SPC1

CEP Introducción. Capitulo 1 1¿Porque el Control Estadístico de Procesos?

Así como en la naturaleza, no existen dos cosas que sean exactamente iguales; de la misma manera, el hombre no ha logrado diseñar un proceso que sea capaz de hacer que una misma característica en dos diferentes partes, sean exactamente iguales, sin embargo la inteligencia, le ha permitido adaptarse a esta constante universal, a la que, como primer paso le dio un nombre, denominándola: “VARIACIÓN”.

La adaptación del hombre a la existencia de la variación en los procesos industriales, empezó, mediante la aplicación de tolerancias a dimensiones de características criticas en la fabricación, operación o ensamble de sus productos, con el propósito de facilitar la producción en masa y la reducción de costos en sus partes. Sin embargo, ello no fue suficiente, ya que retrabajos, generación de desperdicio y producto defectuoso, seguían siendo altos; se necesitaba pues, controlar la variación misma, y para ello, recurrió a la “ESTADÍSTICA”, herramienta matemática, con la que desarrollo un método de control, al que denomino: Statistical Process Control, (SPC); en Español: CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS, (CEP).

Con esta breve introducción explicamos, la razón del porque del control estadístico de procesos, resumiéndolo como:

El Control Estadístico de Procesos; tiene como propósito fundamental, controlar la variación de los procesos, mantenerlos estables y capaces, abatir costos y obtener un producto de calidad de manera consistente.

El control estadístico de procesos, correctamente aplicado, proporciona las siguientes ventajas:

1. Mejora la Calidad del producto. Incrementando la satisfacción del cliente. Reduciendo devoluciones, quejas y la solicitud de garantías.

2. Reduce costos. Nos previene de elaborar producto defectuoso. Reduce la generación de desperdicio. Minimiza el retrabajo. Requiere menos inspección.

3. Facilita la administración. Reduce inventarios. Facilita la programación. Requiere menos, pero mejores, proveedores. Permite la programación de mas y mejor mantenimiento a los equipos.

4. Nos dirige hacia la mejora continua. Ayuda a cambiar la cultura del operador hacia la calidad. Facilita la automatización. Facilita el desarrollo de nuevos productos o mejoras a los existentes.

5. Mejora la Capacidad. Mediante un mejor uso del equipo existente. Remplazando el equipo existente, solo, si es realmente necesario.

Propiedad privada, prohibida su reproducción. SER CAPACITACIÓN

CEP Introducción. Capitulo 1 2Requisitos para aplicar SPC.


¿Es la Variación un problema para

su Proceso?

NO

SI

¿Puede medirse la operación?

NO

SI

NO

SI

¿Quiere Mejorar el Proceso?

Aplique SPC

Búsquele!!!...

Defina las características a controlar y establezca un sistema de medición

de las mismas.

¿Seguro?

NOSI

CEP Introducción. Capitulo 1 3Como podemos deducir, LA VARIACIÓN, es la principal causa de producto defectuoso

e impide el obtener un producto de calidad de manera consistente. Para controlar la variación debemos determinar sus causas, las que, para su análisis, se han clasificado en dos tipos: Causas comunes o inherentes de variación y Causas especiales o asignables de variación.

Causas Comunes o Inherentes de variación, son aquellas que siempre están presentes en el proceso; es decir, son parte del proceso mismo y como una constante del sistema se presentan de manera casual y aleatoria. Las causas comunes o inherentes de variación generan una variación controlada, mostrando Un proceso estable. La única forma de mejorar estos procesos es mediante la modificación o re-diseño de los procesos mismos.

Ejemplos de Causas comunes o inherentes:

Vibración natural de la maquina. Variaciones pequeñas en los instrumentos de medición. Diferencias en preparación y ajustes naturales entre maquinas similares. Errores debidos a la precisión humana. Fluctuaciones de voltaje. Pequeñas variaciones en el material.

Causas Especiales o Asignables de variación, estas no son atribuibles al diseño del proceso ni se comportan de manera casual o aleatoria. Las causas especiales o asignables de Propiedad privada, prohibida su reproducción. SER CAPACITACIÓN

Tiempo

Predicción

Característica

Proceso Estable

CEP Introducción. Capitulo 1 4variación, generan una distribución descontrolada de la variación misma, mostrando Un proceso inestable. La manera de estabilizar y mejorar estos procesos, es a través de la eliminación, una a una, de las causas especiales o asignables de la variación.

