Universidad de Guadalajara

CUCEI

Superficie de un lıquido en rotacion

Kevin Stringlo PridaDaisy Zepeda Garcıa

11 de marzo de 2010

Indice

3. Superficie de un Lıquido en Rotacion 23.1. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3. Protocolo y dispositivos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.4. Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.5. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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3. Superficie de un Lıquido en Rotacion3.1. Marco teorico

Cuando un recipiente cilındrico que contiene un lıquido se pone en rotacion alrededor de su eje, lasuperficie del lıquido adquiere la forma de un paraboloide.

Desde el punto de vista del observador en rotacion, una partıcula de masa dm en la superficie deun lıquido en rotacion esta sometida a tres fuerzas:

el peso de la partıcula dW

la fuerza centrıfuga dFc

la fuerza dR que ejercen las otras partıculas de fluido sobre la partıcula considerada

En la Figura 1 se muestran las fuerzas mencionadas anteriormente. Desde el punto de vista del obser-

Figura 1: Ilustracion que muestra las fuerzas que interactuan sobre una partıcula en la superficie derotacion

vador no inercial, la partıcula esta en equilibrio, de modo que la resultante de las fuerzas que actuansobre la partıcula debe ser cero.

dR+ dW + dFc = 0

La forma de la superficie del lıquido en equilibrio sera tal que R es perpendicular a la tangente a lacurva en cada punto x. Como se ve en la Figura 1. Tambien se tiene que dFc = mΩx2 donde Ω es lavelocidad de rotacion en rad/s y dW = mg.

tan � =dy

dx=

Ω2x

g

La integracion de la ecuacion anterior llega finalmente a

y =1

2

mΩ2

gx2 + C

Donde esta ecuacion describe la forma del paraboloide y C es una constante de integracion.

En esta practica, no mediremos directamente esta forma, se medira la variacion de la distancia Hentre los puntos mas altos en las orillas del recipiente rotatorio y el punto mas bajo de la parabola enel centro del tanque, en funcion de Ω.De manera que si el recipiente tiene un radio R, la distancia H se escribe como:

H =1

2

mΩ2

gR2

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Figura 2: Esquema del tanque donde se mide el desnivel H ′ y no el valor teorico H

3.2. Objetivos

Determinar la forma de una superficie libre de un fluido en rotacion.

Caracterizar la influencia de la velocidad de rotacion sobre el desnivel de agua en un tanque enrotacion.

3.3. Protocolo y dispositivos experimentales

Los materiales utilizados en esta practica son:

Motor

Regulador de voltaje

Sensor de rotacion PASCO

Interfase PASCO

Soporte universal (2)

Tanque paralelepipedico

Agua

Vernier

Acomodar los materiales como se muestra en la Figura 3. Tener especial cuidado en la horizontali-dad del soporte del tanque y ortogonalidad con el eje de rotacion; se pueden utilizar un nivel de manopara auxiliarse. Si el fondo del tanque no es perpendicular al eje de rotacion, algunas ondas podranestar excitadas en la superficie del lıquido impidiendo la realizacion de una buena practica.

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Figura 3: Foto del acomodo de los materiales utilizados en la practica.

Es recomendable graduar la orilla del tanque ası como el centro de su lado mayor (en donde apare-cera la parte mas baja del paraboloıde) para poder realizar las lecturas cuando el tanque esta girando.La Figura 4 muestra una foto del lıquido en rotacion. Otra forma de medir es introducir un popotecuando el tanque esta girando y el agua debe de estar coloreada de tal manera que logre tenir el popote.Esperar a que el tanque gire a una tasa de rotacion Ω medirla con el sensor de rotacion y medir ladiferencia de la altura H ′ entre su punto mas bajo y su punto mas alto (Figura 2).Hacer esto para6 diferentes valores de Ω. Tomar las medidas de los radios de los sensores y motores para calcular lavelocidad real a la cual gira el tanque.

Figura 4: Foto del la superficie del lıquido al momento del giro.

