T3_IC1011

Tema3.DistribucionesComunesEstads6cayMtodosNumricos

ngelBarnCalderangelCoboOrtega

MaraDoloresFrasDomnguezJessFernndezFernndez

FranciscoJavierGonzlezOr@zCarmenMaraSordoGarca

DEPARTAMENTODEMATEMTICAAPLICADAY

CIENCIASDELACOMPUTACIN

UNIVERSIDADDECANTABRIA

License:Crea6veCommonsBYNCSA3.0

TEMA3Distribucionescomunes

Introduccin

Distribucionesdiscretascomunes

SucesodeBernoulli

MltiplessucesosdeBernoulli

BinomialB(n,p),GeomtricaG(p),BinomialnegativaBN(r,p)

Muestreosinreemplazamiento.HipergeomtricaHG(N,D,n)

SucesosdePoisson

Distribucionescontinuascomunes

TiempoentresucesosdePoisson.ExponencialyGamma

Ladistribucinnormal

Aproximaciondedistribucionesdiscretasmediantelanormal

Unexperimentoaleatoriotieneasociadaunadistribucindeprobabilidadarbitraria.

Existennumerososproblemasrealesconcaractersticassimilares que tienen asociados una misma distribucindeprobabilidad comna todosellos (salvoquiz algnparmetroparaadecuarlaalproblemaconcreto).

Cambiodenotacin:

Tema2:X

A partir de ahora, algunas X tendrn nombre.e.g:B(n,p)G(p)

Distribucionescomunes

Veremosunaseriededistribucionesdeprobabilidadconnombrepropio.Paracadaunadeellasveremos:

Motivacinprctica/condicionesparasuuso

Valoresposiblesdelav.a.ydesusparmetros

Funcindeprobabilidad(discr.)odensidad(cont.)

Funcindedistribucin(sisepuedeescribirdeformasencilla)

Valoresperadoyvarianzaenfuncindelosparmetros

Distribucionescomunes

Lanzarunamonedaalaireyversisalecara(xito).p=0.5

ExperimentosconmsvaloresposiblespuedenreducirsealdeBernoulli:Lanzarundado

Obtenerun6(xito,p=1/6)ono(fracaso,q=1p=5/6)

Ejemplo:

SucesodeBernoulli

Es el experimento aleatorio ms sencillo en el queslosonposiblesdosresultados:

x=1(xito)x=0(fracaso).

Elxitoseobtieneconprobabilidadp.

SucesodeBernoulliFu

ncionde

proba

bilidad

BinomialB(n,p)

UnavariablealeatoriaXsellamabinomialsisuvalores igual al nmero de xitos que ocurren en npruebas independientesdeBernoulli teniendo todaslamismaprobabilidaddexitop. Sucesindenintentosidnticos.

Encadaintentoslosonposiblesdosresultados:xitoofracaso.

Laprobabilidaddexito(p)eslamismaentodoslosintentos.

Losintentossonindependientes.

Elnmerodecarasobtenidoallanzarunamonedaalaire20vecesesunavariableBinomialdeparmetrosB(20,0.5)

Ejemplo:

BinomialB(n,p)

UnavariablealeatoriaXsellamabinomialsisuvalores igual al nmero de xitos que ocurren en npruebas independientesdeBernoulli teniendo todaslamismaprobabilidaddexitop.

Propiedadreproductivarespectoalparmetron:

Si X~B(n1, p) e Y~B(n

2, p) son variables aleatorias

independientes,entonces:

X+Y~B(n1+n

2,p)

BinomialB(n,p)

Funcindeprobabilidad:

Combinacionesposiblesconxxitos

Probabilidaddeobtenerxxitos

choose(n,x)Enlacalculadora:nCr

BinomialB(n,p)

Funcindeprobabilidad:

Funcindedistribucin:

Notieneformaanalticasencilla

ValoresperadoVarianza

pbinom(x,n,p)

dbinom(x,n,p)

BinomialB(10,0.2)

Rtip>n

GeomtricaG(p)yBinNegBN(r,p)

Bajo las mismas condiciones de la distribucinbinomial (mltiples sucesos de Bernoulliindependientes teniendo todos la mismaprobabilidad de xito p), se definen las variablesaleatorias

G(p) GeomtricaodePascal:cuentael nmerodeintentoshastaqueseobtieneelprimerxito.

x=1,2,3,...

