Soluciones Estelares
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Una clase de soluciones estelares Estevez Delgado, Gabino Facultad de Qu´ ımico Farmacobiolog´ ıa, UMSNH, gabinoestevez@yahoo.com.mx Estevez Delgado, Joaqu´ ın, Corona Patricio Gabino, Rojas S´anchez Adriana, and L´opez Bola˜ nos Eduardo Facultad de Ciencias F´ ısico-Matem´ aticas, UMSNH, joaquin@fismat.umich.mx, gcorona@fismat.umich.mx, arojas@fismat.umich.mx, elopez@fismat.umich.mx El inter´ es sobre la estructura y las consecuencias de las soluciones a las ecuaciones que describen soluciones interiores de estrellas relativistas est´aticas y esf´ ericamente sim´ etricas ha sido una cuesti´on que ha estado presente desde hace siglos. Construir soluciones anal´ ıticas a´ un en el caso est´atico y esf´ ericamente sim´ etrico no es una tarea sencilla, debido a la no linealidad de las ecuaciones. La construcci´on de soluciones contribuye a entender mejor y resolver algunos problemas astrof´ ısicos presentes cuando se tiene un campo gravitacional fuerte. Considerando una forma espec´ ıfica para la funci´ on de masa estelar hemos podido construir una clase de soluciones estelares f´ ısicamente aceptables, asociadas a un fluido perfecto. Sus caractersticas con relaci´ on a la presi´ on, densidad y velocidad del sonido son analizadas. En [1] se presenta un analisis de 127 soluciones estelares de estas solo 16 pasan la pruebas de regularidqad y condiciones fisicas, y unicamente 9 tiene una veloci- dad del sonido mon´otona decreciente. Recientemente se han contruido otras solu- ciones f´ ısicamente aceptables [2]. Siguiendo una estrategia similar a la presentada en [2] contruimos una soluci´ on estelar nueva. Para el caso est´atico y esf´ ericamene sim´ etrico la m´ etrica puede expresarse como: ds 2 = −e 2ν(r) dt 2 + e 2λ(r) dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) (1) Para un tensor de energ´ ıa moemento asociado a un fluido perfecto las ecuaciones de Einstein implican: 1 r 2 [r(1 − e −2λ )] ′ = ρ − 1 r 2 (1 − e −2λ )+ 2ν ′ r e −2λ = P (2) e −2λ (ν ′′ + ν ′ + ν ′ r − ν ′ λ ′ − λ ′ r )= P (3) Hemos tomamos las unidades tales que c =1y 8πG c 4 = 1. Este sistema de ecuacio- nes determina el comportamiento del campo gravitacional para un fluido perfecto. Haciendo el siguiente cambio de variables [2] x = Cr 2 ,Z(x)= e −2λ(r) ,A 2 y 2 (x)= e 2ν(r) , (4) Donde A y C son constantes arbitrarias obtenemos el siguiente conjunto de ecua- ciones: 1 − Z x − 2 ˙ Z = ρ C 4Z ˙ y y + Z − 1 x = ρ C (5) 4Zx 2 ¨ y +2Zx 2 ˙ y +( ˙ Zx − Z + 1)y =0 (6) La ventaja de este sistema de ecuaciones es que la ´ ultima ecuaci´ on podemos verla como una ecuaci´ on diferencial de segundo orden no homog´ oenea en y y lineal de primer orden no homog´ eneo en Z para un y y Z dadas respectivamente. De acuerdo a las condiciones de regularidad de la geometr´ ıa en el origen (determinados por el escalar de Kretschmann) elegimos [3]: y(x)= a 1 x+b 1 ax+b . Con esta forma de y, reemplazandola en (6) es posible contruir una soluci´ on para la ecuaci´ on