Ejemplos de Causas especiales...

Picos de voltaje que dañan la maquinaria. Errores inadvertidos por un operador. Cambios o diferencias en el método de medición. Fallas en la preparación y ajuste de maquinas. Lotes de material defectuoso. Desgaste del equipo. Dibujos de proceso y manufactura mal elaborados.

El CEP se aplica a cada proceso, en forma individual, una forma sencilla de hacerlo, es mediante la implantación de las siguientes cuatro etapas:


Tiempo

Predicción

Característica

Proceso Inestable

?? ?

?

??

???

?

?

?

CEP Introducción. Capitulo 1 5

Cada etapa, comprende los siguientes pasos:

Preparar: Determine las características a estudiar, (críticas).fije y evalúe su sistema de medición.

Implementar Elabore diagramas de control.Determine si el proceso es estable.Determine si el proceso es capaz.

Logre y mantenga un proceso estable y capaz.

Mantener Mantenga un proceso estable y capaz, sin causas especiales de variación.

Mejorar Disminuya la variación y mejore la capacidad del proceso, eliminando causas comunes de variación.

Hasta aquí, hemos visto, algunas de las razónes para implantar un sistema de control estadístico de procesos y una forma para llegar a su implantación; a continuación, veremos las herramientas necesarias para el desarrollo e interpretación del CEP, sin embargo para una mejor comprenhensión de lo que veremos, es necesario repasar nuestra Estadística.

ESTADÍSTICA....¿¿¿X, R, S, C, U, NP, P...???


Prepare

Mantenga

Mejore Implemente

I

II

III

IV

CEP Introducción. Capitulo 1 6LA ESTADÍSTICA es la rama de las matemáticas, que se encarga de la recopilación,

ordenación análisis e interpretación de datos cuantitativos, gracias e ella, es posible obtener conclusiones, a partir de las relaciones que se observen entre los datos mismos, unas veces mediante analogías, (estadística descriptiva), y otras por inferencia, basadas en muestras tomadas de la población, (estadística inferencial).

Los datos.Cuando hablamos de datos, nos referimos a la información que se obtiene de medir o

evaluar la característica bajo estudio. Los datos pueden obtenerse por observación directa, (visualmente o con el uso de instrumentos de medición), o indirecta, (a través de cuestionarios verbales o escritos). Los datos que se emplean en la industria, para el control de la calidad, se obtienen por observación directa y se han clasificado en datos variables y datos por atributos.

Datos variables, son generan por características mensurables o que pueden medirse, ejemplos de ellos son: el tiempo, el peso, la longitud, la temperatura,.... Variable es toda característica que al ser medida, presenta un continuo entre cada división de su escala de medición.

Datos por atributos, los datos por atributos, se originan por aquellas características que se evalúan por la aplicación de los valores 0 ó 1; son datos donde los únicos resultados de la evaluación de la característica, son bueno o malo, tales como los generados con el uso de patrones “PASA”, “NO PASA” ó a través de la aplicación de definiciones tales como: defectuoso ó aceptable; este tipo de datos se recopilan por conteo.

En general, podemos decir que los datos del tipo variable se recopilan a traves de una medición y los datos del tipo atributo, se recopilan por conteo.

EL ESTUDIO DE LOS DATOS, HACE USO DE TÉCNICAS, GRÁFICAS Y ANALITÍCAS.

Las técnicas gráficas, distribuyen los datos, dibujando la distribución de frecuencia de los mismos, resumiendo la cantidad de datos que ocurren dentro de cada subgrupo de valores observados.

Entre estas podemos citar como las mas importantes:El Histograma,El Diagrama de Recorrido.

Las técnicas analíticas, resumen los datos mediante la determinación de una estimación de su tendencia central y su variación.

Estimaciones de la tendencia central, son: La media aritmética, La moda y La mediana,

Medidas de la variación son: El Rango, La Varianza y la Desviación estándar....

