T’atreveixesamb les mates?

7Quadern d’Activitats

Segon Cicle • ESO

José Luis Uriondo GonzálezSilvia Pérez Mateo

Ángela Vallejo Martín-Albo

BARCELONA • MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÈXICNOVA YORK • PANAMÀ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÀ • SANTIAGO • SAO PAULO

AUCKLAND • HAMBURG • LONDRES • MILÀ • MONT-REAL • NOVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SYDNEY • SINGAPUR • SAINT LOUIS • TÒQUIO • TORONTO

atreveixes amb les mates? Estem segurs que sí. Aprendre matemàtiques pot ser una aventurainteressant i amena. Per això t’oferim aquest quadern d’activitats amb exercicis i problemes

complementaris als que realitzes a classe. Així podràs consolidar la comprensió dels continguts que has estudiat iresoldre els dubtes que se’ns plantegen a tots al llarg del curs.

T’atreveixes amb les mates? 7 és un quadern dividit en cinc unitats temàtiques: «Nombres racionals», «Polinomis»,«Equacions de primer i segon grau», «Sistemes d’equacions lineals» i «Successions i progressions». Cada unitatcomença amb un apartat anomenat Fes un repàs, en el qual t’oferim una síntesi dels continguts teòrics quenecessites entendre per fer els exercicis.

La resta és cosa teva. No oblidis llegir detingudament els enunciats dels exercicis per estar ben segur del que espregunta abans de posar-te mans a l’obra. Sigues ordenat i net; confia en tu mateix i... l’èxit està garantit!

T’

ndex1. Nombres racionals

• Fraccions i nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7• Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10• Aproximacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Polinomis

• Expressions algèbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18• Monomis. Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20• Polinomis. Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23• Mètode de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Equacions de primer i segon grau

• Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31• Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34• Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Sistemes d’equacions lineals

• Sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43• Mètodes de resolució . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44• Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Successions i progressions

• Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53• Tipus de successions. Fites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56• Progressions aritmètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58• Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Í

Fes un repàs

1➔ Fraccions i nombres decimals

• Siguin a i b nombres enters amb b �/ 0.

La fracció és un nombre que expressa:

� que es prenen a parts de les b parts iguals en què s’ha dividit la unitat.� un operador.� una raó. Si el denominador és 100, s’anomena tant per cent.� el quocient de a entre b.

• Expressió decimal d’una fracció és el nombre decimal que s’obté efec-tuant el quocient.

• Fracció generatriu d’un nombre decimal és la fracció l’expressió deci-mal de la qual coincideix amb el nombre decimal. Observa la taulasegüent:

ab

5

Nombres racionals1

Exemple:

de 20 � � 8

són boles negres

� � 40 %

� 2 : 5 � 0,425

40100

25

25

2 · 205

25

25

Exemple:

�

0,75 � 0,753 · 8 � 6 · 4

68

34

� { , , , , …}1015

812

69

46

23

23

>

� � � � > 01142

2442

3542

47

56

47

56

• Fraccions equivalents

Dos fraccions i són equivalents si expressen el mateix nombre. Si

dues fraccions són equivalents:

� tenen la mateixa expressió decimal.� a · d � b · c

• Fracció irreducible

És la fracció el denominador i el numerador de la qual són nombres pri-mers entre ells.

➔ Nombres racionalsTotes les fraccions equivalents entre elles expressen un mateix nombreque s’anomena nombre racional.

El conjunt de tots els nombres racionals es representa amb la lletra �.

• Ordenació de nombres racionals

� Si tenen diferent signe, el signe positiu sempre és major.� Si tenen el mateix signe: p > q si p � q > 0.

cd

ab

Pur Mixt

2,37 �

0,064 � �8

12564

1000

237100

Nombre decimal exacte Nombre decimal periòdic

z � 4,�3

10z � 43,�3

10z � z � 43,�3 � 4,�3 � 39

9z � 39 ➔ z � �133

399

z � 1,5�7

10 · z � 15,�7

100 · z � 157,�7

100z � 10z � 157,�7 � 15,�7 � 142

90z � 142 ➔ z � �7145

14290

6

7,324 � 7,32

9,365 � 9,373,47 � 3,5

• Representació en la recta de nombres decimals

• Operacions amb nombres racionals

➔ AproximacionsL’aproximació és substituir el valor exacte d’un nombre per un d’apro-ximat. Un mètode d’aproximació és l’arrodoniment. Si la primera xifraque s’elimina és:

• menor que 5, l’última xifra que hi ha es queda igual. S’anomena apro-ximació per defecte.

• major o igual que 5, l’última xifra que hi ha augmenta en una unitat.S’anomena aproximació per excés.

➔ Nombres irracionalsSón els nombres que no podem expressar mitjançant una fracció.L’expressió decimal d’aquests nombres té infinites xifres decimals noperiòdiques. Per exemple: π, ��2, ��3…

Menor que la unitat Major que la unitat

0 1 225

0 1114

2 3s’agafen 2 parts

5 parts igualssemirecta

semirecta

4 parts iguals

s’agafen 3 parts

25 � 2

34

114

Suma i resta

Divisió

Jerarquia de les operacions

Multiplicació

• Producte de fraccions

• Potència d’una fracció

Han de tenir el mateix denominador; si no el tenen, es calculen fraccions equi-valents a les donades que tinguin el mateix denominador.

� � � � � � � � � � � �215

860

4560

2560

1260

3 · 1560

5 · 560

1 · 1260

34

512

15

: � · � : (� ) � · (� ) � � � � � �914

3656

4 · 97 · 8

98

47

89

47

a · db · c

dc

ab

cd

ab

Les operacions s’efectuen tenint en compte l’ordre següent:

1r. Operacions entre parèntesis.

2n. Multiplicacions o divisions en l’ordre en què apareguin.

3r. Sumes i restes.

· � · � � �

( )p � (� )2 � �

( )�p� ( )p � ( )�2

� ( )2 �9

4937

73

bp

apba

ab

916

32

4234

ap

bpab

107

2014

4 · 57 · 2

52

47

a · cb · d

cd

ab

Nombres racionals • Fraccions i nombres decimals7

1. Quina fracció hem acolorit en cada figura?

2. Acoloreix les fraccions que s’indiquen en les figures següents:

3. Col·loca les fitxes següents de manera que es formi un tren de fraccions equivalents, és a dir, si dues fitxes estoquen, les fraccions que estan contacte han de ser equivalents.

Fraccions:

710

56

14

13

15

96

24

14

1510

912

1620

12361260

1530

525

50150

26

75

25100

45

1545

2

42

126

34

1530

525

75

25100

2 42

96

24

912

1620

14

1510

1236

1260

50150

26

45

1545

126

34

8

4. Calcula la fracció equivalent irreductible de les fraccions següents:

a) � b) � c) � d) �75654

1 848216

75435

18028

5. Calcula mentalment l’expressió decimal de les fraccions següents i ordena-les de menor a major:

a) � b) � c) � � d) � e) � �

Ordenació:

310

46

15

25

14

6. Representa en la recta les fraccions � i .156

35

7. Calcula el terme que manca en les parelles de fraccions equivalents següents:

8. Calcula la fracció generatriu dels nombres decimals següents:

a) 1,205 b) 0,789 c) 3,�8

d) 12,2�4 e) 9,�97 f ) 5,2�13

a) �

d) �

b) �

e) �

c) �

f ) �2 5100

12 2030

80 100

4

�10 6

�5

2 872

9103

–2 –1 1 2 30

Nombres racionals • Fraccions i nombres decimals9

9. Calcula mentalment.

a) de 200 � b) de 150 � c) de 40 �

d) 25 % de 50 � e) 30 % de 120 � f ) 150 % de 20 �

g) 60 % de 10 � h) 40 % de 60 � i) 50 % de 125 �

710

35

18

10. Escriu el tant per cent o la fracció corresponent.

a) 5 % � b) 10 % � c) � d) 75 % �

e) � f ) 80 % � g) 20 % � h) �310

35

25

11. Aquestes són les etiquetes d’alguns articles rebaixats en una botiga. A cada etiqueta ha d’aparèixer el preu d’abans de la rebaixa, el preu posterior a la rebaixa i el tant per cent rebaixat. Malauradament alguns preuss’han esborrat. Esbrina’ls! Si cal, arrodoneix el resultat.

12. Quan l’aigua es congela, augmenta el seu volum un 10 %.

a) Quin serà el volum de 24 L d’aigua després de congelar-se?

b) Quin serà el volum en estat líquid de 245,7 L d’aigua gelada?

13. El preu sense impostos d’un article és de 21 € i amb impostos és de 22,68 €. Quin tant per cent suposen elsimpostos?

Abans: 21,5 €

Ara: ...........

Rebaixa del 28 %

Abans: ............

Ara: 9,18 €

Rebaixa del 15 %

Abans: 24,2 €

Ara: 14,52 €

Rebaixa del ..........%

76

23

0

10

14. Col·loca adequadament els parèntesis per tal que les igualtats siguin correctes. Acaba les operacions.

a) � � · � 2 · : � � � · : �

b) · : (�2) � � · 3 � · (� ) � · 3 �

c) � (� ) � : � · 4 � 6 � (� ) : · 4 � 6 �

d) � � � · : 1 � �

e) · : � 2 � � � · : � � � · � � � · (� ) � �29

766

15

29

16

466

15

29

16

114

16

15

29

16

34

16

15

221

221

45

78

18

14

12

3421

5744

13

97

54

611

12

176

610

43

12

103

65

43

15

86

72

32

15

13

46

72

32

15. Completa els numeradors, els denominadors i els exponents que falten:

a) ( )3 � b) ( ) � 625 c) ( )�3� d) ( )2 �

e) ( )�2� f ) ( )�5

� g) (� ) � h) ( )�2�

259

1681

94323

27

645

8315

646

16. Completa el quadrat màgic següent. Per això hauràs d’esbrinar les xifres que falten perquè les diagonals, lesverticals i les horitzontals sumin un nombre: el 2. Tingues en compte que pots utilitzar nombres negatius.

