual a ( )2 25 9 45 2.025 . (D)⋅ = = ⇒

11. Primero que todo, si plantar 5 matas toma 10 minutos, entonces, plantar 60 matas tomas 120 minutos. Por otro lado, si el campesino ya lleva plantadas 35 matas entonces usó 70 minutos en tal trabajo, por lo tanto le faltan 120 70 50− = minutos para terminar el trabajo.

(C)⇒

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4

12. Si se reproducen 1.000 bacterias cada dos segundos y mueren 400 cada segundo, entonces en dos segundos morirán 800, por lo tanto, bastaría considerar que cada dos segundos nacen simplemente 200 bacterias. Luego, considerando que “t” es un valor “cada dos segundos” podríamos modelar el problema con la función

( )f t 500 200t= + , entonces si queremos saber el total de bacterias a

los 6 segundos, bastaría evaluar la función con t 3= , esto es:

( )f 3 500 200 3 500 600 1.100 . (D)= + ⋅ = + = ⇒

13. Desarrollamos directamente el cuadrado de binomio propuesto:

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2

4 3 12 3 2 9 2

12 12 6 18

30 12 6

6 5 2 6 . (C)

− = − ⋅ ⋅ +

= ⋅ − + ⋅

= − +

= −

= − ⇒

14. Usaremos propiedades de las potencias, es decir, transformaremos los índices radicales en potencias racionales:

( ) ( )1 1

3 2 2 2 23 2

2 1 1

3 3 2

2 1 11

3 2 3

7 4

6 3

7 8

6 6

6 6 6 67 8 6 1 6 2 6 6 2 2

a b ab a b ab

a b a b

a b

a b

a b

a b a b a ab b ab ab . (E)

+ +

+ +

⋅ = ⋅

=

=

=

=

= = = = ⇒

15. Si consideramos que 1

0,254

= entonces se siguen los cálculos:

( )3 2

2 33 2 5 2 3 5 5

2 3

4a b4 4a b 16a b 16a b . (D)

1a b

4

−− −− − − + −

−= ⋅ = = ⇒

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16. Usando propiedades de los logaritmos tenemos que:

( ) ( )( ) ( )

( )

22 2

22 2

2

log 4m log 2 m

log 2 log m

2log 2 n

2 n. (B)

=

= +

= +

= + ⇒

17. En esta secuencia el entero que antecede a la fracción parte en el primer término con 2 y en el segundo con 3, y siguen sucesivamente, es decir son de la forma n+1, en el numerador está el sucesor de dicho entero, es decir el numerador es de la forma n+2, y el denominador varía duplicándose cada vez, o sea , que es de la forma 5 · 2n–1, ya que la primera vez que se duplica es en el segundo término.

(B)⇒

18. El opuesto de un número corresponde al inverso aditivo, es por ello que el enunciado se forma por los siguientes pasos: i. Sucesor de z: z 1+ .

ii. Recíproco del sucesor de z: 1

z 1+.

iii. Cuadrado del recíproco del sucesor de z:

21

z 1

+

.

iv. Opuesto del cuadrado del recíproco del sucesor de z: 2

1

z 1

− + .

(A )⇒

19. Dadas las restricciones, despejamos lo pedido:

( )

b bca

1 d

a 1 d b bc

a ad b bc

bc b a ad

b a adc . (B)

b

−=−

− = −

− = −= − +

− += ⇒

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20. Usamos directamente la definición del operador propuesto:

( ) ( )( ) ( )1 1 2 2

2

1 11 1 1 1 1 1 2 . (D)

42

− − − −− ∆ = − − = + = = = ⇒

21. Como u v> , entonces la fracción u

1v

> ya que el cociente entre

números negativos es positivo y además corresponderá a una fracción impropia. (E)⇒

22. La nuevas dimensiones del rectángulo serán a x− para el largo y b y+

para el ancho, entonces el área corresponderá a la expresión:

( ) ( )a x b y ab ay bx xy . (D)− + = + − − ⇒

23. Para este problema usaremos factorización compuesta como sigue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2m 4 3 m 2 m 2 m 2 3 m 2

m 2 m 2 3 m 2 m 1 ,

− − + = − + − −

= − + − = − −

y por lo tanto solo II y III corresponden a factores de la expresión dada en enunciado. (E)⇒

