Taller 12 - Clculo Diferencial - Clase 29

INSTRUCCIONES: Antes de intentar resolver los ejerci-cios del taller, repase un poco la teora y ejemplos vistos enclase. Realice este taller individualmente o en grupos antesde asistir a la sesin con los monitores.

Para cada uno de los siguientes problemas defina muybien la variable, la funcin a maximizar o minimizar, y lasrestricciones (es decir el intervalo en el cual toma valoresla variable).

1. Considere la viga de longitud L en voladizo que semuestra en la figura. La viga resiste una carga distri-buida de W N/m (o sea fuerza por unidad de longi-tud).

L

x

M(x)

W

a

mg

a

F

Halle los puntos en la viga donde el momento de do-blamiento M es mximo y mnimo.

2. La eficiencia E al atornillar un tornillo depende delngulo de roscado a, y de : el coeficiente de friccinentre el tornillo y el material que lo rodea. Ver figura.Cul es el ngulo a que maximiza la eficiencia?

L

x

M(x)

W

a

mg

a

F

3. Suponga que se quiere arrastrar una caja de masa mhalando de una cuerda atada a un extremo y forman-do el ngulo a con la horizontal. Si el coeficiente defriccin es , la fuerza necesaria para iniciar el movi-miento es F .

mg

a

F

F (a) =mg

cos a+ sin a

Con qu ngulo se debe halar para que la fuerza seamnima? Existe una fuerza mxima?

4. Se quiere disear un recipiente sin tapa y con volumenigual a 32000 cm3. Encuentre las dimensiones paracada uno de los siguientes recipientes que minimizanla cantidad de material a usar: (a) Una caja de basecuadrada. (b) Una lata cilndrica. (c) Un cono. (d)Una pirmide de base cuadrada.

5. Un barco sale de un muelle a las 2 PM y viaja hacia elsur a una velocidad de 20 KM/h. Otro barco ha estadonavegando con rumbo al este a 15 Km/h y llega almismo muelle a las 3 PM. A qu horas estuvieronms cerca de s los dos barcos?

6. Encuentre las dimensiones de los tringulos isscelesde mayor rea que se pueden (a) inscribir, y (b) cir-cunscribir en un crculo de radio r.

7. Para cada una de las siguientes figuras, halle los va-lores de x y y que minimizan el rea, dado que elpermetro debe ser de 100 cm.

x

y

y

x x

y

8. La cantidad de luz (en lu-mens) que llega a un obje-to desde de un bombillo, esinversamente proporcional alcuadrado de la distancia d, ydirectamente proporcional alcoseno del ngulo a que semuestra en la figura.Cul es la longitud del cable b con la que se lograla mejor iluminacin del libro? Suponga que el techoest a dos metros del piso, y que la cama mide 25 cmde alto y 1.5 m de largo.

b

a

d

9. Un agricultor tiene 400 metros de cerca y quiere en-cerrar un rea rectangular, y luego dividirla en cuatrocorrales iguales con vallas paralelas a uno de los ladosdel rectngulo. Cul es el rea ms grande posible decada uno de los corrales?

10. Halle las coordenadas del punto sobre la parbola y =x2 que est ms cerca al punto (3, 0).

11. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el pun-to (3,5) y que corta el primer cuadrante en un trin-gulo de rea mnima.

12. Un teatro cobra 35000 pesos por tiquete para entrar acierta funcin. Como estrategia de mercadeo, el tea-tro promete que si se venden ms de 50 tiquetes, acada espectador se le devolvern 500 pesos por cadatiquete vendido en exceso de los 50 tiquetes. La ca-pacidad mxima del teatro es 150 espectadores. Halleel nmero de espectadores que hacen que la gananciadel teatro sea mxima y mnima. Cree usted que estaes una campaa inteligente?

13. Un pjaro debe alimentar a sus pollitos cazando lom-brices fuera del nido. Se ha observado que cuando elpjaro sale a cazar, vuela hasta un parche de bosque,y empieza a recolectar lombrices en su pico. La can-tidad de lombrices L que toma en su pico dependedel tiempo de recoleccin r y se muestra en la figura.Tiene sentido que la curva sea cncava hacia abajo?

2

4

8

2 4 8

r

L

El mximo nmero que se ha observado que el pjarocace es 8 lombrices en 9 minutos de bsqueda. Eltiempo total de vuelo (del nido al bosque y vuelta) esde 4 minutos. La familia del pjaro quiere se maximicela tasa (en lombirces/minuto) a la cual el pjaro traelombrices al nido, o sea queremos hallar la cantidadde lombrices L que hace que

T (L) =L

tiempo de vuelo + tiempo de recoleccin

sea mxima. Hgalo primero a ojo, y despus, ajus-tando un modelo matemtico de la forma L = c

r a

la grfica dada.

14. Una casa queda cerca de una curva de la carretera yse quiere cercar como se muestra en la figura. Si eldueo tiene 100 metros de cerca, cul el es el reamxima que puede cercar?

