sumatoria-090909123917-phpapp01
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA SUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comúnmente se usa esta notación para escribir las sumas con muchos términos. Ejemplo: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + . . . . + 100 2 = ∑ = 100 1 2 i i y a1 + a 2 + a3 + a 4 +. . . . + an = ∑ = n i i a 1 El símbolo uti lizado para el índice no importa. Así: todos corresponden a a1 + a 2 + a3 + a 4 +. . . .+ an. Por esta razón, con frecuencia el índice se le llama índice mudo. Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corresponde a todos los enteros pos iti vos , iniciando con el entero que apar ece debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado arriba de ∑. PROPIEDADES DE ∑. 1. Si todas las ci en la sumatoria tienen el mismo valor, digamos c, entonces c n c n i i . 1 = ∑ = 2. ∑ es considerado como un operador, ∑ opera sobre suc esione s, y lo hace de una manera lineal. FORMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALES Hay fórmulas útiles cuando se necesita sumar los primeros n enteros positivos, así como las sumas de cuadrados, cubos, entre otros. ∑ = + = n i n n i 1 2 ) 1 ( ∑ = + + = n i n n n i 1 2 6 ) 1 2 )( 1 ( 2 1 3 2 ) 1 ( ∑ = + = n i n n i ∑ = − + + + = n i n n n n n i 1 2 3 4 30 ) 1 9 6 )( 1 ( ACTIVIDAD 1. Demuestre el teorema de linealidad. 2. Ex is ten otras formas de escribir la siguiente expresión? ¿cuáles? 3. Es cr iba la suma que se in dica en la notaci ón sigma 4. Encuentr e los valores para la su ma ind icada: 5. Encont rar una fórmula para la suma de n términos. Con esa fórmula calcular el limite cuando n tiende a infinito: a. ∑ = n i n i 1 2 16 b ∑ = n i n n i 1 2 2 c. ∑ = + n i n n i 1 2 1 6. Dado por con ocido el val or de ∑ = n i i 1 y utiliz ando las propiedades de la sumator ia, encontrar: a. La suma de l os primeros n i mpar es. b. 2 + 8 + 14 + . . . + (6n -4) c. La suma de los n primer os números de la sucesión 3, 8, 13, . . . INVESTIGUE: ¿Como se determina si una función es positiva? SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II
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8/4/2019 sumatoria-090909123917-phpapp01
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UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA
SUMAS Y NOTACIONES SIGMA
Comúnmente se usa esta notación para escribir lassumas con muchos términos. Ejemplo:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 =
∑=
100
1
2
i
i y
a1 + a 2 + a3 + a 4 +. . . .+ an = ∑=
n
i
ia
1
El símbolo utilizado para el índice no importa. Así:
todos
corresponden a a1 + a 2 + a3 + a 4 +. . . .+ an. Por esta razón, con frecuencia el índice se le llamaíndice mudo.
Donde ∑ (sigma mayúscula griega), correspondea la S de nuestro alfabeto, indica que se estánsumando todos los números de la forma indicadacuando el índice i corresponde a todos los enterospositivos, iniciando con el entero que aparecedebajo de ∑ y finalizando con el entero ubicadoarriba de ∑.PROPIEDADES DE ∑.
1. Si todas las ci en la sumatoria tienen el mismo
valor, digamos c, entonces cnc
n
i
i .
1
=∑=
2. ∑ es considerado como un operador, ∑ operasobre sucesiones, y lo hace de una maneralineal.
FORMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALESHay fórmulas útiles cuando se necesita sumar losprimeros n enteros positivos, así como las sumas decuadrados, cubos, entre otros.
∑=
+=
n
i
nni
12
)1(∑
=
++=
n
i
nnni
1
2
6
)12)(1(
2
1
3
2
)1(∑
=
+
=n
i
nni ∑
=
−+++=
n
i
nnnnni
1
23
4
30
)196)(1(
ACTIVIDAD1. Demuestre el teorema de linealidad.2. Existen otras formas de escribir la siguiente
expresión? ¿cuáles?
3. Escriba la suma que se indica en la notaciónsigma
4. Encuentre los valores para la suma indicada:
5. Encontrar una fórmula para la suma de ntérminos. Con esa fórmula calcular el limitecuando n tiende a infinito:
a.∑=
n
in
i
1
2
16b∑
=
n
inn
i
1
22c. ∑
=
+
n
inn
i
1
21
6. Dado por conocido el valor de ∑=
n
i
i1
y
utilizando las propiedades de la sumatoria,encontrar:
a. La suma de los primeros n impares.b. 2 + 8 + 14 + . . . + (6n -4)c. La suma de los n primeros números de la
sucesión 3, 8, 13, . . .
INVESTIGUE: ¿Como se determina si unafunción es positiva?
SONIA MARITZA MENDOZA
MATEMATICAS II