Nombres racionals • Operacions11

17. Fes les operacions següents, però simplifica quan sigui possible abans d’operar:

a) � � [ · (�2) � · (� )] : · (� ) �

b) · · · · �

c) 3 � (�5) : � (� )2 · [(�6) · ( )2 � (� )�3: (�3)3] �

19

76

14

73

498

47

103

275

256

15

109

35

73

56

14

12

18. Tres amics han de posar gasolina per fer un curt viatge en cotxe. El primer amic paga 5 L, el segon 3 L i el ter-cer, com que no porta diners, no paga res. Al dia següent, per compensar-los i agrair-los el viatge, els regala 8 butlletes de loteria. Com han de repartir-se-les?

19. La superfície d’un viver en què es cultiven arbres i flors es distribueix de la manera següent:

� Arbres fruiters:

� Arbres ornamentals:

� Plantes de temporada: repartits de la manera següent:

• per a petúnies

• per a alegries

• per a dàlies

� 8 varietats diferents d’altres plantes. A cada una s’hi dedica

a) Quina fracció del total es dedica a cada planta de temporada?

b) La resta es dedica a instal·lacions del viver. Quina fracció suposa?

1105

720

25

14

27

320

512

Recorda:simplifica abans d’operar.

12

20. Indica quins arrodoniments s’han fet correctament:

a) 5,1264 � 5,126 b) 2,305 � 2,31 c) 4 567 � 4 570

d) 20,629 � 20,7 e) 3,49 � 3,4 f ) 345,5 � 346

21. Arrodoneix els nombres següents a la xifra que s’indica:

a) 23,7461 a les mil·lèsimes ➔

b) 72,032 a les centèsimes ➔

c) 4,53 a les unitats ➔

d) 32,760 a les dècimes ➔

e) 432 a les desenes ➔

f ) 3,12497 a les deumil·lèsimes ➔

g) 5,400 a les dècimes ➔

22. Arrodoneix a les centèsimes els nombres següents i indica si l’aproximació és per defecte o per excés:

a) 56,789 � b) 56,9213 �

c) 9 756,234 � d) 67,809 �

e) 1,4651 � f ) 0,108 �

g) 25,1003 � h) 90,167 �

23. Per què creus que s’utilitza el criteri que has estudiat per a l’arrodoniment? Utilitza la representació en la rectaper exemplificar la teva resposta.

Nombres racionals • Aproximacions13

24. Observa els nombres següents. Busca els arrodoniments per excésen la figura i, si els uneixes de menor a major, obtindràs la tevabona estrella.

3,549; 1,5267; 90,27; 200,5; 16,009

Per tancar l’estrella, has de tornar al principi.

25. Tres amics compren un regal per a una amistat comuna. El regal ha costat 25 €.

a) Quant ha de pagar cadascun d’ells? Pensa a quina xifra has d’aproximar el resultat.

b) És una quantitat exacta? Fes una proposta de repartiment per tal que no hi sobrin ni hi faltin diners.

26. Una persona disposa de 35 hores per fer en una setmana vuit tasques que requereixen el mateix temps.

a) Quant de temps ha de dedicar a cada tasca?

b) Val la pena donar el valor exacte? A quina unitat has d’aproximar el resultat? Expressa en minuts la dife-rència amb el valor exacte.

27. Un parc té la forma i les mesures indicades en el dibuix. Un camí recorre el parc de punta a punta, com s’in-dica en el dibuix. Volem col·locar-hi una tanca als dos costats del camí per protegir els jardins. Quina quan-titat de tanca necessitarem? Convé que arrodonim per excés o per defecte?

10 m

10 m

10 m10 m

camí

1,533,5

90,316,01

90

163,55

200

201

1,5260

14

28. Arrodoneix, a les xifres indicades, els nombres irracionals següents:

29. Volem comprar cinta per rematar la vora d’una funda per a una taula rodona. La funda és un cercle de telaque cobreix la taula de dalt a baix. Si el diàmetre de la taula és d’1,20 m i l’altura de 70 cm, quina quantitatde cinta hem de comprar?

30. Calcula l’altura d’un triangle equilàter de 3 cm de costat. Arrodoneix el resultat a les dècimes.

31. Calcula la mida del cercle màxim de la superfície terrestre. Utilitza el valor de π de la teva calculadora. Enquin ordre d’unitat has d’arrodonir el resultat? (Radi de la Terra: 6 370 km).

32. En algun moment de la història es va utilitzar la fracció com a valor del nombre π. De quin ordre d’uni-

tat era l’error comès?

227

Dècimes CentèsimesNombre irracional

π

��2

��3

��10

Mil·lèsimes

Arrodoniment

Fes un repàs15

Polinomis2

Exemple:5x3 · 3x4 � 15x7

�20x 8 : 4x 5 � �5x3

Exemple:5 · 3x4 � 15x4

�3 · 4x2 � �12x2

Exemple:3x4 � 5x4 � 8x4

2x3 � 4x2 � 3x3 � �x3 � 4x2

Exemple:3ab i �2ab són monomis semblants.

Exemple de monomis:

➔ Expressions algèbriques

• Una expressió algèbrica és una combinació de nombres i lletres lliga-des per operacions. Les lletres s’utilitzen per representar, per exemple,el valor d’una magnitud.

• Les lletres s’anomenen variables o indeterminades, perquè poden tenirvalors diferents.

• Valor numèric d’una expressió algèbrica. Quan se substitueixen lesvariables d’una expressió algèbrica per un valor concret i es fan lesoperacions indicades, s’obté un nombre. Aquest nombre és el valornumèric de l’expressió algèbrica per a aquests valors de les variables.

➔ Monomis. Operacions

• Monomi és el producte d’un nombre per una o més lletres.

• Aquest tema se centra en l’estudi de monomis de la forma axn (a · xn)on a és un nombre i x és una variable que s’anomena part literal delmonomi. Al nombre a se l’anomena coeficient del monomi i n és elgrau del monomi.

• Es diu que dos monomis són semblants si tenen exactament la mateixapart literal.

— Suma i resta de monomis

Només es poden sumar o restar monomis semblants. El resultat és unaltre monomi que té la mateixa part literal i el coeficient del qual ésla suma o la resta del coeficients.

— Multiplicació d’un nombre per un monomi

El resultat de multiplicar un nombre per un monomi és un altremonomi amb la mateixa part literal i el coeficient de la qual és elproducte del nombre pel coeficient del monomi.

— Multiplicació i divisió de monomis

El resultat de multiplicar (dividir) dos monomis és un altre monomique té per coeficient el producte (quocient) dels coeficients delsmonomis el grau del qual és la suma (diferència) dels graus.

Àrea � x · yy

x

Àrea � x · y � 4 · 2 � 8 cm2

2 cm

4 cm

Part literal

5 x3 �3 x2

Coeficient

➔

➔ ➔

➔

16

➔ Polinomis. Operacions

• Un polinomi és la suma o la diferència de més d’un monomi. Se solenescriure ordenant els monomis segons l’ordre decreixent dels graus.

• Cada un dels monomis que componen un polinomi s’anomena termedel polinomi. En particular, el terme de grau 0, que és un nombre, s’a-nomena terme independent.

• El grau del polinomi és el major dels graus dels monomis que el com-ponen.

• Els coeficients d’un polinomi són els coeficients dels monomis que elcomponen.

• Un polinomi s’anomena complet quan té els termes de tots els graus.

• S’anomena valor numèric del polinomi P (x) per a x � a al nombre ques’obté després de substituir la variable per a i fer les operacions indi-cades. Es representa per P (a).

— Suma de polinomis

Per sumar dos polinomis se sumen els monomis del mateix grau decada un dels polinomis.

— Multiplicació d’un nombre per un polinomi

Per multiplicar un nombre per un polinomi, es multiplica el nombreper cada un dels monomis que componen el polinomi.

— Multiplicació de polinomis

Per multiplicar dos polinomis, es multiplica cada monomi del primerper tots els monomis del segon. Després se sumen els monomisresultants que siguin del mateix grau.

P (x) � 3x6 � 5x4 � 2

3x6 ➔ terme de grau 6�5x4 ➔ terme de grau 42 ➔ terme independent

Grau de P (x) � 6

3, �5 i 2 ➔ Coeficients de P (x)

R(x) � �5x3 � 4x2 � 2x � 8 és unpolinomi complet de grau 3.

S (x) � x3 � 4x � 5

8 és el valor numèric de S(x) per a x � �1:

S(�1) � (�1)3 � 4(�1) � 5 �� �1 � 4 � 5 � 8

P(x) � �3x4 � 5x3 � 2x � 7 Q(x) � 5x4 � 6x3 � 3x2 � 10

P(x) � Q(x) � (�3x4 � 5x3 � 2x � 7) � (5x4 � 6x3 � 3x2 � 10) � �3x4 � 5x4 � 5x3 � 6x3 � 3x2 � 2x � 7 � 10 �

� 2x4 � x3 � 3x2 � 2x � 3

P(x) � 3x3 � 2x Q(x) � �2x4 � 3x � 5

P(x) · Q(x) � (3x3 � 2x) · (�2x4 � 3x � 5 ) � 3x3 · (�2x4) � 3x3 · 3x � 3x3 · (�5) � 2x · (�2x4) � 2x · 3x � 2x · (�5) �

� �6x7 � 9x4 � 15x3 � 4x5 � 6x2 � 10x � �6x7 � 4x5 � 9x4 � 15x3 � 6x2 � 10x

P(x) � �3x4 � 5x3 � 2x � 7

3 · P(x) � 3 · (�3x4 � 5x3 � 2x � 7) � 3 · (�3x4) � 3 · 5x3 � 3 · (�2x) � 3 · 7 � �9x4 � 15x3 � 6x � 21

Fes un repàs17

— Divisió de polinomis

Per dividir dos polinomis, se segueix el procediment que es desen-volupa en l’exemple:

1. S’escriu el dividend ordenat i deixant un buit quan falta algun terme.

2. Es divideix el monomi que té el dividend de grau més gran entreel monomi que té el divisor de grau més gran i el resultat s’escriuen el quocient (24x4 : 4x2 � 6x2).

3. S’efectua el producte del monomi que s’ha posat en el quocientpel polinomi divisor, es canvia el signe del resultat i es col·loca asota del dividend. Després se sumen.

4. El polinomi resultant de la suma passa a ser el nou dividend.

Es repeteixen els punts 2 i 3 fins que el polinomi que s’obté en sumarsigui de menor grau que el polinomi divisor. Aquest polinomi serà elresidu de la divisió.