que resulta en Z con a 1 = 15s, b 1 = 1, b = 1, a = s, y su forma exacta es: Z(x)=1 − ((32s(9s 2 x 2 + 34sx + 33) − (1 + sx) 4 )C 1 )x (3sx + 7) 3 (5sx + 1) (7) donde C 1 es una constante de integraci´ on. De aqui en adelante por simplicidad supondremos C 1 = 0 en cuyo caso: ρ(x)= − 32Cs(−72s 3 x 3 − 1434s 2 x 2 − 2048sx − 693 + 135s 4 x 4 ) k(k(5sx + 1) 2 (3sx + 7) 4 ) (8) P(x)= − 256s(−3sx − 14 + 3s 2 x 2 )C (7 + 15sx)(5sx + 1)(3sx + 7) 3 (9) Es conveniente reexpresar la solucion en la forma estandar en el que la m´ etrica es [4]: ds 2 = −e −2φ dt 2 + dr 2 + (1 − 2 m(r) r ) −1 dr 2 + r 2 dΩ 2 (10) donde m(r) representa la funci´ on de masa de la estrella, y con respecto a la cual la densidad y presi´ on son: 8ρ = 1 r 2 dm dr 8P = 2(r−2m) r 2 dΦ dr − 2m r 3 La solucion sera f´ ısicamente aceptable si satisface las siguientes condiciones [2] 1. tǫ(−∞, ∞) r > 0 θǫ(0,π) Φǫ(0, 2π) l´ ım r→0 m(r) r 3 = C 1 l´ ım r→0 1 r dΦ dr = C 2 l´ ım r→0 d 2 Φ dr 2 = C 3 donde C 1 ,C 2 ,C 3 , son constantes. Adem´ as para la densidad y las presiones requerimos 2. ρ(r) > 0y P(r) > 0 en el interior de la estrella i.e. 0 <r b (donde el r b es el radio de la estrella) 3. Sobre la frontera, i.e. r = r b , ρ(r b ) ≥ 0y P(r b )=0 4. La densidad y presiones deben ser mon´ otonas decrecientes i.e. dρ dr < 0 dP dr < 0 5. La velocidad del sonido no puede ser m´ as r´ apida que la velocidad de la luz Luego de redefinir las constantes tenemos que la densidad, la presi´ on y la masa estan dadas por: ρ(r)= 32(2r 0 2 r 2 (36r 4 + 717r 0 2 r 2 + 1024r 0 4 ) + 693r 0 8 − 135r 8 )r 0 2 k(5r 2 + r 0 2 ) 2 (3r 2 +7r 0 2 ) 4 (11) P(r)= 256(3r 0 2 r 2 + 14r 0 4 − 3r 4 )r 0 4 (7r 0 2 + 15r 2 )(5r 2 + r 0 2 )(3r 2 +7r 0 2 ) 3 (12) m(r)= 16(9r 4 + 34r 0 2 r 2 + 33r 0 4 )r 3 r 0 2 3r 2 + 7(r 0 2 ) 3 (5r 2 + r 0 2 ) (13) Se puede verificar de manera directa que las condiciones 1 a 5 se satisfacen. Por ejemplo existe un valor de r en donde la presi´ on se anula, este define la frontera y esta dado por r b = 3+ √ 177r 0 √ 6 > 0 (14) de donde la masa de la estrella M = m(r b )= 3+ √ 177(81 √ 3−11 √ 59) √ 2r 0 1176 > 0. Por otro lado la densidad y la presion central son: Pc = 512 343r 0 2 ρc = 3168 343r 0 2 (15) En la g’rafica presentada se observa el comportamiento de la densidad, la pre- si´ on y la masa. En esta se tiene que P<ρ y visualmente tambi´ en se corrobora que esta soluci´ on cumplen con las condiciones (1 a 5). Como conclusi´ on tenemos que hemos sido capaces de construir una nueva soluci´ on fisicamente aceptable. Referencias: 1. Physical Aceptability of Isolated, Static, Spherically Symmetric, Perfect Fluid Solutions or Einsteins Equations.M.S.R. Delgaty and Kayll Lake, gr-qc/9809013v1 2Sep 1998. 2. S.K. Maurya Y.K. ,Gupta, A family of physically realizable perfect fluid speres representing a quark stars in general relativity, Astrophisys Space Sci, DOI 10.1007/10509-011-0810-Y 3. Joaquin Estevez Delgado y Gabino Estevez Delgado, Reporte de Investi- gaci´on(2012) 4. R.Wald, General Relativity, The University of Chicago (1984).
