SUPERVISIÓN DE PROCESOS, DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE …
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SUPERVISIÓN DE PROCESOS, DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS
Combinación de métodos analíticos y basados en el conocimiento.
ANDRES ESCOBAR DIAZ 200229030
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA
SANTAFE DE BOGOTA, DC.
AGOSTO DE 2005
SUPERVISIÓN DE PROCESOS, DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS
Combinación de métodos analíticos y basados en el conocimiento.
PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE MAGÍSTER EN
INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y DE COMPUTADORES
ANDRES ESCOBAR DIAZ 200229030
Director: ALAIN GAUTHIER
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA
SANTAFE DE BOGOTA, DC.
AGOSTO DE 2005
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCION.........................................................................................................................4
OBJETIVOS ..................................................................................................................................6
GENERAL ....................................................................................................................................6
ESPECIFICOS..............................................................................................................................6
1. MODELOS DISCRETOS CON ESTRUCTURA LINEAL..................................................7
1.1 RESUMEN DE IDENTIFICACIO N LINEAL DE SISTEMAS................................................7
1.2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS MO DELOS LINEALES DISCRETO S.........................9
1.5 APLICACIONES DE UN MO DELO .....................................................................................16 1.5.1 SIMULACION.......................................................................................................................16 1.5.2 PREDICCION.......................................................................................................................18
1.5 MODELO S MAS UTILIZADO S...........................................................................................19 1.5.1 ARX......................................................................................................................................19 1.5.2 ARMAX................................................................................................................................21 1.5.3 OE........................................................................................................................................22 1.5.4 COMENTARIOS SOBRE LOS DEMAS MODELOS.................................................................23
2 ESTIMACION DE PARAMETROS EN TIEMPO REAL ..................................................24
2.1 ELEMENTO S PRINCIPALES EN UN SISTEMA DE IDENTIFICACIO N..........................24
2.2 MINIMOS CUADRADOS (LS) Y MO DELO S DE REGRESION. ........................................25 3.2.1 ESTIMACION MINIMOS CUADRADOS ................................................................................27 2.2.2 INTERPRETACION ESTADISTICA.......................................................................................30
2.2.2.1 Propiedades estadísticas de la estimación de mininos cuadrados. ............................................ 31 2.2.3 CALCULOS RECURSIVOS....................................................................................................32
2.2.3.1 Teorema. Matriz de inversión........................................................................................... 33 2.2.3.2 Estimación de mínimos cuadrados recursiva (RLS).............................................................. 34 2.2.3.3 Condiciones iniciales para P(t) y para θ(t)........................................................................... 35
2.2.4 PARAMETROS VARIANTES EN EL TIEMPO........................................................................36 2.2.4.1 Mininos cuadrados recursivos con olvido exponencial........................................................... 37
2.3 ESIMACION DE PARAMETROS EN SISTEMAS DINAMICOS........................................37 2.3.1 MODELO DE RESPUESA FINITA AL IMPULSO (FIR)...........................................................37 2.3.2 MODELOS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA...............................................................39 2.3.3 MODELOS ESTOCASTICOS.................................................................................................41 2.3.4 GENERALIZACION..............................................................................................................42
2.4 SIMULACIO N DE ES TIMACIO N RECURSIVA.................................................................43
3. NIVELES DE CONTROL......................................................................................................64
4. DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS ................................................................65
4.1. GENERACIÓ N ANALÍTICA DE RESIDUO S....................................................................65
4.2 GENERACIÓ N HEURÍSTICA DE RESIDUOS...................................................................65
4.3. DIAGNOSTICO DE FALLAS ............................................................................................ 66
4.4. MÉTO DOS DE DETECCIO N DE FALLAS BASADOS EN MO DELO S............................ 66
4.5. MO DELAMIENTO DE FALLAS.........................................................................................67
4.6. DETECCIÓ N DE FALLAS CO N ESTIMACIÓ N DE PARÁMETRO S ............................. 68
4.6.1. GENERACIÓ N DE RESIDUOS ........................................................................................68
4.7. MÉTO DO DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS ..................................................................... 69
5. DESARRO LLO DE LA APLICACIÓN ...............................................................................75
5.1 PROCESO ............................................................................................................................ 75
5.2 INSTRUMENTACIÓ N......................................................................................................... 76
5.3 CONTRO L........................................................................................................................... 78
5.4 GENERACIO N DE RESUDUOS Y CO MPO RTAMIENTO CO N FALLAS........................ 79
5.5 DIAGNOSTICO DE FALLAS .............................................................................................. 80
CONCLUSIONES .......................................................................................................................85
ANEXO C.....................................................................................................................................88
C.1 NO TACION..........................................................................................................................88
C.2 ABREVIATURAS.................................................................................................................88
BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................90
SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Resumen de los métodos de identificación de sistemas lineales.....................................7
Figura. 1.2. Modelo lineal general. (a) definición de las funciones de transferencia. (b) Definición
de los polinomios de las funciones de transferencia. (c) y (b) Diferenciación de.las dinámicas
estocástica y determinística......................................................................................................10
Figura. 1.5 Un modelo de serie de tiempo general lineal. La entrada del modelo )(kv es una señal
de ruido blanco.........................................................................................................................11
Figura. 1.6. Modelo determinístico general lineal. La entrada del modelo )(ku es una señal
determinística. No hay influencia estocástica. .........................................................................11
Figura. 1.7. Resumen de los modelos de series de tiempo. Autoregressive (auto regresivo) AR,
Moving average (promedio móvil) MA, y autoregressive moving average (promedio móvil
y autoregresivo) ARMA...........................................................................................................11
Figura. 1.8. Resumen de los modelos dinámicos lineales comunes. (a) ARX (b) ARMAX (c)
ARARX (d) OE (e) BJ (f) FIR.................................................................................................13
Figura. 1.9. Clasificación de los modelos lineales según: (a) su respuesta al impulso. (b) tipo de
error (c) si tiene entradas. (d) las propiedades de ruido. Dinámica igual se refiere a que los
denominadores de la parte determinística y estocástica son iguales........................................17
Figura. 1.10. Concepto de simulación ............................................................................................18
Figura. 1.11. Concepto de predicción.............................................................................................19
Figura 2.1. Los círculos en azul representan datos medidos. Los resultados de la estimación, rojo
para parábola, negro para recta. (a) Datos contaminados con ruido con desviación estándar
0.05.(b) con desviación estándar 0.3........................................................................................29
Figura 2.2 Diagrama de bloques de un estimador paramétrico recursivo para un modelo FIR. ....38
Figura. 2.3 Diagrama de bloques del estimador de mínimos cuadrados basado en el modelo error
de salida (OE)...........................................................................................................................41
Figura 2.5. La línea roja es la salida el proceso real, la azul es la salida contaminada con ruido,
media 0 y desviación estándar 0.001. La línea negra es la salida predicha en cada instante de
SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS
muestreo. (a) Salida del sistema ante un impulso. (b) Salida del sistema ante un paso.(c)
amplicion de la Fig 3.5(b) alrededor del tiempo 29.................................................................45
Figura 2.6 Evolución parámetros en el tiempo. Las líneas negras horizontales corresponden a los
parámetros reales. el parámetro a corresponde es rojo y b corresponde a azul.(a) parámetros
estimados , entrada impulso.(b) parámetros estimados, entrada escalón.................................46
Figura 2.7. Velocidad de convergencia de los parámetros dependiendo la condición inicial de
P..(a) P=1, (b) P=10, (c)P=50, (d)P = 1000.............................................................................47
Figura 2.8. Estimación de un modelo OE primer orden. (a) λ=1, (b) λ=0.98, (c) λ=0.978, (d)
λ=0.9745. Las líneas negras horizontales son los parámetros reales, las líneas de color son los
parámetros estimados...............................................................................................................49
Figura 2.9. Preedición de la salida del sistema; línea azul salida real , línea negra salida predicha.
(a) Estimación para el modelo ARX (b) Estimación para el modelo OE (c) Estimación para el
modelo ARMAX......................................................................................................................51
Figura 2.10. Evolución de los parámetros. Líneas negras horizontales son los parámetros reales.
línea roja parámetro a , línea azul parámetro b, verde parámetro c, magenta parámetro d. (a)
Parámetros modelo ARX (b) Parámetros modelo OE (c) parámetros modelo ARMAX........52
Figura 2.11. Comportamiento de los residuos de estimación con el paso del tiempo. (a) para el
modelo ARX (b) Para el modelo OE (c) Para el modelo ARMAX.........................................53
Figura 2.12. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo ARMAX. Con
P(0)=100000. Mejora la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (c)...................54
Figura 2.13. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo OE. Con P(0)= 1010 .
Mejora la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (b)..........................................54
Figura 2.14. Preedición de la salida del sistema. Línea Roja salida real del sistema, línea azul.
salida contaminada con ruido, línea negra la salida predicha. (a) Comportamiento en todo el
tiempo. (b) ampliación alrededor del tiempo 40s. ...................................................................56
Figura 2.15. Estimación de los parámetros en el tiempo. Parámetro a es la línea roja, parámetro b
es la línea azul. Parámetros reales iniciales líneas negras horizontales. Segundos parámetros
reales líneas verdes horizontales..............................................................................................57
Figura 2.16. Comportamiento de los residuos de estimación en el tiempo....................................57
Figura 2.17. Predicción de la salida del sistema en cada instante de muestreo. Línea roja salida
real del sistema. Línea azul contaminación con ruido. Línea negra predicción de los
SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS
algoritmos. (a) para el modelo ARX (b) para el modelo OE (c) para el modelo ARMAX.
Línea verde es la salida de la parte determinística del modelo ARMAX................................60
Figura 2.18. Estimación de los parámetros. Líneas continua negras horizontales son los
parámetros reales. La estimación para el parámetro d es una línea magenta, para c es verde,
para b es azul y para a es roja. (a) para el modelo ARX. (b) para el modelo OE (c) para el
modelo ARMAX......................................................................................................................61
Figura 2.19. Comportamiento en el tiempo de los residuos de estimación. (a) para el modelo
ARX (b) para el modelo OE (c) para el modelo ARMAX......................................................62
Figura 4.1. Esquema General de Detección de Fallas Basado en Modelos...................................67
Figura 4.2 Dependencia de Tiempo de las Fallas ...........................................................................67
Figura 4.3. Esquema de estimación de parámetros……………………………………………...65
Figura 4.4. Diagnóstico de Fallas usando Métodos de Clasificación……………………………67
Figura 4.5. Red adaptiva………………………………………………………………………….68
Figura 4.6. Red adaptiva ANFIS modelo Sugeno……………………………………………….69
Figura 5.1. Sistema de Tanques .....................................................................................................75
Figura 5.2. Sistema de Tanques. Acercamiento Bomba…………………………………………79
Figura 5.3. Válvula on / off………………………………………………………………………80
Figura 5.4. Sistema de Conexiones………………………………………………………………80
Figura 5.5. Interfaz Tarjeta de Adquisición………………………………………………………81
Figura 5.6. Interfaz Tarjeta de Adquisición. Figura 5.7. Subsistema 1…………………………..81
Figura 5.8. Subsistema 2………………………………………………………………………….82
Figura 5.9. Subsistemas del proceso……………………………………………………………..82
Figura. 5.10. Esquema Control…………………………………………………………………...82
Figura 5.11. Sistema de dos entradas una salida. 25 reglas………………………………………83
Figura 5.12. Funciones de pertenencia para la entrada de error………………………………….84
Figura 5.13. Funciones de pertenencia para la entrada la integral del error…………………...…84
Figura 5.14. Funciones de pertenencia del universo de salida señal de control………………….85
Figura 5.15. Superficie de control………………………………………………………………..86
Figura 5.16. Comportamiento de los residuos ante la falla………………………………………87
Figura. 5.17. Modelo de diagnostico de fallas……………………………………………………87
Figura 5.18. Respuesta del modelo de diagnóstico de fallas…………………………………….88
SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS
INTRODUCCION
El control automático ha sido el soporte del acelerado proceso de industrialización en la segunda
mitad del siglo XX, ha hecho posible que la máquina sustituya al hombre en los trabajos más
difíciles y peligrosos así como en la posibilidad de efectuar cada vez trabajos mas complejos.
Esto ha derivado en una mejora significativa de nuestra calidad de vida a través de mejoras en los
procesos de producción, manufactura y la vida cotidiana.
En este sentido la electrónica ha jugado un papel fundamental en el desarrollo del control, al
prácticamente reemplazar a las familias precedentes de controladores neumáticos, hidráulicos y
mecánicos. Esto sin mencionar las ventajas económicas de la implementación electrónica tanto en
la instalación de sensores como en todo el proceso de control.
Las operaciones de procesos industriales requieren ampliamente supervisión avanzada y el
diagnostico de fallas para incrementar su seguridad, confiabilidad y economía. Es por esto que la
detección y distinción de fallas es un área importante porque convierte grandes sistemas y
procesos en mecanismos muchos más autónomos y automáticos. También es posible considerar
hoy, por las herramientas tecnológicas disponibles, la integración de sistemas de diagnostico en el
diseño de controladores industriales.
La detección y distinción de fallas basados en métodos combinados, analíticos y cualitativos han
venido tomando un papel importante en supervisión y control automático moderno. Hay dos
pasos importantes en la detección y distinción de fallas, la generación de residuos: indicación de
los cambios en el proceso; y la evaluación residual: concluir que falla hay en el proceso. En el
primer paso muchos métodos analíticos son usados, puesto son las características del proceso las
SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS
que determinan que método utilizar. El segundo paso es un problema de decisión; Es por eso que
los métodos de razonamiento cualitativo son los más usados.
Estos dos pasos que hay que seguir para realizar con eficiencia un proceso de supervisión
completo; diagnostico: detección y distinción de fallas, representa un desafió para encontrar
teorías que cumplan con eficiencia la generación y evaluación de los residuos. La combinación de
métodos analíticos y basados en el conocimiento han demostrado que son una mezcla eficaz para
resolver el problema básico de supervisón, con el objetivo de lograr resultados robustos en todo
sentido.
SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS
OBJETIVOS
GENERAL
Estudiar y desarrollar un sistema de supervisión que ejecute en tiempo real la detección y
evaluación de cambios de un proceso, encontrando la mejor combinación entre técnicas
analíticas y las basadas en conocimiento para realizar estas tareas y que finalmente especifique
fallas que ocurran en un proceso.