➔ Regla de Ruffini

Aquest procediment només es pot utilitzar quan el divisor és de laforma x � a.

Per efectuar la divisió (3x4 � 8x3 � x � 7) : (x � 2) es procedeix comen el diagrama de l’esquerra.

Tingues en compte que:

• s’ha de posar un zero si falta algun terme en el polinomi dividend.

• si el polinomi divisor hagués estat x � 2, en el lloc del 2, s’ha de posar �2.

• el grau del quocient és el grau del dividend menys 1.

➔ Identitats notables

24x4 � 18x2 � 20x � 8 �� (4x2 � 2x � 8) · (6x2 � 3x � 9) � (�22x � 64)

Dividend � divisor · quocient � residu

Dividend Divisor

24x4 �18x2 � 20x � 8 4x2 � 2x � 8

�24x4 � 12x3� 48x2 6x2 � 3x � 9

� 12x3� 30x2 � 20x � 8 � 12x3� 6x2 � 24x

Quocient

36x2 � 4x � 8 � 36x2 � 18x � 72

� 22x � 64

Residu

Quadrat d’una suma:

(a � b)2 � a2 � b2 � 2ab

Quadrat d’una diferència:

(a � b)2 � a2 � b2 � 2ab

Suma per diferència:

(a � b) · (a � b) � a2 � b2

Coeficients del dividend

3 �8 0 1 7

2 6 �4 �8 �14

3 �2 �4 �7 �7

Coeficients del quocient

Quocient: 3x3 � 2x2 � 4x � 7 Residu: �7

3 · 2

�2

· 2

�4

· 2

�7

· 2

residu

18

1. Associa les oracions de l’esquerra amb les expressions algèbriques de la dreta:

Un nombre parell a) n2

Un nombre senar b) 4 (x � 2)

L’edat d’un home d’aquí quatre anys c) 4a

El doble de l’edat que tindrà un home d’aquí a quatre anys d) (ab)2 � a2b

El quadrat d’un nombre e) 2n

La diferència d’un múltiple de quatre menys dos f ) 4x � 2

El quatre per cent d’un nombre g) 2n � 1

El quàdruple del residu d’un nombre menys dos h) 2 (x � 4)

El quadrat d’una potència és una potència de la mateixa basei) A � abi d’exponent el doble de l’exponent

El perímetre d’un quadrat de costat a j) x � 4

L’àrea d’un triangle és la meitat del producte de la base per l’altura k) 0,04x

12

2. Expressa mitjançant una expressió algèbrica les oracions següents:

a) Un nombre més set ➔

b) Set més el doble d’un nombre ➔

c) La meitat del triple d’un nombre ➔

d) La quarta part de l’àrea d’un quadrat de costat x ➔

e) L’edat que tenia un home fa sis anys si ara té x anys ➔

f) El perímetre d’un triangle equilàter de costat c ➔

g) L’àrea d’un cercle de radi r ➔

h) El semiperímetre d’un triangle isòsceles els costats del qual són a i b, essent b el costat desigual ➔

i) La semisuma dels quadrats de dos nombres ➔

j) El quadrat de la semisuma de dos nombres ➔

k) El preu d’un pantaló després d’una rebaixa del 12 %, sabent que abans valia x € ➔

l) La velocitat mitjana d’un mòbil és igual a l’espai recorregut dividit pel temps que ha trigat a recórrer-lo ➔

Polinomis • Expressions algèbriques19

3. Calcula el valor numèric de les següents expressions algèbriques per als valors de les variables que es propo-sen en cada apartat:

a) 3x � 5 per a x � 4 b) 5x3 per a x � �2

c) �2xy2 per a x � 3 i y � �1 d) a2b per a a � 2 i b � �3

e) 3x2 � 5x per a x � f ) �2x3 � 4x2 � 3x per a x � �2 12

23

4. Utilitza una expressió algèbrica per expressar el que es demana en cada apartat:

a) b) c)

• Perímetre � • Perímetre � • Perímetre �

• Àrea � • Àrea � • Àrea �

d) e) f )

• Àrea total � • Perímetre � • Àrea total �

• Volum � • Àrea � • Volum �

g) h)

• Àrea de la part de la figura ombrejada � • Àrea de la part de la figura ombrejada �

b

a a

h

x

a

a

a

x

x

R

b a b

b

a

b

c

c

20

5. Completa les taules següents:

6. Escull tots els monomis que es puguin sumar i troba el monomi suma. Podràs fer dues sumes diferents.

7. Completa cada igualtat:

a) 4x5 � 6x5 � ____________ b) 8x3 �10x3 � ____________

c) 8x2 � 9x2 � 2x2 � ____________ d) �7x4 � 5x4 � 2x2 � ____________ � 2x2

e) �5b4 � ____________ � 5b4 f ) 2x3 � 5x2 � 2x3 � ____________ � �x2

8. Completa la taula següent escrivint un monomi en les caselles que estan en blanc:

5x2

3x4 �10x3

�4x3 5b6 2b4

�8b62x b6

�2b2

b7

x3

�3x3 � 5x3 � �8x3

� � � �

11x3 � �

� � � �

� �3x3 � � �16x3

Grau

6

0

Coeficient

�5

6

Monomi

3x2

�7r3

Grau

3

1

Coeficient

12

23

Monomi

4x7

� b825

8x4 · 2x2 16x8 4x2 : 2x 2 4x · x 3 5x2 · 6x 30x3 4x ·2x2

16x6 2x x2 30x 8x2

�2x4 : 2x �x4 4x2 ·2x 8x3 x · x 8x3 4x2 · 2x 8x4 16x2 : 2x2

�x3 8x2 x 8 8x

�3x · 4x �12x2 15x2 : x 15x 3x2 : 4x2 0,75x2 8x · x3 8x4 14x3 : 7x3

�12x 16x 0,75 10x8 2

4x2 : 2x x 2x · 3x4 5x5 4x8 : x3 4x5 5x2 · 2x6 10x12

Polinomis • Monomis. Operacions21

9. Efectua les operacions següents:

a) 4x2 � 3x2 � 5x2 � 8x2 � b) �3x3 � x3 � 3x3 �

c) �3x · 4x3 � d) 15x2 · x5 �

e) 4 · (�2y3 ) � f ) 15r2 : 3r2 �

g) � x4 : x3 � h) 3x5 : 2x2 �

i) 4t 8 : ( �4t 4 ) � j ) �3x5 · 5x�1 �

k) � l ) �(�3x3)3 · 2x5

3x72x4 · 9x8

3x2

15

25

13

52

10. Passa d’una casella a una altra per la porta correcta i arribaràs a la sortida del laberint.

11. Troba el valor de a i de b en les següents operacions amb monomis:

a) 3xa · bx5 � 12x10 b) (�2x)a · bx � 8x7

a � b � a � b �

c) �3x4 � ax4 � 6xb � x4 d) (4x2)3 · 3x � axb

a � b � a � b �

e) x2 : axb � x f ) (ax8 · 5x2) : 10xb � �2x2

a � b � a � b �

54

52

22

12. També es poden fer operacions amb monomis que tinguin més d’una variable en la part literal. Fes les opera-cions amb monomis següents:

a) 4ab � 5ab � 10ab � b) �3xy2 � 5xy2 � 2 xy2 �

c) 3s2t � 4s � 5s2t � d) 5x4y2 � 3xy � 6xy �

e) �4a · 2ab3 � f ) a2b · a3b4 �

g) 3r 3s · (�2rs4 ) � h) 4mn · (�2mn) �

i ) �27m3n : �3 � j ) 30m2n3 : mn �

k) 33a3b : 11a2b � l) � x2y3 : xy2 �15

25

23

34

13. Utilitza una expressió algèbrica per indicar la fullola que es necessita per fabricar totes aquestes caixes de llau-tó. (La x i la y expressen mesures en centímetres.)

14. Escriu:

a) Un monomi que multiplicat per 3x4 doni com a resultat 15x5.

b) Dos monomis que siguin divisors de 15x5.

15. Escriu:

a) Un monomi que elevat al quadrat doni com a resultat 16x4.

b) Un monomi que elevat al quadrat doni com a resultat 25x2y4.

xxyy

Polinomis • Operacions23

16. En aquests mots encreuats totes les definicions estan relacionades amb els polinomis.

17. Si P (x) � �x3 � 3x2 � 5x i Q(x) � 8x2 � 3x � 8, calcula:

a) P (x) � Q (x) �

b) P (x) � Q (x) �

c) 3 · P (x) �

d) �2 · Q (x) �

e) 3 · P (x) � 2 · Q (x) �

1. Ho és 3 en 3x4 � 2x.

2. Cada un dels monomis que componen unpolinomi.

3. Al revés, la part formada per les variables.

4. 3x ho és de 9x2.