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Una clase de soluciones estelares
Estevez Delgado, GabinoFacultad de Quımico Farmacobiologıa, UMSNH, [email protected]
Estevez Delgado, Joaquın, Corona Patricio Gabino, Rojas Sanchez Adriana, and Lopez Bolanos EduardoFacultad de Ciencias Fısico-Matematicas, UMSNH,
[email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
El interes sobre la estructura y las consecuencias de las soluciones a las ecuaciones que describen soluciones interiores de estrellasrelativistas estaticas y esfericamente simetricas ha sido una cuestion que ha estado presente desde hace siglos. Construir solucionesanalıticas aun en el caso estatico y esfericamente simetrico no es una tarea sencilla, debido a la no linealidad de las ecuaciones. Laconstruccion de soluciones contribuye a entender mejor y resolver algunos problemas astrofısicos presentes cuando se tiene un campogravitacional fuerte. Considerando una forma especıfica para la funcion de masa estelar hemos podido construir una clase de solucionesestelares fısicamente aceptables, asociadas a un fluido perfecto. Sus caractersticas con relacion a la presion, densidad y velocidad delsonido son analizadas.
En [1] se presenta un analisis de 127 soluciones estelares de estas solo 16 pasanla pruebas de regularidqad y condiciones fisicas, y unicamente 9 tiene una veloci-dad del sonido monotona decreciente. Recientemente se han contruido otras solu-ciones fısicamente aceptables [2]. Siguiendo una estrategia similar a la presentadaen [2] contruimos una solucion estelar nueva. Para el caso estatico y esfericamenesimetrico la metrica puede expresarse como:
ds2
= −e2ν(r)
dt2
+ e2λ(r)
dr2
+ r2(dθ
2+ sin
2θdφ
2) (1)
Para un tensor de energıa moemento asociado a un fluido perfecto las ecuacionesde Einstein implican:
1
r2[r(1 − e
−2λ)]′= ρ −
1
r2(1 − e
−2λ) +
2ν′
re−2λ
= P (2)
e−2λ
(ν′′
+ ν′+
ν′
r− ν
′λ′ −
λ′
r) = P (3)
Hemos tomamos las unidades tales que c = 1 y 8πGc4
= 1. Este sistema de ecuacio-
nes determina el comportamiento del campo gravitacional para un fluido perfecto.Haciendo el siguiente cambio de variables [2]
x = Cr2, Z(x) = e
−2λ(r), A
2y2(x) = e
2ν(r), (4)
Donde A y C son constantes arbitrarias obtenemos el siguiente conjunto de ecua-ciones:
1 − Z
x− 2Z =
ρ
C4Z
y
y+
Z − 1
x=
ρ
C(5)
4Zx2y + 2Zx
2y + (Zx − Z + 1)y = 0 (6)
La ventaja de este sistema de ecuaciones es que la ultima ecuacion podemosverla como una ecuacion diferencial de segundo orden no homogoenea en y y linealde primer orden no homogeneo en Z para un y y Z dadas respectivamente. Deacuerdo a las condiciones de regularidad de la geometrıa en el origen (determinados
por el escalar de Kretschmann) elegimos [3]: y(x) =a1x+b1ax+b
. Con esta forma de y,
reemplazandola en (6) es posible contruir una solucion para la ecuacion que resultaen Z con a1 = 15s, b1 = 1, b = 1, a = s, y su forma exacta es:
Z(x) = 1 −((32s(9s2x2 + 34sx + 33) − (1 + sx)4)C1)x
(3sx + 7)3(5sx + 1)(7)
donde C1 es una constante de integracion. De aqui en adelante por simplicidadsupondremos C1 = 0 en cuyo caso:
ρ(x) = −32Cs(−72s3x3 − 1434s2x2 − 2048sx − 693 + 135s4x4)
k(k(5sx + 1)2(3sx + 7)4)(8)
P (x) = −256s(−3sx − 14 + 3s2x2)C
(7 + 15sx)(5sx + 1)(3sx + 7)3(9)
Es conveniente reexpresar la solucion en la forma estandar en el que la metrica es[4]:
ds2
= −e−2φ
dt2
+ dr2
+ (1 − 2m(r)
r)−1
dr2
+ r2dΩ
2(10)
donde m(r) representa la funcion de masa de la estrella, y con respecto a la cual
la densidad y presion son: 8ρ = 1r2
dmdr
8P =2(r−2m)
r2dΦdr
− 2mr3
La solucion sera fısicamente aceptable si satisface las siguientes condiciones [2]
1. tǫ(−∞,∞) r > 0 θǫ(0, π) Φǫ(0, 2π) lımr→0m(r)
r3= C1
lımr→01r
dΦdr
= C2 lımr→0d2Φdr2
= C3
donde C1, C2, C3, son constantes. Ademas para la densidad y las presionesrequerimos
2. ρ(r) > 0 y P (r) > 0 en el interior de la estrella i.e. 0 < rb (donde el rbes el radio de la estrella)
3. Sobre la frontera, i.e. r = rb, ρ(rb) ≥ 0 y P (rb) = 0
4. La densidad y presiones deben ser monotonas decrecientes i.e.dρdr
< 0
dPdr
< 0
5. La velocidad del sonido no puede ser mas rapida que la velocidad de la luz
Luego de redefinir las constantes tenemos que la densidad, la presion y la masaestan dadas por:
ρ(r) =32(2r0
2r2(36r4 + 717r02r2 + 1024r0
4) + 693r08 − 135r8)r0
2
k(5r2 + r02)2(3r2 + 7r0
2)4(11)
P (r) =256(3r0
2r2 + 14r04 − 3r4)r0
4
(7r02 + 15r2)(5r2 + r0
2)(3r2 + 7r02)3
(12)
m(r) =16(9r4 + 34r0
2r2 + 33r04)r3r0
2
3r2 + 7(r02)3(5r2 + r0
2)(13)
Se puede verificar de manera directa que las condiciones 1 a 5 se satisfacen. Porejemplo existe un valor de r en donde la presion se anula, este define la frontera yesta dado por
rb =
√
3 +√
177r0√
6> 0 (14)
de donde la masa de la estrella M = m(rb) =
√
3+√
177(81√
3−11√
59)√
2r01176
> 0.
Por otro lado la densidad y la presion central son:
Pc =512
343r02
ρc =3168
343r02
(15)
En la g’rafica presentada se observa el comportamiento de la densidad, la pre-sion y la masa. En esta se tiene que P < ρ y visualmente tambien se corrobora queesta solucion cumplen con las condiciones (1 a 5). Como conclusion tenemos quehemos sido capaces de construir una nueva solucion fisicamente aceptable.Referencias:
1. Physical Aceptability of Isolated, Static, Spherically Symmetric, PerfectFluid Solutions or Einsteins Equations.M.S.R. Delgaty and Kayll Lake,gr-qc/9809013v1 2Sep 1998.
2. S.K. Maurya Y.K. ,Gupta, A family of physically realizable perfect fluidsperes representing a quark stars in general relativity, Astrophisys SpaceSci, DOI 10.1007/10509-011-0810-Y
3. Joaquin Estevez Delgado y Gabino Estevez Delgado, Reporte de Investi-gacion (2012)
4. R.Wald, General Relativity, The University of Chicago (1984).