24. Sea “x” el número buscado, entonces, del enunciado verbal del enunciado se deduce la siguiente ecuación:

( ) ( ) 2

2

x 4 x 2 x 20

x

− + = −22x 8 x− − = 20

2x 20 8 2x 12 x 6 . (C)

−− = − + ⇒ − = − ⇒ = ⇒

25. Tenemos que:

( ) ( )ab a bab a ba b a b

1 1 b a b a

a b ab

−−− −= = =− −− ( )a b− −

abab . (B)

1= = − ⇒

−

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26. El problema se reduce a ver cuándo la fracción 360

n∉ ℤ . Notemos

entonces que 3, 5, 8 y 9 dividen a 360, no así 7, luego claramente

360

7∉ ℤ y por lo tanto

( )7

7

1 360 360a . (C)

7 7

− ⋅= = − ∉ ⇒ℤ

27. Del enunciado se sigue que:

x x y x y 0

y

1m m m 1 m m x y 0

m+= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ + =

entonces ( )2 2x y 0 0 . (A )+ = = ⇒

28. Por las condiciones de la desigualdad propuesta en enunciado se tiene que b 0> ya que b 0− < , entonces: I) la afirmación es incorrecta ya que si b 0− < y a 0< entonces la

suma de dos números negativos es también un número negativo. II) la afirmación es correcta ya que el producto de dos números de

distintos signos es negativo siempre. III) la afirmación es incorrecta ya que dependerá de la paridad de

b, esto es, si b es par, entonces ba 0> , pero si b es impar

entonces ba 0< . (B)⇒

29. Analicemos cada afirmación propuesta. I) La afirmación es falsa ya que si el sistema de ecuaciones tiene

única solución entonces es un sistema compatible determinado, esto quiere decir que las rectas no son paralelas.

II) La afirmación es verdadera ya que el sistema es compatible indeterminado, es decir, dos rectas paralelas coincidentes o simplemente coincidentes.

III) La afirmación es falsa ya que dos rectas secantes quiere decir que se intersectan en un punto, es decir, el sistema tiene solución única.

(B)⇒

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30. Para que la expresión ( )n na a− = − sea un número negativo basta pedir

que na sea un número positivo, entonces: I) verdadero, ya que con estas condiciones la expresión será

positiva y por tanto el opuesto a ella será negativa. II) verdadero, ya que con estas condiciones la expresión será

positiva, ya que cualquier número potenciado a número entero par será positiva.

III) falso, ya que con estas condiciones dependerá de la signación de a y por tanto no se puede asegurar que siempre sea un número positivo como necesitamos.

(D)⇒

31. Suponiendo que el ancho es “x” se sigue que el largo será 2x, y el

perímetro del rectángulo será ( )2 x 2x 2 3x 6x+ = ⋅ = , entonces

queremos que tal perímetro sea menor a 90, es decir, 6x 90< , pero si no puede ser menor de 60 entonces 60 6x≤ , juntando estas condiciones tendremos que:

60 6x 90 / :6 10 x 15 . (A )≤ < ⇒ ≤ < ⇒

32. Reemplazamos directamente en la función dada para encontrar la imagen de 2− :

( ) 1 2 1 1f 2 . (E)

2 1 3 3

− −− = = = ⇒− − −

33. Del sistema de ecuaciones dado, multiplicaremos por 2− la segunda ecuación, y luego sumaremos tales ecuaciones como sigue:

2x y 72x 2x y 4y 7 2 5y 5 y 1 ,

2x 4y 2

− =⇒ − − − = − ⇒ − = ⇔ = −

− − = −

y reemplazando tal valor en cualquiera de las ecuaciones vemos que x 3= , con ello, y verificando las alternativas tenemos que x y 4 . (C)− = ⇒

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34. Primero que todo, como x y< se sigue que si la diferencia entre sus

catetos es 7, entonces y x 7− = , es decir, y 7 x= + . Por otro lado,

usando teorema de Pitágoras sobre el triángulo rectángulo, de

hipotenusa 13 se tiene que 2 2 2 2 2x y 13 x y 169+ = ⇒ + = , y

reemplazando la anterior igualdad:

