TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR:

YURANI BOTINAVICTOR ALFONSO LOPEZJANETH PRADA BRAVOOTTO RUEFLISANDRA MILENA BOHORQUEZ

Grupo: 401

TUTORA:

DANYS BRITO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD

INGENIERIA INDUSTRIAL

PROBABILIDAD

CEAD YOPAL

2014INTRODUCCIN

En el siguiente trabajo se dar a conocer lo relacionado con los temas de la unidad 1 en sus captulos 1, 2,3 que nos presenta el curso.El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en el estudio estadstico, el clculo de las probabilidades proporciona reglas para el estudio de experimentos que constituyen base para la estadstica, aplicaremos algunos ejercicios para mayor comprensin luego de relacionar los aspectos tericos en el presente trabajo.

1. ASPECTO TERICORESUMEN DE LA UNIDAD ILa Probabilidad est presente en muchos sucesos de nuestras vidas tal vez muchas de estas no las notamos pero si no detenemos y comenzamos a realizar un anlisis lo notaremos, la probabilidad permite estudiar los eventos de una manera sistemtica y ms cercana a la realidad, entregando una informacin ms precisa y confiable y, por tanto, ms til para las distintas disciplinas del ser humano. Algunos de los conceptos los cuales maneja esta rea son:EXPERIMENTOS ALEATORIOS:La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. En la teora de probabilidades se habla a menudo de experimentos aleatorios y de fenmenos aleatorios, es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular dependiendo del azar.Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qu cara quedar arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.ESPACIO MUESTRAL:Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio o la coleccin de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios.Ejemplo: lanzar un dado y determinar qu cara cae: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}SUCESOS O EVENTOS:Todos estos subconjuntos del espacio muestral (S) los llamamos sucesos o eventos.Suceso o Evento de un fenmeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral (S). Los elementos de S se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. Tambin son sucesos el suceso vaco o suceso imposible, , y el propio S, suceso seguro.Si S tiene un nmero finito, n, de elementos, el nmero de sucesos de E es 2n.TECNICAS DE CONTEOLas tcnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.Se les denomina tcnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de rbol, las que a continuacin se explicarn y hay que destacar que stas nos proporcionan la informacin de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.REGLA FUNDAMENTAL DEL CONTEOSi en experimento est integrado por dos ensayas, donde uno de ellos (una sola seccin o eleccin) tiene m resultados posibles y en otro ensayo tiene n resultados posibles, entonces cuando los ensayos se realizan juntos, se tiene:m x nREGLA GENERAL DEL CONTEO.Si un experimento est compuesto por k ensayos realizados en un orden definido, donde el primero tiene n, resultados posibles, etc. entonces el nmero de resultados posibles para el experimento es:N1 x n2 x n3 xx ni.PERMUTACIONESLas permutaciones son utilizadas cuando se necesita conocer el nmero de formas posibles en las que se puede colocar en orden unos elementos de un conjunto. Si n es un entero positivo, definimos n!=(n)(n-1)(n-2).1 y lo llamamos n-factorial. Tambin definimos 0!=1.As el nmero de permutaciones de n objetos diferente est dado por:Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con los nmeros 1,2,3? Como n es igual a 3 (cantidad de elementos del conjunto), entonces nos queda:Pn=n!= 3!=6 (3*2*1=6)123 321 231213 312 132VARIACIONES Son permutaciones en las que implica un orden en la colocacin de los elementos, tomando nicamente una parte de los elementos.Una variacin puede construirse seleccionando el elemento que ser colocado en la primera posicin del arreglo de entre los n elementos, para luego seleccionar el elemento de la segunda posicin de entre los n-1 elementos restantes, para seleccionar despus el tercer elemento de entre los n-2 restantes, y as sucesivamente. Se trata pues de una permutacin de n elementos tomando r a la vez.El nmero de permutaciones de n elementos tomados r a la vez se denota como Ahora volvemos a los colores.Vamos a pintar un tren de 4 vagones, pintando un vagn con un color diferente si repetir colores, teniendo.Rojo, color 4.Negro, color 3.Verde, color 2.Amarillo, color 1. Ordenando estos colores en el tren tendramos.Rojo Negro Verde Amarillo. 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 4!. Donde 4!=4x3x2x1= 24.COMBINACINUna combinacin es un modo de seleccionar objetos de un conjunto, en donde (al contrario de una permutacin) el orden en el cual se disponen los elementos no es importante. Informalmente, una combinacin es un ordenamiento de n elementos tomados de k en k, con o sin repeticin, llamada sucintamente combinaciones de n en k.En una permutacin, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinacin. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados sern permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados sern combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CBCombinaciones: AB, AC, BCINTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDADExisten tres diferentes formas de definir la probabilidad de un eventoDefinicin Clsica de Probabilidad o a PrioriDefinicin de probabilidad: Es la parte de la matemtica que proporciona modelos para la incertidumbre, esta incertidumbre resulta del experimento aleatorio. La probabilidad de un suceso es un nmero que cuantifica en trminos relativos la opcin de verificacin de un suceso. Los sucesos se denotan con las letras A, B, C; y la letra P denota la probabilidad de un evento ocurra, se escribira como P(A)Enfoque clsico o a priori (Laplance,1812).P(A) = Nmero de casos favorables = NNmero de casos posibles nEnfoque frecuentista o a posteriori (Bernoulli)La frecuencia relativa de un evento durante un gran nmero de intentos.Frmula, fr = Nmero de veces que ocurre (A) P(A) = Lim N Nmero de pruebas n n