ESPECIFICOS
• Estudiar los conceptos y modelos de la teoría de supervisión de procesos.
• Estudiar los conceptos y teorías sobre la generación de residuos.
• Estudiar los conceptos y métodos de razonamiento cualitativo, que sirva para la evaluación de los
residuos.
• Implementar el sistema de generación de residuos.
• Implementar el sistema de evaluación de residuos.
• Desarrollar e implementar un sistema completo de supervisión.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
1. MODELOS DISCRETOS CON ESTRUCTURA LINEAL
En el momento que se quiere representar el comportamiento de un proceso, es necesario tener
modelos predefinidos. Al conocer estos modelos, se analizan y se comparan entre ellos con el
objetivo de decidir cual puede representar el proceso que se este estudiando. En un controlador
auto ajustable la definición del modelo con que se representa el proceso es parte fundamental,
puesto que define la naturaleza del estimador de parámetros del modelo, como toda la estrategia
de control para definir la ley de control que actuará sobre el proceso.
En este capitulo se hará un pequeño resumen de sistemas de identificación lineal y se estudiara un
poco mas a fondo los modelos discretos de estructura lineal, haciendo énfasis en los modelos
mas utilizados.
1.1 RESUMEN DE IDENTIFICACION LINEAL DE SISTEMAS
En la figura 2.1 se observa un resumen sobre los métodos de identificación de sistemas lineales.
Figura 1.1 Resumen de los métodos de identificación de sistemas lineales.
Los métodos de identificación se clasifican en paramétricos y no paramétricos; por consiguiente
estos ayudan a distinguir claramente el modelo y el tipo de método a utilizar para determinar los
Identificación de sistemas lineales
Métodos de estimación paramétricos Métodos de estimación no paramétricos
Dominio del tiempo Dominio frecuencial Dominio del tiempo Dominio frecuencial
Mínimos
cuadrados.
Optimización no
Análisis respuesta al
impulso.
Análisis repuesta
transciente.
Análisis re spuesta en
frecuencia.
Análisis de Fourier
Mínimos cuadrados.
Optimización no
lineal.
Repetido mínimos
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
grados de libertad del modelo a utilizar para representar un proceso. Los modelos pueden ser
paramétricos y no paramétricos.
• Modelos paramétricos se asume que son capaces de describir el verdadero
comportamiento de un proceso con un número finito de parámetros. Las ecuaciones
diferenciales o en diferencias son ejemplos de este tipo de modelos. En ocasiones los
parámetros tienen una relación directa con cantidades físicas del proceso, Ej., masa,
volumen, longitud, etc.
• Modelos no paramétricos. Generalmente requieren un número infinito de parámetros
para describir exactamente el proceso. Un modelo FIR es un ejemplo de estos modelos.
Los métodos de estimación son clasificados como.
• Métodos paramétricos. Determina un pequeño número relativo de parámetros.
Usualmente estos parámetros son optimizados según algún objetivo. Una regresión lineal
es un ejemplo de estos métodos. Un modelo paramétrico puede usarse para determinar
una aproximación a un modelo no paramétrico, el cual el numero de parámetros ha sido
reducido a un numero finito. Tal como un modelo FIR, quizá sea estimado con un método
paramétrico, si la serie infinita es aproximada a un número finito de parámetros.
• Métodos no parametritos. Son más flexibles que los métodos paramétricos. Estos son
utilizados cuando ninguna estructura es impuesta sobre el modelo. Un típico ejemplo de
estos métodos es el análisis de Fourier, el cual lleva a funciones de frecuencia, el cual no
determina un número finito de parámetros. Incluso en una implementación, los métodos
no parametritos muestran un numero finito de “parámetros“, este numero es grande e
independiente de cualquier estructura de modelo, Ej. Las magnitudes complejas para
todos los intervalos de frecuencia discretizados, en un análisis de Fourier de tiempo
discreto. Así entonces el número de parámetros en los métodos no paramétricos, depende
de algún factor tal como el número de muestras o la cuantificación.
Los modelos no paramétricos, tal como un modelo FIR, quizá sea estimado con un método
paramétrico, si la serie infinita es aproximada a un numero finito de parámetros.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
1.2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS MODELOS LINEALES DISCRETOS
Al principio se define una estructura general para los modelos lineales y sobre esta se puede
derivar por simplificación todos los casos particulares de estos modelos. Normalmente el modelo
general no se utiliza mucho en la práctica, pero sirve para unificar todos los modelos lineales.
La salida )(ky de un sistema determístico linear en el tiempo k puede ser calculada filtrando las
entradas )(ku a través de un filtro lineal )(qG , q es el operador de desplazamiento.
)()(~)(~
)()()( kuqAqB
kuqGky == (1.1)
)(~ qB y )(~ qA son el numerador y el denominador de la función de transferencia lineal )(qG
respectivamente. En adición a la parte determinística, un parte estocástica puede ser introducida.
Si se filtra un ruido blanco )(kv a través de un filtro lineal )(qH cualquier característica de
frecuencia de ruido puede ser modelada. El filtro )(qH desde el punto de vista estocástico en
llamado un filtro de forma. Así una señal arbitraria )(kn de ruido puede ser modelada.
)()(~)(~
)()()( qvqDqC
qvqHkn == (1.2)
Un modelo lineal general describiendo influencias determinísticas y estocásticas es obtenido
combinando las dos partes como el la Fig. 2.2 (a).
).()()()()( kvqHkuqGky += (1.3)
El filtro )(qG es llamado la función de transferencia de entrada, desde que esta relacione la
entrada )(ku con la salida )(ky , y el filtro )(qH es llamado función de transferencia del ruido,
desde que esta relacione el ruido con la salida. Las funciones de transferencia )(qG y )(qH
pueden ser divididas en polinomios que representan sus numeradores y sus denominadores, Fig.
2.2 b. Es necesario a veces separar las dinámicas de la parte estocástica y de la determinística,
que se reflejan en la representación de los polinomios denominadores de cada parte. Fig. 2.2 c y
Fig. 2.2 d. Entonces se define AqAqF ~)()( = y DqAqD ~)()( = .
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
Figura. 1.2. Modelo lineal general. (a) definición de las funciones de transferencia. (b) Definición de los polinomios de las funciones de transferencia. (c) y (b) Diferenciación de.las dinámicas estocástica
y determinística.
Si )(~ qA y )(~ qD no comparten factores comunes entonces 1)( =qA . Entonces el modelo general
lineal puede ser escrito.
)()()(
)()(
)()()(
)( kvqAqD
qCku
qAqFqB
ky += (1.4)
o también se puede escribir.
)()()(
)()()(
)()( kvqDqC
kuqFqB
kyqA += (1.5)
Asumiendo ciertas cosas especiales sobre los polinomios FDCBA ,,,, ; los modelos lineales
ampliamente aplicados son obtenidos de la forma general de los modelos lineales.
1.3. CLASIFICACION Y TERMINOLOGIA
Analizando el modelo general desde el punto de vista de las series de tiempo, la terminología
usada es lógica y clara. Se empieza analizando las series de tiempo, es decir no se toma en
cuenta la entrada en el modelo, =)(ku 0, entonces los modelos analizados serán totalmente
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
estocásticos como se ve en la Fig. 2.5 en oposición al modelo totalmente determinístico de la Fig.
2.6.
Una serie de tiempo con solo el polinomio del denominador. Fig. 2.7. es llamado un modelo
Autoregressive (Autoregresivo) AR.
Figura. 1.5 Un modelo de serie de tiempo general lineal. La entrada del modelo )(kv es una señal de
ruido blanco.
Figura. 1.6. Modelo determinístico general lineal. La entrada del modelo )(ku es una señal
determinística. No hay influencia estocástica.
Un modelo de serie de tiempo solo con el polinomio del numerador, Fig. 2.7, es llamado un
modelo Moving average (promedio móvil) MA.
Una modelo de serie de tiempo con polinomio numerador y denominador, Fig 2.7, es un modelo
llamado autoregressive moving average (promedio móvil auto regresivo) ARMA.
Figura. 1.7. Resumen de los modelos de series de tiempo. Autoregressive (auto regresivo) AR, Moving average (promedio móvil) MA, y autoregressive moving average (promedio móvil y
autoregresivo) ARMA.
Es obvio que un modelo basado únicamente en una serie de tiempo, sin tener en cuenta las
variables de entrada, no puede ser preciso. Por esto, modelos más precisos pueden ser construidos
incorporando las variables de entrada dentro del modelo. Esta entrada )(ku es llamada una
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
entrada exogenous (exógena). Teniendo en cuenta lo anterior, los modelos de series de tiempo
pueden ser extendidos, Fig. 2.7, pueden ser extendidos incorporando una “X” por la entrada
exógena. El modelo “MAX” derivado del modelo de serie de tiempo MA, incorporando la
variable exógena, es muy raro y es muy poco usado.
La Fig. 2.8 esta un resumen de los mas importantes modelos entrada/salida lineales. Los modelos
del lado izquierdo de la Fig. 2.8, denominados AR…, pertenecen a la clase de modelos equation
error (error de ecuación). Su característica es que el filtro )(/1 qA es común a ambos, al modelo
del proceso determinístico y al modelo de ruido estocástico. Todos los modelos del lado derecho
de la Fig 2.8 pertenecen a la clase de modelos output error (error de la salida), los cuales son
caracterizados por un modelo de ruido que es independiente del modelo del proceso
determinístico.
El modelo ARX, autoregressive with exogenous input, (auto regresivo con variable
exógena) es una extensión del modelo AR, Fig. 2.8 (a). En una considerable parte de la literatura
y en viejas publicaciones, el modelo ARX es llamado modelo “ARMA” para expresar el factor
que ambos el polinomio numerador y un denominador existe.
)()(
1)(
)()(
)( kvqA
kuqAqB
ky += (1.6)
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
Figura. 1.8. Resumen de los modelos dinámicos lineales comunes. (a) ARX (b) ARMAX (c) ARARX (d) O E (e) BJ (f) FIR.
El termino “auto regresivo” se relaciona a que la función de transferencia esta afectada desde la
entrada )(ku a la salida )(ky tan bien como la función de transferencia del ruido desde )(kv a
)(ky . La parte estocástica y la parte determinística del modelo ARX tienen dinámicas con
idéntico denominador.
El modelo autoregressive moving average with exogenous input (promedio móvil auto regresivo
con variable exógena) ARMAX, es un extensión del modelo ARMA. Fig.2.8 (b).
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
)()()(
)()()(
)( kvqAqC
kuqAqB
ky += (1.7)
Como para el modelo ARX, el modelo ARMAX asume igual dinámica con idéntico denominador
para la entrada y la función de transferencia del ruido. Sin embargo la función de transferencia
del ruido es más flexible debido al polinomio de promedio móvil )(qC .
El modelo autoregressive autoregressive with exogenous input (auto regresivo auto regresivo
con variable exógena) ARARX, es una extensión del modelo AR. Fig. 2.8 (d).
)()()(
1)(
)()(
)( kvqAqD
kuqAqB
ky += (1.8)
Este es un modelo ARX con flexibilidad adicional en el denominador de la función de
transferencia del ruido. Así, en vez de un filtro adicional de promedio móvil )(qC como en el
modelo ARMAX, el modelo ARARX tiene un filtro adicional auto regresivo )(/1 qD .
El ultimo de este tipo es el modelo autoregressive autoregresive moving average with exogenous
input. (Promedio móvil Auto regresivo auto regresivo con variable exógena) ARARMAX, es
definido como.
)()()(
)()(
)()(
)( kvqAqD
qCku
qAqB
ky += (1.9)
Todos los modelos AR… comparten el polinomio )(qA como dinámica en el denominador en la
función de transferencia de entrada y la función de transferencia del ruido. Estos modelos
también son llamados modelos equation error (error de ecuación). Esto corresponde a que el
ruido no influye directamente a la salida )(ky del modelo, pero en cambio se introduce al modelo
antes por medio del filtro )(/1 qA . Estos modelos adoptados son razonables si verdaderamente el
ruido se introduce al proceso primero, entonces sus características de frecuencia son
determinadas por la dinámica del proceso. Si el ruido es principalmente medidas de ruido que
típicamente y directamente perturba la salida, los llamados modelos output error (error de salida)
son mas realistas.
Los modelos output error son caracterizados por modelos de ruido que no contienen la dinámica
del proceso. Así, el ruido se asume que afecta la salida del proceso directamente.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
El mas evidente de los modelos entrada/salida es el output error (error de salida) OE. Fig.2.8 (d).
)()()()(
)( kvkuqFqB
ky += (1.10)
Este modelo OE es un modelo especial de la clase de los modelos output error. No hay que
confundir la clase de modelos output error con el caso especial de modelo output error, por causa
que tienen el mismo nombre. Para aclarar, la abreviatura OE siempre se refiere a el caso especial
de modelo output error EC 2.10. En comparación con el modelo ARX, el ruido blanco se
introduce al modelo OE directamente sin ningún filtro.
Este modelo OE puede ser aumentado en flexibilidad, filtrando el ruido blanco a través de un
filtro ARMA. Esto define el modelo Box-Jenkins BJ. Fig. 2.8 (e).
)()()(
)()()(
)( kvqDqC
kuqFqB
ky += (1.11)
El modelo BJ se relaciona al modelo ARARMAX como el modelo OE se relaciona al modelo
ARX. La entrada y la función de transferencia del ruido son parametrizados separadamente y por
lo tanto independientes. El caso especial de 1)( =qC o 1)( =qD no tiene nombres especiales.
Finalmente un modelo bastante diferente pertenece a la clase de modelos output error. El
modelo respuesta al impulso finita, FIR es definido por.
)()()()( kvkuqBky += (1.12)
El modelo FIR es un modelo OE o ARX sin realimentación de salida, esto es, 1)( =qF o
,1)( =qA respectivamente. Una extensión del modelo FIR es el modelo orthonormal basis
functions (funciones de base orthonormal) OBF.
Note que por simplicidad los procesos y los modelos se asumen que no tienen tiempo muerto. Sin
embargo, en cualquier ecuación el tiempo muerto puede ser fácilmente introducido reemplazando
la entrada )(ku con la entrada retrasada d pasos ( )dku − . A demás, esto supone que los procesos
y los modelos no tienen camino directo desde la entrada a la salida, entonces )(ku no afecta
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
inmediatamente la salida. Entonces, los términos como )(kbou no aparecen en las ecuaciones de
diferencia. Estas suposiciones son cumplidas por casi cualquier proceso del mundo real.