Técnicas gráficas...El histogramaEl Histograma es la mas común de las técnicas gráficas y de el haremos aquí un breve

repaso. En si, el histograma es una técnica de análisis de datos por Distribución de Frecuencias,


CEP Introducción. Capitulo 1 7su estudio nos permitirá comprender como se distribuyen los datos en el tiempo, y nos dará una clara idea de cuando un proceso es estable o inestable.

Como hacer un histograma.Los datos de la tabla 1.1 abajo, representan la longitud, en pulgadas, de unas barras de

metal; cuando se tienen tantos datos, es difícil determinar su distribución con solo observar los valores en la tabla, en cambio, si los acomodamos, de manera secuencial, agrupando los datos que son iguales y dibujando después su histograma, podremos observar la tendencia del conjunto de datos.

Longitud de las barras, en pulgadas

3.58 3.48 3.37 3.50 3.34 3.60 3.49 3.48 3.41 3.43 3.50 3.52 3.54 3.433.34 3.46 3.48 3.47 3.45 3.45 3.44 3.46 3.38 3.50 3.46 3.47 3.48 3.453.52 3.49 3.59 3.52 3.38 3.47 3.48 3.59 3.52 3.63 3.45 3.45 3.43 3.543.40 3.34 3.32 3.52 3.46 3.41 3.48 3.47 3.46 3.49 3.67 3.54 3.44 3.483.65 3.46 3.48 3.47 3.44 3.51 3.33 3.56 3.55 3.60 3.48 3.49 3.46 3.47

Tabla 1.1

Para hacer el histograma, seguimos los siguientes pasos:1. Contamos, cuantos datos son. n = 702. Dividimos los datos en 10 grupos, anotando los valores mas altos de cada grupo, bajo Xs

y los menores bajo Xi; después determine los valores mayor y menor de las columnas Xs y Xi.

Grupo Datos Xs Xi

1 3.58 3.48 3.37 3.50 3.34’ 3.60o 3.49 3.60 3.342 3.48 3.41’ 3.43 3.50 3.52 3.54o 3.43 3.54 3.413 3.34’ 3.46 3.48o 3.47 3.45 3.45 3.44 3.48 3.344 3.46 3.38’ 3.50o 3.46 3.47 3.48 3.45 3.50 3.385 3.52 3.49 3.59o 3.52 3.38’ 3.47 3.48 3.59 3.386 3.59 3.52 3.63o 3.45 3.45 3.43’ 3.54 3.63 3.437 3.40 3.37 3.32’ 3.52o 3.46 3.41 3.48 3.52 3.328 3.47 3.46 3.49 3.67o 3.54 3.44’ 3.63 3.67 3.449 3.65o 3.46 3.48 3.47 3.44 3.51 3.33’ 3.65 3.3310 3.56 3.55 3.60o 3.48 3.49 3.46’ 3.47 3.60 3.46

n = 70 Xs = 3.67 Xi = 3.32

3. El rango de todos los datos será la diferencia entre los valores máximo y mínimo de Xs e Xi respectivamente, determinados en el punto 2.

Así: R = Xs -Xi = 3.67 - 3.32 = 0.35

Cantidad de datos n

Número k de clases

recomendadas


Tabla 1.2

4. Divida el rango en clases, cada clase, será una barra en el histograma, utilice la tabla 1.2, como referencia; (tomando k=7), tenemos: R = 0.35/7 = 0.05 a este valor se le llama intervalo de clase y puede ajustarse para facilitar su operación; en este caso lo dejaremos tal como esta, con 0.05.

CEP Introducción. Capitulo 1 8Menos de 50 5 a 7

50 a 100 6 a 10100 a 250 7 a 12mas de 250 10 a 20

5. Las fronteras de clase, se determinan, de modo que las clases queden bien definidas y no haya duda de a cual pertenece cada dato, para ello se usa la mitad de la unidad de medición que se este considerando, en nuestro caso, unidad de medición = 0.01, luego 0.005 será la demarcación de los valores de frontera entre las clases, considerando esto, se divide el intervalo de clase entre dos y se resta al valor de X1, donde iniciaran las fronteras de cada clase, así los valores de frontera de las clases para nuestro histograma serán:

6. Ahora, elaboraremos una tabla de frecuencias, distribuyendo los datos dentro de las clases, colocando una marca en para cada valor encontrado en la clase correspondiente, como sigue:

Clase No

Fronteras de clase

Valor Medio

Marcas de Frecuencia Frecuencia

1 3.295 - 3.345 3.32 42 3.345 - 3.395 3.37 43 3.395 - 3.445 3.42 94 3.445 - 3.495 3.47 315 3.495 - 3.545 3.52 126 3.545 - 3.595 3.57 57 3.595 - 3.645 3.62 38 3.645 - 3.695 3.67 2

n = 70

7. Las marcas de frecuencia, nos sugieren la distribución de los datos, nuestro siguiente paso será elaborar el histograma, para lo cual, se trazan dos líneas perpendiculares entre si, se coloca en la línea horizontal a las clases y en la vertical, a las frecuencias de clase; como se muestra en la figura siguiente:

35


Xi + Intervalo Frontera de clase

Xi + Intervalo Frontera de clase

3.320 - .025 = 3.295 3.495 + .05 = 3.5453.295 + .05 = 3.345 3.545 + .05 = 3.5953.345 + .05 = 3.395 3.595 + .05 = 3.6453.445 + .05 = 3.495 3.645 + .05 = 3.695

//// //// //// //// //// //// /

//////////// ////

//// //// //////

/////

Histograma


25

20

15

10

5

0

3.32 3.37 3.42 3.47 3.52 3.57 3.62 3.67

El histograma nos muestra claramente la distribución de las frecuencias. Ya que un histograma es un gráfico con barras, recibe también dicho nombre, (“gráfico de barras”). Cada barra es llamada clase, el ancho de la barra se llama intervalo de clase. Los valores numéricos que corresponden a las fronteras de las barras, se han llamado fronteras de clase, el valor medio de la clase es conocido como valor representativo o valor medio.

La preguntas que podemos contestar del trazado de un histograma pueden ser la siguientes: ¿Que tan grande es la dispersión?, ¿Se tiene una distribución simétrica o los datos están sesgados?, ¿Cuantos picos tiene?, ¿Hay barras aisladas?; En otras palabras, cuales son las características del producto; elaborar histogramas de la característica en diferentes intervalos de tiempo, mostraría si el proceso es estable y/o capaz.

Del histograma que hicimos, podemos sacar las siguientes conclusiones:La mayoría de las barras tienen una longitud que en el rango de 3.395 a 3.545, el

número de barras fuera de este rango, son mas cortas o mas largas pero en menor cantidad, la distribución de las longitudes es simétrica y la dispersión se haya de 3.32 a 3.67; no hay datos aislados ni anormales; al parecer el proceso es estable, requerimos mas histogramas para confirmar esto, además se requiere conocer las especificaciones para determinar si el proceso, es capaz.

En la naturaleza de los procesos, pueden hallarse otras formas de distribución, la mas general y estudiada de todas es la distribución normal, que es similar a la que encontramos en el proceso que analizamos. Es necesario tener una idea clara de cual es la distribución del proceso que estemos estudiando para no caer en errores durante la interpretación de los datos; adelante mostramos algunas de la distribuciones comunes...

Estudie las siguientes distribuciones y trate de interpretarlas, contestándose las siguientes preguntas:

¿Cumple la distribución con las especificaciones?Si es que se necesita, ¿que acción considera apropiado tomar?


Distribución sesgada a la derechaDistribución simétrica

(Normal).


________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________

________________________ ________________________ ________________________Cada distribución tiene características propias y se origina por diversas circunstancias.

Las distribuciones mas empleadas y por ende las mas estudiadas son la Hipergeométrica, la Normal, La Binomial, La de Poisson, y La Weibull; el estudio de estas, profundiza mas en la matemática estadística y queda fuera del alcance de este curso, Independientemente de ello, anexamos aquí algunas de ellas con las fórmulas que las describen y un comentario sobre su aplicación. Para aquellas personas que deseen profundizar mas, se les recomiendan los siguientes libros: “Control Estadístico de la Calidad” de Grant y Leavenworth; CECSA, “Estadística” de Spiegel, serie Shaum y “Elementary Statistics” de Triola, Addison Wesley ...Funciones de probabilidad mas comunes.

