Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por E.

E

Experimentos aleatorios. Espacio muestral

Ejemplos:Experimento {Lanzar un dado}, E={1,2,3,4,5,6}

Experimento {Lanzar una moneda}, E={Cara, Cruz}

Si definimos frecuencia relativa del suceso A como:

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

Definición de Probabilidad

Propiedades:1. 0 ≤ fr (A) ≤ 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. fr(A U B ) = fr(A) + fr(B) si A ∩ B = Ø. 3. fr(E) = 1 fr(Ø) = 0

Definición de Laplace

Ejercicios propuestos:Se realiza un estudio para estudiar el diagnóstico de seropositividad en VIH según lo valores de T4-T8, obteniéndose la siguiente tabla:

VIH T4-T8 baja T4-T8 normal n

Seronegativos 8 54 62

Sero+ ≤ 30 meses 10 4 14

Sero+ > 30 meses22 2 24

Total 40 60 100

1.Describe el espacio muestral asociado2.Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos

Soluciones: el espacio muestral consta de tres sucesos1. E={(S-), (S+ ≤30), (S+ >30)}2. Las probabilidades asociadas cada suceso son

1. P(S-) =62/100=0.622. P(S+ ≤30)=14/100=0.143. P(S+ >30)=24/100=0.24Podemos observar como cumplen las propiedades de la probabilidad:• cada una de las probabilidades es mayor de 0 y menor de 1• La suma de todas las probabilidades es 1 (0.62+0.14+0.24=1)• Existe el suceso nulo P(no ser S- ni S+)=0.

Uniónes el suceso formado por todos los elementos

de A y todos los elementos de B.

Intersecciónes el suceso formado por todos los elementos

que son, a la vez, de A y de B.

Diferenciaes el suceso formado por todos los elementos

de A que no son de B.

Suceso contrario o

Complementario=E - A se llama suceso contrario de A.

Definiciones. Dados dos sucesos, A y B, se llaman:

Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles ó mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø (A y B son disjuntos)

1. P(A) = 1 - P( A )

2. P( Ø ) = 0

3. Si A B P( B ) = P( A ) + P(B-A)

4. Si A B P( A ) ≤ P( B )

5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:

P( A1 U A2 U .. U Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )

6. P(A U B ) = P( A ) + P( B ) - P(A ∩ B)

Propiedades

Ejercicios propuestos:Se pretende estudiar el grupo sanguíneo según el sexo

Grupo sanguíneo Varones Mujeres Total

O 0.21 0.21 0.42

A 0.215 0.215 0.43

B 0.055 0.055 0.11

AB 0.02 0.02 0.04

Total 0.5 0.5 1

1. Calcula la probabilidad de que una persona pertenezca al grupo A ó al AB2. Calcula la probabilidad de pertenecer a cualquiera de los grupos A, B ó AB.2. Calcula la probabilidad de no pertenecer al grupo O

Soluciones:1. P(A) = 0.43; P(AB)=0.04. A y AB son sucesos excluyentes o incompatibles.

P(A U AB)=P(A ó AB)=P(A) + P (AB) = 0.43+0.04 = 0.47

2. P(AUBUAB)=P(A)+P(B)+P(AB)=0.43+0.11+0.04=0.58

3. P(O)=0.42; P(O)=1-P(O)=1-0.42=0.58

Probabilidad CondicionadaSean A y B dos sucesos tal que P( A ) ≠ 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A.

De esta igualdad se deduce: P( B ∩ A ) = P( B/A ) · P( A )

La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:

P(A ∩ B ∩ C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A ∩ B )

Esta fórmula admite una generalización para un número cualquiera de sucesos.

Ejemplo:Experimento {Lanzar un dado}. La probabilidad de obtener un 3

sabiendo que ha salido un número impar: A={Sacar un 3}, B={1,3,5}, entonces P(A/B) = 1/3 puesto que si sabemos que ha sido impar ahora son 3 los casos posibles y uno solo el favorable al suceso A.