( )22

2 2

2 2

x 7 x 169

x 49 14x x 169

2x 14x 120 0 x 7x 60 0. (C )

+ + =

+ + + =+ − = ⇔ + − = ⇒

35. Analizamos cada afirmación propuesta. I) Es verdadera ya que es el inicio del trazado de la gráfica. II) Es falsa ya que el depósito se realizó desde el P-ésimo año. III) Es falsa, ya que no es una relación lineal, no se puede asegurar

que se duplique el capital sin conocer los datos. (A )⇒

36. La función alcanza su máximo cuando ( )0

x 02 5

= − =−

, cuya imagen es

( ) 2f 0 4 5 0 4. (D)= − ⋅ = ⇒

37. Dad la figura inicial tenemos que: I) Es verdadera, usted lo puede verificar girando su hoja en 90º. II) Es falsa en tanto que 270º es múltiplo de 90º, el cuadrado no

debió perder paralelismo con el eje x, y por tanto no correspondería a este tipo de rotación.

III) Es falsa ya que lo mostrado, dadas las simetrías, podría corresponder a una rotación en 90° o en 270°.

(A )⇒

38. Analizando cada alternativa, veamos las dos transformaciones sucesivas: Rotación en 180º Reflexión con recta horizontal En A) En B) En C) En D) En E)

(E)⇒

A P S N C

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39. Analicemos cada opción propuesta. I) Si el triángulo es obtusángulo isósceles, entonces,

necesariamente los ángulos agudos son los basales (iguales), por tanto la bisectriz, será también altura y transversal y por tanto eje de simetría.

II) Las diagonales de un rectángulo no son bisectrices y por tanto no pueden ser un eje de simetría.

III) Los ejes de simetría de un pentágono regular corresponden a la unión de cada vértice con el punto medio del lado diametralmente opuesto, es decir, no son uniones de vértices (diagonales).

(A )⇒

40. Primero que todo, notemos que si el punto ( )B 3, 2− se transformó en

( )B 2,3− , entonces, el vector de traslación corresponde a la diferencia

entre ambos punto (vistos de manera vectorial), esto es

( )( ) ( )v B' B 2 3,3 2 5,5= − = − − − − = −��

. De acuerdo a ello:

I) la afirmación es falsa en tanto la imagen de A bajo v��

es el punto

( ) ( )A ' 1 5,4 5 A ' 4,9− + ≡ − .

II) la afirmación es verdadera ya que ( )v 5, 5− = −��

realiza la

traslación contraria. III) la afirmación es verdadera en tanto estamos en presencia de

una transformación paralela. (E)⇒

41. Analicemos cada opción presentada.

I) La afirmación es verdadera ya que O es punto medio de BE.

II) La afirmación es falsa ya que la imagen de A con respecto a FC es el punto E.

III) La afirmación es verdadera ya que los puntos B y C están a

igual distancia que F y E, con BF AD y CE AD⊥ ⊥ .

(D)⇒

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42. En este caso: I) Si es posible teselar. Para entender la idea, veamos el

siguiente diagrama:

II) No es posible teselar. Recordemos que el hexágono regular se compone por 6 triángulos equiláteros congruentes, pero si tenemos 6 triángulos equiláteros congruentes de lado 3, entonces formaremos un hexágono regular de lado 3, y el valor 5 no es divisible por 3.

III) No es posible teselar. El octógono regular se compone de triángulos isósceles y no de triángulos equiláteros.

(A )⇒

43. Cada triángulo mostrado en la figura tendrá hipotenusa de 5 cm (tríos pitagóricos) por lo tanto la parte exterior entre el cateto menor y el mayor será igual a 1 cm, luego el perímetro de la figura será 5 4 1 4 24 cm . (B)⋅ + ⋅ = ⇒

44. Sigamos la siguiente secuencia para responder la pregunta. i. Si D y E son puntos medios de los respectivos lados, entonces

DE es mediana y por tanto DE//AC . ii. Por argumento anterior, ACB DEB 90= = °∢ ∢ y CAB EDB=∢ ∢

dando que I es verdadera.

iii. BED CED∆ ≅ ∆ por criterio LAL (lados EB CE= por ser E punto

medio, comparten lado DE y DEB CED 90= = °∢ ∢ , dando entonces que II es verdadera.

iv. CDB∆ es isósceles de base BC dada la congruencia anterior. v. III es verdadera en tanto D es punto medio. Recordemos que el

decir que dos triángulos son equivalentes significa que tienen la misma área, en este caso tienen iguales bases y además comparten altura desde C.