5. Ho és 7 en �7x7 � 5x3.

6. El coeficient de 3x2 · 2x (en lletra).

7. La suma o resta de més d’un monomi. Plural.

8. Un procediment per dividir polinomis quanel divisor és de la forma x � a.

9. Grau de x · x.

10. Al revés, aplicant Ruffini, últim nombre dela dreta sota de la línia horitzontal.

11. Nombre de monomis de 3x2 � 5x.

1

3

9

10

6

5

7

8

11

4

2

24

18. Escull un polinomi i una operació de cada columna de manera que, en situar-los en el requadre que hi ha asota, obtinguis una igualtat vertadera.

a)

b)

c)

19. Si P (x) � �3x4 � 3x5 � 5x3, Q (x) � 2x3 � 3x2 � 1 i R (x) � x4 � 5x3, calcula:

a) P (x) � 2 · Q (x) � 3 · R (x) �

b) �3 · P (x) � Q (x) · R (x) �

c) 5 � 2R (x) · [P (x) � 3 · Q (x)] �

5x7 � 3x � 8

4x3 � 2x2 � 3

4x3 � 2x2 � 3x

x4 � 3x � 5

x3 � 2x2 � 5

2x2 � 3x � 5

5x7 � 3

4x3 � 2x � 13

4x3 � 3x � 8

�

�

·

➔ ➔ ➔ ➔

➔ ➔ ➔ ➔

➔ ➔ ➔ ➔

2m2 � 1

3m � 8

m3 � 4m

m2

m4 � 1

m2 � 5

2m4 � 1

m3 � 1

m5 � 4m3

�

�

·

�

�

�x5 � 8x � 10

3x � 4

x3 � 2x

�6x5 � 6x

4x4 � 4x � 3

7x5 � 2x � 1

6x10 � 10

6x5 � 6x � 9

8x3 � 4

�

�

·

�

Polinomis • Operacions25

20. Completa les igualtats següents:

a) (3x2 � 5x) · (4x3 � 2x) � 12x ■ � ■x3 � 20 x■ � ■ x2

b) (4x3 � 6x � 2) · (2x2 � 4) �■x5 �■x3 �■x3 � 24■� 4x■ � 8 �■x5�■x3 �■x2 �■x �■

21. Efectua les multiplicacions de polinomis següents. El polinomi producte ha d’estar simplificat i ordenat.

a) (2x3 � 4x) · (x2 � 2) �

b) (3x � 1) · (�5x2 � 2x � 2) �

c) (3x3 � 2x2 � 3x) · (2x6 � 5x � 8) �

22. Ara opera expressions algèbriques amb més d’una variable. Troba l’expressió algèbrica resultant en cada apartat.

a) 2x (x � y) � 4xy �

b) 5 � ab (ab � 3) � a2b2 �

c) 4a2b (a3 � b) � 2a (a4b � 2ab) �

23. Fixa’t en la primera fila i completa tu la resta. El producte de l’última columna és equivalent a l’expressió dela primera columna.

Troba el factor comú

Expressió algèbrica Descomposició en factors Factors comuns Expressió algèbrica

6xy2 � 3x � 3x2y

15a3 � 5a2b

4mn � 12mn2 � 2m

15a3 � 5a2

2 · 3 · x · y · y � 3 · x � 3 · x · x · y 3x 3x · (2y2 � 1 � xy)

�

26

24. Representa les expressions següents com a producte:

a) 12x8 � 4x2 �

b) �15ab � 3a �

c) 27mn2 � 9 mn � 18 m3n �

d) 4ab3 � 10 a2b � 2ab �

25. Efectua les divisions següents:

a) 27x4 � 18x3 � 18x3 � 6x � 3 9x2 � 3 b) 9x4 � 15x3 �3x2 � 12x � 6 3x2 � 2

26. Completa els requadres buits d’aquesta divisió. Després comprova que es compleix la relació:

dividend = divisor x quocient + residu.

� 6x5 � ■x3 � 4x2 � ■x � ■ �2x2 � ■

6x5 � 12 x3 ■x3 � 7x � ■

14 x3 � 4x2 � ■x � ■

� 14 x3 � ■x

■x2 � 24x � ■

■x2 � ■

■x � 10

27. Esbrina si el polinomi 4x2 + 3x – 8 és divisor del polinomi 12x3 + 17x2 – 18.

Troba els factorsque siguin comuns a tots

els termes

Polinomis • Mètode de Ruffini27

28. Troba el quocient i el residu de la divisió (x4 – 3x + 2x2 – 5) : (x – 2). Utilitza dos procediments diferents.

a) x4 � 3x � 2x2 � 5 x � 2 b)

• Quocient �• Residu �

29. Si P (x) = x3 – 5x –1, Q (x) = x + 2, R (x) = x – 3 i S (x) = x – 1:

a) Troba, utilitzant el mètode de Ruffini, el quocient i el residu de P (x) : Q (x), P (x) : R(x), P (x) : S (x).

• Quocient � • Quocient � • Quocient �• Residu � • Residu � • Residu �

b) Troba P (–2) =

Troba P (3) =

Troba P (1) =

c) Observa els residus obtinguts en les divisions de l’apartat a) i els valors numèrics obtinguts en l’apartat b).Pots extreure’n cap conclusió?

Troba, sense fer la divisió, el residu de (2x4 – x3 + 4x3 – 5) : (x + 2).

30. Esbrina el valor de m per tal que el residu de la divisió (x3 – 7x2 + mx + 5) : (x + 1) sigui 9. Quant ha de valerm perquè la divisió anterior sigui exacta?

P (x ) : Q (x ) P (x ) : R (x ) P (x ) : S (x )

4x – y2 2

(5x + 1) (5x – 1)

(3x + 1) 2

(2x + y) (2x – y)

(ab + 1) (ab – 1) (4x – y)2

(ab + 1)2

(2x – y)2

16x 2 + y 2 – 8xy 25x – y2

4x + y – 4xy2 2

a b – 12 2

(3x + 1) (3x – 1) 25x – 10x + 129x – 12a b + 2ab + 122

28

31. Completa la taula següent per demostrar les tres identitats notables:

32. Tot aplicant les fórmules de les identitats notables o fent un procés raonat, desenvolupa les operacionssegüents:

a) (3 � 2y)2 � b) (x � 2) · (x � 2) �

c) (x2 � 3x) · (x2 � 3x) � d) (3 � 2y)2 �

e) (4x � y3 )2 � f ) (3r � t 2)2 �

33. Indica si les igualtats següents són vertaderes o falses. Modifica per fer-les vertaderes les igualtats que no siguincorrectes:

a) (x � 2y)2 � x2 � (2y)2 b) (3x � y)2 � (3x)2 � y2 � 6xy

c) (a � 2b) · (a � 2b) � (a � 2b)2 d) (4x � 3y)2 � 16x2 � 9y2

e) (2a � b)2 � 4a2 � b2 � 4ab f) (3ab � 1)(3ab � 1) � 3ab2 � 1

34. Col·loca correctament les fitxes perquè formin una cadena d’igualtats notables:

Procediment raonat

(a � b)2 � (a � b) · (a � b) � a · a � a · b � b · a � b · b � a2 � 2ab � b2

(a � b)2 �

(a � b) · (a � b) �

(3x + 1) 2

(2x + y) (2x – y)

(ab + 1)2

(2x – y)24x + y – 4xy

2 2

a b – 12 2

9x – 12

a b + 2ab + 122

9x – 12a b + 2ab + 122

9x – 12

a b + 2ab + 122

(3x + 1) (3x – 1) 25x – 10x + 12

(ab + 1) (ab – 1) (4x – y)2

16x 2 + y 2 – 8xy 25x – y2

Fes un repàs29

Equacions de primer i de segon grau3

3x � 2 · (x � 1) � x � 6

Incògnita: x

Solució: x = 2

3 · 2 � 2 · (2 � 1) � 6 � 2

Exemples d’equacions equiva-lents:

2x � 3 � 5

Sumem x: 3x � 3 � x � 5Restem 1: 2x � 4 � 4

Multipliquem per (–3): �6x � 9 � �15

➔ Equació de primer grau amb una incògnitaÉs una igualtat entre expressions algèbriques en què la variable és ele-vada a 1.

• Incògnita és el nom que se li dóna a la variable en una equació.

• Solució o arrel és el valor o els valors de la incògnita que verifiquen laigualtat.

• Equacions equivalents són aquelles que tenen les mateixes solucions.

• Critèris d’equivalència. Si als dos membres d’una equació els sumemuna mateixa quantitat o els multipliquem per una mateixa quantitat(diferent de zero), l’equació resultant és equivalent a la donada.

• Resolució d’equacions de primer grau.

Resoldre una equació consisteix a trobar les seves arrels. Per això s’had’aïllar la incògnita tenint present el següent:

� Cal fer, en qualsevol moment, les operacions que es puguin realit-zar.

� Cal aconseguir equacions equivalents fins que en un dels membresaparegui només la incògnita.

3 · (2x � 2) � � 4x �

� Apliquem la propietat distributiva ➔ 6x � 6 � � 4x �

� Multipliquem els dos membres de l’equació per 12 ➔ 72x � 72 � 20x � 16 � 48x � x � 2

� Sumem termes semblants ➔ 92x � 88 � 47x � 2

� Restem 47x als dos membres ➔ 92x � 88 � 47x � 47x � 2 � 47x ➔ 45x � 88 � 2

� Sumem 88 als dos membres ➔ 45x � 88 � 88 � 2 � 88 ➔ 45x � 90

� Dividim els dos membres entre 45 ➔ x � 2

x � 212

5x � 43

x � 212

5x � 43

�

�

�

➔ Equació de primer grau amb dues incògnitesÉs una expressió que es pot reduir a la forma:

ax + by = c

x i y són les incògnites.

Per resoldre una equació d’aquesta mena es representa gràficament la recta.Les coordenades de cada punt de la recta són una solució de l’equació.

➔ Equació de segon grau amb una incògnitaÉs una igualtat entre expressions algèbriques en què la variable és elevadaa 2. Es pot reduir a la forma ax2 + bx + c = 0.

• Resolució d’equacions de segon grau

� Equació completa: a � 0, b � 0 i c � 0.

� Equacions incompletes: b = 0 o c = 0.

• Discriminant:

És l’expressió Δ � b2 � 4ac. El seu signe indica el nombre de solu-cions de l’equació.

➔ Aplicacions a la resolució de problemesEs pot seguir l’esquema següent:1. Què es pregunta.2. Quina quantitat s’escull com a incògnita.3. Quines són les dades.4. Anomenar la incògnita amb una lletra i expressar les dades en funció d’a-

questa lletra.5. Plantejar i resoldre l’equació.6. Comprovar si la solució verifica les condicions del problema.7. Escriure la solució del problema.

