¿Sueñan los crackers con ordenadores cuánticos
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¿Cómo funcionan los
ordenadores?
Computación clásica
BITUnidad de información
0
1
)(xfy
procesador
clásico1011 0101
Computación cuántica
QBITUnidad de información
0
1
0 y 1
Bit 0:
Bit 1:
0
1
10 ba
122
ba
Superposición de estados
Esfera de Bloch
x
y
z
|0>
|1>
Ninguna medida revela el
estado original de un qubit
desconocido
No pueden obtenerse a y b
)(xfy
Entrada: )10(2
1
)1()0(10 fbfabaf
La función f se evalúa para
ambos valores a la vez
Salida: superposición de
todas las posibles respuestas
procesador
cuántico
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0100
1111
0010
0011
0001
0101
0110
1101
1000
0111
1010
1011
1100
1001
0000
1110
Paralelismo cuántico
¡2N cálculos a la vez!
La medida obtendrá un
resultado aleatorio
¿Cómo obtener resultados
útiles?
Problema
búsqueda en la guía
telefónica
¿Cuántas búsquedas para
encontrar el nombre a partir
del número?
N/2búsquedas en promedio
¿Puede ayudar la mecánica
cuántica?
grover
0 X
1 R
2 P
3 A
contrario casoen ,0)(
Pa ecorrespond si,1)(
xf
xxf
1)2(f
Superposición de todas las x
posibles
11,10,01,00
)10(2
1)10(
2
1
112
110
2
101
2
100
2
1
1/2 1/2 1/2 1/2
|00> |01> |10> |11>
1/2 1/2
-1/2
1/21/4
1
Inversión sobre
la medial*=m-(l-m)=2m-l
Oráculo si f(x)=1, invierte la fase
100%probabilidad de encontrar la
respuesta correcta
4 qubits
…|0010>…
1/4
1/4
-1/4
7/32
3/16
11/16
47,2%probabilidad de encontrar la
respuesta correcta
3/16
11/16
3/16
-11/16
17/128
5/64
61/64
90,8%probabilidad de encontrar la
respuesta correcta
¿Cuántas iteraciones para
100% de éxito?
4
N
0 200 400 600 800 10000
200
400
600
800
1000
lineal
raiz
Guía telefónica con 1 millón
de nombres
11días con algoritmos clásicos
1.000segundos con algoritmo de
Grover
¿Impacto en criptografía?
Búsqueda exhaustiva de
claves
Amenaza a la criptografía
simétrica
¿Solución?
Claves más largas
¿Qué pasa con la asimétrica?
¿Es seguro RSA?
¿En qué se basa su fortaleza?
Problema de la factorización
¿Factores de 15?
3 x 5
¿Factores de 391?
17 x 23
Último reto RSA768 bits en 6 meses en 80 PCs
12 de diciembre de 2009
¿Cuánto se tarda en hacer
operaciones matemáticas?
Sumar dos números de N bits
Tiempo lineal: O(N)
Multiplicar dos números de N
bits
Tiempo cuadrático: O(N2)
Factorizar un número de N
bits
Tiempo exponencial: O(eN)
0 2 4 6 8 100
200
400
600
800
1000
1200
lineal
pol
exp
No se ha probado que RSA
sea seguro
Problema difícil, pero
¿imposible?
¿Puede acelerarse
cuánticamente?
Shor
Transformada de Fourier
1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, …
periodo = 4
71=7,
72=49,
73=343,
74=2401,
75=16807,
76=117649,
77=823453,
…
mod 15
7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, …
Exponenciación modular
ax mod N
Si la periodicidad q es par se
pueden calcular los factores
de N
gcd(aq/2 + 1, N)
gcd(aq/2 – 1, N)
Ejemplo
a=7, N=15, q=4, ¿factores?
15 = 3 x 5
Los circuitos lógicos
cuánticos son rápidos
buscando periodicidades
QFT
Paso 1
Registro de 2c > N estados
superpuestos
|00…000> + |00…001> + |00…010> +…+ |11…110> + |11…111>
Paso 2
Registro de c qubits a |0>
000000
Paso 3
Elegir un número a < N al azar y
primo con N
ax mod N
|0>|0>+|1>|0>+|2>|0>+|3>|0>+|4>|0>+|5>|0>+|6>|0>+…1er registro
2º registro
N=15
a=7
|0>|1>+|1>|7>+|2>|4>+|3>|13>+|4>|1>+|5>|7>+|6>|4>+…
Medida en 2º registro
|1>|7>+|5>|7>+|9>|7>+|13>|7>+|17>|7>+…
Transformada Fourier
período = 4
Tiempo polinómico
Jaque mate a RSA
¿Solución?
Problema del logaritmo
discreto
ab = c
¿b?
¡Shor también lo resuelve en
tiempo polinómico!
¿Curvas elípticas?
y2 = x3 + ax + b
Modificaciones de Shor
rompen ECC y HECC
¿ha muerto la criptografía de clave pública?
RSA
DH
HECC
Sistemas
basados en
factorización
Sistemas
basados en
LD
Podemos esperar a ver si se
construyen o no ordenadores
cuánticos …
… o entrar ya en la era
post-cuántica
Celosías
Codificación
Hashes
Ecuaciones
cuadráticas
multivariadas
Necesitamos eficiencia,
confianza y usabilidad
Estar preparados para la era
post-cuántica…
¡si llega!