Tabla 1.1 Ecuaciones de los modelos lineales mas comunes.
1.5 APLICACIONES DE UN MODELO
La aplicación más común de un modelo es pronosticar el comportamiento futuro de un proceso.
Para esto se tienen dos conceptos diferentes simulación y predicción.
1.5.1 SIMULACION
Si la respuesta del modelo a una secuencia de entrada se calcula mientras la salida de proceso es
desconocida, a esto se le llama simulación. En la Fig. 2.10. se observa el concepto de simulación.
La simulación puede ser completamente determinística EC.2.13.
)()()(ˆ kuqGky = (1.13)
También la simulación puede tener en cuenta la parte estocástica EC. 2.14
)()()()()(ˆ kwqHkuqGky += (1.14)
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura. 1.9. Clasificación de los modelos lineales según: (a) su respuesta al impulso. (b) tipo de error (c) si tiene entradas. (d) las propiedades de ruido. Dinámica igual se refiere a que los denominadores
de la parte determinística y estocástica son iguales.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
Figura. 1.10. Concepto de simulación
Donde )(kw es ruido blanco. La EC 2.14. es solo una mejor salida que la EC 2.13. El menor
error de simulación debe esperarse de la EC 2.13. desde que )(kw sea una señal de ruido
diferente que la original pero no medible )(kv .
1.5.2 PREDICCION
Si las salidas del proceso son conocidas en algún instante de tiempo, por decir 1−k , y este valor
es utilizado para calcular la salida del modelo l pasos en el futuro; a este proceso se le llama
predicción. Esto quiere decir que la información de salidas anteriores del proceso son utilizadas.
Entonces un óptimo predictor debe combinar las entradas y salidas anteriores del proceso en
alguna forma. Entonces un predictor lineal óptimo puede ser definido como la combinación
lineal de entradas filtradas y de salidas del proceso filtradas. EC 2.15.
)()1()()1()()(ˆ 110 ntkytkytnskuskuskusky ntns −++−+−++−+= ΛΛ (2.15)
)()()()()(ˆ kyqTkuqSky += (2.16)
El termino )()( kuqS contiene información sobre la parte determinística y el termino
)()( kyqT introduce la parte estocástica en el predictor, desde que )(ky sea contaminada con
ruido. En la Fig. 2.11 se observa el concepto de predicción.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
Figura. 1.11. Concepto de predicción.
1.5 MODELOS MAS UTILIZADOS
Los modelos con realimentación de la salida son los mas conocidos y aplicados; se dicen que
estos son con realimentación de la salida debido a que el modelo utiliza para calcular la salida,
salidas anteriores del modelo; esto se hace especialmente evidente cuando se observa la ecuación
en diferencias del modelo. Especialmente los modelos ARX, ARMAX, y OE; particularmente
son los que se estudiaran y utilizaran a fondo.
1.5.1 ARX
El modelo ARX es el más ampliamente aplicado de los modelos lineales dinámicos. Usualmente
un modelo ARX es tratado primero y solo si su desempeño no es satisfactorio, se examinan
modelos con estructuras más complejas. Sin embargo el modelo ARX es especialmente realista
puesto que coincide con estructuras de muchos procesos del mundo real. La popularidad del
modelo ARX es debido a la facilidad de cálculo de sus parámetros. Los parámetros es este
modelo pueden estimarse con la técnica lineal de mínimos cuadrados, esto si el error de
predicción es lineal en los parámetros.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
El modelo ARX esta dibujado en la Fig 2.8 (a) y descrito por la EC 2.6.
)()(
1)(
)()(
)( kvqA
kuqAqB
ky += (1.16)
El predictor es.
)())(1()()()(ˆ kyqAkuqBky −+= (1.17)
El cual puede ser escrito de la forma.
)()1()()1()()(ˆ 110 nkyakyamkubkubkubky nm −++−+−++−+= ΛΛ (1.18)
Donde n es el orden de )(qA y m-1 es el orden )(qB . La EC 2.18 es también la representación
de la ecuación en diferencias del modelo ARX. El predictor ARX es estable, si y solo si no tiene
realimentación, incluso si el polinomio )(qA y por consiguiente el modelo ARX es inestable.
Esto permite modelar procesos que son inestables con modelos ARX. Esta característica la tienen
todos los modelos equation error (error de ecuación) puesto que el polinomio )(qA solo aparece
en el denominador de sus predictores, entonces los predictores son estables incluso si )(qA es
inestable.
Con la EC 2.17. el error de predicción de un modelo ARX es.
)()()()()( kuqBkyqAke −= (1.19)
El término )()( kyqA actúa como un filtro blanqueador sobre las perturbaciones correlacionadas.
La salida medida )(ky puede dividirse en dos partes: la salida no contaminada del proceso )(kyu
y las perturbaciones )(kn , donde )()()( knkyky u += . Desde que )()(/1)( kvqAkn = con
)(kv siendo ruido blanco )()()()()( kvkyqAkyqA u += . Entonces, el filtro )(qA en la EC 2.19
hace las perturbaciones y consecuentemente )(ke es blanco.
Como se observa en la Fig. 2.8 (a), una de las características del modelo ARX es que las
perturbaciones, Ej. Ruido blanco )(kv , se asume que entra al proceso antes que la dinámica del
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
denominador )(qA . También se puede decir que el modelo ARX tiene un modelo de ruido
)(/1 qA . Entonces el denominador del modelo de ruido es idéntico al modelo de ruido del
proceso. Lo que se asume puede ser justificado si la perturbaciones entran al proceso antes,
incluso también en este caso las perturbaciones podrían pasar a través de alguna parte de la
dinámica del numerador )(qB . Sin embargo algunas veces lo que se asume del modelo de ruido
se viola en la practica. Perturbaciones en la salida del proceso se analizan con el modelo OE.
1.5.2 ARMAX
El modelo ARMAX es probablemente el segundo modelo lineal más popular después del
modelo ARX. Comparada con ARX, el modelo ARMAX es más flexible porque posee una
extensión en modelo de ruido. A pesar de esto con esta extensión el modelo ARMAX llega a ser
no linear en sus parámetros. El algoritmo de mínimos cuadrados extendidos ELS, se utiliza para
estimar sus parámetros.
El modelo ARMAX es dibujado en la figura 2.8 (b) esta descrito por la EC. 2.7.
)()()(
)()()(
)( kvqAqC
kuqAqB
ky += (1.7)
El predictor óptimo ARMAX es.
)())()(
1()()()(
)(ˆ kyqCqA
kuqCqB
ky −+= (1.20)
El predictor es estable incluso si el polinomio )(qA y por consiguiente el modelo ARMAX es
inestable. Sin embargo, el polinomio )(qC se requiere que sea estable.
Con la EC 2.20. el error de predicción de un modelo ARMAX es.
)()()(
)()()(
)( kuqCqB
kyqBqA
ke −= (1.21)
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
Viendo las anteriores ecuaciones el modelo ARMAX es una extensión del modelo ARX debido a
la introducción del filtro )(qC . Si el filtro 1)( =qC ARMAX se simplifica al modelo ARX.
Debido al adicional filtro )(qC el modelo ARMAX es más flexible. Ej. Si )()( qAqC = el modelo
ARMAX puede imitar el modelo OE. Como el filtro de ruido )(/)( qAqC contiene el polinomio
de la dinámica del modelo determinístico, el modelo ARMAX pertenece a la clase de modelos
equation error (error de ecuación).
1.5.3 OE
Juntos con los modelos ARX y ARMAX, el modelo OE es la estructura mas ampliamente usada.
Este modelo es la mas simple representación de la clase de modelos output error (error de salida).
El ruido se asume que contamina aditivamente al proceso en la salida, no en alguna parte
interior en el proceso como se asume en modelos equation error. Muchas veces lo modelos
output error son mas realistas, y estos usualmente de desempeñan mejor que los modelos
equation error. Sin embargo, porque los modelos de ruido no incluyen el denominador de la
dinamica del proceso )(/1 qA , todos los modelos output error son no lineales en sus parámetros
y consecuentemente sus parámetros son mas duros de estimar.
El modelo OE es dibujado en Fig. 2.8 (d) y esta descrito por.
)()()()(
)( kvkuqFqB
ky += (1.10)
El predictor optimo es de hecho un simulador puesto que este no utiliza ninguna de la mediciones
de salida de proceso )(ky .
)()()(
)(ˆ kuqFqB
ky = (1.22)
Desafortunadamente el predictor es inestable si el polinomio )(qF es inestable. Como
consecuencia el modelo OE no puede ser usado para modelamiento de sistemas inestables. Lo
mismo se mantiene para todos los modelos pertenecientes a la clase de modelos output error.
Con la EC 2.22. el error de predicción para un modelo OE es.
CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS
)()()(
)()( kuqFqB
kyke −= (1.23)
Para ilustrar porque la salida predicha, EC 2.23, de un modelo OE es no linear es sus parámetros
se analiza lo siguiente.
)(ˆ)1(ˆ)()1()(ˆ 10 nkyfkyfmkubkubky nm −++−−−++−= ΛΛ (1.24)
Comparando con el modelo ARX, la salida medida en EC 2.17. es reemplazada con la salida
predicha o simulada, para el caso de OE es lo mismo. Entonces aquí esta la razón de la no
linealidad de los parámetros en la EC 2.24. Las salidas del modelo predichas )(ˆ iky − dependen
de ellas mismas sobre es modelo de parámetros. Entonces en los términos )(ˆ ikyfi − ambos
factores dependen de los parámetros del modelo, lo cual resulta en una dependencia no lineal.
Para superar estas dificultades una forma es aproximar en la EC 2.24 las salidas del modelo
)(ˆ iky − por las salidas del proceso medidas )( iky − . Entonces el modelo OE se simplifica al
modelo ARX, el cual es verdaderamente lineal en sus parámetros.
1.5.4 COMENTARIOS SOBRE LOS DEMAS MODELOS
Los modelos ARARX, BJ, ARARMAX, como tienen muchos mas parámetros que se tiene que
estimar, en la practica no son muy utilizados. Los modelos OBF los cuales contienen los modelos
FIR, son ampliamente utilizados. Ej. cuando un modelo ARX o ARMAX o OE no representa
satisfactoriamente un proceso estudiado, se intenta representar el modelo con una estructura
OBF. Sin embargo los modelos OBF no son estudiados en este trabajo, porque se hace énfasis en
los modelos mas utilizados. Los modelos MA, AR, ARMA no tienen mucha importancia desde
el punto de vista de control, puesto que los modelos no tienen entrada con la cual se pueda
modificar el comportamiento del proceso. Sin embargo pueden ser utilizados para estudiar y
analizar el comportamiento estocástico de un proceso estudiado.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
2 ESTIMACION DE PARAMETROS EN TIEMPO REAL
La determinación en línea o en tiempo real de los parámetros de un proceso, es el elemento clave
que permite el desarrollo del control adaptativo. En un controlador auto ajustable un estimador
recursivo de parámetros del proceso es un componente indispensable y explícito en su estructura
básica.
En este capitulo se desarrolla un método de estimación de parámetros llamado mininos
cuadrados, LS, empezando con una conceptualización bás ica de sistemas de identificación, hasta
llegar a una estimación en tiempo real. El método LS es ampliamente utilizado por su eficacia,
sencillez y eficiencia computacional. Se trabaja con sistemas SISO.
2.1 ELEMENTOS PRINCIPALES EN UN SISTEMA DE IDENTIFICACION.
La identificación paramétrica es un método ampliamente utilizado en sistemas de identificación.
Los elementos principales de un sistema de identificación son:
a. Selección de la estructura del modelo.
b. Diseño de experimento.
c. Estimación paramétrica.
d. Validación.
El objetivo de un sistema de identificación en sistemas adaptativos es que se ejecute
automáticamente, por esto es necesario tener un entendimiento total de todos los aspectos del
problema y de los elementos del sistema de identificación.
La selección de la estructura del modelo y la parametrización son partes irrelevantes en la
identificación. Los problemas de identificación se simplifican significativamente si los modelos
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
que se utilizan son lineales en sus parámetros. El diseño del experimento es vital para un sistema
de identificación exitosa, esto se refiere en el campo del control, a la selección de una señal de
entrada adecuada al proceso, esta elección requiere de algún conocimiento previo del proceso y
del uso proyectado del modelo a utilizar.
Hay una complicación en sistemas adaptativos aplicados en sistemas de control, puesto que las
señales de entrada al proceso son generadas por realimentación, y en algunos casos por esta
razon, los parámetros no pueden ser calculados singularmente. Esta situación tiene consecuencias
indeseables, llevando en algunos casos a introducir señales de perturbación.
En control adaptativo los parámetros del proceso cambian continuamente, lo que hace necesario
tener métodos de estimación que actualicen recursivamente los parámetros. Por esto en la
resolución de problemas de control es muy importante la validación de resultados, especialmente
en control adaptativo, en el cual la identificación es hecha automáticamente.
El método de mínimos (LS) cuadrados es la técnica básica de identificación parametrica, es
simple si el modelo tiene la propiedad de ser lineal en sus parámetros, así las estimación de los
parámetros por este método puede ser calculado analíticamente.
2.2 MINIMOS CUADRADOS (LS) Y MODELOS DE REGRESION.
Karl Friedrich Gauss formulo el principio de LS al final del siglo XVIII. El principio dice que
parámetros no conocidos de un modelo matemático deben ser escogidos de forma que:
La suma de los cuadrados de las diferencias entre valores observados y valores calculados,
multiplicados por números que midan el grado de precisión; sea un mínimo.
El método de mínimos cuadrados puede aplicarse a una gran variedad de problemas. El modelo
matemático es particularmente simple y puede ser escrito de la siguiente manera.
)(*)()(*)()(2*)(2)(1*)(1)( iiininiiiiiy oT θϕθϕθϕθϕ =+⋅⋅⋅++= (2.1)
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Donde y es la variable observada, que en términos de control es el valor de salida de un
proceso en un instante i; nθθθ ,...,2,1 son los parámetros del modelo para ser determinados, y
nϕϕϕ ,...,2,1 son funciones conocidas que quizás dependan de otras funciones conocidas. En
términos de control estas funciones son datos de entrada y salida pasados.