Distribución Forma Función de Probabilidad Aplicación/Comentarios

Normal

= Media

Aplicable cuando hay gran concentración de valores alrededor del promedio y la probabilidad de observaciones arriba o debajo del mismo son iguales. Toda distribución tiende a semejarse a la normal, por ende, esta es la distribución


1

2 e

(X -

2 2

y =

Distribución sesgada a la izquierda

Distribución punteada o Leptokurtica

Distribución aplanada o Platokurtica

Distribución bimodal

r

p= 0.1 p= 0.3 p= 0.5

r

p= 0.1 p= 0.3 p= 0.5

r

d/N baja

CEP Introducción. Capitulo 1 11 = Desviación Estándar mas empleada de todas.

ExponencialSe aplica cuando se estima que mas observaciones se encontraran por debajo del promedio que por encima del mismo; por ejemplo en la estimación de la distribución de fallas en equipos complejos o la dispersión de cargas en estructuras.

WeibullAplicable para describir una amplia variedad de distribuciones de la variación, incluyendo desviaciones de la normal y la exponencial. Es muy empleada para determinar que distribución se ajusta mejor a la distribución bajo estudio.

Binomial *

n = número de Pruebas.r = número de Ocurrencias.p = Probabilidad de ocurrencia.q = 1- p

Define la probabilidad de r ocurrencias en n pruebas de un evento con probabilidad de ocurrencia p constante en cada prueba, en general, se considera p=constante, si N>10n

Poisson *

n = número de Pruebas.r = número de Ocurrencias.p = Probabilidad de ocurrencia.

Igual que la binomial, pero particularmente aplicable, cuando hay varias oportunidades de ocurrencia de un evento pero baja probabilidad, (<0.10) en cada prueba Esto puede escribirse así: n>15, N>10n y p<0.1

Binomial negativa *

r = número de Ocurrencias.s = Diferencia entre número de pruebas y número de ocurrencias.p = Probabilidad de ocurrencia.q = 1-p

Se utiliza para definir la probabilidad de que r ocurrencias necesitaran un total de r + s pruebas de un evento que tenga probabilidad de ocurrencia p constante en cada prueba. (Observe, que el número total de pruebas n es r +s)

Hipergeométrica *

Define la probabilidad exacta de r ocurrencias en n pruebas de un evento cuando en total hay d ocurrencias en una población N. Esta distri-bución de probabilidad, es apropiada cuando se toman muestras independientes, pero la probabilidad de ocurrencia cambia debido a la disminución del lote por el muestreo. Muy útil en lotes pequeños.

* Estas son distribuciones discretas; las curvas se presentan como continuas, solo para facilitar su comparación con las distribuciones continuas.

Ejercicio:Trace un histograma con los datos de la tabla abajo:

Diámetros de 60 cojinetes de bolas Xs Xi

0.738 0.729 0.743 0.740 0.736 0.741 0.735 0.731 0.726 0.737

0.728 0.737 0.736 0.735 0.724 0.733 0.742 0.736 0.739 0.735Propiedad privada, prohibida su reproducción. SER CAPACITACIÓN

1 e

X

y =

x

= ½

= 1 = 2

= 1e(X

y == Parámetro de escala. = Parámetro de perfil. = Parámetro de localización.

n!

r! (n-r)!pr qn-r

y =

(np)r e-np

r! y =

s

p alta

p= 0.5

(r + s -1)!

(r -1)! s!pr qs

y =

y =

dr( ) N - d

n - r( )Nn( )


0.745 0.736 0.742 0.740 0.728 0.738 0.725 0.733 0.734 0.732

0.733 0.730 0.732 0.730 0.739 0.734 0.738 0.739 0.727 0.735

0.735 0.732 0.735 0.727 0.734 0.732 0.736 0.741 0.736 0.744

0.732 0.737 0.731 0.746 0.735 0.735 0.729 0.734 0.730 0.740

¿Que forma tiene la distribución?___________________________________________________

_____________________________________________________________________________

¿Dentro de que rango se encuentra la mayoría de los datos?______________________________

_____________________________________________________________________________

¿Cual es la dispersión de los datos?_________________________________________________

_____________________________________________________________________________

¿Que necesita para determinar si el proceso es estable y capaz?___________________________

_____________________________________________________________________________

El diagrama de recorrido.