(E)⇒

3

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45. Como los puntos D, E y F son puntos medios de los respectivos lados, entonces se sigue que los triángulos CDE, BEF, DFA y EDF son equivalentes, y cada uno de ellos corresponde a la cuarta parte del área total del triángulo ABC. Es por ello que:

I) es verdadera, ya que comparten la base DE y la altura.

II) es verdadera en tanto E y F son puntos medios y luego EF es mediana del triángulo.

III) es falsa ya que no tenemos información acerca de la ubicación exacta del punto G para el segmento AF.

(B)⇒

46. Como el punto pertenece a la recta, reemplazamos directamente en ella:

( )3 k 3 2 2 4

3k 9 4 4 3k 9 9 k 3. (D)

− + ⋅ =

− + = ⇒ − = ⇒ = ⇒

47. Tenemos que: I) es verdadera ya que en tal caso, AFD AEC 90= = °∢ ∢ y como los

ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios, se sigue que FCE FAE 90= = °∢ ∢ y el paralelogramos es un rectángulo.

II) es verdadera ya que dada la congruencia se tendrá que AECF es

también un paralelogramo y comparten la diagonal AC , el punto de intersección de las diagonales es centro de simetría.

III) es falsa ya que no sabemos si efectivamente también se verifica que AEC∢ es recto, ya que no tenemos información suficiente para relacionar a los triángulos DFA y CEB.

(C)⇒

48. Dados los valores de los arcos, se sigue que el arco CA mide

( )360° − α + β , pero como ABC∢ es ángulo inscrito para tal arco, mide

la mitad, esto es: ( )360

180 . (E)2 2

° − α + β α + β= ° − ⇒

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49. La razón 4 : 6 es lo mismo que 2 : 3 . Luego, para cada afirmación se

tiene que:

I) AP 40 2

2 : 1PB 20 1

= = = y la afirmación es falsa.

II)

14AP 14 23 2 : 3PB 7 7 3 3

= = = =⋅

y la afirmación es verdadera.

III)

1 1AP 23 3 2 : 3

1PB 0,5 3

2

= = = = y la afirmación es verdadera.

(E)⇒

50. Dados los paralelismos de las rectas, se sigue el uso del teorema de Thales de la siguiente manera:

( ) ( )

4x 3 3x 1

9 6

4x 3 3x 1

3 2

2 4x 3 3 3x 1

8x 6 9x 3 x 3 x 3 ,

+ +=

+ +=

+ = +

+ = + ⇒ − = − ⇔ =

por lo tanto 2x 6 . (B)= ⇒

51. Analicemos cada alternativa: A) No son siempre semejantes ya que no tenemos información

acerca de sus otros lados y ni ángulos por tanto no es posible aplicar ningún criterio de semejanza.

B) No son siempre semejantes ya que necesitamos que los triángulos mantengan la forma y con sólo un lado no se puede determinar, además si los ángulos son distintos entonces la forma la perderán.

C) No son siempre semejantes ya que al rombo lo podemos entender como dos triángulos isósceles congruentes unidos por sus bases, pero no tenemos información acerca de los ángulos interiores que nos permita afirmar que la forma es la misma.

D) Son siempre semejantes ya que basta aplicar criterio LLL sobre tales triángulos.

E) No son siempre semejantes ya que no tenemos información acerca de sus lados (lados no paralelos) ni ángulos. (D)⇒

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52. Aplicando el Teorema recíproco de Pitágoras, basta con probar si la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadrado del lado mayor, en ese caso será rectángulo y el lado mayor será la hipotenusa: Analizando cada alternativa: En A) 16 + 6 = 64 es falso. En B) 4 + 7 = 25 es falso. En C) 9 + 49 = 58 es verdadero. En D) 3 + 4 = 5 es falso. En E) 1 + 13 = 196 es falso.