30

–1 1 2 3

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

3x � y � 2

x y

0 �22 4

x2 � 2x � 8 � 0

x � ➔ x � � �x � 4x � �2

2 ± 362

2 ± (�2)2 � 4 · 1 · (�8)2 · 1

�b ± b2 � 4ac2a

������ ��������� ��

b � 0 ➔ ax2 � c � 0

9x2 � 16 � 0 ➔ 9x2 � 16

x2 � ➔ x � ± ➔x �

x � �

c � 0 ➔ ax2 � bx � 0

15x2 � 4x � 0

x(15x � 4) � 0 ➔x � 015x � 4 � 0 ➔ x � �

415

43

4316

9169 ��

Δ > 0: dues solucions diferents

x2 � 4x � 5 � 0

x � �

� �x � 1x � �5

Δ < 0: cap solució

x2 � x � 3 � 0

x � �

� No té solució

Δ � 0: dues solucions iguals

x2 � 6x � 9 � 0

x � �

� �x � 3x � 3

6 ± 02

6 ± (�6)2 � 4 · 1 · 92

1 ± �112

1 ± (�1)2 � 4 · 1 · 32

(�4) ± 362

(�4) ± 42 � 4 · 1 · (�5)2

��������� ������� ���������

�� ��� ���

Equacions de primer i segon grau • Equacions de 1r grau31

1. Sense resoldre les equacions, assigna a cada equació la seva solució. Fes els càlculs mentalment.

2. Assigna a cada equació de la fila superior una de la fila inferior que sigui equivalent.

3. Completa els requadres en blanc perquè els parells d’equacions següents siguin equivalents.

a) 5x � 1 � �x � 3 ■x � ■ � �6

b) � � 2 ■x � ■ � x � ■ � 8

c) ■ (x � 2) � 4x � 12 x � 2 � ■x � 6

d) ■x � 5 � 2x � 3 �6x � ■ � 3x � 7

x � 34

x � 12

4. Escriu dues equacions equivalents que tinguin per solució x = –2.

5. Indica quina de les equacions següents té solucions infinites, una solució o cap solució.

a) 3x � 5 � x � 3

b) 6(x � 2) � x � 7x � 5 � 2x • Cap solució:

c) x � 5 � �3

d) 4x � 6 � x � 2x � 1 � x • Una solució:

e) 2(x � 2) � 5 � 4(x � 1) � 2x � 5

f ) x � 9 � 2(x � 1) � x • Solucions infinites:

g) 4(x � 5) � 6 � 2(2x � 10) � 6

Comprova: El nombre d’equacions que tenen una solució és igual a la suma de les altres dues quantitats menys 1.

3(x � 1) � 2x

6x �12 � x � 2

� 2x � 3x � 1

3

�2x � 2 � 4x � 2

x � �2

x � 0

x � 3

x � 2

3x � 2 � x � 1 �4x � 2 � 5x � 3� 1 � �2x � 3

12 x � � x � 1x � 5

2 �10x � 5 � 5x � 15

x � 15 � �24 �3x � 3 � 6x � 2 x � 5 � 2x � 2 �2x � 1 � x � 32x � 2 � 1

32

6. Resol mentalment les equacions següents:

a) x � 1 � 2 ➔ x � b) 2x � 3 � 6 ➔ x � c) x � 1 � 0 ➔ x �

d) 5x � 5 � 5 ➔ x � e) �3x � 7 � 7 ➔ x � f ) 5x � 3 � 0 ➔ x �

g) x � 5 � 5 ➔ x � h) x � 2 � 2x � 1 ➔ x � i) 4x � 8 � 0 ➔ x �

7. Resol les equacions següents:

a) 2(x � 1) � 3(2x � 6) � 2x � 2(2x � 3) b) � 2(x � 3) � 4 � 5x � 5

c) �5(3x � 3) � 15 � 4(2x � 3) � 2(3x � 9) � 29 d) �3 (x � 4)

122x � 1

4

x � 14

8. Resol les equacions següents:

a) � 2 · � � x b) 3 � 2 · � �x4

2x � 32

x � 15

x � 26

x � 64

2x � 13

Amb els nombres que has obtingut com a solucions podràs formarl’any en què Robert Record va proposar la utilització del signeigual (=) en les equacions. Ah, el nombre no és múltiple de 5!

Equacions de primer i segon grau • Equacions de 1r grau33

9. El següent dibuix mostra una estrella màgica en què les sis files de nombres sumen el mateix. Aquesta sumaes denomina nombre màgic. Calcula el valor de x, el nombre màgic i els valors de a, b i c.

c) � � d) x � 4 � � 6x � 1

e) � � � f ) � 5 � �6x � 2

4x � 1

83x � 4

3x � 1

4x � 1

22x � 3

153x � 1

6

x � 35

1 � 5x2

3x � 710

x � 24

–(x – 4)

–x –2x + b

–x + 2

–4x ax + 23

cx + 8

x + 5 –3x –(x – 10) 2(x + 11)

–(3x + 1)

34

10. Resol gràficament les equacions següents:

�2x � y � 3 �x � 2y � 1

11. La gràfica representa la solució d’una equació del tipus ax + by = c.

a) És x = –1, y = 2 una solució de l’equació?

b) És x = 1, y = 0 una solució de l’equació?

c) Escriu una altra solució de l’equació.

d) És x = 0, y = 0 una solució? Quin és, doncs, el valor de c?

12. Resol mentalment les equacions de segon grau següents. Compte!, algunes no tenen solució!

a) x2 � 4 � 0 b) x2 � 5x � 0 c) 2x2 � 4x � 0 d) 4x2 � 25 � 0

e) x2 � 9 � 0 f ) 4x2 � 9x � 0 g) x2 � 3 � 0 h) x2 � 1 � 0

13. Escriu una equació de segon grau les arrels de la qual siguin x = –2 i x = 3.

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–3 –2

–1 1 2

3

2

1

–1

–2

–3

–2

x y

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–3 –2

x y

3

Equacions de primer i segon grau • Equacions de 2n grau35

14. Aquí tens 12 peces d’un trencaclosques. Per contruir-lo has de tenir present que una peça es pot unir a unaaltra peça si concorden una equació i les seves solucions.

15. Resol les equacions següents. Quines equacions no tenen solució?

a) x2 � x � 6 � 0 b) x2 � x � � 0

c) 2x2 � 9x � 4 � 0 d) 2x2 � 3x � 5 � 0

e) x2 � 6x � 9 � 0 f ) 6x2 � x � 1 � 0

4x2 � 9 � 0

x � 6 � 0

x � 4 � 0

x � 0 x � �5 x2 � 3 � 0x � 14 x � 0 x � 6

x � 3 x � �3 x � 1 � 0

x � 0 x � �3

x � 4 x � 0

x � � 13

x � 14

x � 0 x � 0

x2 � 1 � 0 x2 � x � 0x � 5 x � �5 x � 1 x � �1

x � 1

3x � 1 � 0

4x2 � 1 � 0

x � 1 � 0

x � 0 x2 � 5x � 0

x � 2 x � �2 x2 � 9 � 0

x2 � 6x � 0 x2 � 2 � 0

x � 5

x � x � � 32

32

x2 � 6 � 0

3x2 � 9x � 0

x � x � � 12

12

x � �2 x � 0 x � �12

2x2 � 12x � 0 2x � 0

x � 0 x � 1 x � 0 x � 6

3x � 2 � 0

x � 3 x � �3

x2 � 0

�x � 5 � 0

2x2 � x � 0 x2 � 4 � 0

x � 4

x � 2 � 3

14

16x �4 � 04x2 � 9 � 0x � 4x � 6 � 0

x � 4 � 0

x � 0 x � �5 x2 � 3 � 0

x � 14 x � 0 x � 6

x � 3 x � �3 x � 1 � 0

x � 0 x � �3

x � 4 x � 0

x � � 13

x � 14

x � 0 x � 0

x2 � 1 � 0 x2 � x � 0

x � 5 x � �5 x � 1 x � �1

2x2 � x � 0 x2 � 4 � 0

x � 1

3x � 1 � 0

4x2 � 1 � 0

x � 2 � 3

x � 1 � 0

x � 0 x2 � 5x � 0

x � 2 x � �2 x2 � 9 � 0

x2 � 6x � 0 x2 � 2 � 0

x � 5

x � x � � 32

32

x2 � 6 � 0

3x2 � 9x � 0

x � x � � 12

12

x � �2 x � 0 x � � 12

2x2 � 12x � 0 2x � 0

x � 0 x � 1 x � 0 x � 6

3x � 2 � 0

x � 3 x � �3

x2 � 0

�x � 5 � 0

36

16. Observa les solucions de les equacions del problema anterior.

a) Quantes solucions pot tenir una equació de segon grau?

b) De qué depèn aquest nombre?

17. Resol les equacions següents:

a) (2x � 3)(x � 1) � 3(x � 4) � (x � 1) (x � 2) � 3 b) � x � 2

c) �2(x � 5) � (x � 3)2 � x � (x � 4) (x � 4) � 2x2 d) � 2x2 � x � 5

e) � � � 1 f ) � � 9(x � 2) (x � 1)

2(x � 5)2

4(2x � 1) (x � 3)

3(x � 1)2

6(x � 1)2

3

x(x � 5)5

(x � 2)216

4 19x

3

Equacions de primer i segon grau • Aplicacions37

18. L’altura d’un trapezi fa 5 m i la base major fa 3 m més que la base menor. L’àrea d’aquest trapezi és igual a l’àrea d’un rectangle la base del qual fa 1 m més que la base major del trapezi i l’altura fa 3 m. Calcula la mesura de les bases del trapezi.

19. Volem aconseguir un pot de 15 kg barrejant pintura de dues classes. El quilo d’una de les pintures costa 85cèntims d’euro i el de l’altra, 2 €. Si el preu del pot ha de ser de 24,25 €, quants quilos hem de fer servir decada classe de pintura?

20. Un capital es divideix en dues parts per invertir-lo en un banc. La primera té un 2% d’interès i la segona, queés de 2000 € menys que el doble de la primera, un interès del 4%. En aquestes condicions, el que produeixla segona quantitat és 10 € més que el triple del que produeix la primera. Calcula les dues quantitats.

38

21. Dos amics es posen d’acord per fer el mateix viatge, cada un d’ells en el seu cotxe, i arribar a la mateixa ciutat.Els dos surten al mateix temps del mateix lloc. Un d’ells viatja a 100 km/h i arriba a tres quarts de dotze. L’altreamic viatja a 90 km/h i arriba a un quart d’una. A quina distància es trobaven de la ciutat de destí?

22. Cada un dels alumnes d’una classe té la seva cadira corresponent. Si falten dels alumnes, sobren quatre

cadires més que si falta dels alumnes. Quants alumnes hi ha a la classe?16

310

23. En Miquel i la Marta són dos amics que estan comptant els seus cromos. Si la Marta regala 10 cromos a enMiquel, aleshores ella només tindrà 10 cromos més que ell. Si en Miquel li dóna 10 cromos, aleshores ellatindrà el triple de cromos que ell. Quants cromos té cada un d’ells inicialment?