Definiendo los siguientes vectores como:
[ ])(......)....(2)(1)( iniiiT ϕϕϕϕ = (2.2)
=oθ [ ]Tinii )(......)....(2)(1 θθθ (2.3)
El modelo es indexado por la variable i, la cual generalmente denota la variable tiempo. Se asume
que el conjunto indexado es un conjunto discreto. Las variables i.ϕ son llamadas variables de
regresión o regresores, y el modelo de la EC 3.1 es llamado modelo de regresión. La pareja de
observaciones y regresores ( ) }{ tiiiy ,...2,1,)(),( =ϕ son obtenidos en un experimento.
El problema es entonces determinar los parámetros de tal forma que las salidas calculadas del
modelo de la EC 3.1 concuerde tan cerca como se posible con la medida de las variables )(iy
en el sentido de mínimos cuadrados. Esto es, los parámetros oθ deben ser escogidos para
minimizar la función de perdida mínimos cuadrados.
2
1
)*)()((21
),( θϕθ ∑=
−=t
i
T iiytV (2.4)
Desde que la variable medida )(iy es lineal en parámetros oθ y el criterio de mínimos
cuadrados es cuadrático, el problema admite una solución analítica. Introduciendo la notación.
[ ])(...)...2()1()( tyyytY = (2.5)
[ ])(....)...2()1()( teeeeeet =Ε (2.6)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Φ)(
)1(
tT
T
ϕ
ϕΜ (2.7)
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
1
1
1 ))(*)(())(*)(()( −
=
− ∑=ΦΦ= iitttPt
i
TT ϕϕ (2.8)
Donde los residuos )(iee son definidos por.
θϕ *)()()()()( iiyiyiyiee T−=−=∧
(2.9)
Con esta notación la función de perdida EC 3.4 se puede escribir.
2
1
2
21
21
)(21
),( Ε=ΕΕ== ∑=
Tt
i
ietV θ (2.10)
Donde Ε puede ser escrito como.
θΦ−=−=Ε∧
YYY (2.11)
La solución para el problema de mínimos cuadrados es dada por el siguiente teorema.
3.2.1 ESTIMACION MINIMOS CUADRADOS
La función de la EC 3.4 es mínimo para parámetros ∧
θ tal que.
YTT Φ=ΦΦ∧
θ (2.12)
Si la matriz ΦΦT es no singular, el mínimo es único y es dada por.
YTT ΦΦΦ= −∧
1)(θ (2.13)
Comentarios.
• La ecuación EC 3.12 es llamada ecuación normal. La EC 3.13 puede ser escrita como.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑∑==
−
=
∧ t
i
t
ii
t
i
T iyttPiyiii1
1
1
)()()()()()()( ϕϕϕϕθ (2.14)
• La condición que la matriz ΦΦT sea invertible es llamada condición de excitación.
• El criterio de mínimos cuadrados pondera todos los errores )(ie igualmente, y esto es
consecuencia de asumir que todas las medidas tienen la misma importancia o precisión.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Diferentes ponderación del error puede ser considerados cambiando la función de perdida
EC 3.4 por
ΕΕ= WV T
21
(2.15)
Donde W es una matriz diagonal, con los diferentes pesos en la diagonal. La estimación de
mínimos cuadrados es dada por.
WYW TT ΦΦΦ= −∧
1)(θ (2.16)
Ejemplo 2.1. Estimación mínimos cuadrados de un sistema estático.
Se supone unos datos medidos de entrada salida de un sistema como se observa en la figura 3.1.
Los datos son generados con el siguiente sistema.
)()(*)(*)( 2 ieiuaiubciy +++= (2.17)
y es la salida del sistema , u es la entrada del sistema y e es un ruido Gaussiano con media cero y
desviación estándar 0.05 o 0.3. El sistema es linear en los parámetros entonces puede ser escrito
como la EC 3.1. El objetivo es estimar los parámetros de un modelo que se define antes, para
representar el comportamiento de los datos.
La salida es medida para 41 diferentes entradas como se observa en los círculos en la figura 3.1.
En la practica el modelo no es conocido, pero se debe decidir un apropiado modelo. Se toman los
siguientes modelos para estimar sus parámetros.
Modelo 1: ciubiy += )(*)(
Modelo 2: ciubiuaiy ++= )(*)(*)( 2
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3
-2
-1
0
1
2
3
Sal
ida
(a) Entrada
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3
-2
-1
0
1
2
3
Sal
ida
(b) Entrada Figura 2.1. Los círculos en azul representan datos medidos. Los resultados de la estimación, rojo
para parábola, negro para recta. (a) Datos contaminados con ruido con desviación estándar 0.05.(b) con desviación estándar 0.3.
Para la estimación se define el vector regresor para construir la EC 3.7, el vector de parámetros
y el vector de datos de salida EC 3.13.
[ ]1)()()( 2 iuiuiT =ϕ
[ ]cbao =θ
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Desviación
estándar del
ruido
modelo ∧
a ∧
b ∧
c V
0.05 1 - 2.000626 -0.644439 0.198150
0.05 2 0.968499 2.000626 -0.983414 0.002172
0.3 1 - 2.065230 -0.638333 0.221543
0.3 2 1.024074 2.065230 -0.996759 0.010829
Tabla 2.1. Estimación de mínimos cuadrados, la función de pérdida, para los modelos
del ejemplo 2.1.
Construida la EC 3.7 se calculan los parámetros estimados mediante la EC 3.13. La tabla 3.1
muestra la estimación de mínimos cuadrados de los diferentes modelos con la función de pérdida
resultante. La función de perdida es una medida de la precisión de la estimación. Se estimaron
parámetros para datos medidos contaminados con ruido con desviación estándar 0.05 y 0.3. En la
figura 3.1 se muestra la estimación para los diferentes modelos. Por supuesto el modelo 2 que
equivale a la ecuación de una parábola representa mejor el comportamiento de los datos medidos.
El modelo 1 que equivale al de una recta, no puede reproducir muy bien el comportamiento de
los datos medidos. Lo anterior demuestra la importancia de escoger el modelo apropiado, es decir
la cantidad de parámetros a calcular, para poder representar el comportamiento deseado. Si
embargo también se pudo haber escogido un modelo que involucrara un término cúbico a demás
en el modelo 2, es decir un parámetro a demás par calcular, pero no fue necesario porque la
estimación arrojo muy buenos resultados utilizando el modelo2. Cuando se utiliza un modelo
para representar un tipo determinado de comportamiento pero este mismo resultado se logra con
un modelo que tiene menos parámetros para estimar, a este fenómeno se le conoce como sobre
ajuste. Lo anterior resalta la importancia de escoger bien el modelo.
2.2.2 INTERPRETACION ESTADISTICA
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
El método de mínimos cuadrados puede ser interpretado en términos estadísticos. Entonces es
necesario asumir algunas cosas sobre como fueron generados los datos. Se asume que el proceso
es.
)()(*)()( ieiiiy oT += θϕ (2.18)
Donde )(ioθ es el vector de parámetros “verdaderos” y e(i) { i=1,2,…} es un secuencia de
independientes variables aleatorias igualmente distribuidas y con media cero. También se asume
que e(i) es independiente de ϕ . Entonces la EC 3.11 puede ser escrita.
Ε+Φ= oY θ
Multiplicando por ( ) TT ΦΦΦ−1
resulta.
( ) ( ) ΕΦΦΦ+==ΦΦΦ−∧∧− TToTT Y
11θθ (2.19)
Con tal que Ε sea independiente de TΦ , lo cual es equivalente a decir que e(i) es independiente
de )(iϕ , la expectativa matemática de ∧
θ es igual a oθ . Una estimación con esta propiedad es
llamada imparcial.
2.2.2.1 Propiedades estadísticas de la estimación de mininos cuadrados.
Considere la estimación de la EC 3.13 y se asume que los datos son generados de la EC 3.18,
donde e(i), { i=1,2,…} es un secuencia de variables aleatorias independientes con media cero y
varianza 2σ . E denota la expectativa matemática y cov la covarianza de una variable aleatoria. Si
ΦΦT es no singular, entonces.
(i) E∧
θ (t)= oθ
(ii) Cov 12 )()( −∧
ΦΦ= Tt σθ
(iii) )/(),(*2)(2
nttVt −=∧∧
θσ es una estimación imparcial de 2σ .
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Donde n es el numero de parámetros en oθ y ∧
θ y t es el numero de datos puntuales. Todo lo
anterior manifiesta que la estimación es imparcial, esto es, E∧
θ (t)= oθ . A demás, es deseable que
una estimación converja a los verdaderos valores de los parámetros cuando el número de
observaciones tiende hacia infinito. Esta propiedad es llamada consistencia. Hay muchas
nociones de consistencia correspondiente a diferentes conceptos de convergencia para variables
aleatorias. La convergencia media cuadrática es una posibilidad, la cual puede ser investigada
simplemente analizando la varianza de la estimación. El resultado (ii) puede se usado para
determinar como la varianza de la estimación decrece con el numero de observaciones.
2.2.3 CALCULOS RECURSIVOS
En controladores adaptativos las observaciones son obtenidas secuencial mente en tiempo real.
Por esto es necesario hacer cálculos recursivos para ahorrar tiempo de cálculo. El cálculo de la
estimación de mínimos cuadrados puede ser reconfigurada de tal forma que los resultados
obtenidos en el tiempo t-1, puedan ser usados para la estimación en el tiempo t. La solución de
la EC 3.13 para el problema de mínimos cuadrados se puede re-escribir de forma recursiva. Sea
θ̂ la estimación de mínimos basada en las medidas hasta el tiempo t-1. Se asume que la matriz
ΦΦT es no singular para todo el tiempo. Se trabaja con la EC 3.8 entonces.
)()()()()(*)()(*)()(1
11
1 itiiiitttP Tt
i
Tt
i
TT ϕϕϕϕϕϕ ∑∑−
==
− +===ΦΦ=
)()()1(1 tttP Tϕϕ+−= − (3.20)
La estimación de mínimos cuadrados es dada por la EC 3.14
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑∑−
==
∧ 1
11
)()()()()()()()(t
i
t
i
tytiyitPiyttP ϕϕϕθ
Trabajando con la anterior EC y la EC 3.20 se tiene.
)1()()()1()()1()1()()( 111
1
−−−=−−=∧∧
−∧
−−
=∑ tttttPttPiyi Tt
i
θϕϕθθϕ
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
La estimación en el tiempo t puede ser ahora escrita.
)()()()1()()()()1( tyttPttttPt T ϕθϕϕθθ +−−−=∧∧∧
))1()()()(()()1( −−+−=∧∧
tttyttPt T θϕϕθ
)()()1( teetKt +−=∧
θ
Donde
)()()( ttPtK ϕ=
)1()()()( −−=∧
tttytee T θϕ
El residuo )(tee puede ser interpretado con el error de predicción de la señal )(ty un paso
adelante basado en la estimación. Es necesario también deducir una ecuación recursiva para )(tP
preferiblemente que para 1)( −tP . Utilizando el siguiente teorema.
2.2.3.1 Teorema. Matriz de inversión.
Sea la matriz C , A , y BDAC 11 −− + matices cuadradas no singulares. Entonces BCDA + es
invertible, y. 1111111 )()( −−−−−−− +−=+ DABDACBAABCDA
Aplicando el teorema anterior a )(tP y usando la EC 3.20, se tiene.
( ) 11 )()()1()1())()(()(−− +−Φ−Φ=ΦΦ= tttttttP TTT ϕϕ
( ) 11 )()()1(−− +−= tttP Tϕϕ
)1()())()1()()(()1()1( 1 −−+−−−= − tPtttPtIttPtP TT ϕϕϕϕ
Esto implica que. 1))()1()()(()1()()()( −−+−== ttPtIttPttPtK T ϕϕϕϕ
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Note que una matriz de inversión es necesaria para calcular P . De cualquier forma, la matriz es
invertida y es de dimensión igual al número de medidas. Sin embargo, si el sistema es de una
sola salida este cálculo da como resultado un escalar.
2.2.3.2 Estimación de mínimos cuadrados recursiva (RLS).
Se asume que la matriz )(tΦ tiene rango completo, esto es, )()( ttT ΦΦ es no singular, para todo
el tot ≥ . Dado )(to∧
θ y ( ) 1)()()(
−ΦΦ= tttoP T , la estimación de mínimos cuadrados )(t
∧
θ debe
satisfacer las ecuaciones recursivas.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−=
∧∧∧
)1()()()()1( tttytKt T θϕθθ (2.21)
1))()1()()(()1()()()( −−+−== ttPtIttPttPtK T ϕϕϕϕ (2.22)
)1())()(()( −−= tPttKItP Tϕ (2.23)
Comentarios.
• La EC 3.21 tiene una gran apariencia intuitiva. La estimación ∧
θ (t) es obtenida
adicionando una corrección a una previa estimación )1( −∧
tθ . La corrección es
proporcional a )1()()( −−∧
ttty T θϕ , Donde el ultimo termino puede ser interpretado como
el valor de y en el tiempo t predicho por el modelo de la EC 3.1. El termino de la
corrección es así proporcional a la diferencia entre el valor medido de )(ty y la predicción
de )(ty basado en los previos parámetros estimados. Los componentes del vector
)(tK son los factores de ponderación que dicen como la corrección y la previa estimación
deben ser combinados.
• La estimación mínimos cuadrados pueden ser interpretados como un filtro de Kalman
para el proceso.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
)()()()(
)()1(
tettty
ttT +=
=+
θϕ
θθ (2.24)
2.2.3.3 Condiciones iniciales para P(t) y para θ(t).
La matriz )(tP es definida solo cuando la matriz )()( ttT ΦΦ es no singular. Desde que.
∑=
=ΦΦt
i
TT iitt1
)()()()( ϕϕ
Entonces la matriz ΦΦT es siempre no singular si nt < . Para obtener la condición inicial para
P , es necesario escoger tot = tal que )()( totoT ΦΦ es no singular. Las condiciones iniciales son.
( ) 1)()()(
−ΦΦ= tototoP T
)()()()( toYtotoPto TΦ=∧
θ
Las ecuaciones recursivas pueden ser usadas para tot > . Es entonces, es conveniente
usualmente usar ecuaciones recursivas en todos los pasos. Si las ecuaciones recursivas son
inicializadas con la condición inicial.
PoP =)0(
entonces Po es definida y positiva, entonces.
( ) 11 )()()(−− ΦΦ+= ttPotP T
Se ve que )(tP puede ser hecho arbitrariamente cerca de ( ) 1)()(
−ΦΦ ttT escogiendo Po
Lo suficientemente grande.
