Trabajo en sistemas termodinamicos

Lic. en Fısica Abel Netzahualcoyotl Martınez ObregonDepartamento de Fısica

Temas selectos de quımica 2: Enfasis en Fisicoquımica

Oaxaca de JuarezAbril de 2013

Indice

1. Problemas explicados 1

2. Problemas sugeridos 3

3. Formulario 4

4. Notas de estudio 4

Resumen

En este documento encontraras la resolucion de losproblemas que hemos manejado en el tema de trabajoen sistemas termodinamicos. Recuerda que la expresionpara el trabajo termodinamico es

W = −∫ Vf

Vi

PdV (1)

Usar esta ecuacion junto con la expresion del gasideal PV = nRT nos permite encontrar las expresionespara el trabajo realizado por un sistema en los proce-sos: isotermico, isobarico e isocoro.Para un proceso isobarico el trabajo resultante esta da-do por la ecuacion

W = −P (Vf − Vi) (2)

Para un proceso isotermico la expresion es

W = −nRTln∣∣∣VfVi

∣∣∣ (3)

Mientras que para un proceso isocoro, el trabajo esW = 0.

1. Problemas explicados

Problema 1. Encuentre las expresiones para de-terminar el trabajo realizado por un sistema queefectua procesos a) isobarico,b)isotermico, y c) isocoro.Solucion.

El trabajo realizado por un sistema esta dado por laexpresion

W = −∫ Vf

Vi

PdV

Para el caso en que el proceso es isobarico, la pre-sion permanece constante, y entonces puede salir de laintegral

W = −P∫ Vf

Vi

dV

Ademas sabemos que∫dV = V +C entonces

∫ Vf

VidV =

Vf − Vi por lo tanto

W = −P∫ Vf

Vi

dV = −P (Vf − Vi)

Cuando el proceso es isotermico , la presion no esconstante, por lo tanto , no se puede realizar el proce-dimiento anterior. Sin embargo lo que permanece cons-tante es la temperatura, entonces debemos llegar a unaexpreson en que la temperatura aparezca bajo la inte-gral y se pueda sacar.Para hacer esto usamos la ecuacion del gas ideal PV =nRT . Despejamos P y tenemos

P =nRT

V

la cual sustituimos en la ec. (1) para tener

W = −∫ Vf

Vi

PdV = W = −∫ Vf

Vi

nRT

VdV

Como se trata de un sistema cerrado, la cantidad demateria permanece constante n = cte, entonces co-mo tambien T = cte podemos sacar de la integral eltermino nRT Entonces∫ Vf

Vi

nRT

VdV = −nRT

∫ Vf

Vi

1

VdV = −nRT

∫ Vf

Vi

dV

V

Ademas de las tablas de integrales indefinidas∫

dVV =

ln|V |+ C. Entonces∫ Vf

Vi

dV

V= ln|V |

∣∣∣Vf

Vi

= ln|Vf | − ln|Vi| = ln∣∣∣VfVi

∣∣∣Por lo tanto

W = −nRT∫ Vf

Vi

dV

V= −nRTln

∣∣∣VfVi

∣∣∣Para un proceso isocoro el volumen no cambia, por lotanto el sistema no realiza trabajo sobre el entorno ,

1

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por lo tanto W = 0.

Problema 2. Una barra de cobre de 1 kg de masa secalienta a una atmosfera de presion. Si la temperaturaaumenta de 20 C a 50 C, calcule el trabajo realizadopor la barra de cobre sobre el entorno.Solucion El sistema es la barra de cobre y el procesose lleva a cabo a una temperatura constante de 1 atm.Entonces usamos la ecuacion W = −P (Vf − Vi). Sinembargo no conocemos los volumenes inicial y final res-pectivamente. Para obtenerlos debemos considerar queel cobre al ser calentado se dilata y entonces usamos laecuacion

∆V = 3αV0(Tf − Ti)

