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PROBLEMAS RESUELTOS

INTRODUCCIN AL CLCULO DIFERENCIAL Y AL CLCULO INTEGRAL

1. Calcular la derivada de:

() = 24 + 3 2 + 4

SOLUCIN

Aplicamos la formula miembro a miembro:

24 4(241) = 83

3 3(31) = 32

2 2(21) = 2

4 0

Por lo tanto la derivada de la funcin ser:

() = 24 + 3 2 + 4

() = +

2

2. Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia

() =5

5

SOLUCIN

Acomodamos la expresin:

() =5

5= 55

Aplicamos la derivada:

() = (5)551

() = 256

Por lo tanto la derivada ser:

() =

3

3. Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia

() = 23

+

SOLUCIN

Llevamos la expresin a exponentes:

() = 23

+ = 23 +

12

Calculamos la derivada:

23

2

3

23 1 =

2

3

13

12

1

2

12 1 =

1

2

12

Construimos la derivada:

() =2

3

13 +

1

2

12

() =2

33 +

1

2

4

4. La posicin de una partcula en coordenadas cartesianas est dada por la

ecuacin:

= () + () + ()

Donde

() = 5 + 62, () = 3, () = 6

t en segundos, x, y, z en metros

Determinar la velocidad y rapidez para t = 1 s.

Determinar la aceleracin y su mdulo para t = 1 s.

SOLUCIN

a) La velocidad instantnea es

=

=

[(5 + 62)]

= 12 + 3

La magnitud de v es

= 122 + 32 = 153 = 12.4 /

b) La aceleracin es:

=

= 12 /2

Cuyo mdulo es:

= 12 /2

5

5. La aceleracin de una motocicleta est dada por:

() = 1,5 0,122

La moto est en reposo en el origen con t=0

a) Obtenga la posicin y velocidad en funcin de t.

b) Calcule la velocidad mxima que alcanza.

SOLUCIN

a) Para encontrar v(t)

=

=

= (1,5 0,122)

Integrando con 0 = 0 y 0 = 0:

= (1,5 0,122)1

0

= 0,752 0,43

Para encontrar x(t)

=

= 0,752 0,43 = (0,752 0,43)

Integrando con 0 = 0 y 0 = 0:

= (0,752 0,43)1

0

= 0,253 0,14

6

b) Para que la velocidad sea mxima la aceleracin debe ser cero:

() = 1,5 0,122 = 0 { = 0

=1,5

0,12= 12,5

Para t=0, la velocidad es mnima

Para t=12,5 la velocidad es:

= 0,75(12,5)2 0,4(12,5)3 = 39,1