En términos prácticos, el algoritmo recursivo requiere aproximar el valor inicial del vector de
parámetros y de la matriz P(t). Si es posible realizar una primera estimación del vector de los
parámetros, por ejemplo utilizando LS no recursivo. La matriz P(0) debe reflejar la confianza de
los parámetros estimados. En el caso en que P(0) sea pequeño, K(t) será pequeño para los
distintos t y los parámetros estimados no variaran mucho del valor inicial. Mientras que, si P(0)
es grande la estimación de los parámetros variará rápidamente del valor inicial. En ausencia de
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
información previa para realizar una primera estimación de los parámetros, se acostumbra a
considerar: 0)0(ˆ =θ , kIP =)0( , donde k es un número grande.
Usando la interpretación del filtro de Kalman del método de mínimos cuadrados, esto puede
verse que la forma como la inicialización del calculo recursivo corresponde a la situación el la
cual los parámetros tiene una distribución inicial con media oθ y covarianza Po .
2.2.4 PARAMETROS VARIANTES EN EL TIEMPO
En el modelo de mínimos cuadrados EC 3.1 los parámetros oiθ se asumen que son constantes. En
muchos problemas de control adaptativo es importante considerar la s ituación en la cual los
parámetros son variantes en el tiempo. Dos casos son cubiertos con una simple extensión del
método de los mínimos cuadrados. Uno es el caso en que los parámetros cambian abruptamente
pero no con mucha frecuencia. El otro caso es que los parámetros cambien continuamente pero
lentamente. El caso en que los parámetros cambian abruptamente la solución es
reestablecimiento. La matriz P en el algoritmo de mínimos cuadrados es periódicamente
reestablecida a Iα , donde α es un numero grade. Esto implica que la ganancia )(tK en el
estimador llega a ser grande y la estimación puede ser actualizada con un paso más grande. El
caso en el cual los parámetros varían en el tiempo pero lentamente puede ser trabajando con un
simple modelo matemático. Una aproximación simple es cambiar el criterio de mínimos
cuadrados de la EC 3.4 con.
( )2
1
)()(21
),( θϕλθ iiytV Tt
i
it −= ∑=
− (2.25)
Donde λ es un parámetro tal que 10 ≤< λ . El parámetro λ es llamado factor de olvido o factor
de descuento. La función de perdida de la EC 3.25 implica que una ponderación variante en el
tiempo es introducida. El más reciente dato se la da una ponderación de uno, pero el dato que esta
n unidades de tiempo antes es ponderado por nλ . El método es llamado olvido exponencial o
descuento exponencial.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
2.2.4.1 Mininos cuadrados recursivos con olvido exponencial.
Se asume que la matriz )(tΦ tiene rango completo para tot ≥ . Los parámetros θ , los cuales
minimizan la EC 3.25 son dadas recursivamente como.
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−=
∧∧∧
)1()()()1( tttytKt T θϕθθ (2.21)
( ) 1)()1()()()1()()()(
−−+−== ttPtIttPttPtK T ϕϕλϕϕ (2.26)
λϕ /)1())()(()( −−= tPttKItP T (2.27)
Una desventaja del olvido exponencial es que el data es descontado incluso si 0)()( =ttP ϕ . Esta
condición implica que )(ty no contiene alguna nueva información sobre los parámetros θ . En
este caso la matriz P se incrementa exponencialmente con rata λ .
2.3 ESIMACION DE PARAMETROS EN SISTEMAS DINAMICOS
El método de mínimos cuadrado puede ser usado para estimar los parámetros en modelos de
sistemas dinámicos. Esto depende de las características del modelo y de su parametrización. Esto
quiere decir que todas las ecuaciones antes formuladas pueden ser utilizadas con estos modelos
haciendo unos pequeños ajustes.
2.3.1 MODELO DE RESPUESA FINITA AL IMPULSO (FIR)
Un sistema dinámico lineal variante en el tiempo es singularmente caracterizado por su respuesta
al impulso. La respuesta al impulso es en general dimensional-infinita. Para sistemas estables la
respuesta al impulso tendera a cero exponencialmente rápido y quizá entonces sea trucada.
Entonces, de cualquier forma, un numero grande de parámetros debe ser necesario para
representar el modelo, si el tiempo de muestreo es pequeño en comparación con la constante de
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
tiempo mas lenta del sistema. Esto resulta en el llamado modelo FIR, el cual es llamado un filtro
transversal. El modelo puede ser descrito por la EC en diferencias.
)()2(2)1(1)( ntbnutubtubty −++−+−= Λ
ó
θϕ )1()( −= tty T
Donde el vector de parámetros a estimar y el vector regresor son respectivamente.
( )bnbT Λ1=θ
( ))()1()1( ntututT −−=− Λϕ
Este modelo es idéntico al modelo de regresión de la EC 3.1. El modelo claramente encaja con
toda la formulación de mínimos cuadrados, y el estimador esta entonces determinados por las
ecuaciones del método de RLS.
El estimador de parámetros puede ser representado por el diagrama de bloques de la figura 3.2.
Este estimador puede ser considerado como un sistema con entradas u y y y salida θ . Desde
que la señal sea
)()1()1()1(1 ntutnbtutby −−++−−=∧∧∧
Λ
y este disponible en el sistema , también se puede considerar )(ty∧
como una salida. Desde que
)(ty∧
sea una estimación de y , el estimador recursivo puede ser interpretado como un filtro
adaptativo para predecir y .
Figura 2.2 Diagrama de bloques de un estimador paramétrico recursivo para un modelo FIR.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
2.3.2 MODELOS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Dado el sistema descrito por el modelo.
)()()()( tutBtyqA = (2.28)
donde q es el operador de desplazamiento de adelanto y )(qA y )(qB son los polinomios.
anqaqqA nn +++= − Λ11)(
bmqbqbqB mm +++= −− Λ21 21)(
La EC 3.28 como EC de diferencias es.
)1()1(1)()1(1)( −++−++=−++−+ tbmunmtubntanytyaty ΛΛ
Se asume que la secuencia de entrada { )(,),2(),1( tuuu Λ } ha sido aplicada a el sistema y la
correspondiente secuencia de salida )}(,),2(),1({ tyyy Λ ha sido observada. El vector de
parámetros es.
( )bnbanaT ΛΛ 11=θ (2.29)
y el vector de regresión.
( ))()1()()1()1( ntunmtuntytytT −−−+−−−−=− ΛΛϕ (2.30)
Se nota que la señal de salida aparece retrazada en el vector de regresión. El modelo es entonces
llamado modelo auto regresivo. La forma en la cual los elementos son ordenados en la matiz θ
es arbitrario, de tal forma que ϕ (t-1) es también reordenada. En control adaptativo será natural
reordenar los términos. La convención de que el indice de tiempo del vector ϕ se refiere a el
tiempo cuando todos los elementos en el vector están disponibles es también muy utilizada. El
modelo puede ser escrito formalmente como el modelo de regresión.
θϕ )1()( −= tty T
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
La estimación de parámetros puede ser hecha aplicando la estimación de mininos cuadrados, LS
o RLS y con olvido exponencial. La matriz Φ es.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=Φ
)1(
)(
t
n
T
T
ϕ
ϕΜ
Si se usa interpretación estadística de la estimación de mínimos cuadrados, el método descrito
trabajara bien cuando las perturbaciones puedan ser caracterizadas con ruido blanco sumado al
lado derecho de la EC 3.28. Esto lleva al modelo.
)()()()()( ntetuqBtyqA ++=
que tiene el mismo formato de la EC 3.18 y que en un modelo ARX. El método es llamado Error
de la ecuación (equation error).
Una pequeña variación del método es mejor si las perturbaciones son descritas como ruido
blanco sumado a la salida del sistema, esta implica el modelo OE.
)()()()(
)( tetuqAqB
ty +=
el método obtenido es llamado error de salida (output error). El método es el siguiente, sea u la
entrada y ∧
y la salida de un sistema con la relación entrada salida.
)()1(1)()1(1 ntbmunmtubntyantyay −++−−+=−++−+∧∧∧
ΛΛ
Entonces
)()()(
tuqAqB
y =∧
Determine los parámetros que minimice el criterio
2
1
))()((∑=
∧
−t
k
kyky
Donde )()()( tetyty +=∧
. Así el problema puede ser interpretado como problema de mínimos
cuadrados donde la solución esta dada por
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
)()1()()1( teettPt −+−=∧∧
ϕθθ
Donde el vector regresor y los residuos son respectivamente.
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−+−−−−=−
∧∧
)()1()()1()1( ntunmtuntytytT ΛΛϕ
)1()1()()( −−−=∧
tttytee T θϕ
El estimador recursivo obtenido esta representado en diagrama de bloques en la Fig. 3.3.
Figura. 2.3 Diagrama de bloques del estimador de mínimos cuadrados basado en el modelo error de
salida (O E)
2.3.3 MODELOS ESTOCASTICOS
La estimación de mínimos cuadrados es parcial cuando es usado sobre datos generados por la
ecuación EC 3.18, cuando el error )(ie este correlacionado. La razón es que .0)()( ≠Ε ieiTϕ Una
posibilidad de solucionar este problema con el método de estimación de mínimos cuadrados es
modelar la correlación de las perturbaciones y estimar los parámetros describiendo la correlación.
Considere el modelo.
)()()()()()( teqCtuqBtyqA += (2.31)
Donde )(),(),( qCqBqA son polinomios y )(te es ruido blanco. Los parámetros del polinomio
C describe la correlación de las perturbaciones. El modelo de la EC 3.31 no puede ser convertido
directamente a un modelo de regresión, puesto que las variables relacionadas con el ruido no se
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
conocen. Un modelo de regresión puede ser definido con apropiadas aproximaciones de todas
formas. Para describir esto se define.
)1()1()()( −−−=∧
tttytee T θϕ (2.32)
Donde el vector de parámetros y el vector regresor son respectivamente.
( )cncbnbana ΛΛΛ 111=θ (2.33)
( ))()1()()1()()1()1( nteeteentutuntytytT −−−−−−−−=− ΛΛΛϕ
(2.34)
Las variables del )(te son aproximadas por la predicción del error )(tee . El modelo puede ser
aproximado a.
)()1()( tetty T +−= θϕ
y entonces se puede aplicar la estimación recursiva de mínimos cuadrados. El método obtenido es
llamado mínimos cuadrados extendidos (ELS). Las ecuaciones para la actualización de la
estimación queda definida por.
)()1()()1()( teettPtt −+−=∧∧
ϕθθ (2.35)
)1()1()1()( 11 −−+−= −− tttPtP Tϕϕ (2.36)
Otra posibilidad para modelar el ruido correlacionado es usar el modelo.
)()()(
)()()(
)( teqDqC
tuqAqB
ty +=
en vez de la EC 3.31. La estimación recursiva paramétrica para este modelo puedes ser derivado
de la misma forma como para el modelo de la EC 3.31.
2.3.4 GENERALIZACION
Los diferentes métodos recursivos tratados para trabajar los diferentes modelos son similares.
Todos pueden ser definidos por las EC.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
)()1()()1()( teettPtt −+−=∧∧
ϕθθ (2.37)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−+
−−−−−−=
)1()1()1()1()1()1()1(
)1(1
)(ttPt
tPtttPtPtP T
T
ϕϕλϕϕ
λ (2.38)
Donde θ ,ϕ , y ee son diferentes para los diferentes métodos. λ es el factor de olvido, θ el vector
de parámetros,ϕ vector de regresores y eeson los residuos.
NOTA: Los algoritmos recursivos para la identificación de parámetros, para los modelos ARX,
ARMAX y OE son detallados en el anexo del libro. Los algoritmos están escritos para que sean
corridos en el software Matlab.
2.4 SIMULACION DE ESTIMACION RECURSIVA
Las diferentes propiedades del método de mínimos cuadrados recursivos (RLS) o mínimos
cuadrados recursivos extendidos (RLS) son ilustrados en esta sección. Los datos entrada-salida se
generan con un sistema de primer orden continuo más tiempo muerto, además los datos son
contaminados con ruido Gaussiano, con media cero y alguna desviación estándar. El sistema es:
SesK
sUsY θ
τ−
+= *
1)()( (2.39)
Donde K es la ganancia del sistema, τ es la constante de tiempo del sistema y θ es el retardo del
sistema.
También se utiliza otro sistema para generar datos de entrada-salida. Es un sistema de segundo
orden puro, más tiempo muerto. También los datos de salida pueden contaminarse con ruido. El
sistema es:
SewnSwnS
wnsUsY θ
ξ−
++= *
***2)()(
2
2 (2.40)
Donde wn es la frecuencia natural no amortiguada, ξ es el factor de amortiguamiento del
sistema.
Ejemplo 2.2. Excitación
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Se obtienen datos de entrada salida del sistema de primer orden con estas características,
ganancia de uno, la constante de tiempo y retardo igual a 10s. El periodo de muestreo es de 0.5s.
En el ejemplo se observara la necesidad de persistencia en la excitación. Primero se excita el
sistema con entrada tipo impulso, y luego con una entrada tipo paso. Para cada caso se observara
la salida predicha en cada instante de muestro del sistema y la convergencia de los parámetros a
medida que pasa el tiempo. El algoritmo RLS se inicializa con P(0)=100 y θ(0)=0 y λ=0.99 y se
identifica un modelo ARX con un polo y un cero. El sistema de primer orden discretizado es:
2020 **9512.0
0487.0)()( −−
+=
−= z
azbz
znUnY
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
(a) Tiempo
Sal
ida
del s
iste
ma
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(b) Tiempo
Salid
a de
l sis
tem
a
28.6 28.8 29 29.2 29.4 29.6 29.8 30 30.2
0.84
0.845
0.85
0.855
0.86
0.865
0.87
0.875
(c ) Tiempo
Salida del sistema
Figura 2.5. La línea roja es la salida el proceso real, la azul es la salida contaminada con ruido, media 0 y desviación estándar 0.001. La línea negra es la salida predicha en cada instante de
muestreo. (a) Salida del sistema ante un impulso. (b) Salida del sistema ante un paso.(c) amplicion de la Fig 3.5(b) alrededor del tiempo 29.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(a) Tiempo
Val
or d
e lo
s pa
ram
etro
s
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(b) Tiempo
Valo
r de
los
para
met
ros
Figura 2.6 Evolución parámetros en el tiempo. Las líneas negras horizontales corresponden a los
parámetros reales. el parámetro a corresponde es rojo y b corresponde a azul.(a) parámetros estimados , entrada impulso.(b) parámetros estimados, entrada escalón.