Los datos a considerar son Ti = 20C,Tf = 50C,m =

1kg, ρCu = 8690 kgm3 y αCu = 1,7x10−5/C. Para cono-

cer el volumen inicial V0 usamos la expresion para ladensidad

ρ =m

V

de dondeV =

m

ρ

por lo tanto

V0 =m

ρ=

1kg

8690 kgm3

= 1,151x10−4m3

Entonces

∆V = 3(1,7x10−5/C)(1,151x10−4m3)(50C − 20C)

= 1,761x10−7m3

La presion se debe expresar en unidades del SI, enton-ces P= 1atm=101325 Pa. Y entonces el trabajo es

W = −P∆V = (101325Pa)(1,761x10−7m3)

= −1,78x10−2J

El trabajo es negativo, porque el metal se esta expan-diendo y realiza trabajo sobre el entorno.

Problema 3 .Un mol de gas realiza 3000 J detrabajo al entorno y se expande isotermicamente hastaque su presion alcanza 1 atm y su volumen los 25 L.Determine el volumen inicial y la temperatura del gas.

Solucion. Es muy importante que tomemos encuenta que el gas se expande y por lo tanto realizatrabajo sobre el entorno, siendo el signo de estenegativo W = −3000J .Los datos que se proporcionan son n =1mol,W = −3000J ,Pf = 1atm = 101325Pa ,Vf = 25L = 0,025m3 y R = 0,0821 Latm

molK = 8,31 JmolK .

Lo mas sencillo de calcular es la temperatura, que altratarse de un proceso isotermico es constante. Comoconocemos la presion y volumen finales, ademas delnumero de moles, podemos determinar la temperaturaal final del proceso (que es igual que al inicio).Entonces

PV = nRT ⇒ T =PV

nR

En el instante final

T =PfVfnR

=(1atm)(25L)

(1mol)(0,0821 LatmmolK )

= 305K

Redondeando a enteros. Una vez que conocemos latemperatura a la que se realiza el proceso, calculamosel volumen inicial, para eso despejamos la ecuacion (2)de la manera siguiente.

W = −nRTln∣∣∣VfVi

∣∣∣⇒ W

−nRT= ln

∣∣∣VfVi

∣∣∣La ecuacion entonces queda

ln∣∣∣VfVi

∣∣∣ =−WnRT

Reacomodando el signo -. Ahora hay que recordar quela operacion inversa de lnx es la exponencial de basee, ex. Entonces

eln

∣∣∣VfVi

∣∣∣= e

−WnRT ⇒

∣∣∣VfVi

∣∣∣ = e−WnRT

. Como los volumenes son simpre positivos, podemosquitar el valor absoluto

VfVi

= e−WnRT

Despejamos entonces Vi

Vi =Vf

e−WnRT

Una propiedad de la funcion exponencial es que si locambiamos del numerador al denominador o viceversa,lo unico que cambia es el signo del argumento, es decir

Vi = VfeW

nRT

La ecuacion anterior nos dice que el volumenes inicialy final estan relacionados de forma exponencial. Estonos hace recordar la forma de las isotermas vistas enclase.

Lo ultimo que queda es sustituir los datos y obtener

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el valor del volumen inicial, que debe ser menos que elfinal, puesto que el gas se expande.

Vi =(

0,025m3)e

−3000J

(1mol)(8,31Jmol−1K−1)(305K)

= 0,00765m3

Es muy importante poner mucha atencion en las uni-dades, al estar el trabajo en J, debemos usar el valorpara R como 8,31 J

molK .

Problema 4. Una muestra de gas ideal se expandeal doble de su volumen original de 1m3 en un procesopara el cual P = αV 2, con α = 5atm

m6 . Calcular el tra-bajo realizado por el gas durante la expansion.Solucion.Este problema esta pensado para que usemos la de-finicion basico del trabajo realizado por un sistema

W = −∫ Vf

ViPdV . La presion y el volumen del siste-

ma enunciado en este problema estan relacionados poruna funcion cuadratica, la forma de la curva en la grafi-ca de P-V es una parabola con vertice en el origen. Lapresion y el volumen NO varıan de forma proporcional.Entonces