(C)⇒

53. Esta pregunta se reduce a usar el teorema de la potencia exterior para un punto como sigue:

( ) ( ) ( )Pot P BP PA PC PD b a b c c d . (C)= ⋅ = ⋅ ⇒ + = + ⇒

54. Primero que todo, los triángulos JFH y HFG son congruentes y además, por tanto, equivalentes, ahora como M y N son puntos medios, entonces los triángulo JNF, NHF, FHM y HMG son todos equivalentes (no necesariamente los cuatro congruentes) e iguales al cuarto del área total del paralelogramo y por tanto el área achurada es la mitad del área total del paralelogramos FGHJ. (D)⇒

55. Como el segmento de 12 cm es altura, digamos que ella cae en el

punto D, luego AB CD⊥ , entonces, tenemos que AD 5 cm= usando

simplemente el trío pitagórico ( )5,12;13 sobre el triángulo ADC. De

manera análoga se sigue que mediante el trío pitagórico ( )3,4;5

ponderado por 3 se tiene que DB 9 cm= . Luego:

AB AD DB 4 9 14 cm. (A )= + = + = ⇒

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56. La superficie de un cubo corresponde a la suma de la áreas de sus 6 caras, es decir, si el cubo tiene lado “a”, entonces la superficie es:

2 26a 96 a 16 a 4 cm,= ⇒ = ⇒ =

y luego el volumen del cubo dado es 3 3 3a 4 64 cm . (C)= = ⇒

57. Recordemos que la longitud de un vector es la norma de él, por lo tanto, lo que primero debemos hacer es encontrar el valor de “y” como sigue:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

4, y 3, 8 1, 4

4 3, y 8 1, 4

1, y 8 1, 4

+ − − = −

− − = −

− = −

de donde se tiene que 1 1= e y 8 4 y 4− = − ⇔ = (igualando

componente a componente del vector. Luego ( )v 4,4=��

por lo tanto:

2 2v 4 4 2 16 4 2 . (B)= + = ⋅ = ⇒

��

58. El vector pedido corresponde a la suma de los vectores que van de A a B y de B a C. Veamos que el primero, el vector AB es igual a la resta de las coordenadas de B menos las de A: (–9––4, 6–5) = (–5, 1). Y el segundo está descrito verbalmente, lo que matemáticamente es igual a (3, –7). Ahora al sumarlos queda (–5+3, 1–7) = (–2, –6).

(D)⇒

59. Dado que se pide que no sea roja, esto es:

( ) ( )no roja 1 roja

81

24

16

24

(E)

= −

= −

=

⇒

P P

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60. Dado que es tres veces más probable que salga cara a que salga sello,

se tiene que ( )( )sello 3

cara 1=

P

P de donde tenemos que ( ) 3

sello4

=P y

( ) 1cara

4=P . Ahora bien, en dos lanzamientos existen dos posibilidades

que salga una cara y un sello (a saber, cara-sello y sello-cara), por lo tanto la probabilidad pedida es:

( ) ( ) ( ) 3 1 3cara sello 2 sello cara 2 . (A )

4 4 8∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒P P P

61. Dado el diagrama de Venn de la figura se tiene que: I) esta probabilidad se expresa como:

( ) ( )( )

A B 0,1 1A \ B

B 0,3 3

∩= = =P

PP

y la afirmación es falsa.

II) esta probabilidad es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A B C A B C

A B A B C

0,3 0,5 0,1 0,2

0,9

∪ ∪ = ∪ +

= + − ∩ +

= + − +=

P P P

P P P P

de donde el primer paso de la igualdad es válido en tanto el evento C es independiente de los eventos A y B. Luego la afirmación es verdadera.

III) esta probabilidad requiere el uso del teorema de la probabilidad condicional como sigue:

( ) ( )A A B 0,3 0,1 0,2− ∩ = − =P P

por lo que la afirmación es verdadera.