En la anterior ecuación se observa que parámetros que se deben estimar: b=0.0487 y
a=-0.9512. En la Fig 3.6 están dibujados con línea negra. La estimación para b esta azul y la
estimación para a esta roja.
Como se ve en la Fig. 3.5 se logra una mejor predicción de la salida del sistema con la entrada
tipo paso que con la entrada impulso. A demás los parámetros convergen a sus valores reales con
la entrada tipo paso, mientras que los parámetros con entrada impulso tienen una desviación
grande de los valores reales. Aquí se evidencia que los parámetros varían dependiendo la entrada
al sistema y si esta entrada no tiene grande variaciones para poder excitar todos los modos del
sistema (componentes en todas las frecuencias), los parámetros estimados se alejaran de los
valores reales.
Ejemplo 2.3. Importancia de inicialización de la matriz P(0).
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(a)Tiempo
Valo
r de
los
par
amet
ros
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(b) Tiempo
Valo
r de
los
par
amet
ros
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(c) Tiempo
Valo
r d
e lo
s pa
ram
etro
s
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(d) Tiempo
Valor de los parametros
Figura 2.7. Velocidad de convergencia de los parámetros dependiendo la condición inicial de P..(a)
P=1, (b) P=10, (c)P=50, (d)P = 1000.
Se tiene tienen los mismos datos de entrada salida del ejemplo anterior. En el ejemplo anterior se
utilizo P(0)=100. Se utilizara la entrada tipo paso al sistema pero en el algoritmo RLS para
identificar un modelo ARX se utilizara P(0)=1, 10, 50 y 1000. Se verificara la velocidad de
convergencia de los parámetros a medida que avanza el tiempo.
En definitiva como conclusión de analizar la Fig 3.7. entre mas alto se puede inicializar la matriz
P en el algoritmo RLS , mas rápido los parámetros convergerán a sus valores reales. Es decir que
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
la identificación del modelo también se hará más rápido. Esto también aplica para el algoritmo
ERLS, como también si se hubiera identificado otro modelo como un OE o un ARMAX.
Ejemplo 2.4. Efecto factor de olvido.
Se tiene los mismos datos de entrada-salida del ejemplo 3.1 con todas las características allí
mencionadas. Pero ahora no se identificara un modelo ARX si no uno OE. Y además se variara el
factor de olvido con los siguientes valores 0.9745, 0.978 ,0.98, 1. En este ejemplo se observara
que la identificación del modelo OE llega a los mismos resultados de estimación de los
parámetros del sistema de primer orden trabajado en el Ej. 3.1 y además como el factor de olvido,
afecta la estimación de parámetros.
Como se observa en la Fig. 3.8(a) el algoritmo de identificación de parámetros para un modelo
OE obtuvo los mismos resultados, que el algoritmo de identificación de parámetros de un
modelo ARX, Fig. 3.6 (b) pero con la matriz P(0) inicializada en 1000 en el algoritmo RLS. Sin
embargo en la Fig. 3.8 se observa el comportamiento que tiene el factor de olvido del algoritmo
recursivo cuando se varía. Cuando se disminuye mucho este valor Fig. 3.8 (d), la estimación de
los parámetros a media que pasa el tiempo no se mantiene sobre los valores reales. Esto se debe a
que la excitación del sistema no varia y el algoritmo empieza a descartar los mas viejos valores
de entrada salida donde se encuentra realmente de la información del sistema. Recordando que la
señal de excitación es una señal paso, que tiene variación o ocurre en el tiempo cero. Esto quiere
decir que el factor de olvido puede disminuirse tanto como se asegure que la señal de excitación
al sistema siempre este variando, o que el sistema al cual se le quiera calcular los parámetros se
altamente variante en el tiempo. Este es un indicativo para escoger el factor de olvido en un
experimento.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(a) Tiempo
Val
or d
e lo
s pa
ram
etro
s
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(b) TiempoV
alor
de
los
para
met
ros
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(c) Tiempo
Valo
r de
los
para
met
ros
0 50 100 150 200 250 300-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
(d) Tiempo
Valor de los parametros
Figura 2.8. Estimación de un modelo O E primer orden. (a) λ=1, (b) λ=0.98, (c) λ=0.978, (d) λ=0.9745. Las líneas negras horizontales son los parámetros reales, las líneas de color son los
parámetros estimados.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Ejemplo 2.5 Capacidad de identificación algoritmos y residuos.
Se obtienen datos de entrada salida del sistema de segundo orden con estas características:
frecuencia natural no amortiguada de 5, el factor de amortiguamiento de 0.1 y retardo igual a 1s.
El periodo de muestreo es de 0.05s.
En el ejemplo se observara la capacidad de identificación de los diferentes algoritmos para
modelos ARX, ARMAX y OE, y el comportamiento de los residuos de estimación. El sistema se
excita con entrada tipo paso. Para cada caso se observa la salida predicha en cada instante de
muestro del sistema, la convergencia de los parámetros a mediada que pasa el tiempo y los
residuos de estimación. El algoritmo de estimación para cada modelo se inicializa con
P(0)=1000 y θ(0)=0 y λ=0.99. El sistema de segundo orden discretizado es:
202
202
**
**9512.0*891.1
0307.0*03058.0)()( −−
+++
=+−
+= z
bzazdzcz
zzz
nUnY
En la anterior ecuación se observa que parámetros se tienen que estimar son: d=0.0307,
c=0.03058, b=0.9512, a=-1.891, en las Fig. 3.10 están dibujados con líneas horizontales negras.
La estimación para d es una línea magenta, para c es verde, para b es azul y para a es roja
Al observar los resultados de la figura 3.9, 3.10, 3.11, al parecer la identificación de un modelo
OE no arroja muy buenos resultados, la predicción de la salida en cada instante de muestreo no es
muy buena Fig 3.9 (b), los parámetros no convergen a los valores reales Fig. 3.10 y como es de
esperarse los residuos de estimación tienen valores altos que no se pueden aceptar. Por otro lado
los resultados para la identificación de un modelo ARMAX son un poco mejores. La predicción
de la salida en cada periodo de muestreo es buena Fig. 3.9(c) y los residuos de estimación
también Fig 3.11(c); sin embargo los parámetros estimados no convergen a los valores reales,
aunque se acercan mas a los valores reales que la estimación hecha para el modelo OE.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
( a ) T ie m p o
Salid
a de
l sis
tem
a
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
1 . 4
1 . 6
1 . 8
( b ) T ie m p o
Salid
a de
l sis
tem
a
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
(c) Tiempo
Salida del sistema
Figura 2.9. Preedición de la salida del sistema; línea azul salida real , línea negra salida predicha. (a)
Estimación para el modelo ARX (b) Estimación para el modelo O E (c) Estimación para el modelo ARMAX.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 2 4 6 8 10 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
(a ) T ie m p o
Valo
r de
los
para
met
ros
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
(b) Tiempo
Valor de los para
metros
0 2 4 6 8 10 12 14 1 6 1 8 20- 2
- 1. 5
- 1
- 0. 5
0
0. 5
1
( c) T ie m p o
Valo
r de
los
para
met
ros
Figura 2.10. Evolución de los parámetros. Líneas negras horizontales son los parámetros reales. línea roja parámetro a , línea azul parámetro b, verde parámetro c, magenta parámetro d. (a)
Parámetros modelo ARX (b) Parámetros modelo O E (c) parámetros modelo ARMAX
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 18 2 0- 0 .0 6
- 0 .0 4
- 0 .0 2
0
0. 0 2
0. 0 4
0. 0 6
0. 0 8
0. 1
0. 1 2
0. 1 4
( a ) T ie m p o
Co
mpo
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o de
los
resi
duos
de
estim
acio
n
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0- 0. 4
- 0. 3
- 0. 2
- 0. 1
0
0. 1
0. 2
0. 3
( b ) T ie m p o
Com
port
amie
nto
de lo
s re
sidu
os d
e es
timac
ion
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
(c) Tiempo
Comportamiento de los residuos de estimacion
Figura 2.11. Comportamiento de los residuos de estimación con el paso del tiempo. (a) para el
modelo ARX (b) Para el modelo O E (c) Para el modelo ARMAX.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
(a) Tiempo
Valor de los parametros
Figura 2.12. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo ARMAX. Con P(0)=100000.
Mejora la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (c)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo
Valor de los parametros
Figura 2.13. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo O E. Con P(0)= 1010 . Mejora
la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (b)
Se pensaría en primera instancia que los algoritmos para identificar los modelos OE y ARMAX
tienen algún problema; sin embargo lo que esta pasando es que se necesita condiciones mas
estrictas para la convergencia mas rápida, es decir que estos algoritmos necesitan que la
inicialización de la matriz P(0) en el algoritmo de identificación, RLS para OE y ERLS para
ARMAX, deba ser mas alta, para lograr los mismos resultados que el algoritmo que identifica un
modelo ARX. Es una gran ventaja que un algoritmo de identificación converja con rapidez, y
más, si este es utilizado para una identificación en tiempo real.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Esto quiere decir que el algoritmo que identifica un modelo ARX por definición converge más
rápido que los algoritmos que identifican un modelo OE o ARMAX.
En la Fig. 3.12 se observa la mejora de la identificación de los parámetros al aumentar el valor de
la matriz P(0) en la identificación de un modelo ARMAX, con P(0)=100000. En la Fig. 3.13 se
observa la mejora de la identificación de los parámetros al aumentar el valor de la matriz P(0) en
la identificación de un modelo OE, con P(0)=1 1010 .
También es evidente que una identificación es buena cuando los residuos tiendan a cero en el
menor tiempo posible y al mismo tiempo que los parámetros estimados convengan tan rápido
como sea posible a los valores reales.
Ejemplo 2.6. Parámetros variantes en el tiempo.
Se tiene los mismos datos de entrada-salida del ejemplo 3.1 con todas las características allí
mencionadas, aunque el ruido tiene una desviación estándar de 0.005. Se identificara un sistema
que varia en el tiempo con modelo ARX. El modelo empieza con los parámetros como los
mostrados en es siguiente modelo.
2020 **9512.0
0487.0)()( −−
+=
−= z
azbz
znUnY
En la anterior ecuación se observa que parámetros que se deben estimar: b=0.0487 y
a=-0.9512. En la Fig. 3.15 están dibujados con línea negra. La estimación para b esta en azul y la
estimación para a esta rojo. Sin embargo en el tiempo 50s los parámetros b y a pasan a tener estos
valores a=-0.5 y b=0.1, Están dibujados con líneas verdes en la Fig. 3.15; Aunque en el tiempo
100s estos parámetros vuelven a sus valores iniciales. La idea es ver como el algoritmo de
identificación detecta parámetros cuando estos son variantes en el tiempo. También la entrada
cambia; es un paso unitario que ocurre en cero hasta el tiempo 150s, porque en este tiempo pasa a
tener el valor de 2 .Fig 3.14.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 50 100 1500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
( a) Ti em po
Sal
ida
de
l sis
tem
a
30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1.02
1.04
(b) Tiem po
Salid
a de
l sis
tem
a
Figura 2.14. Preedición de la salida del sistema. Línea Roja salida real del sistema, línea azul. salida contaminada con ruido, línea negra la salida predicha. (a) Comportamiento en todo el tiempo. (b)
ampliación alrededor del tiempo 40s.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 50 10 0 150-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Tiempo
Valo
r de
los
para
met
ros
Figura 2.15. Estimación de los parámetros en el tiempo. Parámetro a es la línea roja, parámetro b es la línea azul. Parámetros reales iniciales líneas negras horizontales. Segundos parámetros reales
líneas verdes horizontales.
0 50 10 0 150-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Tiempo
Com
porta
mie
nto
de lo
s re
sidu
os d
e es
timac
ion
Figura 2.16. Comportamiento de los residuos de estimación en el tiempo.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Como los parámetros cambian abruptamente en el tiempo, no se utiliza el factor de olvido,
puesto que este es utilizado para sistemas que varían con el tiempo pero lentamente. En vez de
esto se detecta cuando los parámetros varían en el tiempo y se reinicialaza la matriz P en el
algoritmo de identificación RLS.
En la figura 3.15, se observa que la predicción de la salida es muy buena, que los residuos de
estimación son pequeños Fig. 3.16, con unas pequeñas fluctuaciones en el momento que varían
los parámetros. La más interesante es que los parámetros estimados convergen a los parámetros
reales aun cuando varían en el tiempo Fig. 3.15. Esto demuestra que el algoritmo es bueno para
detectar sistemas que varían en el tiempo abruptamente.
Ejemplo 2.7. Identificación en presencia de ruido.
Se tiene los mismos datos de entrada-salida del ejemplo 3.5 con todas las características allí
mencionadas, aunque el ruido tiene una desviación estándar de 0.01, y el sistema no tiene retardo.
Se identifica parámetros para un modelo ARX, uno OE y uno ARMAX. El sistema de segundo
orden discretizado es:
bzazdzc
zzz
nUnY
+++
=+−
+=
**
9512.0*891.10307.0*03058.0
)()(
22
En la anterior ecuación se observa que parámetros se tienen que estimar: d=0.0307, c=0.03058,
b=0.9512, a=-1.891. En las Fig. 3.18 están dibujados con líneas horizontales negras. La
estimación para d es una línea magenta, para c es verde, para b es azul y para a es roja.
La idea es ver como los algoritmos de identificación para cada modelo, detectan los parámetros
del sistema, cuando los datos entrada-salida del proceso están contaminados con una cantidad
considerable de ruido Fig. 3.18. También ver la predicción de la salida en cada instante de
muestreo Fig. 3.17. y el comportamiento de residuos de estimación Fig. 3.19.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
(a) Tiempo
Salid
a de
l sis
tem
a
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
(b) Tiempo
Salida del siste
ma
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
(c) Tiempo
Salida del sistema
Figura 2.17. Predicción de la salida del sistema en cada instante de muestreo. Línea roja salida real
del sistema. Línea azul contaminación con ruido. Línea negra predicción de los algoritmos. (a) para el modelo ARX (b) para el modelo O E (c) para el modelo ARMAX. Línea verde es la salida de la
parte determinística del modelo ARMAX.
El comportamiento de la estimación de los parámetros para el modelo ARX, tiene inconvenientes
cuando la salida del sistema no tiene variaciones y las variaciones que ocurren son por culpa del
ruido, o que el ruido hace confundir las variaciones de la salida con variaciones de ruido, Fig.