CEP Introducción. Capitulo 1 13En un diagrama de recorrido, los datos se grafican en el orden en que se obtienen durante

la producción, en el es posible observar tendencias y distribuciones de los procesos y ajustes menores a los mismos. Un diagrama de recorrido, no tiene límites de control y se emplea principalmente para analizar los datos antes de la implantación de un sistema de control estadístico. Se recomienda elaborar el diagrama de recorrido, como un primer paso para el análisis de datos, sin el, otras herramientas de análisis, tales como la media, la desviación estándar y el histograma, pueden conducir a conclusiones equivocadas.

Elabore el diagrama de recorrido de los datos de la tabla.

A continuación se muestra el diagrama de recorrido obtenido.

.

Tiempo----> Lotes

Entre las conclusiones que podemos sacar de la elaboración del diagrama, esta la tendencia que se tiene en los datos a incrementarse, de lote a lote y conforme pasa el tiempo. Un conocimiento mas detallado del proceso, nos llevaría a determinar el tipo de ajustes que se necesitan para mantenerlo estable y capaz...

Técnicas analíticas. Medidas de tendencia central:

La Media. ( )Propiedad privada, prohibida su reproducción. SER CAPACITACIÓN

Lote Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 A 29 32 32 30 31 32 33 29 B 31 36 32 35 33 31 34 35 C 35 37 34 38 32 32 35 33 D 34 35 37 32 36 38 34 39 E 36 37 35 34 38 35 36 40 F 36 38 40 41 37 38 42 39

X

25

30

35

40

CEP Introducción. Capitulo 1 14Se ha denominado media, al promedio aritmético de los datos, se representa por una x

con una barra sobre la misma, ( ); esta es la medida mas utilizada de la tendencia central de un conjunto de datos; existen tres métodos para determinar su valor y son: Por datos desagrupados, Por datos agrupados y por datos ponderados. Sin embargo para nuestro fin, solo veremos el primero:Para datos desagrupados:

La Mediana ( ).La mediana de un conjunto ordenado de datos, es el valor medio o la media aritmética de

los dos valores medios.

Ejemplos: Sean los números: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10 su mediana será 7.

Sean los números: 3, 3, 5, 7, 11, 12, 14, 18 su mediana será: ½ (7 + 11) = 9

Geométricamente, la mediana es el lugar de la abscisa, donde un histograma se divide e dos partes de igual área.

La Moda.( )La moda, es el valor que mas se repite en un conjunto de datos, la moda puede no existir

e incluso si existe, puede ser única.

Ejemplos: El conjunto: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 tiene de moda 9 y es unimodal.El conjunto: 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tiene moda.El conjunto: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos modas 4 y 7 y por ende es

bimodal.

Relación empírica entre media, mediana y moda.

Para distribuciones ligeramente sesgadas se puede utilizar la siguiente relación empírica entre media, mediana y moda:

Media - Moda = 3 (Media - Mediana)

En distribuciones simétricas o normales, la relación entre ellas es: Media = Mediana = Moda

Existen otras medidas de la tendencia central, tales como la media geométrica, la media harmónica y la media cuadrática, pero estas no se utilizan en el control de calidad.

Técnicas analíticas; Medidas de dispersión:

Estas técnicas, se emplean para determinar, como los datos se distribuyen alrededor del valor central; las medidas que aquí se discutirán son el rango, la desviación estándar y la


X

X =i=1

nXi

n=

X1 + X2 + . . . + Xn n

~X

X̂

X1, X2, ...Xn = Mediciones individuales n = Cantidad de mediciones

CEP Introducción. Capitulo 1 15varianza. Otras medidas, tales como la desviación media y la desviación quartilitica no son empleadas en control de calidad y por lo mismo no se verán.

El RangoEl rango, es la medida de dispersión mas sencilla y fácil de calcular, se obtiene mediante

la diferencia entre los valores mayor y menor de una serie de observaciones o datos; simbólicamente puede expresarse por la formula:

R = Xs - Xi

La mayor desventaja del rango es su valor se ve influenciado por el tamaño de la muestra, a mayor tamaño de muestra, mayor será el rango.

