7/17/2019 Subespacio Vectorial

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Última edición hace 5 meses por PatruBOT

Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que

satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que

V ..

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de

si:

Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espaciovectorial.

Demostración

i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva

respecto las dos operaciones.

Luego para el elemento neutro de la suma éste se puede obtener como , que

y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido

como , ya que

Notaciones

Dado un subespacio vectorial, se tiene:

Definición subespacio vectorial

Consecuencias

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Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.

Demostración

Se quiere ver que :

Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.

Demostración

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .

Criterio de verificación

Si V  es un espacio vectorial, entonces un

subconjunto no vacío U  de V  es un subespacio

vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores

v, w pertenecientes a U  y cualesquiera escalares r  ys pertenecientes al cuerpo asociado, el vector

es también un elemento de U .

“

”Ejemplos

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 y están alineados, ,

y forman un paralelogramo si no están alineados,

Suma de 3 elementos.

El subconjunto

es un subespacio vectorial.

Demostración

Por definición de U  los elementos son de la forma .

.

“ ”

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El subconjunto

no es un subespacio vectorial.

Demostración

Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la

cerradura de ambas operaciones.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C  puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C , pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es,

puesto que 5 no es igual a 3².

El vector (2, 4) es un elemento de C , pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que

no es un elemento de C  puesto que 8 no es igual a 4².

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V , se definen las

siguientes operaciones:

como las operaciones están bien definidas entonces que U  es en sí mismo un espacio vectorial, e

decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de .

“ ”

Operaciones con subespacios

Unión

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En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V ,

pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí  pertenece de forma segura la unión

a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V .

La suma de dos subespacios es un subespacio de V .

Si la intersección entre S  y W  es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la

suma se la llama "suma directa".[1]

Es decir que si

Lo que quiere decir también que todo vector de V , se escribe de manera única como la suma

de un vector de S  y otro de W .

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios y será igual a la

dimensión del subespacio más la dimensión del subespacio menos la dimensión de la

intersección de ambos.

Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección unsubespacio de dimensión 1.

Luego, .

En el caso particular de la suma directa, como .

La fórmula de Grassmann resulta:

Intersección

Suma

Suma directa

Dimensiones de subespacios

En la suma directa

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Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .

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1. "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.

Véase también

Referencias