3.17(a). Esto ocurre en el ejemplo alrededor del tiempo 4, donde los parámetros estimados se
empiezan alejar de los valores reales, Fig. 3.18(a), y se pierde capacidad de identificación sobre
el sistema. Aunque la predicción de la salida, Fig. 3.17(a), muestra un buen comportamiento; los
residuos de estimación Fig.3.19(a) empiezan a ser un poco grandes.
El comportamiento de la estimación de los parámetros para el modelo OE, tiene una mejoría
sobre la estimación del ARX. Los parámetros estimados no divergen a medida que pasa el
tiempo, pero no convergen tan cerca de los parámetros reales. Fig. 3.18 (b).
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 5 1 0 1 5- 2
- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
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( a ) T ie m p o
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0 5 1 0 1 5-2 . 5
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-0 . 5
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1
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( b ) T i e m p o
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0 5 1 0 1 5- 2
- 1 . 5
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- 0 . 5
0
0 . 5
1
( c ) T i e m p o
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Figura 2.18. Estimación de los parámetros. Líneas continua negras horizontales son los parámetros reales. La estimación para el parámetro d es una línea magenta, para c es verde, para b es azul y
para a es roja. (a) para el modelo ARX. (b) para el modelo O E (c) para el modelo ARMAX.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
0 5 1 0 1 5- 0 . 1
-0 . 0 5
0
0 . 0 5
0 . 1
0 . 1 5
(a ) T i e m p o
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acio
n
0 5 10 15-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
(b) Tiempo
Comportamiento de los residuos de estimacion
0 5 1 0 1 5-0 . 0 2
0
0 . 0 2
0 . 0 4
0 . 0 6
0 . 0 8
0 . 1
0 . 1 2
(c ) T i e m p o
Com
porta
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de lo
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sidu
os d
e es
timac
ion
Figura 2.19. Comportamiento en el tiempo de los residuos de estimación. (a) para el modelo ARX
(b) para el modelo O E (c) para el modelo ARMAX.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Los residuos de estimación son menores a medida que pasa el tiempo, Fig. 3.19 (b), para el
modelo OE que para el modelo ARX, pero la predicción de la salida, si es bastante mala
especialmente en los primeros segundos, Fig. 3.17(b).
Ahora observando la estimación de parámetros para el modelo ARMAX, los parámetros
estimados no convergen a los parámetros reales y ni siquiera cerca de los parámetros reales, pero
si convergen rápido. Los parámetros de la parte estocástica del modelo ARMAX no se muestran
el la Fig. 3.18(c). Sin embargo como el modelo contiene una parte estocástica, la predicción de la
salida es igual a la salida contaminada con ruido; Fig. 3.17(c) línea negra predicción, línea azul
salida contaminada con ruido. Ahora bien la salida del proceso determinístico del modelo
ARMAX, es decir del sistema que nos interesa identificar se ve en la Fig. 3.17(c) de color verde,
muestra un comportamiento similar respecto a al salida del sistema real, línea roja en la Fig.
3.17(c). El mejor comportamiento de los residuos de identificación los da la estimación del
modelo ARMAX, los cuales convergen rápidamente a cero y además se mantienen muy cerca a
cero.
A juzgar por los resultados el mejor modelo para identificar un modelo a partir de datos entrada y
salida contaminados con ruido, es el modelo ARMAX, aunque los parámetros estimados no
convergen a los parámetros reales, esto juzgando por la preedición de la salida y por los residuos
de estimación. Si embargo el modelo OE al utilizarlo para identificar un proceso a partir de datos
de entrada y salida contaminados con ruido; los parámetros estimados convergen cerca de los
valores reales del proceso, cualidad que es muy importante si estos parámetros se pretenden
utilizar para el diseño de un control sobre el proceso que se esta identificando. Por ultimo,
definitivamente cuando los datos de entrada y salida de un proceso que se pretende identificar
están considerablemente contaminados con ruido, el modelo ARX con su algoritmo de
identificación de parámetros, no muestran buenos resultados para representar el proceso que se
esta analizando.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
3. NIVELES DE CONTROL
La figura 3.1 muestra los diferentes niveles entre el proceso y un operador. Se tiene en
principio un proceso que se quiere controlar, sobre este sistema se toman medidas en las
variables de interés a través de sensores y se afecta el proceso mediante actuadores.
En general los niveles se pueden dividir en dos grupos:
Control: Son los órganos de control que emplean informaciones numéricas o análogas que
han de ser procesadas por programas procedimentales y secuenciales. Las acciones
directas de control se toman después de un tiempo de calculo en tiempo real.
Supervisión: Este grupo manipula la información simbólica dentro de programas
declarativos. Las decisiones son respuestas dadas después de un tiempo de razonamiento.
Fig.3.1. Niveles de control
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
4. DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS
4.1. GENERACIÓN ANALÍTICA DE RESIDUOS
El conocimiento analítico de un proceso es utilizado para la producción de información
analítica, cuantificable. Para hacer esto, tiene que realizarse un procesamiento de datos
basado en variables medidas del proceso, generando primero los valores característicos
para:
• La comprobación de valor de límite de señales medibles directas. Los valores
característicos son los que exceden las tolerancias de la señal.
• Análisis de señales de las señales medibles directamente, utilizando modelos de
señales como funciones de correlación, espectros de frecuencia, promedio móvil auto
regresivo (ARMA) o los valores característicos (ej. Varianzas, amplitudes, frecuencias o
parámetros del modelo).
• Análisis del proceso usando modelos matemáticos de procesos junto con
estimación de parámetros, estimación de estados y métodos de igualación matemática.
Los valores característicos son parámetros, variables de estado o residuales.
En algunos casos, pueden ser extraídas características especiales de estos valores
característicos, por ejemplo coeficientes del proceso definidos físicamente, o filtrados
especiales o residuos transformados. Estas características se comparan con características
normales del proceso sin falla. Para esto se aplican métodos de detección de cambios e
identificación. Los cambios resultantes (discrepancias) en las señales medidas
directamente, descritas, modelos de señales o modelos de procesos son considerados como
residuos analíticos.
4.2 GENERACIÓN HEURÍSTICA DE RESIDUOS
Además de la generación utilizando información cuantificable, pueden producirse residuos
heurísticos usando información cualitativa de los operadores humanos. A través de la
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
observación humana y la inspección, se obtienen valores heurísticos característicos en
forma de ruidos especiales, colores, olores, desgaste natural, etc. La historia del proceso en
la forma de llevar a cabo el mantenimiento, reparaciones, antiguas fallas, tiempo de vida,
medidas de carga, constituye también una fuente de información heurística. Datos
estadísticos (ej. Probabilidad de falla) logrados de experiencias con el mismo proceso o
similares también pueden tenerse en cuenta. De esta manera son generados residuos
heurísticos, los que pueden ser representados por variables lingüísticas (ej. Pequeño,
mediano, grande) o números difusos (ej. Alrededor de un valor).
4.3. DIAGNOSTICO DE FALLAS
La tarea del diagnóstico de fallas consiste en determinar el tipo, el tamaño y la localización
de la falla, así como su tiempo de detección, basada en los residuos analíticos y
heurísticos observados.
Si no hay conocimiento adicional de causas de residuos de falla disponible, pueden ser
aplicados métodos de clasificación, lo que permite un mapeo de vectores de residuos en
vectores de falla. Al finalizar esto, pueden usarse métodos como clasificación estadística o
geométrica o redes neuronales o agrupamiento difuso. Sin embargo si hay disponible
conocimiento a-priori de causas de residuos de falla, pueden usarse estrategias de
diagnostico con razonamiento.
4.4. MÉTODOS DE DETECCION DE FALLAS BASADOS EN MODELOS.
La tarea consiste en la detección de fallas en el proceso, en actuadores y sensores usando la
dependencia entre las diferentes señales medibles. Estas dependencias son expresadas por
modelos matemáticos de procesos. La figura 4.1 muestra la estructura de detección de
fallas basado en modelos. Con base en las señales de entrada U y señales de salida Y, los
métodos de detección generan residuos r los cuales son llamados características. Al
comparar con las características normales, son detectados cambios en las características,
logrando síntomas analíticos.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Actuadores PROCESO Sensores
Modelo del Proceso
Generación de Características
Detección deCambios
FALLAS
UN
Y
DETECCIÓN DE FALLAS BASADO EN MODELO
COMPORTAMIENTONORMAL
Actuadores PROCESO Sensores
Modelo del Proceso
Generación de Características
Detección deCambios
FALLAS
UN
Y
DETECCIÓN DE FALLAS BASADO EN MODELO
COMPORTAMIENTONORMAL
Figura 4.1. Esquema General de Detección de Fallas Basado en Modelos
4.5. MODELAMIENTO DE FALLAS
Una falla es definida como una desviación no permitida de al menos una propiedad
característica de una variable a partir de un comportamiento aceptable. Así una falla es un
estado de mal funcionamiento o de falla del sistema.
La dependencia de tiempo de las fallas pueden ser distinguidas como:
a. Fallas abruptas
b. Fallas incipientes o crecientes
c. Fallas intermitentes
a b
c
P r o c e s o
F a l l aC a r a c te r ís t i c a f
t
t
f
f a b
c
P r o c e s o
F a l l aC a r a c te r ís t i c a f
t
t
f
f
Figura 4.2 Dependencia de Tiempo de las Fallas
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
4.6. DETECCIÓN DE FALLAS CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
En la mayoría de los casos prácticos los parámetros del proceso no son conocidos, o no son
conocidos con exactitud. Entonces estos pueden ser determinados con métodos de
estimación de parámetros tomando medidas de entrada y la salida del proceso si la
estructura básica del modelo es conocida.
4.6.1. GENERACIÓN DE RESIDUOS
Las fallas son modeladas como cambios en el sistema de parámetros
( )Tmθθθθ ,...,, 21= (4.1)
La operación de libre falla es caracterizada por un vector nominal •
nθ el cual se supone
conocido.
Los residuos son generados usando estimación paramétrica basados en los parámetros
nominales nθ .
Figura 4.3. Esquema de estimación de parámetros
Sea 1̂θ la estimación del parámetro 1θ , dado el estimador de parámetros, el residuo es
entonces definido como:
111ˆ θθ −=r (4.2)
Así para cada parámetro estimado se tiene un residuo
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
mmmr θθ −= ˆ (4.3)
En ausencia de fallas en el sistema todos los residuos tienden a cero. Entonces se puede
considerar que todos los residuos son cero prácticamente después de un transciente del
estimador de parámetros. La aparición de una falla modifica el comportamiento de varios
residuos. Una falla es detectada si cualquiera de los residuos rn dejo de ser cero.
4.7. MÉTODO DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS
La tarea de diagnostico de fallas consiste en la determinación del tipo de falla con tantos
detalles como sea posible tales como el tamaño de la falla, la localización y el tiempo de
detección.
Para solucionar este problema se utiliza clasificación sobre los residuos generados.
Después de que los residuos son generados, estos pueden representarse sobre un vector de
características
[ ]mT rrrR ...,, ,21= (4.4)
Las correspondientes fallas se asumen conocidas y también se pueden representar en un
vector.
[ ]hT FFFF ...,, ,21= (4.5)
Los elementos de F son binarios Fh є [0,1] tomando presencia de fallas “1” y no
existencia “0”.
Si no hay conocimiento disponible sobre las fallas se pueden hallar relaciones entre los
residuos y las fallas utilizando métodos de clasificación.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
PATR ON D E RE FE RE N CIA
C LASIF IC A CION S F S n
S1
S2
F 1
F2 Figura 4.4. Diagnóstico de Fallas usando Métodos de Clasificación
En la figura 6, los vectores RnT son determinados para comportamiento normal del sistema.
Otros vectores RT son generados experimentalmente para ciertas fallas. La relación entre
RnT y R son aprendidas o entrenadas experimentalmente y almacenadas formando una base
de conocimiento explicita. Por comparación de los vectores RT observados y el vector
normal de referencia RnT las fallas F pueden ser concluidas.
La metodología de clasificación que se utiliza son redes adaptivas basadas en sistemas de
inferencia difuso.
4.7.1. REDES ADAPTIVAS
Las redes adaptivas son una serie de nodos interconectados en las cuales, durante el
proceso de aprendizaje, se adaptan las funciones que se realizan en los nodos. El término
“adaptivo” hace referencia a que el comportamiento entrada salida de la red está
determinado principalmente por los valores de un conjunto de parámetros que son
modificables.
a. Estructura
En la figura siguiente se presenta la estructura de una red adaptiva, en la cual los nodos
con parámetros adaptivos se presentan como cuadrados y los no adaptivos como círculos.
Esta es una red de tipo Feed Forward puesto que todos los flujos de información van hacia
la salida; en los desarrollos subsecuentes se hará referencia a este tipo de redes porque
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
redes con lazos de retroalimentación se pueden convertir en redes Feef Forward sin perder
la esencia de los algoritmos deaprendizaje.
Figura 4.5. Red adaptiva
Una de las características más importantes de estas redes es que no tienen que existir pesos
en las interconexiones de los nodos, como si sucede en las redes neuronales, sino que en
este caso el objetivo de la adaptación son los parámetros al interior de cada nodo.
b. Algoritmo de aprendizaje
Para el aprendizaje de estas redes, es decir, el cálculo de los parámetros óptimos de las
funciones que realizan los nodos adaptivos, se emplean algoritmos de optimización que
tienen como objetivo la minimización de una función de error. Para estos algoritmos de
entrenamiento existen dos parámetros que deben fijarse exógenamente: Tamaño de los
pasos y tasa de aprendizaje.
1. Aprendizaje Off-line
Para la actualización de los parámetros se deben conocer todos los datos de entrenamiento.
Si la salida de la red es lineal en algunos de los parámetros, éstos se pueden calcular
mediante el método clásico de estimación de mínimos Cuadrados (LSE).
2. Aprendizaje On-line Los parámetros se actualizan de forma iterativa cada que se
presenta un dato de entrada-salida mediante el método del descenso del gradiente (GD).
3. Aprendizaje híbrido
Debido a que el método de descenso del gradiente puede converger erróneamente a una
solución local y la estimación de mínimos cuadrados es computacionalmente más
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
compleja que el descenso del gradiente, Jang propone un algoritmo híbrido para el
aprendizaje que consiste en una combinación de descenso del gradiente con la estimación
de mínimos cuadrados y permite combinar las ventajas de los dos algoritmos.