Equacions de primer i segon grau • Aplicacions39

24. Els treballadors d’una empresa van rebre un incentiu per l’augment de les vendes. Cada un d’ells rep tantseuros com treballadors són més 30 €. Si es reparteixen 1219 €, quants treballadors són?

25. En un quadrat de 7 cm de costat s’insereix un altre quadrat de 25 cm2 d’àrea. Calcula a quina distància delsvèrtexs del quadrat inicial estan els vèrtexs del quadrat inscrit.

26. L’amplada d’una piscina de planta rectangular és la quarta part de la seva llargada. Si la piscina és plena itraiem 15 000 L d’aigua, l’altura de l’aigua disminueix 15 cm. Calcula la llargada i l’amplada de la piscina.

40

27. L’amplada d’un full de paper és el 70 % de la seva llargada. Si deixem un marge superior i inferior de 2,5 cmi un marge esquerre i dret de 3 cm, la superfície per escriure fa 375 cm2. Calcula les dimensions del full depaper.

28. Si sabem que l’àrea de la part ombrejada és 21,5 cm2, calcula la mesura del costat del quadrat. Agafa π = 3,14.

29. Una fotografia rectangular mesura 5 cm menys d’amplada que de llargada. La motllura del marc té 2 cm d’am-plada i tot el conjunt, fotografia i marc, té una àrea de 546 cm2. Calcula les dimensions de la fotografia.

2

2 xx 21,5

2

Fes un repàs41

Sistemes d’equacions lineals4

3x � 2y � 1

2x � y � �4

x = –1; y = 2 solució del sistema

3 · (�1) � 2 · 2 � 1

2 · (�1) � 2 � �4

2x � y � 4 Compatiblex � y � 2 determinat

x � 2 y � 0

3x � y � 2 Compatible

6x � 2y � 4 indeterminatx � 0 y � �2x � �1 y � �5

x � 2y � 5 Incompatible

x � 2y � 4 No té solució

2x � 3y � 1 · 2 4x � 6y � 2�x � 4y � �2 · (�1) x � 4y � 2

Sumem

5x � 10y � 4 és combinació lineal de lesdues equacions primeres

3x � 4y � 2 � x

x � 3y � �1Restem x als dos membres de la 1a i multi-pliquem per (–2) els dos membres de la 2a.

2x � 4y � 2

�2x � 6y � 2

x � y � 5 x � y � 5

�x � y � �5 0 � 0Indeterminat

x � y � 2 x � y � 2

�x � y � 9 0 � 11Incompatible

➔ Sistema d’equacions lineals amb dues incògnites

És un conjunt de dues equacions lineals amb dues incògnites. Es pot re-duir a la forma:

a1x � b1y � c1

a2x � b2y � c2

• Solucions d’un sistema són els valors de les variables que verifiquenles dues equacions.

• Classificació de sistemes:

� Sistema compatible determinat: si té solució única. És a dir, hi haun sol valor per a cada variable que verifica les dues equacions.

� Sistema compatible indeterminat: si té solucions infinites. És a dir,existeixen valors infinits de les variables que verifiquen les duesequacions.

� Sistema incompatible: si no té solució.

• Combinació lineal d’equacions

Una equació és combinació lineal d’altres equacions si s’obté de su-mar aquestes equacions prèviament multiplicades per nombres.

• Sistemes equivalents

Dos sistemes són equivalents si tenen les mateixes solucions.

• Criteris d’equivalència

� Si als dos membres d’una equació d’un sistema se’ls suma una matei-xa quantitat o es multipliquen per una mateixa quantitat (diferent dezero), el sistema resultant és equivalent al donat.

� Si en un sistema se substitueix una equació per una altra combinaciólineal d’ella mateixa i de les altres, el sistema resultant és equivalental donat.

• Si en un sistema equivalent a un altre apareix l’equació:

� 0 = 0, el sistema és compatible indeterminat.

� 0 = k, el sistema és incompatible.

�

�

�

42

➔ Resolució d’un sistema

• Mètode de substitució

1. S’aïlla una incògnita d’una de les equacions.

2. El resultat se substitueix en l’altra equació.

3. Es resol l’equació de primer grau que en resulta.

4. El valor calculat de la incògnita se substitueix en l’expressióobtinguda en el pas 1.

• Mètode d’igualació

1. S’aïlla la mateixa incògnita de les dues equacions.

2. Se substitueix una de les equacions per l’equació que resultad’igualar les expressions obtingudes en el pas 1.

3. Es resol l’equació de primer grau que en resulta.

4. El valor calculat de la incògnita se substitueix en l’altra equació.

• Mètode de reducció

1. Se substitueix una de les equacions per una combinació lineal de lesdues, de manera que el coeficient d’una de les incògnites sigui zero.

2. Es resol l’equació de primer grau que resulta del pas 1.

3. El valor de la incògnita calculat se substitueix en l’altra equació.

• Mètode gràfic

1. Cada equació del sistema representa una recta. Es representen lesdues rectes en els mateixos eixos.

2. La solució del sistema és donada per les coordenades del punt odels punts d’intersecció d’ambues rectes..

Per substitució:

2x � y � 0 y � �2x

�3x � 4y � 5 �3x � 4y � 5

y � �2x y � �2x

�3x � 4(�2x) � 5 5x � 5

y � �2x y � �2

x � 1 x � 1

Per igualació:

2x � y � 7

x � 3y � 14

7 � y � 28 � 6y

x � 14 � 3y

y � �3 y � �3

x � 14 � 3y x � 5

Per reducció:

3x � 2y � �10 3x � 2y � �10

x � 3y � �1 �3x � 9y � 3

3x � 2y � �10 3x � 2y � �10

�7y � �7 y � 1

3x � �12 x � �4

y � 1 y � 1

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–2

2x – y = 3

2x – y = 3x – y = 2

x – y = 2

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–2

x – 3y = 2

x – 3y = 2

4x – 12y = 8

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–2

x – 5y = 3

2x – 10y = 0

2x – 10y = 0

x – 5y = 3

Compatible determinat Compatible indeterminat Incompatible

Rectes secantsSolució única

x � 1y � �1

Rectes coincidentsInfinites solucions

Rectes paral·lelesNo tenen solució

x �

x � 14 � 3y

7 � y2

� 14 � 3y

x � 14 � 3y

7 � y2

2n · (�3)

1r � 2n

�

�

Sistemes d’equacions • Sistemes43

1. Expressa en llenguatge algèbric les expressions següents. En cada cas indica què representen les variables.

a) El perímetre d’un rectangle.

b) El preu que es paga per comprar 2 kg de taronges i 4 kg de pomes.

c) L’àrea d’un trapezi de 3 cm d’altura.

d) La tercera part d’un nombre és igual a 4 més la cinquena part d’un altre nombre.

e) L’oposat del doble de la suma de dos nombres és igual a la cinquena part de la seva diferència.

2. Comprova si els valors que es donen són la solució de cada sistema.

a) x � 1 y � 1 b) x � 0 y � �3

c) x � 2 y � �1 d) x � �2 y � 3x � 5y � 1

2x � y � 3�x � y � �14x � 2y � 6

3x � y � 32x � 2y � 5

3x � 2y � 5x � y � 0

3. Calcula sistemes equivalents als que trobaràs tot seguit. Han de tenir la forma .

a) b) � y � �

�y2

x3

y � 14

2x � 13

x � 4 2

3x � 2y � 1 � 2(x � y) � 4x � 3 � �3x � y � 2

a1x � b1y � c1

a2x � b2y � c2

44

4. Uneix cada sistema d’equacions de l’esquerra amb una equació combinació lineal de les equacions de lacolumna de la dreta. Al costat, escriu com s’ha calculat la combinació.

4x � y � 1�x � 2y � 3

�x � y � 12x � y � 2

3x � y � 45x � 3y � 2

x � 2y � 1x � y � 0

�x � y � 23x � y � 0

5. Calcula una equació que sigui combinació lineal de les equacions següents.

a) b)

c) d)x � 5y � 10

3x � 2�2x � 2y � 0

x � 3y � 02x � y � 4x � y � 3

5x � 5y � 5x � y � 1

x � y � 22x � y � 0

6. Resol el primer sistema per substitució; el segon, per igualació, i el tercer, per reducció.

a) b) c)5x � 3y � �124x � 6y � �18

2x � 4y � �24x � 2y � 0,5

3x � 2y � 5x � 3y � �2

x � 38x � 2y � 2

x � 05x � 3y � �2

2x � 22x � 4y � 2

2x � 2y � �22x � 2y � 22x � 3y � 15x � 3y � 4

2 4y 0,5 2yx , x

2 4

4 8y 0,5 2y

6y 4,5

4,5 3y

6 4

32 4

14x

2 2

1 3x , y

2 4

Sistemes d’equacions • Mètodes de resolució45

7. Resol el sistema següent pels mètodes de substitució, d’igualació i de reducció. Tot seguit indica quin mètodet’ha resultat més fàcil i per què.

a)

Mètode de substitució:

Mètode d’igualació:

Mètode de reducció:

Mètode més senzill:

x � y � 42x � 5y � 8

8. Resol els sistemes següents pel mètode que t’estimis més:

a)

b) � � 5 � �

3(x � 2) � y � � 2x � y � 1

c)x � y � �2

x � y � 0

x � 5 2

10 3

x � 216

2x � y3

3(x � 1) � 2(y � 2) � x � y � 6�5x � 3(y � 1) � �2(x � y � 1) � 2x � 22

46

9. Resol gràficament els sistemes següents i indica a quina classe pertanyen:

a) b)

c) d)x � 2y � �1

4x � 6y � 03x � y � 36x � 2y � 8

�x � 6y � 33x � 18y � �9

3x � 2y � �12x � 3y � �4

10. Resol els sistemes anteriors per algun dels mètodes.

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–3 –2 –1 1 2 3

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–3–4 –2 4

–1 1 2 3

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–3–4 –2 4 –1 1 2 3

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–3–4 –2 4

Sistemes d’equacions • Problemes47

11. Indica de quin tipus és cada sistema. En el cas dels compatibles determinats escriu la solució i en els indeter-minats dóna un parell de solucions.

