Suma resta polinomios
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MODULO:SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
BOTONES DE ACCION
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OBJETIVOS
• 1. Simplificar términos semejantes
• 2. Sumar dos o mas polinomios
• 3.Restar un polinomio de otro polinomio
• 4. Efectuar combinaciones de suma y resta de polinomios
• 5. Simplificar el múltiplo de un polinomio
• 6. Efectuar combinaciones de múltiplos de polinomios
PRE-PRUEBA
• 1. Simplifique
• 2. Simplifique
• 3. Simplifique
• 4. Simplifique
• 5. Simplifique
xxxx 5426 +−−
2222 9764 xxxx −−+
yxyxyxyx 2222 685 −+−
yxyxyx 39785 ++−−+
2222 20106 xyyxxyyx +−−
RESPUESTAS
PRE-PRUEBA:RESPUESTAS
• 1. Simplifique • RESPUESTA: • 2. Simplifique• RESPUESTA: • 3. Simplifique
• RESPUESTA: • 4. Simplifique• RESPUESTA: • 5. Simplifique• RESPUESTA:
xxxx 5426 +−−
2222 9764 xxxx −−+
yxyxyxyx 2222 685 −+−
yxyxyx 39785 ++−−+
2222 20106 xyyxxyyx +−−
X5
26X−
YX 28−
YX 2+−
22 914 XYYX −−
PRE-PRUEBA
• 6. Sume
• 7. Sume
• 8. Sume
• 9. Reste
• 10. Reste
)8117()4106( −+++− yxyx
)3124()1079( 22 +−+−+ xxxx
)39()86()395( 22222 yxyyxyxyx ++−+−−
)1410()376( −+−−− yxyx
)6421()3514( 22 +−−+− xxxx
RESPUESTAS
PRE-PRUEBA: RESPUESTAS
• 6. Sume• RESPUESTA: • 7. Sume• RESPUESTA: • 8. Sume
• RESPUESTA: • 9. Reste • RESPUESTA: • 10. Reste• RESPUESTA:
)8117()4106( −+++− yxyx
)3124()1079( 22 +−+−+ xxxx
)39()86()395( 22222 yxyyxyxyx ++−+−−
)1410()376( −+−−− yxyx
)6421()3514( 22 +−−+− xxxx
413 −+YX
7513 2 −− XX
22 811 YX −
2114 −−− YX
37 2 −−− XX
PRE-PRUEBA
• 11. Reste De
• 12. Reste De
• 13. Simplifique
• 14. Simplifique
)976( +− yx)3912( −− yx
)45( 2 xx −)1259( 2 −+ xx
)985()136()743( −−−−+++− yxyxyx
)5610()835()724( 222 −+−+−−+− xxxxxx
RESPUESTAS
PRE-PRUEBA: RESPUESTAS
• 11. Reste • De• RESPUESTA: • 12. Reste• De
• RESPUESTA: • 13. Simplifique• RESPUESTA: • 14. Simplifique • RESPUESTA:
)976( +− yx)3912( −− yx
)45( 2 xx −)1259( 2 −+ xx
)985()136()743( −−−−+++− yxyxyx
)5610()835()724( 222 −+−+−−+− xxxxxx
1226 −− YX
1294 2 −+ XX
1574 ++ YX
4511 2 +−− XX
PRE-PRUEBA
• 15. Simplifique
• 16. Simplifique
• 17. Simplifique
• 18. Simplifique
)16(3)74(6 ++− xx
)16(3)52(4 −−− yy
)586(7)432(5 −+++− yxyx
)263(5)45(3 22 −+−+− xxxx
RESPUESTAS
PRE-PRUEBA: RESPUESTAS
• 15. Simplifique • RESPUESTA: • 16. Simplifique
• RESPUESTA: • 17. Simplifique• RESPUESTA:
• 18. Simplifique • RESPUESTA:
)586(7)432(5 −+++− yxyx
3942 −X
1710 −− Y
154152 −+ YX
224512 2 +−− XX
)16(3)74(6 ++− xx
)16(3)52(4 −−− yy
)263(5)45(3 22 −+−+− xxxx
PRE-PRUEBA
• 19. Simplifique
• 20. Simplifique
)12105(4)953(2)17(6 222 +−++−−−+ xxxxxx
)125(6)543(8)472(3 −−−−+−+− yxyxyx
RESPUESTAS
PRE-PRUEBA: RESPUESTAS
• 19. Simplifique
• RESPUESTA
• 20. Simplifique
• RESPUESTA
)12105(4)953(2)17(6 222 +−++−−−+ xxxxxx
241220 2 ++ XX
)125(6)543(8)472(3 −−−−+−+− yxyxyx
584148 +−− YX
CONTENIDO
• -TERMINOS SEMEJANTES • -SUMA DE POLINOMIOS• -RESTA DE POLINOMIOS• -ACTIVIDAD I• -SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS• -MULTIPLO DE UN POLINOMIO• -SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS• -ACTIVIDAD II
TERMINOS SEMEJANTES
• Un término es un número real, una variable o el producto de un número real y una o más variables que pueden estar elevadas a cualquier exponente.