En general, dependiendo del proceso que se esté diseñando, de la capacidad computacional
con la que se cuente y del nivel de desempeño deseado, se pueden establecer distintos
algoritmos de aprendizaje híbrido combinando GD y LSE en distintos grados:
− Si se usa solo LSE los parámetros no lineales quedan fijo y solo se pueden identificar
los parámetros lineales.
− Si se usa GD todos los parámetros de la red son actualizados iterativamente por el
algoritmo.
− Uso de LSE como proceso inicial para estimar los parámetros lineales y después se usa
el método GD para actualizar iterativamente todos los parámetros.
− Se usa el algoritmo GD para actualizar los parámetros no lineales de la red mediante el
cálculo del error en las salidas solo con k datos de entrenamiento y luego se usa el LSE
para identificar los parámetros lineales.
− Uso de una aproximación de LSE, linealizando las salidas de la red y luego usando el
algoritmo de Kalman para actualizar los parámetros.
B. Arquitectura de red adaptiva basada en sistemas de inferencia difusa, ANFIS.
Se tiene un conjunto de reglas que conforman un sistema de inferencia de tipo Sugeno de
primer orden como el presentado en la Fig siguiente:
Regla 1: Si x es A1 y y es B1 entonces f = p1x+q1y+r1
Regla 2: Si x es A2 y y es B2 entonces f =p2x+q2y+r2
Figura 4.6. Red adaptiva ANFIS modelo Sugeno
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Este sistema de inferencia es equivalente a la red adaptiva que se presenta en la Fig.
anterior y la función de cada una de las capas es:
Capa 1: Los nodos de la capa 1 entregan el valor de la función de pertenencia evaluada en
el valor de x o y. Para el iesimo nodo de la capa 1 la salida está dada por:
(4.6)
Los nodos de esta capa son adaptivos y los parámetros necesarios son los parámetros de la
función de pertenencia correspondiente, por ejemplo, si se tiene una función gaussiana
como la de la ecuación 2, los parámetros a ajustar son a, b y c, los cuales modifican la
forma de la función.
(4.7)
Capa 2: Los nodos de la capa 2 realizan una T-norma entrelas entradas. Son nodos no
paramétricos puesto que la operación de intersección se escoge a priori antes de comenzar
el aprendizaje. La salida del i-ésimo nodo de la capa 2 es:
(4.8)
Capa 3: Los nodos de la capa 3 son no paramétricos y realizan una normalización de las
entradas, la salida del iésimo nodo de la capa 3 está dada por:
(4.9)
Capa 4: Los nodos de la capa 4 son nodos paramétricos que
realizan una operación lineal entre todas las entradas, dada
por:
(4.10)
donde los parámetros p, q y r son los que se deben ajustar a la
hora de hacer el entrenamiento.
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Capa 5: Finalmente en la capa 5 se realiza la sumatoria de las entradas, que corresponden
a:
(4.11)
Se puede ver que esta salida es exactamente la misma que se tiene después de emplear el
modelo difuso Sugeno (presentado en la Fig. 4.6).
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
5. DESARRO LLO DE LA APLICACIÓN
5.1 PROCESO
En la siguiente figura se muestra el proceso sobre el cual se hace experimentación.
Se tienen cuatro tanques acoplados. En el tanque 1 se introduce agua para controlar el
nivel en cualquiera de los otros tanques.
Figura 5.1. Sistema de Tanques
TANQUE 4
TANQUE 1 TANQUE 2
TANQUE 3
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
5.2 INSTRUMENTACIÓN
Figura 5.2. S istema de Tanques. Acercamiento Bomba.
Cada uno de los tanques cuenta con una bomba (Figura 10). Solo en el primer tanque la
bomba introduce agua, para los demás las bombas funcionan sacando el agua y permiten
simular fallas. Cada bomba tiene su circuito actuador que permite manipularla desde el
computador por medio de una tarjeta de adquisición de datos (Figura 13).
Figura 5.3. Válvula on / off
BOMBA
VALVULA
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Figura 5.4. S istema de Conexiones.
Figura 5.5. Interfaz Tarjeta de Adquisición.
Los tanques están conectados entre sí por medio de válvulas on/off (figura 9). Éstas son
manejadas a través de relevos con la tarjeta de adquisición de datos (figura 13). Cada uno
de los tanques cuenta también con una válvula on/off permitiendo desagües (figura 11).
Para la medición del nivel de los tanques se utilizan sensores de presión (figura 14)
acoplados a amplificadores que permiten mejorar las señales diferenciales que luego son
llevadas por la tarjeta al computador para ser procesadas.
INTERFAZ TARJETA DE ADQUISIC IÓN
RELEVOS CONEXION
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Figura 5.6. Interfaz Tarjeta de Adquisición.
5.3 CONTROL
Sobre el sistema de tanques se configuran los siguientes subsistemas.
Subsistema 1.
Figura 5.7. Subsistema 1
Subsistema 2.
Figura 5.8. Subsistema 2
Sensor de presión
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Para calcular las funciones de transferencia de cada subsistema se realizaron procesos de
identificación numérica y estas están calculadas desde el voltaje de entrada al actuador de
la planta hasta el voltaje de salida del amplificador del sensor de nivel.
ActuadorBomba Subsistema Sensor/
AmplificadorActuadorBomba Subsistema Sensor/
Amplificador Figura 5.9. Subsistemas del proceso.
En el proceso de identificación son necesarios datos de entrada y de salida.
En primer lugar se excitaron los subsistemas utilizando entradas tipo paso y se observó la
respuesta para cada uno. Las amplitudes de la entrada tipo paso se hicieron variables.
Esto permite decidir el periodo de muestreo para el sistema Ts = 1s.
También se generaron señales pseudo-aleatorias para excitar los subsistemas y obtener
datos de salida que permitan excitar lo mas posible los subsistemas y obtener funciones de
transferencia mas precisas.
Funciones de transferencia bajo un esquema de modelo lineal ARX .VS: Voltaje sensor.
VB: Voltaje Bomba
Subsistema 1.
32
22
11
1
1 −−− +++=
zazazab
VV
B
S
b1 =0.0013
a1 =-0.6932
a2 =-0.2162
a3 ==-0.0895
Subsistema 2.
44
32
22
11
121
1 −−−−
−
+++++
=zazazaza
zbbVV
B
S
b1 = 0.0006839
b2 =0.0006839
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
a1 =- 0.6898
a2 =- 0.2243
a3 =- 0.08314
a4 =- 0.001645
El tipo de controlador escogido para controlar los subsistemas es PI difuso, tomando el
siguiente esquema de control:
Control PI Difuso
Planta r e
y Figura. 5.10. Esquema Control
El control para el primer subsistema es:
La entrada al sistema difuso es el error y la integral del error.
Figura 5.11. S istema de dos entradas una salida. 25 reglas
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Figura 5.12. Funciones de pertenencia para la entrada de error
Figura 5.13. Funciones de pertenencia para la entrada la integral del error
Figura 5.14. Funciones de pertenencia del universo de salida señal de control
CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN
Figura 5.15. Superficie de control
5.4. GENERACIÓN DE RESIDUOS Y COMPORTAMIENTOS CON FALLAS
Se toma el primer subsistema para mostrar el cálculo de los residuos y el comportamiento
de fallas.
Los parámetros de condición normal del sistema sin falla son:
b1 =0.0013 a1 =-0.6932 a2 =-0.2162 a3 ==-0.0895
Los residuos son:
111 ˆ aar −= 222 ˆ aar −= 333 ˆ aar −= 444 ˆ aar −=
Sobre el subsistema 1, se llenado hasta una altura de 25cm. Sobre este sistema se hacen
ocurrir diferentes fallas. Falla 1: Válvula on/off se cierra. Falla 2. Fuga en el tanque
abrupto. Fuga 3. Fuga creciente en el tanque.
CONCLUSIONES
Figura 5.16. Comportamiento de los residuos ante la falla
En el sistema se generaron repetidamente estas fallas para generar muchos datos entrada salida
para entrenar un sistema de clasificación; Es decir redes adaptivas basados en sistemas de
inferencia difuso.
5.5. DIAGNOSTICO DE FALLAS
Para los residuos fueron etiquetados con las fallas correspondientes. Para cada falla se entrena
una red adaptiva basada en un sistema de inferencia difuso (FIS). Cada red adaptiva produce un
sistema de inferencia difuso que sirve para diagnosticar fallas. También se entrena un sistema de
inferencia difuso para el caso del sistema libre de falla.
Figura. 5.17. Modelo de diagnostico de fallas
CONCLUSIONES
.
Figura 5.18. Respuesta del modelo de diagnóstico de fallas
El resultado que el sistema de diagnostico detecta los diferentes eventos de fallas que se simulan
en el sistema. La línea verde representa el resultado del diagnostico del sistema de inferencia
difuso que es sensible a detectar la falla 1 , la línea roja es para la falla 2 y la línea naranja es
para la falla 3. Por ultimo los parámetros de libre falla se detectan la respuesta del sistema de
inferencia difuso cuyo diagnostico en la línea negra.
Los sistemas de clasificación tienen un error del 18%
CONCLUSIONES
CONCLUSIONES
• En un proceso de estimación de parámetros es muy importante escoger el modelo con se
quiere representar el comportamiento de un proceso o unos datos de entrada-salida. Si se
escoge un modelo con pocos parámetros para estimar, este no representará fielmente el
comportamiento del proceso; De oro lado, si se escoge un modelo con demasiados
parámetros, se pueden obtener los mismos resultados que representando el proceso con un
modelo de menos parámetros. A esto último se le conoce como sobre ajuste del modelo.
• La función de perdida definida por la estimación de mínimos cuadrados, es una medida
muy importante que permite evaluar que tan precisa ha sido la estimación. Esta puede
indicarnos si es necesario subir o bajar la cantidad de parámetros del modelo que se
escogió para mejorar la identificación o reducir cálculos innecesarios. También puede decir
que definitivamente la identificación que se esta haciendo no puede representar el
comportamiento que se esta estudiando.
• La estimación de mínimos cuadrados se puede utilizar en una infinidad de aplicaciones;
ecuaciones algebraicas, ecuaciones que representen modelos de sistemas, ecuaciones no
lineales, ecuaciones discretas, ecuaciones continuas etc. Lo realmente importante es que las
ecuaciones utilizadas sean lineales en sus parámetros.
• El algoritmo de estimación de mínimos cuadrados puede utilizarse para identificar los
parámetros de cualquier modelo paramétrico, lo trascendental es identificar la estructura de
los vectores, parámetros de estimación y regresión, para cada tipo de estructura
paramétrica, todo con el fin estar seguro de los datos necesarios para el calculo de la
CONCLUSIONES
estimación. Así como el conocimiento y ubicación exacto de los parámetros que se están
calculando.
• La estimación recursiva es vital en la síntesis de controladores adaptativos, puesto que los
datos de entrada salida de un sistema son obtenidas secuencialmente en tiempo real. Esta
estimación debe estar comprometida con el tiempo de muestreo del sistema, ya que
compromete la estabilidad del sistema.
• El método RLS con olvido exponencial, en procesos en que sus parámetros varían con el
tiempo, tiene validez si sus parámetros cambian lentamente. Para parámetros que cambian
abruptamente pero no con mucha frecuencia, se utiliza el método RLS simple, pero
inicializando la matriz )(tP a Iα , donde α es un numero grande.
• Los resultados sobre los datos reales del sistema muestran un desempeño bueno del sistema
de diagnostico de fallas. La generación de residuos fue basada en estimación parametrica
los cuales fueron desarrollados usando estimación recursiva de mínimos cuadrados
recursivos modificados.
• La detección y diagnostico de fallas aplicando metodologías de identificación de
parámetros es altamente dependiente de la identificación correcta de los parámetros del
proceso (actuador-proceso-sensores). Si los parámetros no representan no representan el
proceso mucho menos la metodología de detección y diagnostico de fallas no puede
realizarse de la mejor forma.
• La metodología de clasificación permite encontrar relaciones escondidas entre los
parámetros de la planta y los eventos que ocurren en ella como fallas, perturbaciones, etc.
• La generación de residuos permite tener referencia con respecto a los parámetros reales del
proceso. Cualquier cambio con respecto a los parámetros reales del proceso se detecta
como falla. Las relaciones entre los cambios detectados y las fallas ocurridas definen
CONCLUSIONES
modelos de clasificación (FIS) que se utilizan como sistema para hacer diagnostico de
fallas.
• Se implementaron todos los niveles de control; se toma como proceso un sistema de
tanques acoplados. El sistema fue instrumentado; se hicieron los actuadores que manejan
las bombas y las válvulas como también los circuitos acondicionadores para los sensores.
Se implementaron sistemas de control difuso para manipular el proceso, de esta forma se
monitorean todas la variables que interesan para implementar el sistema de supervisión
basado en estimación de parámetros del proceso para detectar fallas y métodos de
clasificación con sistemas ANFIS para hacer diagnostico de fallas.
ANEXO C
ANEXO C
C.1 NOTACION
( )TΜ : Matriz o vector que se debe transponer.
I : Matriz identidad
C.2 ABREVIATURAS
AR Autoregressive ( auto regresivo)
ARMA Autoregressive moving average ( promedio móvil y auto regresivo)
ARX Autoregressive with exogenous input (auto regresivo con variable exógena)
ARMAX Autoregressive moving average with exogenous input ( auto regresivo y
promedio móvil con variable exógena)
ARARX Autoregressive autoregressive with exogenous input (auto regresivo auto
regresivo con variable exógena)
ARARMAX Autoregressive autoregresive moving average with exogenous input. (auto
regresivo auto regresivo y promedio móvil con variable exógena)
BJ Box-Jenkins
Ec Ecuación.
Ej Ejemplo.
ANEXO C
ESL Mínimos cuadrados extendidos.
Fig Figura.
FIR Respuesta finita al impulso.
LS Least squares. Mínimos cuadrados.
SISO Single input single output. Una sola entrada una sola salida.
RLS Recursive least squares. Mínimos cuadrados recursivos.
RELS Recursive Extended least squares. Mínimos cuadrados extendidos
recursivos.
MA Moving average (promedio móvil)
OE Output error (error de salida)
BIBLIOGRAFIA
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[21] www-eupm.upc.es/~esaii/assign/ident/tema4.pdf Documento en formato pdf sobre
identificación y modelos parametricos lineales, métodos de estimación parametrica temporales.