12. Un comerciant té pensat de comprar 20 pantalons i 30 camises en un magatzem i de pagar per tot plegat 1480 €.En arribar al magatzem s’assabenta que, per una gran comanda, els pantalons tenen un 30% i les camises un 10%de descompte. Al final en paga 1180 €. Calcula el preu sense descompte d’un pantaló i d’una camisa.

–1

1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–2

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3 –2–1

1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3 –2–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3 –2

–1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3 –2 –1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–3 –2 –1 1 2 3

3

2

1

–1

–2

–3

–3 –2

48

13. L’Anna mesura, comptant en passes, l’amplada del pati rectangular del seu institut i la Rosa en mesura la llar-gada. L’Anna compta 36 passes i la Rosa, 30 passes. Després intercanvien els papers i l’Anna mesura 40 pas-ses de llargada i la Rosa, 27 passes d’amplada. Pots esbrinar les dimensions del pati amb aquestes dades?

14. És possible que entre dos amics tingués lloc la conversa següent?

Carles: «Ahir vaig anar a una papereria del nostre barri a comprar el que necessitem per fer el treball. Vaig comprar 12 carpetes i 8 retoladors. Tot plegat em va costar 10,32 €!»

Xavier: «Òndia!, doncs jo també hi vaig anar. Pensava que necessitàvem 15 carpetes i 10 retoladors! Tot ple-gat em va costar 13,2 €!»

15. La mida de les diagonals d’un rombe estan en proporció tres a dos. Amb el doble de la diagonal major i 18 cm més de la mida de la diagonal menor, podem construir les bases d’un trapezi de 4 cm d’altura i l’àreadel qual sigui 25 vegades la diferència entre les diagonals. Calcula la mesura de cada diagonal.

x 3

y 2

4(2x y 18)25(x y)

2

Sistemes d’equacions • Problemes49

16. Una persona fa un passeig en què ha de travessar una esplanada i pujar un pendent. Surt de casa seva a les 9del matí i torna, fent el mateix camí, a les 10.48 h. Camina a 4 km/h per l’esplanada; a 3 km/h per la pujada,i a 5 km/h per la baixada. Una altre amic diu que ell fa el mateix recorregut en 1h i 12 minuts caminant perl’esplanada a 6 km/h; per la pujada a 4,5 km/h, i per la baixada a 7,5 km /h. És cert que fan el mateix camí?

17. Quan tu tinguis l’edat que jo tinc, les nostres edats sumaran 60 anys i, aleshores, la meva edat serà 7 vegadesl’edat que tu tenies quan jo tenia l’edat que tu tens. Quines edats tenen actualment?

18. Un alumne fa una prova en què cada pregunta del primer bloc puntua 0,75 i cada pregunta del segon blocpuntua 1,25. Fa comptes i pensa que tindrà un 7,25. Quan rep la nota veu que té 6,75 punts i decideix pre-guntar a la seva professora. Llegeix el que li respon ella i descobreix qui té raó.

Estem d’acord que en el primer bloc tens béuna pregunta menys que en el segon bloc ique tens un nombre enter de preguntes bencontestades, oi? Doncs, fes comptes tu mateix!

x y y x1,8

15x 16y 544 3 5 4

x y y x 15x 16y 541,2

6 4,5 7,5 6

50

19. Un agricultor necessita 6,5 kg de nitrogen per adobar els seus terrenys. Per aquest motiu compra un producteM que conté un 15 % de nitrògen i costa 4,5 €/kg i un producte N que conté un 25 % de nitrogen i costa 6 €/kg. Si es gasta 165 € en la compra d’ambós productes, calcula les quantitats de M i N que ha comprat.Resol el problema gràficament i per algun dels altres mètodes.

20. El 40 % dels alumnes de 4t d’un institut han anat d’excursió, mentre que només el 12 % dels alumnes de 3rho han fet. En total han sortit 84 alumnes. El nombre total d’alumnes de 4t i els tres quarts del total de 3r sumen300 alumnes. Quants alumnes hi ha de cada curs?

21. La diferència del doble d’un nombre i un altre nombre és 5, mentre que la suma d’ambdós és 1. De quinsnombres es tracta? Resol gràficament aquest problema.

an � 2n � 1 a26 � 2 · 26 � 1 � 53

terme que ocupael lloc 26

termegeneral

� �

Fes un repàs51

Successions i progressions5

{an} � {3, 5, 7, 9, …}

a1 � 3; a2 � 5; a3 � 7; a4 � 9;…

{�3, �3, 0, 0, 6, 6, 9, 9 …}

és creixent

{�3, 0, 3, 6, 9 …}

és estrictament creixent

{3, 1, 1, �1, �1, �1, �1 …}

és decreixent

{3, , , …}és estrictament decreixent

{�2, �2, �2, �2, �2, �2 …} és constant

{�2, 4, �8, 16, �32, 64 …} és oscil·lant

{1, , , …}és convergent i el seu límit és 0

{3, 6, 9, 12 …} és divergent

18

14

12

38

34

32

➔ Successions

• Una successió numèrica és un conjunt infinit i ordenat de nombres.Cada un d’aquests nombres s’anomena terme de la successió i esrepresenta per una lletra acompanyada d’un subíndex, que indica ellloc que ocupa el nombre en la successió.

• Els termes d’una successió es poden representar en la recta real si pre-nem com a dades els seus valors numèrics corresponents.

• El terme general de la successió és l’expressió algèbrica que ens per-met de trobar qualsevol terme només substituint la variable n pel nom-bre que indica el lloc que ocupa el terme. Es representa per an.

➔ Tipus de successions

• Una successió és creixent si cada un dels seus termes és major o igualque l’anterior.

• Una successió és estrictament creixent si cada un dels seus termes ésmajor que l’anterior.

• Una successió és decreixent si cada un dels seus termes és menor quel’anterior.

• Una successió és estrictament decreixent si cada un dels seus termesés menor que l’anterior.

• Una successió és constant si els seus termes són iguals.

• Una successió és alternada o oscil·lant si els seus termes són alterna-tivament nombres positius i negatius.

• Una successió és convergent quan els seus termes s’aproximen cadavegada més a un nombre, anomenat límit de la successió.

• Una successió és divergent si no té límit.

0 1

a1 a2 a3 a4

52

➔ Fites d’una successió

• Una fita superior d’una successió és un nombre major o igual que totsels termes de la successió. Una fita inferior és un nombre menor oigual que tots els termes de la successió.

• Una successió està fitada superiorment si té una fita superior i estàfitada inferiorment si té una fita inferior.

• Una successió està fitada si està fitada superiorment i inferiorment. Encas contrari es diu que la successió no està fitada.

➔ Progressions aritmètiques

• Una progressió aritmètica és una successió en què cada terme s’obtésumant l’anterior per un mateix nombre, anomenat diferència de laprogressió (d).

• Terme general:

an � a1 � (n � 1) · d

• Suma dels n primers termes:

Sn � n ·

➔ Progressions geomètriques

• Una progressió geomètrica és una successió en què cada terme s’ob-té multiplicant l’anterior per un mateix nombre, anomenat raó de laprogressió (r).

• Terme general:

an � a1 · r n�1

• Suma dels n primers termes:

Sn � �

• Producte dels n primers termes:

Pn � (a1 · an )n

• Suma dels termes infinits (0 < r < 1):

S �a1

1 � r

a1r n � a1

r � 1anr � a1

r � 1

a1 � an

2

{an} ➔ {1, 3, 5, 7, …}

{bn} ➔ {0, , , , …}

{an} està fitada inferiorment però no superiorment. Fites inferiors: 1, 0, �5, �8, etc.

{bn} està fitada. Fites superiors: 1, 3, 10, etc. Fites inferiors: 0, �1, �5, �8, etc.

34

23

12

Progressió aritmètica:{10, 8, 6, 4, 2 …}

� � � ��(�2) �(�2) �(�2) �(�2) … ➔ d � �2

Terme general:an � 10 � (n � 1) · (�2) � �2n � 12

Terme nombre 15:a15 � �2 · 15 � 12 � �18

Suma dels 15 primers termes:

S15 � 15 · � �6010 � (�18)

2

Progressió geomètrica:{10, 5, 2,5, 1,25, 0,625 …}

� � � �· · · · … ➔ r �

Terme general:

an � 10 · ( )n � 1

Terme nombre 15:

a15 � 10 · ( )14� 0,0006

Suma dels 15 primers termes:

10 · ( )15� 10

S15 � ——————— � 19,9994� 1

Producte dels 15 primers termes:

P15 � (10 · 0,0006)15 � 2,1684 · 10�17

Suma dels termes infinits:10S∞ � ——— � 20

1 � 12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

����������������

Successions i progressions • Successions53

1. Escriu el nombre que falta en els hexàgons següents:

2. Afegeix dos termes més a les successions següents:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

3. Afegeix una figura més a les sèries següents i escriu els termes corresponents:

a)

Nombre de quadrats de cada figura

b)

Longitud total de les línies poligonals

0–2

–6–4–8

54

–12–5

279

131

3

12

538

22

210,5

8 4 2 1 1 �1 1 �1

1 0,2 0,04 0,008 1 4 9 16

1 �2 4 �8 0 3 8 15

� �67

56

45

34

116

18

14

12

La quadrícula ésde 0,4 cm.

�

�

54

4. A partir del terme general, troba els tres primers termes de cada successió i el terme que ocupa el lloc 13.

a) an � 3n � 1; a1 � –––––––– a2 � –––––––– a3 � –––––––– a13 � ––––––––

b) bn � ; b1 � –––––––– b2 � –––––––– b3 � –––––––– b13 � ––––––––

c) cn � (�2)n � 2; c1 � –––––––– c2 � –––––––– c3 � –––––––– c13 � ––––––––

nn � 2

5. Escriu el terme general de les successions següents:

a) x1 � 3; x2 � 9; x3 � 27; x4 � 81 …

b) y1 � 2; y2 � 4; y3 � 6; y4 � 8 …

c) z1 � 1; z2 � 3; z3 � 5; z4 � 7 …

d) r1 � ; r2 � ; r3 � ; r4 � …

e) s1 � ; s2 � 20; s3 � ; s4 � 21 …

Quina de les successions anteriors representa tots els nombres parells? I els imparells?