(D)⇒

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62. Dados los datos de enunciado tenemos el siguiente diagrama que los resume:

Mujer : 0,5Francés :0,8

Hombre :0,5

Mujer : 0,4Italiano :0,2

Hombre :0,6

→

→

Por esta razón, la probabilidad pedida corresponde a la probabilidad total de escoger un hombre, esto es:

( ) ( ) ( )( ) ( )

Hombre Hombre |Francés Francés

Hombre | Italiano Italiano

0,5 0,8 0,6 0,2

0,40 0,12

0,52 . (D)

= ⋅

+ ⋅

= ⋅ + ⋅= += ⇒

P P P

P P

63. La suma menor que seis va desde la suma igual a 2 a la suma igual a 5, para lo cual existen 10 casos posibles: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), del total de 36.

(E)⇒

64. Tenemos que: I) es una afirmación verdadera ya que un evento imposible es

aquél que no ocurre. II) es una afirmación falsa ya que existe la posibilidad de que

ambos eventos sean iguales y por ende tendrán la misma probabilidad de ocurrencia.

III) es una afirmación verdadera ya que 1 p− es su complemento,

es decir, lo que no está contenido en el evento de probabilidad p. (C)⇒

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65. No es difícil el notar que la secuencia según la paridad de los términos es: par, impar, impar, par, impar, impar, par,… es decir que los pares son aquellos, cuya posición en la lista, poseen el lugar “sucesor de un múltiplo de tres”. Por ejemplo el primer término es 0, el cuarto es 2, el séptimo es 8. De esta manera, de los quince términos de la lista dada, los pares y los impares están en la razón 1:2, en otras palabras, un

tercio de loa términos son pares, esto es 5

. (A )15

⇒

66. Los 6 atletas en las 7 pistas se pueden pensar ocupando una a una las pistas: La primera pista se puede ocupar por 6 atletas o quedar vacía, es decir de 7 formas distintas. Si se define la primera, entonces la segunda pista se puede ocupar de 6 formas distintas, la tercera de 5 formas distintas, etc. o sea de 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7! formas distintas.

(A )⇒

67. Si la intención es que los términos no se repitan entonces debemos usar análisis combinatorio como sigue:

( )6 6! 6! 6

6 3 ! 3! 3! 3!3

= = = − ⋅ ⋅

5 4 3!⋅ ⋅ ⋅3! 3 2⋅ ⋅

5 4 20 . (C)= ⋅ = ⇒

68. Dada la variable, puede que en los 8 lanzamientos ninguna vez salgan ambos sellos (tomaría el valor 0), o que en solo uno de ellos haya salido ambos sellos (toma valor 1), …, etc, hasta lo máximo que es que en los 8 lanzamientos las 8 veces haya salido ambos sellos (toma valor 8).

(E)⇒

69. A la suma de los 15 datos, que es 15 · 45 = 675, le restamos la suma de los 10 datos que quedaron, que es 10 · 42 = 420, lo que resulta 255, que corresponde a la suma de los otros 5 datos, por lo tanto su media es 255:5 = 51.

(A )⇒

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70. Veremos cada alternativa: A) Verdadera: calculamos la media aritmética:

5·1 6·4 7·5 8·7 9·3 147x 7,35

1 4 5 7 3 20

+ + + += = =+ + + +

B) Verdadera, ya que 8 tiene frecuencia 7, que es la mayor. C) Verdadera, ya que dado que son 20 datos, la mediana está en el

promedio de los lugares 10 y 11 de la tabla. El dato 10 es 7 y el que sigue es 8, por tanto su promedio es 7,5.

D) Falsa, dado que el rango es la diferencia entre el mayor y el menor dato, aquí 9 – 5 = 4.

E) Verdadera. La frecuencia acumulada para 7 es la suma de las frecuencias absolutas desde el 5 al 7, = 1+4+5 = 10.

(D)⇒

71. Sea “x” la nota de la tercera prueba, entonces se tiene que:

5 7,0 6,0 x4,0

7 3

13 x 74,0

3 5

13 x5,6

3

13 x 16,8 x 16,8 13 3,8. (B)

+ + =

+ = ⋅

+ =

+ = ⇒ = − = ⇒

72. Veamos cada una de las alternativas planteada. A) Es verdadera por definición de frecuencia absoluta de datos

agrupados. B) Es falsa ya que la suma de las frecuencias relativas es igual 1. C) Es verdadera ya que la última casilla de la frecuencia absoluta

acumulada es la suma de todas las frecuencias absolutas de la tabla,

D) Es verdadera ya que corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta del intervalo (casos favorables) sobre el total de datos (casos posibles).

