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DEF. Una superficie , S, es un subconjunto de R3 imagen de

una aplicación:

~x : U ⊂ R2 → S ∈ R

3

(u, v) 7→ ~x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

~x se llama parametrización o carta .

Se dice que una superficie S es continuamentediferenciable si x , y , z ∈ C1(U).

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Condición de regularidad

Los puntos de S para los que se cumple que∂~x∂u

× ∂~x∂v

6= ~0

se llaman puntos regulares .

Esta condición significa que los vectores∂~x∂u

y∂~x∂v

no se

anulan en ese punto y tienen direcciones distintas

Llamaremos punto singular a aquel en el que∂~x∂u

× ∂~x∂v

= ~0

Se dice que S es una superficie regular si todos suspuntos son regulares

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Curvas paramétricas

Si tomamos u = u0 tenemos ~x(u0, v) = ~α(v).Esta curva se denomina curva v-paramétrica .

Si tomamos v = v0 tenemos ~x(u, v0) = ~α(u).Esta curva se denomina curva u-paramétrica .

(u, v) se llaman coordenadas curvilíneas

Interpretación geométrica de la condición de regularidadEn cada punto regular la curva u-paramétrica y la curvav-paramétrica no son tangentes (el ángulo entre ellas no escero).

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Casos particulares de superficies regulares

Si f : U ⊂ R2 → R es una función diferenciable, entonces

el grafo de f ={

(u, v , f (u, v)) ∈ R3, (u, v) ∈ U

}

es unasuperficie regular.

Si f : R3 → R es una función diferenciable y a ∈ f (U) es unvalor regular de f , entonces

f−1(a) ={

(x , y , z) ∈ R3/f (x , y , z) = a

}

es una superficie regular.a es un valor regular de f : R3 → R si para todo

~p = f−1(a),∂f∂x

(~p),∂f∂y

(~p) y∂f∂z

(~p) no se anulan a la vez

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Cambio de parámetros

Sea S una superficie parametrizada por

~x : U ⊂ R2 → S

(u, v) 7→ ~x(u, v)

Si tenemos otra aplicación

~y : U ⊂ R2 → S

(u, v) 7→ ~y(u, v)

decimos que se trata de un cambio admisible de parámetrossi

∣

∣

∣

∣

∂(u, v)∂(u, v)

∣

∣

∣

∣

6= 0

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Plano Tangente

Sea P = ~x(u0, v0) un punto regular de la superficie S yconsideremos una curva ~α(t) = ~x(u(t), v(t)) contenida en Spasando por P = ~α(t0).

El vector tangente a ~α(t) viene dado por:

~α′(t) =d~x(u(t), v(t))

dt=

∂~x∂u

dudt

+∂~x∂v

dvdt

= ~xuu′ + ~xvv ′

Todos los vectores tangentes a la superficie S en un puntoregular están contenidos en un plano con vectores directores~xu y ~xv . Este plano se llama plano tangente a S en P.

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Ecuación del Plano Tangente. Vector Normal

Todos los vectores tangentes a la superficie S en un puntoregular están contenidos en un plano con vectores directores~xu y ~xv . Este plano se llama plano tangente a S en P.

Ecuación: (x , y , z) = ~p + λ~xu + ν~xv

El vector normal a S en ~p = ~x(u0, v0) viene dado por

~N =~xu(u0, v0)× ~xv (u0, v0)

‖~xu(u0, v0)× ~xv (u0, v0)‖

La ecuación del plano tangente también se puede obtener:

((x , y , z) − ~p) · (~xu × ~xv )(u0, v0) = 0

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Primera Forma Fundamental

DEF. Se llama Primera Forma Fundamental de la superficieregular S en P ∈ S a la forma cuadrática

IP : TP(S) → R

~w 7→ IP(~w) = ~w · ~w = ‖~w‖2

Si ~w = ~α′(t) = u′(t)~xu + v ′(t)~xv ,

IP(~w) = (u′)2E + 2u′v ′F + (v ′)2G

siendo E = ~xu · ~xu, F = ~xu · ~xv y G = ~xv · ~xv los coeficientes de

la 1a Forma Fundamental:(

E FF G

)

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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental

Longitud de un arco de curva: ~α(t) = ~x(u(t), v(t))

s(t) =

∫ t

t0

‖~α′(t)‖dt =∫ t

t0

√

I(~α′(t))dt

=

∫ t

t0

√

(u′)2E + 2u′v ′F + (v ′)2Gdt

Elemento de longitud de arco: ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2

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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental (II)

Ángulo que forman 2 curvas sobre una superficieEl ángulo que forman ~α y ~β al cortarse en el puntoP = ~α(t0) = ~β(t1) es el ángulo que forman los vectorestangentes:

~α′(t0) = du~xu + dv~xv , ~β′(t1) = δu~xu + δv~xv

cos θ =~α′(t0) · ~β′(t1)

‖~α′(t0)‖‖~β′(t1)‖

=duδuE + (duδv + dvδu)F + dvδvG√

du2E + 2dudvF + dv2G√δu2E + 2δuδvF + δv2G

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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental (III)

Ángulo que forman 2 curvas sobre una superficieSi ~α y ~β son curvas u y v paramétricas (respectivamente),entonces:

~α′ = ~xu, ~β′ = ~xv

y por ello

cos θ =~xu · ~xv

‖~xu‖‖~xv‖=

F√E√

G

Las curvas paramétricas son ortogonales si F = 0

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Aplicaciones de la 1a Forma Fundamental (IV)

Área de una región acotada en una superficieSea R una región acotada contenida en una superficie Sparametrizada por ~x : U ⊂ R

2 → S tal que R = ~x(Q) conQ ⊂ U.El área de R viene dada por:

Área(R) =

∫ ∫

Q‖~xu × ~xv‖dudv =

∫ ∫

Q

√

EG − F 2dudv

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Orientación

DEF. Una superficie orientada es una superficie de dos carasen la que se ha fijado una de las caras como lado positivo y laotra cara como lado negativo.

Para indicar la orientación de S asignaremos a cada punto unvector normal unitario que apunte hacia el lado positivo.

Si S está parametrizada por ~x : U ⊂ R2 → S sabemos que en

cada punto podemos obtener:

~N =~xu × ~xv

‖~xu × ~xv‖

No todas las superficies admiten un campo de vectores de estetipo (no tienen dos caras)

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Orientación (II)

DEF. Sean ~x e ~y dos parametrizaciones de S. Se dice que

definen la misma orientación cuando∣

∣

∣

∣

∂(u, v)∂(u, v)

∣

∣

∣

∣

> 0

definen orientaciones opuestas si

∣

∣

∣

∣

∂(u, v)∂(u, v)

∣

∣

∣

∣

< 0

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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (I)

Sea ~α una c.p.d.r. contenida en S pasando porP = ~α(s0) = ~x(u0, v0) ∈ S y su vector curvatura en ese punto:

~k(s0) = ~t(s0) = k(s0)~n(s0)

Este vector lo podemos descomponer en 2:

el vector proyección de ~k(s0) en la dirección de ~N.Vector Curvatura Normal : ~Kn = (k~n · ~N)~NCurvatura Normal de S en la dirección de ~α:Kn = k~n · ~N = k cos θsiendo θ el ángulo que forman los vectores ~n(s0) y ~N(u0, v0)Kn es la longitud de la proyección del vector curvatura~k = k~n sobre la normal a S en ~pEl signo de Kn viene dado por la orientación de S.

un vector contenido en el plano tangente a S.Vector Curvatura Tangencial o Geodésica : ~Kg = ~k − ~Kn

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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (II)

Para calcular Kn tenemos en cuenta lo siguiente:

~N ·~t = 0 ⇒ d ~Nds

·~t + ~N ·~t = 0 ⇒ ~N ·~t = −d ~Nds

·~t

Escribimos los vectores:

d ~Nds

=∂~N∂u

u′ +∂~N∂v

v ′

~t =~α′(t)

‖~α′(t)‖ =~xuu′ + ~xv v ′

IP(~α′(t))

y

sustituimos:

Kn =−1

IP(~α′(t))

(

~Nuu′ + ~Nvv ′

)

·(

~xuu′ + ~xvv ′)

= −(u′)2~Nu · ~xu + u′v ′(~Nv · ~xu + ~Nu · ~xv ) + (v ′)2~Nv · ~xv

IP(~α′(t))

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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (III)

Denotando por:

e = −~Nu · ~xu, f = −~Nu · ~xv = −~Nv · ~xu , g = −~Nv · ~xv

llegamos a:

Kn =(u′)2e + 2u′v ′f + (v ′)2g

IP(~α′(t))

Ahora definimos:DEF. La Segunda Forma Fundamental de la superficieregular S en P ∈ S es la forma cuadrática

IIP : TP(S) → TP(S)

~w 7→ IIP(~w) = −(d ~N)(~w) · ~w = (u′)2e + 2u′v ′f + (v ′)2g

siendo ~w = ~xuu′ + ~xvv ′

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2a Forma Fundamental. Curvatura normal (IV)

Interpretación de la 2a Forma Fundamental

IIP(~t(s0)) = −(d ~N)(~t(s0)) ·~t(s0) = ~N(~t(s0)) · k(s0)~n(s0) = Kn

La 2a Forma Fundamental aplicada sobre un vectorunitario ~w ∈ TP(S) nos da la curvatura normal de unac.p.d.r. que pasa por P con vector tangente~t = ~w (en P)

Para un vector cualquiera ~w ∈ TP(S),

Kn =IIPIP

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2a Forma Fundamental. Cálculo de coeficientes

Vamos a ver otra forma de calcular de calcular

e = −~Nu · ~xu, f = −~Nu · ~xv = −~Nv · ~xu , g = −~Nv · ~xv

Dado que ~N =~xu × ~xv

‖~xu × ~xv‖, se cumple que ~N · ~xu = ~N · ~xv = 0

Derivamos esas igualdades respecto a u y a v :

~Nu · ~xu + ~N · ~xuu = 0 ⇒ e = ~N · ~xuu

~Nv · ~xu + ~N · ~xuv = 0 (1)~Nu · ~xv + ~N · ~xvu = 0 (2)~Nv · ~xv + ~N · ~xvv = 0 ⇒ g = ~N · ~xvv

De (1)-(2) se deduce que: −~Nu · ~xv = ~N · ~xuv = −~Nv · ~xu

y además que f = ~N · ~xuv

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Teorema de Meusnier

Todas las curvas contenidas en S que tienen en P ∈ S lamisma tangente, tienen en ese punto la misma curvaturanormal.

Esto nos permite hablar de curvatura normal a lo largo de unadirección en P.

DEF. Dado ~w ∈ TP(S), se llama sección normal de S en P enla dirección de ~w a la intersección de S con el plano quecontiene a ~w y a ~N(P).

Para una sección normal: |Kn| = k

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Direcciones y Curvas asintóticas

DEF. Se llama dirección asintótica de S en P a una direcciónde TP(S) tal que la curvatura normal es 0.

Por tanto las direcciones asintóticas vienen dadas por:

(u′)2e + 2u′v ′f + (v ′)2g = 0

DEF.Una curva o línea asintótica es una curva regular tal queen todo punto su vector tangente es una dirección asintótica.

Su ecuación diferencial es: edu2 + 2fdudv + gdv2 = 0

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Curvaturas principales

DEF. Se denominan curvaturas principales en P a los valoresmáximo (Kn1) y mínimo (Kn2) de la curvatura normal.Se pueden obtener resolviendo la ecuación

(EG − F 2)K 2n + (2Ff − Eg − Ge)Kn + eg − f 2 = 0

Las direcciones en las que la curvatura toma valores extremosse llaman direcciones principales en P.

Para calcularlas se debe resolver:(Ef − Fe)du2 + (Eg − Ge)dudv + (Fg − Gf )dv2 = 0

DEF. Si una curva ~α contenida en S es tal que su vectortangente en todos sus puntos es una dirección principal, sedice que ~α es una línea de curvatura de S.

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Curvatura total y media

DEF. Curvatura total : K = Kn1Kn2 =eg − f 2

EG − F 2

DEF. Curvatura media : H =12(Kn1 + Kn2) =

Eg + Ge − 2Ff2(EG − F 2)

DEF. Se dice que S es una superficie mínima si sus curvasasintóticas son ortogonales o (equivalentemente) si H = 0.

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Clasificación de los puntos de una superficie

Elíptico : K > 0

Hiperbólico : K < 0

Parabólico : K = 0

Plano : K = 0

Umbílico : Kn es constante, por tanto Kn1 = Kn2

Teorema Si todos los puntos de una superficie S son puntosumbílicos, entonces S está contenida en una esfera o en unplano.