BN(r,p) Binomialnegativa:cuentael nmerodeintentoshastaqueseobtieneelrsimoxito.

x=r,r+1,r+2,...


Bajo las mismas condiciones de la distribucinbinomial (mltiples sucesos de Bernoulliindependientes teniendo todos la mismaprobabilidad de xito p), se definen las variablesaleatorias

ElnmerodevecesquetengoquelanzarunamonedaalairehastaqueobtengocaraporprimeravezesunavariablealeatoriageomtricaG(0.5)

Elnmerodevecesquetengoquelanzarundadohastaquemesaleun6porterceravezesBN(3,1/6)

Ejemplo:


Variablegeomtrica:

Variablebinomialnegativa:

G(p)=BN(1,p)

notieneformaanaliticasencilla

GeomtricaG(p)yBinNegBN(r,p)G(0.5)p

X(x)BN(3,0.5)

G(0.5)FX(x)BN(3,0.5)

Ejercicio

Hipergeomtrica,HG(N,D,n)

DadaunapoblacionfinitadeNelementos,enlaquehayDelementosespeciales(conalgunapropiedadquelosdiferencia del resto), la variable hipergeomtrica cuentaelnmerodeelementosespecialesenunamuestrasinreemplazamientodetamaontomadadeesapoblacin.

EnelexperimentodeladerechaN=6D=4n=3x=2

Ejemplo:

Hipergeomtrica,HG(N,D,n)

Si llamamos p=D/N, el valor esperado y la varianzaresultan:

N>>n

HG(N,D,n)B(n,D/N)

Ejercicio

Poisson,Po()

Unavariable aleatoria dePoissoncuenta el nmerode ocurrencias de un suceso (de Poisson) en unciertointervalodetiempootramodelespacio.

X:Nmerodecamionesquepasanporunpuntodeunacarreteraenunahora

Y:Nmerodepeticionesaunservidorwebenunda

Z:Nmerodebachesencadakilmetrodeunacarretera

X,Y,Z~Po

Ejemplos:

Poisson,Po()

UnprocesodePoissonhomogneodebesatisfacer: Elnmerodeocurrenciasdelsucesoendosperiodosdetiempo(tramosdel

espacio)nosolapadossonvariablesaleatoriasindependientes.

LaprobabilidaddeocurrenciadeunnmeroxdesucesosdePoissonendosintervalosdelamismaduracint(olongitud)eslamisma.

Laprobabilidaddequeocurraunnicosucesoenunintervalopequeotesproporcionalaltamaodelintervalo:

Laprobabilidaddequeocurramsdeunsucesoenun intervalopequeotesdespreciablefrentealaanterior.

eslatasadeocurrencia(unidades:[tiempo]1o[espacio]1)y =t esel nmeromediodeocurrencias (adimensional)enunintervalodetiempotfijadoenladefinicindelav.a.

Poisson,Po()

Propiedadreproductivarespectoasuparmetro:

SiX~Po(1)eY~Po(

2)sonv.a.independientes

X+Y~Po(1+

2)

Aproximacinbinomial:

p5

B(n,p)Po(np)

notieneformaanalticasencilla

Ejercicio

TEMA3Distribucionescomunes

Introduccin

Distribucionesdiscretascomunes

SucesodeBernoulli

MltiplessucesosdeBernoulli

BinomialB(n,p),GeomtricaG(p),BinomialnegativaBN(r,p)

Muestreosinreemplazamiento.HipergeomtricaHG(N,D,n)