E) Es verdadera ya que implica que todas las frecuencias absolutas son iguales y luego no hay dispersión según la desviación estándar para datos agrupados. (B)⇒

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73. En este caso tenemos lo siguiente: I) Las letras “a”, “b”, “c” y “d” en cada sección del diagrama circular

corresponden a las frecuencias relativas porcentuales, luego la afirmación es verdadera en tanto la frecuencia relativa de Uruguay es 0,26.

II) Usando regla de tres simple se tiene que 28 360

100,8100

⋅α = = ° y

la afirmación es verdadera. Ojo que acá el 100% es asociado a 360° mientras que el 28% es α .

III) La afirmación es verdadera ya que la suma entre los sectores de Italia y Brasil es 48% que es claramente menor al 50%.

(E)⇒

SECCIÓN EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

74. (1) solo podemos verificar que tanto n 1+ como m 1+ son números pares, pero eso no implica necesariamente que la fracción sea un

número entero, ya que si, por ejemplo, n 3= y m 9= , entonces 4

10 es

claramente no entero. Con (2) no podemos concluir nada adicional.

(1) y (2) podríamos decir que n 9= y m 3= y tenemos que 10

4 no es

tampoco un número entero. (E)⇒

75. Se necesita saber si es extracción con o sin reposición. Con (1) nos da información suficiente, ya que si hubo reposición se sabe que al momento de sacar el segundo pañuelo habrá 4 grises y 5 rosados, como al inicio. (2) por sí sola no es suficiente ya que no nos indica si hubo o no reposición previa.

(A )⇒

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76. (1) con esta información vemos automáticamente que el triángulo ABC es rectángulo en C ya que verifica teorema de Pitágoras, y por tanto basta usar teorema de Euclides y se obtiene lo pedido. (2) esta información dice que el triángulo es rectángulo, pero no entrega información acerca de los lados, ya que existen infinitas posibilidades y no es posible calcular lo pedido.

(A )⇒

77. La expresión de enunciado la reescribimos como 1

mn, entonces:

(1) si m n< solo sabremos que m n 0− < pero eso no implica que uno de ellos sea positivo y el otro negativo, o sea que el producto entre ellos sea también negativo. (2) si la fracción dada es negativa, implica necesariamente que ambos números tienen distinta signación y por tanto el producto será negativo.

(B)⇒

78. (1) con esta información sabemos la probabilidad de escoger un

cuadrado o un rombo, es decir, ( ) 7cuad. rom.

10∪ =P , pero no podemos

responder la pregunta.

(2) esta información nos dice que ( ) 6cuad. rec.

10∪ =P , pero aún no

sabemos nada más. (1) y (2) si juntamos ambas informaciones se tiene que, como los eventos son independientes, entonces:

( ) ( ) ( )

( )

( )

cuad. rom. cuad. rec. cuad. 1

7 6cuad. 1

10 10

3cuad.

10

∪ + ∪ − =

+ − =

=

P P P

P

P

(C)⇒

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79. Del enunciado, factorizamos la expresión dada:

( ) ( )2 2 22 2

n n 1 n n 1

y 1 x xy xy xy

x x 1 x x 1− −

+ ++ +=

+ + + +.

(1) esta información no es suficiente ya que se desconoce el valor de y.

(2) asumiendo esta información, se tiene ( )2 2

2

6 1 x x

x x 1

+ +

+ +podemos

simplificar, ya que sabemos que el denominador no será cero, dado que x > 0, de tal manera que al simplificar los trinomios queda 36.

(B)⇒

80. (1) no es suficiente, dado que la media es un dato de tendencia central, no indica dispersión. (2) tampoco es suficiente por si sola, ya que el tercer cuartil es una medida de posición y solo indica que el dato que marca el 25% de los datos de mayores o iguales a él es mayor en B que en A.

(E)⇒

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