• Ejemplos de términos son:
13232 6,5,,, zyxyxax −
TERMINOS SEMEJANTES
• El coeficiente de un término corresponde a la parte numérica del mismo.
• Ej: El coeficiente de es 5
• Ej: El coeficiente de es 7
• Ej: El coeficiente de es 1 ya que
• Ej: El coeficiente de es -1 ya que
x5
327 yx
x
y−
xx 1=
yy 1−=−
TERMINOS SEMEJANTES
• Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas variables y los correspondientes exponentes son iguales.
• Ejemplo: Son términos semejantes:
x
x
x
8
4
− xy
xy
xy
2
4
−
−
TERMINOS SEMEJANTES
• Ejemplo:Son términos semejantes:
• No son términos semejantes
yx
yx
yx
2
2
2
5
2
1
− 32
32
32
3
1
ba
ba
ba−
2
2
6
5
xy
yx2
2
9
3
y
x
TERMINOS SEMEJANTES
• Para simplificar dos o mas términos semejantes aplicamos la propiedad distributiva, efectuamos las operaciones entre sus coeficientes numéricos y a este resultado le añadimos las respectivas variables con sus correspondientes exponentes.
• Ejemplo: Simplifique xyxy 54 +
xyxyxyxy 9)54(54 =+=+
TERMINOS SEMEJANTES
• Ejemplo: Simplifique
• Ejemplo: Simplifique
xxx 283 +−xxxxx 3)283(283 −=+−=+−
xxx ++xxxxxxxx 3)111(111 =++=++=++
TERMINOS SEMEJANTES
• Ejemplo: Simplifique
• Ejemplo: Simplifique
222 34 xxx −−
00)314(34 22222 ==−−=−− xxxxx
yxyxyxyx 2222 395 +−−
=+−− yxyxyxyx 2222 395
=+−− yx2)3195( yx22−
TERMINOS SEMEJANTES
• Agrupamos los términos semejantes y luego simplificamos.
• Agrupamos los términos semejantes y luego simplificamos.
• Observe que los dos últimos términos no son semejantes
yx
yyxx
yxyx
eSimplifiqu
35
9683
9863
+−=+−−=+−−
22
22
22
7
125
125
zyxy
zyxyxy
zxyyxy
eSimplifiqu
−+−=−+−=−−+
SUMA DE POLINOMIOS
• Para sumar dos polinomios procedemos de la siguiente manera:– 1. Eliminamos los paréntesis de los dos
polinomios sin cambiar los signos de los términos contenidos en los mismos.
– 2. Agrupamos los términos semejantes.
– 3. Simplificamos los términos semejantes.
SUMA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***539
**834736
*843376
)843()376(
2
22
22
22
−−
=−++−+=−+++−
=−+++−
xx
xxxx
xxxx
xxxx
Sume
SUMA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***2511
**243865
*236485
)236()485(
22
2222
2222
2222
yxyx
yyxyxyxx
yxyxyxyx
yxyxyxyx
Sume
−+=+−−++=+−+−+
=+−+−+
SUMA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***5632
**276375
*267735
)267()735(
3223
332233
323323
323323
yxyyxx
yyxyyxxx
yxyxyyxx
yxyxyyxx
Sume
++−−=−++−−
=−+−+−
=−+−++−
RESTA DE POLINOMIOS
• El inverso aditivo de un polinomio P(x) es el polinomio - P(x) el cual se obtiene cambiando los signos de todos sus términos.