Probabilidad Subjetiva, est basada en la manera de pensar de las personas al referirnos si efectan un estimacin de probabilidad.Axiomas de probabilidadRegla de la adicin.Por lo general estamos interesados en una probabilidad que suceda una cosa u otra es decir la probabilidad en la unin de dos eventos, mutualmente excluyentes, su regla es: P (AUB) = P(A) + P (B)Si son los eventos incluyentes su frmula es: P (AUB) = P (A) + P (B) P (AB).Reglas de la multiplicacin.Cuando se presentan dos eventos, el resultado del primero puede causar efectos en el segundo o no puede tenerlo.Si los eventos son independientes la regla es: P (AB) = P (A) * P (B).Si los eventos son dependientes La regla es: P (AB) = P (A) * P (B/A).P (BA) = P (B) * P (A/B).Axiomas significado, P = probabilidad, S = espacio, A = evento.a-P (S) = 1.b-0 P(A) 1Los anteriores axiomas implican los siguientes resultados. Un suceso imposible P () = 0.Un suceso seguro P (A) = 1.Para cualquier evento (A) P (A) + P (A') = 1 despejamos P (A) = 1 P (A').Si el evento A1 est contenido en el evento B2 P (A1) P (B2).Probabilidad condicional.Probabilidad del suceso(A), sabiendo que el suceso (B) se ha realizado se escribe, P (A/B) por lo tanto tenemos P (BA) = P (B) * P (A/B) despejando P (A/B) queda, P (A/B) = P (BA). P (B)P (AB) = P (A) * P (B/A) despejando P (B/A) queda,P (B/A) = P (AB) P (A)Probabilidad total.La probabilidad total de un evento es la suma cuidadosa de las probabilidades en todos los casos mutualmente excluyentes.Parte de la frmula condicional P (A/B) = P (AB) / P (B).Donde P (AB) = P (A).P (B/A) / P (B) despejamos P (B)P (AB).P (B) = P (A).P (B/A) Si A1, A2.An son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unin es el espacio muestral (A1U A2U An) = E y (B) otro suceso resulta.P (B) = P (A1).P (B/A1) + P (A2).P (B/A2)..P (An).P (B/An).Teorema de BayesEl Teorema es el resultado de aplicar la probabilidad total y la propiedad condicionada, permite encontrar probabilidades condicionadas.Demostracin, P (Ai/B) = P (AiB)/P (B)P (AiB)/P (B) =P (Ai).P (B/Ai)/P (B).Como sabemos, la probabilidad de B es la probabilidad total remplazamos.P (Ai).P (B/Ai)/P (B) entonces tenemos si A1,A2,.An son sucesos incompatibles 2a 2, cuya unin es el espacio muestral (A1U A2U An) = E y (B) otro suceso, resulta.P (Ai/B)=P(Ai).P(B/Ai)=P (Ai).P (B/Ai)/ P (A1).P (B/A1) + P (A2.P (B/A2)P (B)P (An.P (B/An).