La Desviación Estándar.La desviación estándar es un valor numérico, dado en las mismas unidades que las

observaciones, y que mide la tendencia de la dispersión de los datos. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión. En términos simbólicos, la formula para determinar la desviación estándar es:

Este estimador de la desviación estándar, es adecuado para tamaños de muestra donde n >30, cuando se emplean muestras de menor tamaño, se multiplica el estimador anterior por

La varianza, es el cuadrado de la desviación estándar y por lo tanto viene dada por:

Sea s la media de una muestra tomada de n>30; se ha comprobado, que para distribuciones normales, Xocurre con la siguiente distribución:

X se encontrara el 68.26% de las veces dentro de s +/- SX se encontrara el 95.44% de las veces dentro de s +/- 2SX se encontrara el 99.74% de las veces dentro de s +/- 3S

Ejercicios:


S =i=1

n(Xi - X ) 2

n

= Xi 2

n X

2

n n-1

S2

CEP Introducción. Capitulo 1 16Obtenga la media, la moda, la mediana, el rango, la desviación estándar y la varianza de los siguientes datos:

Media = _________________ Moda = _________________ Mediana = _______________

Rango = _______________ Desviación estándar = _______________ Varianza = ____________


0.738 0.729 0.743 0.740 0.736 0.741 0.735 0.731 0.726 0.737

0.728 0.737 0.736 0.735 0.724 0.733 0.742 0.736 0.739 0.735

0.745 0.736 0.742 0.740 0.728 0.738 0.725 0.733 0.734 0.732

0.733 0.730 0.732 0.730 0.739 0.734 0.738 0.739 0.727 0.735

0.735 0.732 0.735 0.727 0.734 0.732 0.736 0.741 0.736 0.744

0.732 0.737 0.731 0.746 0.735 0.735 0.729 0.734 0.730 0.740

CEP Introducción. Capitulo 1 17Cont... Ejercicios.

Realice el diagrama de recorrido y después dibuje el histograma de las 100 observaciones dadas abajo obtenga de los mismos datos, la media, la moda, la mediana, el rango, la desviación estándar y la varianza, finalmente, anote sus conclusiones.

0.135 0.304 0.374 0.592 0.784 0.140 0.308 0.374 0.600 0.7840.165 0.320 0.374 0.600 0.798 0.168 0.320 0.390 0.612 0.8100.170 0.323 0.396 0.612 0.840 0.228 0.323 0.448 0.629 0.8960.231 0.330 0.450 0.630 0.896 0.234 0.336 0.450 0.630 0.9280.238 0.336 0.456 0.646 0.938 0.240 0.336 0.494 0.660 0.9660.247 0.340 0.496 0.666 0.972 0.247 0.342 0.496 0.686 0.9760.252 0.350 0.510 0.702 1.050 0.255 0.352 0.532 0.702 1.0640.270 0.352 0.533 0.704 1.110 0.272 0.352 0.540 0.736 1.1700.288 0.360 0.544 0.736 1.170 0.288 0.361 0.576 0.750 1.2900.289 0.361 0.585 0.765 1.581 0.289 0.364 0.592 0.779 1.802

Media = _________________ Moda = _________________ Mediana = _______________

Rango = _______________ Desviación estándar = _______________ Varianza = ____________


CEP Introducción. Capitulo 1 18Conteste las siguientes preguntas, puede consultar sus apuntes...

1. ¿Cual es el propósito del control estadístico de procesos? ____________________________

______________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cual es la diferencia entre estable y capaz? _____________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿Que es un dato? ____________________________________________________________

___________________________________________________

4. ¿Cual es la diferencia entre variable y atributo?____________________________________

______________________________________________________________________________________________________

5. ¿Que información podemos obtener de un histograma? ______________________________

______________________________________________________________________________________________________

6. ¿Cuales son sus componentes y para que se utiliza el diagrama de recorrido? ____________

______________________________________________________________________________________________________

7. ¿Cuales son las medidas de la tendencia central y cuales sus diferencias? _______________

______________________________________________________________________________________________________

8. ¿Cuales son las medidas de la variación? _________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

9. ¿Cual son las características de la curva normal? ___________________________________

___________________________________________________



Hoja para anotaciones y/o cálculos.


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