• Ejemplo: El inverso aditivo de P(x) = 8 es
- P(x) = -8
• Ejemplo: El inverso aditivo de P(x) = 5x – 6 es
- P(x) = -5x + 6
RESTA DE POLINOMIOS
• Ejemplo: El inverso aditivo de
es
• Ejemplo: El inverso aditivo de
es
265)( 2 −−= xxxP
265)( 2 ++−=− xxxP
323 94520)( bbaaxP +−=
323 94520)( bbaaxP −+−=−
RESTA DE POLINOMIOS
• La resta entre dos polinomios es equivalente a la suma entre el primer polinomio y el inverso aditivo del segundo polinomio, es decir, si P(x) y Q(x) son dos polinomios cualesquiera, entonces, P(x) - Q(x) = P(x) + ( - Q(x) )
• De acuerdo con la definición anterior, podemos establecer las siguientes reglas:
RESTA DE POLINOMIOS
• Para restar dos polinomios procedemos de la siguiente manera:
• 1. Eliminamos los paréntesis de los dos polinomios escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio.
• 2. Agrupamos los términos semejantes.
• 3. Simplificamos los términos semejantes
RESTA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***52
**1457
*1547
)15()47(
:Re
+=++−=+−+
=−−+
x
xx
xx
xx
ste
RESTA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***9145
**279583
*298753
)298()753(
Re
2
22
22
22
+−−
=++−−−=+−−+−
=−+−+−
xx
xxxx
xxxx
xxxx
ste
RESTA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***6779
**674345
*644735
)644()735(
Re
323
32233
23323
23323
−+−
=−+−−+
=−−++−
=++−−+−
yyxx
yyxyxxx
yxxyyxx
yxxyyxx
ste
RESTA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***4112
**132986
*128396
)128()396(
2
22
22
22
+−−=++−−−=+−−+−
=−+−+−
xx
xxxx
xxxx
xxxx
)396(
)128(
Re
2
2
+−
−+
xx
de
xx
ste
RESTA DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis escribiendo el inverso aditivo del segundo polinomio
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
)23(
)96(
Re
2 −+
−
xx
de
x
ste
***73
**9263
*9623
)96()23(
2
2
2
2
+−=+−−+=+−−+
=−−−+
xx
xxx
xxx
xxx
ACTIVIDAD I
• 1. Simplifique
• 2. Simplifique
• 3. Simplifique
• 4. Simplifique
• 5. Sume
xxxxx 831295 −+−+
yxyxyxyx 2222 7843 −−−
yxyxyx 21081269 −−−+−
232323 2105967 xxxxxx ++−−+
)5612()9108( −−+−+ yxyx
ACTIVIDAD I
• 6. Sume
• 7. Reste
• 8. Reste
• 9. Reste De
• 10. Reste De
)81510()396( 22 +++−− xxxx
)679()4515( 22 +−−−+ xxxx
)296()6510( 2222 yxyxyxyx −+−+−
)956( −+ yx)3710( −− yx
)8516( 2 +− xx
)4718( 2 −− xx
SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***24272
**15181296723
*15127192863
)15127()192()863(
:
2
222
222
222
+−−=+++−−−−+=+−−+−++−
=−+−+−++−
xx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
eSimplifiqu
SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS
• *eliminamos los paréntesis
• **agrupamos los términos semejantes
• ***simplificamos los términos semejantes
***2129
**925837764
*987236574
)987()236()574(
−−−=−++−+−−−=−−−++−+−
=++−−−−+−
yx
yyyxxx
yxyxyx
yxyxyx
eSimplifiqu
MULTIPLO DE UN POLINOMIO
• Supongamos que a, b y c representan números reales cualesquiera, entonces se tiene que: a(b+c) = ab + ac
• Esta igualdad se conoce como propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.
• Ejemplo: 6(5+8)= 6(5) + 6(8)
MULTIPLO DE UN POLINOMIO
• La propiedad distributiva también puede aplicarse a la multiplicación con respecto a la sustracción y puede extenderse a tres o mas números reales dentro del paréntesis.
• Ejemplo: 5(7-9)=5(7)-5(9)
• Ejemplo: 4(7-5+8-2) = 4(7)-4(5)+4(8)-4(2)
MULTIPLO DE UN POLINOMIO
• Definimos el múltiplo de un polinomio como el producto entre un entero positivo y un polinomio.