2. EJERCICIOS Captulo 1

3.- Michael y Robert son dos turistas ingleses que han viajado al Per a conocer una de las siete maravillas del mundo. Despus de visitar Machu Pichu, ellos deciden ir a disfrutar de las comidas tpicas que se ofrecen en el restaurante El ltimo Inca. A Carlos, el sobrino del dueo, se le ha encomendado la tarea de observar que platos tpicos comern los dos turistas. La lista de platos es la siguiente: Trucha con papas fritas, Milanesa de alpaca, Cuy con papas, Guiso de alpaca. Suponiendo que cada turista pedir solo un plato, responda a las siguientes preguntas acerca de lo observado por Carlos.Cul es el espacio muestral del experimento? Defina dos eventos A y BSolucin1. espacio muestral del experimento?

T=Trucha con papas fritas M= Milanesa de alpacaC= Cuy con papasG = Guiso de alpacaS = {TT, MT, CT, GT,TM, TC, TG, MC, MG, GC, GM, CG, CM, MM, CC, GG}b) En qu consiste el evento A: Los dos turistas comen el mismo plato.A = {TT, MM, CC, GG}B: Los dos turistas comen platos diferentesB= {MT, CT, GT, TM, TC, TG,MC, MG, GC, GM, CG, CM}C: Ninguno de los dos come Trucha con papas fritasC= {MC, MG, GC, GM, CG, CM }

6.- A una reunin llegan Carmen, Lola, Mercedes, Juan, Fernando y Luis. Se eligen dos personas al azar sin importar el orden, Describa el espacio muestral de este experimento.

SolucinPersonas:Carmen= CLola= LoMercedes= MJuan= JFernando= FLuis= Lu

n= 6r= 2

N de casos posibles = (n) = 6! = 15 r 4! 2!

= { (C,Lo)(C,M)(C,J)(C,F)(C,Lu)(Lo,M)(Lo,J)(Lo,F)(Lo,Lu)(M,J)(M,F)(M,Lu)

(J,F)(J,Lu)(F,Lu) }

Captulo 2

1.- Cuatro matrimonios compran 8 lugares en la misma fila para un concierto. De cuantas maneras diferentes se pueden sentar a) sin restricciones? b) si cada pareja se sienta junta? c) si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres? Solucina los matrimonios se pueden sentar de 40320 maneras diferentes sin tener ninguna restriccin se calcula como una permutacin de 8!=87654321=40320b si cada pareja se sienta junta solo ocupan 4 lugares por tanto se pueden sentar de 4!= 24 maneras diferentes.Ahorra cada pareja ocupa una pareja de asientos en la que la combinacin de hombre, mujer mujer, hombre de 4 parejas son 2222 formas = 16Entonces al multiplicar estas cantidades obtenemos 2416 = 384 formas de sentarse.c- si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las mujeres nos deja con 4 asientos para hombres y 4 para las mujeres entonces el total sera el producto de estas 2 permutacines4! 4! = 24 24 = 576 formas.

2.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comit de 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse el comit si: 1.- Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer. 2.- Una mujer determinada debe pertenecer al comit. 3.- Dos hombres determinados no pueden estar en el comit. Teniendo en cuenta que todos son caso de combinacin en el que un grupo de tres personas si se cambia el lugar de estas sigue siendo el mismo grupo de personas, recordar la frmula que es

Solucin1.- Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer.De los hombres tenemos 5C2 = 10De las mujeres tenemos 7C3 = 35Por tanto tenemos que el comit puede formarse de 10*35 = 350 formas diferentes2.- Una mujer determinada debe pertenecer al comitDe los hombres tenemos 5C2 = 10De las mujeres tenemos que sacar a una la que estar obligatoriamente eso nos da 6C3 = 20Por tanto tenemos que el comit puede formarse de 10*20 = 200 formas diferentes3.- Dos hombres determinados no pueden estar en el comit.De los hombres tenemos que sacar a dos los que estarn obligatoriamente eso nos da 3C2 = 3De las mujeres tenemos 7C3 = 35Por tanto tenemos que el comit puede formarse de 3*35 = 105 formas diferentes

