PROBLEMAS DE ECUACIONES DEL LIBRO PRE-CÁLCULO DE JAMES STEWART

46.-Ancho de un terreno con césped.

Se va a construir una fábrica en un terreno que mide 180 pies por 240 pies. El reglamento de construcción local señala que debe rodear a la fábrica un terreno con césped de ancho uniforme y de área igual al área de la misma. ¿Cuál debe ser el ancho de esta zona de césped y cuáles las dimensiones de la fábrica?

Solución:

Sea:……………..x: El ancho del césped

El área del terreno es:

180 x 240

Pero no todo ocupara la fábrica, pues la fábrica debe tener un ancho para el césped, el cual será de la misma área que esta fábrica, ok

Como el ancho debe ser igual, suponemos que mida x por lado:

Entonces el área de la fábrica es: (180-2x) (240-2x).

Si al área del terreno le restamos el área de la fábrica esta debe ser igual al área del césped, Pero como ambas áreas son iguales, el área del terreno debe ser la mitad del área de la fábrica:

[180(240)]/2 = [(180-2x)(240-2x)]

21600 = (180-2x)(240-2x)

Ahora multiplicamos todo:

21600 = 43200 - 360x – 480x + 4x^2

21600 = 43200 – 840x +4 x^2

4X^2 – 840x + 43200 = 21600

4X^2 – 840x + 43200 – 21600=0

4X^2 – 840x + 21600 = 0 => (Dividiendo por 4 ambos lados)

X^2 - 210X + 5400=0

Operamos:

x² - 840x + 5400 = 0=> Factorizando tenemos:

(x – 30) (x – 180) =0

X – 30 = 0 => X = 30

X – 180 = 0 => X= 180

O sea: 

x(1) = 180x(2) = 30

Pero como el área es 180, no puede ser 180 pies.

Entonces: El ancho de la franja es 30.

Respuesta: el ancho de la zona es 30.Las dimensiones de la fábrica son: 120 x 180

41. Dimensiones de un jardín. Un granjero tiene un terreno rectangular para jardín, rodeado por una cerca de 200 pies.

Determine la longitud y la anchura del jardín si el área es de 2400 pies cuadrados.

Solución:

Sea…………. X= Longitud del terreno

……………… Y = Anchura del terreno

Gráfica:

=> Y=Anchura del terreno

|=>X= Longitud del terreno

Datos: Perímetro=> 200 pies; área=> 2400 pies cuadrados.

Sabemos que perímetro es:

P = 2x + 2y => 2x + 2y = 200

A= x*y….…..=> x*y = 2400

Luego tenemos un sistema de ecuaciones, así:

2x + 2y = 200 …………….(1)

X*y = 2400 .…………………(2)

De la ecuación (2) despejamos a “y”, y tenemos:

Y = 2400 / x…………….(*)

Con la ecuación (*) la reemplazamos en la ecuación (1):

2x + 2 (2400 / x) = 200 ……………(Ecuación de primer grado)

(2x^2 + 4800) / x = 200

2x^2 + 4800 = 200x

2x^2 – 200x + 4800 = 0 ………………(ecuación de segundo grado)

X^2 – 100x + 2400 = 0 ……………….(Dividiendo por 2)

(x – 60) (x – 40) = 0 ……………..(factorizando)

X - 60 = 0 y x – 40 = 0 ………(teorema del factor nulo)

X = 60 y x= 40

Tomas la respuesta 60 pies que será la longitud del terreno, ahora por último se encuentra el ancho:

Utilizando la ecuación (*) tenemos:

Y = 2400 / x => Y = 2400 / 60 => Y = 40 pies de ancho

Respuesta: La longitud es 60 pies y la anchura es 40 pies.

45. Marco para una pintura. Alejandro pinta una acuarela en una hoja de papel de 20 por 15 pulg. Luego coloca su acuarela sobre una base de modo que quede una franja de un ancho uniforme alrededor de la pintura. El perímetro de la base es de 102 pulg. ¿Cuánto mide el ancho de la franja que rodea a la acuarela?

Solución:

Tenemos el dibujo

__________________|.....____x._____.......||.....|................|.......||--x-|.....A...15..|--x---| =>w|.....|___.20.___|.......||_______x._________|............z.............

De donde:

A = Acuarelaz = largo de la basew = ancho de la basex = ancho de la franja

El perímetro de la base es de 102 pulg, luego:

P = 2(z + w)

102 = 2(z + w)

z + w = 51....(1)

Y como:

z = 20+x+x = 20+2x; w = 15+x+x = 15+2x 

Luego:

Sustituyendo los valores de x e y en la ecuación (1), tendremos:

(20+2x)+(15+2x) = 51

De donde:

35+4x = 51

4x = 51-35

4x = 16

x = 16/4

x = 4

Respuesta: La franja mide 4 pulgadas.

44. Dimensiones de una pista. Una pista para carreras tiene la forma que se ilustra en la figura, con lados rectos y extremos semicirculares. Si la pista mide en total 440 yardas y los dos lados rectos miden 110 yardas de largo, ¿cuál es el radio de las partes semicirculares, aproximado a la yarda más cercana?

Solución:

Sea r: El radio de la parte semicircular.

Datos: Perímetro total es 440 yardas.

Perímetro de la semicircunferencia es: r*pi

Por lo tanto el perímetro total será:

P(total) = Perímetro del rectángulo + Perímetro de las semicircunferencias

Entonces:

440 = 2(110) + 2(r*pi)=> 440 = 220 + 2rpi => 2rpi = 440-220

2rpi = 220 => r = 220 / 2*pi => r= 110 / piRespuesta: El radio de la parte semicircular es 110/pi=>aproximadamente: 35 yardas.

Problemas resueltos del Pre-cálculo de James Stewart:

https://sites.google.com/site/portrazmatgc6/unidad-3/ejercico-6