3.4. Mediciones

Se obtuvieron las siguientes mediciones de los radios de los diferentes objetos utilizados en elexperimento: Tambien se obtuvieron los siguientes datos

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Objeto r (mm) Δr (mm)rS 14.510 0.084rMC 12.143 0.154rMG 24.913 0.059rT 15.153 0.012

Cuadro 1: Tabla que muestra los diferentes mediciones de los radios donde rS es el radio de la poleadel sensor; rMC es el radio de la polea chica del motor, rMG es el radio de la polea grande del motory rT el radio de la polea del tanque. Δr es la incertidumbre asociada a la medicion.

Medicion ΩS (rad/s) ΔΩS (rad/s) H ′ (mm)1 3.419 0.164 131.52 2.711 0.155 80.53 2.516 0.175 70.54 1.771 0.137 275 3.601 0.496 1556 3.296 0.440 109.5

Cuadro 2: ΩS es la velocidad angular leıda del sensor, ΔΩS la incertidumbre asociada y H ′ es ladistancia entre el punto maximo y mınimo de la parabola formada por el agua.

3.5. Analisis

Para hacer la medicion del paraboloide es necesario conocer la tasa de rotacion ΩT (la velocidadangular del tanque) para esto es necesario considerar lo siguiente: Como se muestra en la Figura 5,

Figura 5: Esquema de las poleas conectadas entre sı por dos bandas donde: ΩT es la velocidad angulardel tanque; rT es el radio del eje de rotacion del tanque; ΩM es la velocidad angular del motor; ΩS esla velocidad angular leıda por el sensor de rotacion.

todas las poleas recorren la misma distancia por lo cual se puede obtener lo siguiente:

rsΩS = ΩMrMC

rMGΩM = ΩT rT

donde despejando para ΩT se obtiene

ΩT =rsrMC

rMG

rTΩS

de esta manera podemos calcular la velocidad angular de nuestro tanque.Haciendo estos calculos del Cuadro 2 se obtiene : Del cuadro anterior se grafico la distancia H ′ enfuncion de Ω2

T como se observa en la Figura 6. Se observa que a la grafica de la Figura 6 se le hace pasarun ajuste lineal, de este ajuste se observa que la peendiente es de 3.145mm s2/rad2 que comparandolo

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Medicion ΩT (rad/s) Ω2T (rad/s) H ′ (mm)

1 6.716 45.103 131.52 5.326 28.362 80.53 4.942 24.427 70.54 3.480 12.108 275 7.075 50.050 1556 6.475 41.923 109.5

Cuadro 3: ΩT es la velocidad angular del tanque;Ω2T es el cuadrado de la velocidad angular del tanque

y H ′ es la distancia entre el punto maximo y mınimo de la parabola formada por el agua.

Figura 6: Grafica que muestra el comportamiento experimenta de H ′ en funcion de Ω2T

con el valor teorico de 2,984mm s2/rad2 teniendo un error relativo del 5.39 % entre el valor teoricoy el experimental. De manera que la diferencia de la altura medida como H ′ y el valor H no es muysignificativa.

3.6. Conclusion

En esta practica se logro caracterizar la influencia de la velocidad de rotacion sobre el desnivel deagua en un tanque en rotacion. La cual tiene la forma de un parabolide. Debido a que no se midiodirectamente la altura del paraboloide, pero se midio H ′ que es una proyeccion muy cercana; ademas seobserva que la diferencia entre el valor teorico y el experimental es del 5.39 %, lo cual se debe a variosfactores. En esta practica se nivelo el tanque de manera tal que la horizontalidad del soporte del tanquey ortogonalidad con el eje de rotacion fuera los mas optima pisible, pero debido a que nuestro soporteuniversal solo tenıa dos tornillos para nivelarlo, no se logro hacer de manera totalmente satisfactoria.Si se desea repetir la practica se recomienda invertir el tiempo suficiente en este punto.

Referencias

[1] M. C. Potter, D. C, Wiggeri, M. Hondzo and T. I. P. Shih. Mecanica de Fluidos. 3a Ed. CengageLearning Editores, 2002.

[2] Pijush K. Kundu & Ira M. Cohen. Fluid Mechanics, 2nd Ed. Academic Press,2002

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[3] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/circular2/fluido.htm

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