Probabilidad CondicionadaDecimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )

Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es decir, si P( B/A ) ≠ P( B ) ó P( A/B ) ≠ P( A )

Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple: P( A ∩ B ) = P( A ) · P( B )

Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:

P( A ∩ B ) = P( A ) · P( B ); P( A ∩ C ) = P( A ) · P( C ); P( B ∩ C ) = P( B ) · P( C )

P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )

Ejercicios propuestos:Se realiza un estudio para estudiar el diagnóstico de seropositividad en VIH según lo valores de T4-T8, obteniéndose la siguiente tabla:

VIH T4-T8 baja T4-T8 normal n

Seronegativos 8 54 62

Sero+ ≤ 30 meses 10 4 14

Sero+ > 30 meses22 2 24

Total 40 60 100

1. El nivel de T4-T8 y el tipo de VIH ¿son sucesos independientes?2. Calcula la probabilidad ser sero- si tenemos un valor bajo de T4-T8

Soluciones:1. P(T4-T8 bajo y S+) = 10+22/100 = 0.32.

Si fueran independientes P(T4-T8 bajo y S+) = P(T4-T8 bajo) · P(S+) = 0.4 · 0.38 = 0.152 ≠ 0.32 ↔ sucesos dependientes

2. P(S- / T4-T8 bajo) = P(S- y T4-T8 bajo)/P(T4-T8 bajo)=0.08/0.4=0.2P(S- y T4-T8 bajo)=8/100=0.08;P(T4-T8 bajo)=40/100=0.4

Probabilidad Total

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen: 1. Son incompatibles dos a dos, Ai ∩ Aj = Ø 2. La unión de todos ellos es el suceso seguro,

Ejemplo: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Teorema de la probabilidad totalSea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

Solución: El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) == 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

Ejercicios propuestos:La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para

no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto en esa población?

Solución:A1 = {ser hipertenso}

A2 = {no serlo} estos sucesos constituyen un sistema completo de

sucesos

B = {padecer infarto}

datos: p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25

evidentemente p(A2) = 1-p(A1)=0,75

p(B) = p(B|A1)x p(A1)+ p(B|A2)x p(A2) =

= 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015

Teorema de Bayes Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.

P(D)=0.03: P(NB)=0.97Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. P(HG/D)=0.95P(HG/ND)=0.02¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

P(HG)=P(HG/D)xP(D)+P(HG/ND)xP(ND)=0.95x0.03+0.02x0.97=0.0479

Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

595.00479.0

95.003.0

)(

)/()()/(

HGP

DHGPDPHGDP

Ejemplo:

Ejercicio propuesto:Estudiamos 1000 alumnos en tres facultades de la UAM. En la 1ª hay un neurótico por cada

10 alumnos, en la 2ª 1 por cada 15 y en la 3ª 1 por cada 20. El número de alumnos por facultad es de 200, 300 y 500. Tomamos un individuo al azar y vemos que es neurótico ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la facultad número 3?

Solución:Lo que tenemos que calcular es p(F3/N), por el Teorema de Bayes tenemos

En primer lugar calculamos la probabilidad de pertenecer a cada Facultad:P(F1) = 200/1000=0.2; P(F2)=300/1000=0.3; P(F3)=500/1000=0.5.

En segundo lugar las probabilidades de ser neurótico en cada una de ellas:P(N/F1)=1/10=0.1; P(N/F2)=1/15=0.066; P(N/F3)=1/20=0.05

Podemos calcular por tanto la “Probabilidad Total” de ser neurótico

P(N)=P(F1) · P(N/F1) + P(F2) · P(N/F2) + P(F3) · P(N/F3) == 0.2 · 0.1 +0.3 · 0.066 + 0.5 · 0.05 = 0.064

Por último, utilizando el teorema de Bayes

3906.0064.0

025.0

P(N/F3) · P(F3) P(N/F2) · P(F2) P(N/F1) · P(F1)

)3()3/()/3(

FPFNP

NFP

Ejercicio propuesto:Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo

de 0,05 y falso-negativo de 0,10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0,15 tiene un resultado negativo con la misma. Calcular la probabilidad de que no esté enferma.

Solución:Sea NE = {la mujer no está enferma}, + = {el resultado de la prueba es positivo} y -= {el resultado de la prueba es negativo}. La pregunta pide P(NE|-). Los datos que se dan son p(+|NE)=0,05; p(-|E)=0,10 y p(E)=0,15. Del primero se deduce que p(-|NE)=0,95 y del último p(NE)=0,85, por lo tanto aplicando el teorema de Bayes