SucesosdePoisson

Distribucionescontinuascomunes

TiempoentresucesosdePoisson.ExponencialyGamma

Ladistribucinnormal

Aproximaciondedistribucionesdiscretasmediantelanormal

Exponencial,Ex()

(tasadeocurrenciadesucesos)tienedimensiones[tiempo]1

ProbabilidaddequenosucedaningnsucesodePoissoneneltiempo(0,t)=

Cuandosecumplen lashiptesisdeunprocesodePoisson homogneo, se puede definir una variablealeatoria continua T que representa el tiempo quetranscurreentredossucesosdePoisson.

Probabilidad de que estavariableexcedauntiempot

Exponencial,Ex()

Derivando la funcin de distribucin obtenemos lafuncindedensidad:

Ejercicio

Gamma,Ga(k,)

Una variable aleatoria positiva T tiene distribucin deprobabilidadGammasisufuncindedensidadesdelaforma:

Si k es entero, sirve para modelizar el tiempo quetranscurre hasta el ksimo suceso de Poissonhomogneo.EntalcasoseconocecomodistribucindeErlangy(k)=(k1)!

Ga(1,)=Ex()

FuncinGammadeEuler:

Gamma,Ga(k,)

Lamediaylavarianzason:

La distribucin Gamma es reproductiva respecto alparmetrok:

X~Ga(k1,a)Y~Ga(k

2,a)XeYindependientes

X+Y~Ga(k1+k

2,a)

Ejercicio

Normalogaussiana,N(,2)

Es(posiblemente)ladistribucinmsimportante:

Multitud de fenmenos se comportan segn estadistribucin: distribucin de pesos, alturas,coeficientes de inteligencia, errores en lamedida,...(Teoremadellmitecentral)

Adems, se utiliza para aproximar otrasdistribuciones.


La curva de densidad essimtrica, unimodal y conformadecampana.Lamedialamodaylamedianacoinciden.

Rtipxmin


Funcindedensidad: dnorm(x,mean=0,sd=0.5)

Teoremadellmitecentral

La suma de N variables aleatorias, (casi)independientementedesudistribucin,sigueunadistribucinNormalcuandoN


SiX~N(1,21) eY~N(2,

22) son variables aleatorias

independientes,entonces:X+Y~N(1+2,

21+

22)

La v.a. Normal es reproductiva respecto de susdosparmetros:

Lamentablemente, la funcin de distribucinnormalnotieneunaexpresinanalticayhayquerecurriratablasoaunordenadorparasuclculo.

pnorm(x,mean=0,sd=0.5)


Las tablas de la funcin de distribucin normal listannicamenteladistribucionnormaltipificadaN(0,1)

Para buscar en la tablaprocederemos a tipificarnuestrav.a:

x =1 x

P X1.02 =1P X1.02=11.02=10.8461=0.1539

1,02Z

0,8461


P(Z


P(1,02

Ejercicio

Aproximacionesconlanormal

SiunavariableX~B(n,p),tieneparmetrongrandeynipni (1p)estnprximosa0, la funcindedistribucinB(n,p)puedeaproximarseporunanormal:N(np,np(1p))

Esdecir:

Estaaproximacinestantomejorcuantomayoresn.

EnlaprcticaseconvienequeunadistribucinbinomialpuedeaproximarseporlaNormalcuando

np>5yn(1p)>5


Esta aproximacin se mejora con la llamadacorreccinporcontinuidad:

F Bn , px F N 0,1 xnp0.5np 1 p

Ejercicio


Z=X0.5

CuandoenunadistribucinPo( ) , tiendea infinito, lafuncindedistribucinPo( )puedeaproximarseporunaN( , )

Esdecir:

En la prctica se conviene que una distribucin dePoissonpuedeaproximarseporlaNormalcuando >5

Estaaproximacinsemejora con la llamadacorreccinporcontinuidad:

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