412

392

15

14

13

12

6. Escriu els deu primers termes de cada successió a partir del seu terme general.

an � (�1)n

bn � (�1)n · n

cn � (�1)n · (n � 3)

Fixa’t en les successions anteriors. Com és una successió el terme general de la qual té el factor (–1)n?

7. Escriu el terme general de la successió –2, 4, –6, 8, –10, 12 ... Troba també els termes que ocupen els llocs230 i 231.

Successions i progressions • Successions55

8. Afegeix una figura més a cada sèrie. Després, escriu alguns termes de cada successió i, per acabar, escriu elterme general.

a)

Successió: Nombre de triangles de cada figura.

–––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– ––––––––––

Terme general: ––––––––––

b)

Successió: Longitud de la diagonal de cada quadrat.

–––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– ––––––––––

Terme general: ––––––––––

c)

Successió: Àrea de cada figura, si l’àrea de cada quadrat fos 3 cm2.

–––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– –––––––––– ––––––––––

Terme general: ––––––––––

Considera que laquadrícula és d’1cm

de costat.

2 2 2 2 2 2 2 2

na n 2

56

9. Representa els termes de cada successió en la recta real i decideix si és creixent, decreixent, constant ooscil·lant.

a) x1 � 3; x2 � 5; x3 � 7; x4 � 9; x5 � 11

b) y1 � 1; y2 � ; y3 � ; y4 � ; y5 �

c) z1 � 0,1; z2 � �0,1; z3 � 0,2; z4 � �0,2

d) k1 � 3; k2 � 3; k3 � 3; k4 � 3

116

18

14

12

10. Troba el terme 10 per a les successions de l’exercici anterior i contesta les preguntes plantejades. Quan unasuccessió estigui fitada superiorment o inferiorment, escriu dues fites superiors o inferiors.

a) x10 � b) y10 �

• Està fitada {xn} superiorment? • Està fitada {yn} superiorment?

• Està fitada {xn} inferiorment? • Està fitada {yn} inferiorment?

• Esta fitada {xn}? • Està fitada {yn}?

c) z10 � d) k10 �

• Està fitada {zn} superiorment? • Està fitada {kn} superiorment?

• Està fitada {zn} inferiorment? • Està fitada {kn} inferiorment?

• Està fitada {zn}? • Està fitada {kn}?

0

0

0

0

Successions i progressions • Tipus de successions. Fites 57

11. Aquí tens representats els quatre primers termes de la successió {an}.

a) Representa dos termes més i escriu els 8 primers termes d’aquesta successió.

b) La successió és creixent, decreixent, oscil·lant o constant? Raona la teva resposta.

c) És convergent? Si la resposta és afirmativa, quin és el seu límit?

12. Aquests són els sis primers termes de les successions {an} y {bn} representats en la recta real. Completa la taulasegüent:

• Escriu els 6 primers termes de cada successió:

{an} �

{bn} �

13. Aquest nombre és una aproximació del nombre π.

3,14159265358979

Escriu els deu primers termes d’una successióque convergeixi en π.

Aquesta aproximacióté catorze decimals!

0 1

a3a4

2

a2

3 4

a1

a1

�2

a3

�1

a4a2 a5

0 1

a6

2

0

b2

1

b4

2

b3

3

b5 b1

4

b6

{an}

{bn}

Està fitada superiorment?

Està fitada inferiorment?

Està fitada?És convergent o

divergent?Té límit?

58

14. Decideix quina de les successions següents són progressions aritmètiques. Quan ho siguin, troba’n el termegeneral i el terme que ocupa el lloc 20.

a) {2, 5, 8, 11 …} b) {4, 0, �4, �8 …}

c) {2, 4, 8, 16 …} d) {1, �1, 1, �1 …}

e) { , 1, , 2 …} f ) { , , , …}

g) {3, 13, 23, 33 …} h) { , 1, , …}53

43

23

116

18

14

12

32

12

15. Fixa’t en la successió de figures següents i afegeix-n’hi dues més.

• Escriu la successió que representi el nombre de quadrats ombrejats. És una progressió aritmètica? En cas afir-matiu, escriu-ne la diferència i el terme general.

Successions i progressions • Progressions aritmètiques59

16. Escriu els deu primers termes d’una progressió aritmètica el primer terme de la qual és 4 i la diferència de la qualés –2.

17. En una progressió aritmètica a1 = –24 i d = 5. Troba a32 i la suma dels trenta-dos primers termes.

18. Tot sabent que a6 = 25 i a17 = 69, troba la diferència de la progressió aritmètica.

19. En un gratacels la distància entre dos pisos és de 3,25 m i elprimer dista del terra 4m. A quina altura es troba el pis 134?

20. En una progressió aritmètica de diferència d = 3 i de primerterme t1 = 7, quin lloc ocupa el nombre 181?

60

21. Troba la suma de tots els múltiples de 3 compresos entre 0 i 500.

22. La suma de tots els nombres senars menors que 500 és menor o major que la suma de tots els múltiples de 3menors que 500? Comprova la teva resposta tenint en compte l’exercici 21 i calculant la suma dels nombressenars menors que 500.

23. Troba una propietat de les progressions aritmètiques. Aquests termes són els catorze primers termes d’una pro-gressió aritmètica:

Els termes a4 i a11 són equidistants dels extrems.

També ho són a6 i a9.

• Troba: a4 � a11 �

a6 � a9 �

Què observes?

• Escull una altra parella de termes equidistants dels extrems i tro-ba’n la suma. Què obtens?

• Fes el mateix amb una parella més.

• Escriu la conclusió que has obtingut.

Extrems

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

32 28 24 20 16 12 8 4 0 �4 �8 �12 �16 �20

� �

Equidistant voldir a igual distància.

Successions i progressions • Progressions geomètriques61

24. Escriu els deu primers termes d’una progressió geomètrica sabent que el seu primer terme és s1 = 4 i la sevaraó és –2. Quin tipus de successió és?

25. Decideix quina de les successions següents són progressions geomètriques. Quan ho siguin, troba’n el termegeneral i el terme que ocupa el lloc 15.

a) {�2, �4, 8, 16, �32 …} b) {�2, 4, �8, 16, �32 …}

c) {5, 10, 15, 20, 25 …} d) {0,1, 0,02, 0,003, 0,0004 …}

e) {0,01, 0,02, 0,04, 0,08 …} f ) {3, , , , …}316

38

34

32

26. Quants trèvols hi hauria en l’última fila d’una taula com la del dibuix si tingués 10 files? Quants trèvols hi hau-ria en tota la taula?

27. Un ferrer va proposar a un ramader de posar ferradures a un dels seuscavalls cobrant un cèntim d’euro pel primer clau, dos cèntims d’europel segon, quatre cèntims pel tercer i així successivament, doblant elpreu del clau anterior. El ramader s’hi va negar en rodó. Pots explicarper què? Calcula el preu de col·locar les quatre ferradures si cadaferradura té vuit claus.

62

28. La successió {xn } és una progressió geomètrica. Si x4 = 32 i x6 = 128, calcula:

a) la raó i el novè terme.

b) la suma dels nou primers termes.

c) el producte dels nou primers termes.

29. En una progressió geomètrica la raó és r = 2 i el tercer terme és a3 = 28. Quin lloc ocupa el nombre 896?

30. Creus que la suma d’infinits nombres pot ser un nombre infinit? Fes la suma següent i escriu-ne el resultat enel requadre.

2 � 0,9 � 0,09 � 0,009 � 0,0009 � 0,00009 � … �

Suma d’infinits nombres

31. Fixa’t en la successió de figures següent:

a) Escriu les àrees d’aquests tres quadrats. Estan en progressió geomètrica? En cas afirmatiu, quina és la raó?

b) Quina serà la suma de les àrees dels primers vint-i-cinc quadrats construïts d’aquesta manera?

c) Quina és la suma de les àrees dels infinits quadrats de la successió?

�

23

24 23 25

25 25 24

1 1· 4

1 1 1 4 164 4a 4 ; S

14 4 33·41

4

4 16S

1 31

4

Successions i progressions • Progressions geomètriques63

32. Troba la suma i el producte dels primers sis termes d’aquesta successió: {2, 8, 32, 128 ...}. Fes-ho de duesmaneres diferents. En primer lloc, escriu els sis termes; després, suma’ls i multiplica’ls. En segon lloc, fes-hoaplicant les fórmules corresponents.

33. Recorda la propietat de les progressions aritmètiques que vas descobrir en l’exercici 23. En les progressions geo-mètriques passa quelcom de semblant, però en aquest cas amb el producte dels termes equidistants dels extrems.

a) Quin és el producte dels extrems?

b) Tria tres parelles de termes equidistants dels extrems i troba’n el producte. Quin és el resultat?

c) Escriu la conclusió que has obtingut.

Utilitza la calculadora i, si cal,escriu el resultat en notació

científica.

Extrems

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

3 18 108 648 3 888 23 328 139 968 839 808

� �

Equidistants

��

64

34. A l’hora del pati, a les 11 del matí, has explicat un secret a dos amics teus; ells han cregut que no seria gairegreu si l’explicaven a dos amics més cada un d’ells. El pitjor és que cada una de les persones a qui algú elsha explicat el secret ha fet el mateix i, a l’hora del segon pati, t’has adonat que un munt de gent el sabia.Quantes persones saben el teu secret a les 13.30 si cada persona l’ha guardat durant 15 minuts només?

35. Un banc ofereix als seus clients un interès compost del 7 % anual. Quant obtindràs per 1500 € al cap de 15 anys?

36. Un propietari d’una casa amb pocs escrúpols va voler aprofitar-se d’un matemàtic que passava per un malmoment econòmic i li va exigir 1 € pel primer dia de lloguer, 2 € pel segon, 3 € pel tercer, 4 € pel quart iaixí successivament. El matemàtic, després de pensar-hi una mica, va aconseguir una petita rebaixa del pro-pietari. Li va demanar que el primer dia li tornés un cèntim d’euro, el segon dia dos, el tercer dia quatre, elquart dia vuit, etc. El propietari va córrer a tancar el tracte per a trenta dies... Qui va sortir-hi guanyant?

1r any 2n any1 500 1 500 · 1,07 1 500 · 1,07 · 1,07 …

Observa la gràfica perrelacionar aquest problema amb les

progressions.� � �