1. Evaluar los siguientes límites

a. lim𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 Solución:

Sea 𝐿 = lim𝑛→∞ ln(𝑛1/𝑛) ⇒ 𝐿 = 𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 ⇒ 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 = 𝑒𝐿

Ahora 𝐿 = lim𝑛→∞ ln(𝑛1/𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞1

𝑛ln(𝑛) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

ln(𝑛)

𝑛. Aplicando L´Hopital

𝐿 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

𝑛

1= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

𝑛= 0, por lo tanto 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛1/𝑛 = 1

b. lim𝑛→∞4𝑛−3

2𝑛

Solución:

Aplicando L´Hopital lim𝑛→∞4𝑛−3

2𝑛 = lim𝑛→∞4

ln(2)2𝑛 =4

ln(2)𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

2

𝑛

=4

ln 2 0 = 0.

2. Use los criterios de convergencia o divergencia de series de términos positivos para determinar la convergencia o divergencia de la serie

𝑛!

10𝑛

∞

𝑛=1

Solución:

𝑎𝑛 =𝑛!

10𝑛 Luego 𝑎𝑛+1 =(𝑛+1)!

10(𝑛+1) Consideremos el límite

𝐿 = lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛= lim

𝑛→∞

(𝑛+1)!

10(𝑛 +1)

𝑛!

10𝑛

= lim𝑛→∞

10𝑛𝑛! (𝑛 + 1)

10𝑛10𝑛!= lim

𝑛→∞

(𝑛 + 1)

10= +∞

Como 𝐿 > 1 entonces por criterio del cociente la serie 𝑛!

10𝑛∞𝑛=1 diverge

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matemáticas

Cursos de Servicios para Ingeniería y/o Facultad de Química Farmacéutica

CALIFICACION

ALUMNO: Carné:

Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño

Parcial #4 Valor: 25% Fecha: Jueves 1 de agosto de 2013

3. Escriba la serie y luego encuentre el radio de convergencia, el intervalo de convergencia y el intervalo de convergencia absoluta

1 −𝑥

2+

𝑥2

22−

𝑥3

23+

𝑥4

24− ⋯

Solución:

La serie correspondiente a la anterior expresión es (−1)𝑛 𝑥𝑛

2𝑛∞𝑛=0

𝑎𝑛 = (−1)𝑛 𝑥𝑛

2𝑛 Consideremos el límite

𝐿 = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = lim𝑛→∞ (−1)𝑛 𝑥𝑛

2𝑛

𝑛= lim𝑛→∞

𝑥

2=

𝑥

2

Se concluye del criterio de la raíz para convergencia absoluta que la serie

(−1)𝑛 𝑥𝑛

2𝑛∞𝑛=0 converge absolutamente si y solo si

𝑥

2< 1, es decir si y solo si

𝑥 < 2. Por lo tanto el radio de convergencia es 𝑅 = 2

El intervalo de convergencia absoluta es −2,2 Ahora para hallar el intervalo de convergencia analizamos los extremos Si 𝑥 = −2 se obtiene la serie 1∞

𝑛=0 sea 𝑎𝑛 = 1 luego lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 1 y así por criterio de divergencia para series 1∞

𝑛=0 diverge

Si 𝑥 = 2 se obtiene la serie (−1)𝑛∞𝑛=0 sea 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 luego lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 no

existe y así por criterio de divergencia para series (−1)𝑛∞𝑛=0 diverge

Por lo anterior El intervalo de convergencia es −2,2

4. Analice la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de la

serie alterna −1 𝑛 3𝑛

2𝑛 +8∞𝑛=1

Solución:

𝑎𝑛 = −1 𝑛 3𝑛

2𝑛 +8 Consideremos el límite

𝐿 = lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = lim𝑛→∞ −1 𝑛 3𝑛

2𝑛 +8

𝑛=

3

2lim𝑛→∞

1

28 1/𝑛

=3

2> 1

Se concluye del criterio de la raíz para convergencia absoluta que la serie

−1 𝑛 3𝑛

2𝑛 +8∞𝑛=1 diverge

5. Escriba los cinco primeros términos de la expansión en una serie de Maclaurin

para la función

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 Solución:

Como 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+

𝑥3

3!+

𝑥4

4!+

𝑥5

5!+

𝑥6

6! y

𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!−

𝑥7

7! Luego por producto de series

𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥2

2!+

𝑥3

3!+

𝑥4

4!+

𝑥5

5!+

𝑥6

6! 𝑥 −

𝑥3

3!+

𝑥5

5!−

𝑥7

7!

= 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!+ 𝑥2 −

𝑥4

3!+

𝑥6

5!+

𝑥3

2!−

𝑥5

2!3!+

𝑥4

3!−

𝑥6

3!3!+

𝑥5

4!+

𝑥6

5!⋯

= 𝑥 + 𝑥2 +2𝑥3

3!−

4𝑥5

5!−

8𝑥6

6!⋯