SR: Perpendicularidad

SR_8

Prof. José Juan Aliaga MaraverExpresión gráfica

Recta perpendicular a plano

Una recta Una recta pp es perpendicular a un es perpendicular a un plano plano si lo es a dos rectas no si lo es a dos rectas no paralelas del mismoparalelas del mismo

rrss

pp

ss22

Todos los planos del haz que tiene por base Todos los planos del haz que tiene por base una recta una recta pp perpendicular a un plano perpendicular a un plano , son , son perpendiculares a dicho planoperpendiculares a dicho plano

pp

Teorema de las tres perpendiculares

Las proyecciones ortogonales sobre un plano Las proyecciones ortogonales sobre un plano de dos rectas perpendiculares de dos rectas perpendiculares entre si, entre si, (i)(i) y y (m)(m), son dos rectas perpendiculares, , son dos rectas perpendiculares, (i(i11)) y y (m(m11)), si una de ellas es , si una de ellas es

paralela al plano de proyección paralela al plano de proyección

PP11

PP

ββ

AA

mm

rr

BB

i=ii=i11

mm11

rr11

Línea de máxima pendiente

Los dos planos Los dos planos y y se cortan en la recta se cortan en la recta ii..

El punto El punto PP pertenece al plano pertenece al plano , siendo el punto , siendo el punto PP11 su proyección ortogonal su proyección ortogonal

sobre sobre ..

Las rectas Las rectas mm y y r r, que pasan por el punto P y pertenecen al plano , que pasan por el punto P y pertenecen al plano cortan cortan en los puntos en los puntos AA y y BB a la recta a la recta ii, formando los ángulos , formando los ángulos y y ββ respectivamente con sus proyecciones ortogonales sobre respectivamente con sus proyecciones ortogonales sobre . .

La recta La recta mm es perpendicular a la recta es perpendicular a la recta ii

El ángulo El ángulo es mayor que el es mayor que el ββ al ser común el cateto al ser común el cateto PPPP11 a los triángulos a los triángulos

rectángulos correspondientes, y de menor longitud el cateto rectángulos correspondientes, y de menor longitud el cateto PAPA (mínima (mínima distancia)distancia)

PP

PP11AABB

ββ

Angulo entre dos planos

(r)(r)(s)(s)

(a)(a)

(b)(b)ββ

El ángulo El ángulo que forman dos planos que forman dos planos y y , es el que forman las rectas , es el que forman las rectas (r)(r) y y (s)(s) de de intersección con un plano intersección con un plano perpendicular a ambos planos (ortogonal a la recta perpendicular a ambos planos (ortogonal a la recta intersección intersección ii).).

Cualquier otro plano, Cualquier otro plano, , secciona según rectas (a) y (b) que forman un ángulo , secciona según rectas (a) y (b) que forman un ángulo ββ menor.menor.

ii

Recta perpendicular a plano

f’f’

f’’f’’

h’’h’’

h’h’

p’’p’’

p’p’

Una recta perpendicular a un plano lo es Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las rectas o direcciones que a todas las rectas o direcciones que contienecontiene

Sistema Axonométrico

(O)(O)

OO

(x)(x)

(z)(z)

(y)(y)

yy

zz

xx

Determinar la dirección normal al espejo plano ABCD en su centro geométrico

SR_8P_01Perpendicularidad

Figura de análisis

A’’A’’

B’’B’’

C’’C’’

D’’D’’

A’A’

B’B’ C’C’

D’D’

El triángulo rectángulo isósceles (ABC) y el punto (P) pertenecen a un plano que es proyectado cilíndricamente sobre otro plano según la figura. Hallar la proyección de la distancia del punto (P) a la mediana (ma)

SR_8P_02Perpendicularidad

Figura de análisis

CC

BB

AA

PP

Hallar la proyección ortogonal de un hexágono regular de lado 3u, sabiendo que la recta oblicua r es soporte de la proyección del lado AB y O la proyección del centro del polígono; además, el lado contiguo AF es paralelo al plano de proyección

SR_8P_03Paralelismo y perpendicularidad

Figura de análisis

AA

BB

CC DD

EE

FFrr

OO

uu

Un cuadrado ha sido proyectado ortogonalmente sobre el plano del dibujo.

Determinar la dirección perpendicular a d

SR_8P_04Perpendicularidad

Figura de análisis

AA

BBCC

DD

dd

Dado un plano , determinado por dos rectas (a) y (b) que se cortan en un punto P, determinar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P

SR_8P_05Planos: Rectas notables

Figura de análisis

PP

b’b’

bb

P’’P’’

aa

a’a’

P’’’P’’’