20 m

135 o

25o

15. Suponga que usted quiere hacerse rico vendiendo go-mitas en la Universidad. Cada gomita le cuesta a us-ted $80 y debe decidir el precio al cul usted las vendepara maximizar su ganancia. Usted entonces hace elsiguiente experimento: un da las ofrece a 100 pesoscada una, y consigue vender 60 gomitas; otro da (tra-tando de no alterar nada mas) cambia el precio a $200por gomita, y naturalmente vende menos: vendi 40gomitas. La cantidad de gomas que usted vende comofuncin del precio se llama la curva de demanda"delas gomas, digamos D(P ). Asuma que sus clientesson personas sensatas, y que la curva de demanda eslineal. Halle el precio al que debe vender las gomitaspara maximizar su ganancia.

16. Una droga se inyecta en un paciente y se mide laconcentracin de la droga en su sangre. Se sabe que unbuen modelo matemtico para la concentracin tienela forma c(t) = atebt, con t en minutos despus dela inyeccin, y c en ml de droga por ml de sangre. Sila mxima concentracin de 0.3 se obtuvo despus de1.2 minutos, cul es la frmula de c(t)?

17. Una forma de construir un cono de papel es recortan-do un sector de un crculo de papel, y pegando loscorrespondientes radios. Ver figura.

a) Suponga que el radio R es dado (igual a 10 cm).Halle el ngulo a con el cual se construye el conode mayor volumen.

a

R

Una situacin ms realista es la siguiente: el volumendel cono es dado (digamos 100 cm3) y usted como fa-bricante de los conos le interesa resolver los siguientesproblemas de optimizacin:

b) Halle la combinacin de R y a que hacen que elrea total del crculo de papel usado sea mnima.

c) Halle la combinacin de R y a que hacen que elrea del sector circular de papel usado sea mni-ma.

d) Halle la combinacin de R y a que hacen que elrea del sector circular desechado sea mnima.

18. Una poblacin de aves costeras se alimenta en una islaa 5Km de la costa, y anida en un acantilado como semuestra en la figura. Se observa que la mayora de lasaves siguen la ruta mostrada, llegando a la costa alpunto P , ubicado a 9 Km del nido, y luego vuelan enlnea recta por el borde del acantilado hasta el nido.

Isla

13 Km

Nido5 Km

P

La razn de esto, es que las aves prefieren volar sobrela costa que sobre el agua. En efecto, durante el da,las corrientes de aire (que se mueven tratando de dis-minuir su temperatura) bajan haca el agua y se alzancerca a la costa. Se puede esperar entonces, que la ta-sa a la cual el ave gasta energa al volar sobre el agua,digamos Ea (en unidades de Joules/m) es mayor quesu contraparte sobre la costa, Ec. Si suponemos quelas aves minimizan la energa total durante su vuelo,cuntas veces es Ea mayor que Ec?

Respuestas Taller 11

1.

2. a) F, b) F, c) V, d) F, e) F, f) V, g) V, h) F, i) F, j)V, k) F, l)F, m) F, n) V, ) V

3. a) V, b) V, c) V, d) V, e) F, f) V, g) V, h) F, i) F, j)V

4.

5.

6.

7. a) f(x) tiene un mnimo en x = 0 para c > 0, b)x = 1/c es un mnimo para c < 0 y un mximo parac > 0; x = 1/c; es un mximo para c < 0 y unmnimo para c > 0.

8. b) a = 2000, r = 7/10, b = e7.

9. a = 12e, b = 1/8.

10. La media es en dnde se encuentra el mximo def . La desviacin estndar es la distancia entre lamedia y los puntos de inflexin.

11. a) x = 0, x = a/2, b) Si a > 0, x = 0 es unmnimo, c) Si a < 0, d) Si a = 0, p tiene un nicopunto crtico.

Respuestas Taller 12.

1. Mximo en x = L/2, mnimo en x = 0 y x = L.

2. Eficiencia mxima con a = +1 + 2.

3. Fuerza mnima con a = tan1(1/).

4. a) base cuadrada de 40 40 cm2 y altura 20 cm,b) radio de la base igual 14,8 y altura 46,49 cmc) radio del cono 27,85 y altura 39,39,d) base cuadrada de lado 51,39 y altura 36,34.

5. Estuvieron ms cerca a las 2:21:36.

6. a) base igual a3r y altura 3r/2,

b) no existe.

7.

8. El cable debe medir 68.9 cm.

9. Cada corral debe medir 25 40m2.10. El punto es (1, 1).

11. y = 5/3(x 3) + 512. La ganancia mxima ocurre con 60 espectadores, la

mnima con 150 espectadores.

13. La tasa mxima ocurre cuando el pjaro se gasta 4minutos recolectando.

14. El rea mxima que se puede encerrar es 2459.83 m2

y se obtiene si la cerca pasa a 21.69 m a la derechade la casa.

15. Cada gomita se debe vender a $240.

16. c(t) = 0,679e0,833tt.

17. a) a = 1,15,b) R = 6,28, a = 1,15,c) R = 7,05, a = 2,65,d) no existe

18. Ea = 1,6Ec