• Ejemplo de múltiplo de un polinomio:
• Ejemplo de múltiplo de un polinomio:
)128(6 2 +− xx
)296(5 +− yx
MULTIPLO DE UN POLINOMIO
• Para simplificar el múltiplo de un polinomio (eliminar los paréntesis), aplicamos la propiedad distributiva teniendo en cuenta los signos de la multiplicación entre números reales.
*propiedad distributiva
**multiplique**103515
*)2(5)7(5)3(5
)273(5
2
2
2
+−=+−
=+−
xx
xx
xx
eSimplifiqu
MULTIPLO DE UN POLINOMIO
• *propiedad distributiva• **multiplique
• *propiedad distributiva• **multiplique
**83240
*)(8)4(8)5(8
)45(8
:
zyx
zyx
zyx
eSimplifiqu
Ejemplo
+−=+−
=+−
**9126
*)3(3)4(3)2(3
)342(3
:
2
2
2
−+−=−+−
=−+−
aa
aa
aa
eSimplifiqu
Ejemplo
MULTIPLO DE UN POLINOMIO
• En adelante, aplicaremos directamente la propiedad distributiva.
4530)96(5
:
:
−=− xx
eSimplifiqu
Ejemplo
271812)964(3
:
:
22 +−=+− xxxx
eSimplifiqu
Ejemplo
SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS DE POLINOMIOS
• *propiedad distributiva• **agrupe los términos
semejantes
• ***simplifique los términos semejantes
***1336
**2151620
*2161520
)18(2)34(5
+=−++=−++
=−++
x
xx
xx
xx
eSimplifiqu
SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS DE POLINOMIOS
• *propiedad distributiva
• **agrupe los términos semejantes
• ***simplifique los términos semejantes
***176254
**14335274212
*14354232712
)256(7)194(3
:
2
22
22
22
−+
=−−+++=−++−+=−++−+
xx
xxxx
xxxx
xxxx
eSimplifiqu
SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS DE POLINOMIOS
• *propiedad distributiva
• **agrupe los términos semejantes
• ***simplifique los términos semejantes
***784034
**48301624406
*48164030246
)625(8)54(6
:
2
22
22
22
−+−=−−++−=−+−−+
=+−−−+
xx
xxxx
xxxx
xxxx
eSimplifiqu
SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS DE POLINOMIOS
• *propiedad distributiva
• **agrupe los términos semejantes
• ***simplifique los términos semejantes
***425034
**72015321828126
*72820321215186
)14(7)583(4)562(3
:
+−−=+++−−−−=+−+−−+−
=−−−+−+−
yx
yyxxx
xyxyx
xyxyx
eSimplifiqu
SUMAS Y RESTAS DE MULTIPLOS DE POLINOMIOS
• *propiedad distributiva
• **agrupe los términos semejantes
• ***simplifique los términos semejantes
***1030624
*2123661218306
*3630261212186
)65(6)136(2)462(3
:
23
2233
3223
3223
+−−−
=−+−++−−
=−−−+++−
=+−−+++−
xxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
eSimplifiqu
ACTIVIDAD II
• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5.
)3105()9712()747( −−−+−+−+ yxyxyx
eSimplifiqu
)153()275()694( 222 ++−−−−+− xxxxxx
eSimplifiqu
)12107()522()3646( 2323 −+−−+++−+ aaaaaaa
eSimplifiqu
)1085(9 +− yx
eSimplifiqu
)894(3 2 +−− xx
eSimplifiqu
ACTIVIDAD II
• 6.
• 7.
• 8.
• 9.
• 10.
)2510(6)384(9 −+++− yxyx
eSimplifiqu
)61012(8 23 −+− xxx
eSimplifiqu
)373(4)125(6 22 +−−−− xxxx
eSimplifiqu
)8105(9)4123(6)3102(3 222 +−−−+++− xxxxxx
eSimplifiqu
)1310(6)1092(4)1833(6 2323 +−−−−+−+ xxxxxx
eSimplifiqu
POS-PRUEBA
Pos-Prueba
1. Simplifique
xxxx 5426 +−−
xE
xD
xC
xB
xA
6.