6.- En un grupo de teatro hay 10 hombres y 6 mujeres. Cuatro de los hombres pueden actuar como actores masculinos principales y los otros actuarn en papeles secundarios, tres de las mujeres pueden actuar en papeles femeninos principales y las otras en papeles secundarios. De cuntas maneras pueden elegirse los actores para una obra de teatro que exige un actor principal, una actriz principal, dos actores secundarios y tres actrices secundarias?

Solucin

Debido a que no se necesita orden en los grupos de actores que se Forman se usa combinacin para contar.

Para seleccionar 1 actores Principal de 4:4C1 =4

Para seleccionar 2 actores secundarios de 6.6C2 =15

Par seleccionar 1 actriz principal de 33C1 =3

Par seleccionar 3 actrices secundarias de 3 3C3 =1

Finalmente se tiene la multiplicacin de las combinaciones anteriores

4C1 x 6C2 x 3C1 x 3C3

4 x 15 x 3 x 1 = 180

Se pueden elegir actores de 180 maneras

14.- En un saln de clase de knder hay ocho figuras de plstico: tres cuadrados, tres tringulos, y dos rectngulos. Las figuras no se pueden distinguir de otro modo. De cuantas maneras pueden ordenar los estudiantes las figuras si quieren hacer con ellas una fila sobre la mesa?

Solucin P(4)= 4!= 4*3*2*1= 24

Tomamos el valor obtenido (24), ahora, cada pareja se puede poner de 2 formas, luego esto multiplica las posibilidades por 2 cuatro veces.

24*24= 24*16= 384 maneras

Captulo 3

3.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar ingls, 36 saben hablar francs, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a.- Cul es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b.- Cul es la probabilidad de que hable francs, sabiendo que habla ingls? c.- Cul es la probabilidad de que solo hable francs

Hablan francsNo hablan francs

Hablan ingles123648

No hablan ingles244872

3684120

A: Saben hablar ingls. B: Sabe hablar francs

a.- Son compatible por que poseen elementos comunes entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B)= 48/120 + 36/120 12/120 = 72/120 = 3/5 =0.6%

b.- P(B/A) = P(AB)/P(A) = (12/120)/(48/120) = 12/48 = =0.25%

c.- P(B) = 24/120 =1/5 =0,2 P(BnoA) = 24/120 =1/5 =0,2

7.- Una seora tiene dos nios pequeos: Luis y Too. Ella sabe que cuando hacen una travesura y son reprendidos. Luis dice la verdad tres de cada cuatro veces y Too cinco de cada seis. Cul es la probabilidad de que los dos se contradigan al establecer el mismo hecho?

Solucin

Sean los sucesosL = {Luis dice la verdad} T = {Too dice la verdad}. Entonces, P (L)=3/4 =0.75 Probabilidad de que Luis dice la verdadP (L)'=1/4 =0.25 Probabilidad de que Luis mienteP (T)=5/6 =0.83 Probabilidad de que Too dice la verdadP (T)'=1/6 =0.17 Probabilidad de que Too mienteComo son mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de cuando se contradigan.P=P (Luis dice la Verdad y Too miente)+P (Luis miente y Too dice la verdad)P = (P (L) P(T)') (P(L)' P(T)) = 0.75 x 0.17+ 0.83 x 0.25= 0.128+0.208=0.33=1/3

CONCLUSIONES

La elaboracin de este trabajo nos permiti adquirir y afianzar conocimientos frente a los temas dispuestas en la unidad 1 y sus captulos 1, 2 y 3. La elaboracin de este trabajo nos permiti interactuar como grupo colaborativo. A travs de la solucin de los ejercicios se logr mayor comprensin a los aspectos tericos. Los modelos de probabilidad pueden ayudar enormemente a los negocios y organizaciones para optimizar sus polticas y tomar decisiones seguras y oportunas.