5.
5.
3.
3.
−
−
Cont. Pos-Prueba
2. Simplifique 2222 9764 xxxx −−+
2
2
2
2
2
13.
12.
12.
6.
6.
xE
xD
xC
xB
xA
−
−
−
Cont. Pos-Prueba
3. Simplifique yxyxyxyx 2222 685 −+−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
2
2
2
2
2
8.
8.
4.
4.
2.
−
−−
Cont. Pos-Prueba
4. Simplifique yxyxyxyxyx 22222 87569 −++−−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
2
2
2
2
2
19.
19.
11.
11.
8.
−
−
Cont. Pos-Prueba
5. Simplifique
22
22
22
22
22
1126.
914.
914.
914.
914.
xyyxE
xyyxD
xyyxC
xyyxB
xyyxA
++−
+−−
−
2222 20106 xyyxxyyx +−−
Cont. Pos-Prueba
6. Sume )8117()4106( −+++− yxyx
42113.
413.
413.
413.
413.
++++−++−−−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
Cont. Pos-Prueba
7. Sume )3124()1079( 22 +−+−+ xxxx
71913.
7513.
7513.
7513.
7513.
2
2
2
2
2
++++−−−++−
xxE
xxD
xxC
xxB
xxA
Cont. Pos-Prueba
8. Sume )39()86()395( 22222 yxyyxyxyx ++−+−−
22
22
22
22
22
811.
811.
811.
811.
811.
yxyxE
yxyxD
yxyxC
yxB
yxA
++
−−−+
+
−
Cont. Pos-Prueba
9. Reste )1410()376( −+−−− yxyx
2114.
2114.
2114.
2114.
2114.
++−−
++−−+−−−−
yxD
yxD
yxC
yxB
yxA
Cont. Pos-Prueba
10. Reste )6421()3514( 22 +−−+− xxxx
37.
37.
37.
37.
37.
2
2
2
2
2
++−−
−−−−+−+−−
xxE
xxD
xxC
xxB
xxA
Cont. Pos-Prueba
11. Reste
de
)976( +− yx
)3912( −− yx
1226.
1226.
1226.
1226.
1226.
+−−+
++−−−
−−−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
Cont. Pos-Prueba
12. Reste
de
)45( 2 xx −)1259( 2 −+ xx
1294.
1294.
1294.
124.
124.
2
2
2
2
2
−++−−−
+−++
xxE
xxD
xxC
xxB
xxA
Cont. Pos-Prueba
13. Simplifique )985()136()743( −−−−+++− yxyxyx
1574.
374.
374.
1594.
1594.
++−++−++−−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
Cont. Pos-Prueba
14. Simplifique )5610()835()724( 222 −+−+−−+− xxxxxx
6711.
6711.
4511.
4511.
4511.
2
2
2
2
2
+++−
−+−+−−−−−
xxE
xxD
xxC
xxB
xxA
Cont. Pos-Prueba
15. Simplifique )16(3)74(6 ++− xx
4542.
3942.
3942.
4540.
3940.
−−+++
xE
xD
xC
xB
xA
Cont. Pos-Prueba
16. Simplifique )16(3)52(4 −−− yy
2310.
1710.
1710.
1710.
1710.
−+−
+−−−
yE
yD
yC
yB
yA
Cont. Pos-Prueba
17. Simplifique )586(7)432(5 −+++− yxyx
557152.
354152.
154152.
154152.
154152.
++++−++−−−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
Cont. Pos-Prueba
18. Simplifique )263(5)45(3 22 −+−+− xxxx
224512.
224512.
224512.
224512.
224512.
2
2
2
2
2
+++−
+−−−+−−−−
xxE
xxD
xxC
xxB
xxA
Cont. Pos-Prueba
19. Simplifique
)12105(4)953(2)17(6 222 +−++−−−+ xxxxxx
241221.
241221.
241220.
241220.
241220.
2
2
2
2
2
++−++++−−−
xxE
xxD
xxC
xxB
xxA
Cont. Pos-Prueba
20. Simplifique
)125(6)543(8)472(3 −−−−+−+− yxyxyx
584148.
584148.
584148.
584148.
584148.
+++−
−+−+−−−−−
yxE
yxD
yxC
yxB
yxA
Respuestas Pos-Prueba