W = −∫ Vf

Vi

PdV = −∫ Vf

Vi

αV 2dV = −α∫ Vf

Vi

V 2dV

Ya que α es constante. Ademas∫V 2dV = V 3

3 +C porlo que

W = −α∫ Vf

Vi

V 2dV = −αV3

3

∣∣∣Vf

Vi

⇒W = −α(V 3

f

3− V 3

i

3

)= −α

3(V 3

f − V 3i )

W = −α3

(V 3f − V 3

i )

De esto se deduce que el trabajo que realiza este sis-tema solo depende del cambio de volumen, mas exac-tamente de la diferencia de los cubos de los volumenesfinal e inicial. Lo ultimo que queda es sustituir los va-lores en la ecuacion obtenida.

W = −506625

3

Pa

m6

((2m3)3−(1m3)3

)= −1182125Pam3

W = −1,2x106J

Se ha tomado en cuenta que la constante α = 5atmm6

hay que convertirla a unidades de Pam6 haciendo

α = 5atm

m6

∣∣∣101325Pa

1atm

∣∣∣= 506625Pa

m6

2. Problemas sugeridos

1. Ecuacion del gas ideal. Un tanque de 20.0 L

contiene 0.225 kg de helio a 18 C. La masa molar delhelio es de 4.00 g/mol. a)¿Cuantos moles de helio hayen el tanque? b)Calcule la presion en el tanque en Pay atm.Solucion.a)56.2 mol b)6,81x106Pa = 67,2atm

2. Ecuacion del gas ideal. Un tanque cilındrico tie-

ne un piston ajustado que permite cambiar el volumendel tanque. El tanque contiene originalmente 0.110 m3

de aire a 3.40 atm de presion. Se tira lentamentee delpiston hasta aumentar el volumen del aire a 0.390 m3.Si la temperatura permanece constante, ¿que valorfinal tiene la presion? ¿Que tipo de proceso se realizo?Solucion.0.959 atm, Isotermico.

3. Ley general del estado gaseoso. Un tanque

cilındrico grande contiene 0.750 m3 de nitrogenogaseoso a 27 C y 1.50x105 Pa (Presion absoluta). Eltanque tiene un piston ajustado que permite cambiarel volumen. Determine la presion si el reduce a 0.480m3 y la temperatura aumenta a 157 C. Recuerda con-vertir la temperatura a Kelvin.Solucion. 3.36x105Pa.

4. Ley general del estado gaseoso. El gas dentro

de un globo siempre tiene una presion casi igual a lapresion atmosferica, pues esta es la presion aplicada alexterior del globo. Un globo se llena con helio hasta unvolumen de 0.600L a 19.0 C. ¿Que volumen tendra elglobo si se le enfrıa hasta el punto de ebullicion delnitrogeno lıquido (77.3K)? Solucion.0.159 L.

5. Trabajo realizado al cambiar el volumen. Dos

moles de gas ideal se calientan a presion constantedesde -27 C hasta 107 C. a)Dibuje una grafica de Pvs V para este proceso. b)Calcule el trabajo efectuadopor el gas. Solucion. 1330J.

6. Trabajo realizado al cambiar el volumen. Dos

moles de gas ideal estan comprimidos en un cilindro atempertura constante de 85 C hasta que se triplica latemperatura original . a) Dibuje una grafica de P vsV para este proceso. b) Calcule la cantidad de trabajoefectuado. Solucion. -6540 J.6. Trabajo realizado al cambiar el volumen.

Durante el tiempo en que 0.305 moles de un gas idealsufren una compresion isotermica a 22.0 C, su entornoefectua 518 J de trabajo sobre el. a) Si la presion finales de 1.76 atm, ¿cual fue la presion inicial? b) Dibujeuna grafica P vs V para el proceso. Solucion. 0.88 atm.

6. Trabajo realizado al cambiar el volumen. Una

muestra de gas ideal se comprime a la mitad de suvolumen original de 1m3 en un proceso para el cualP = αV 2, con α = 1,5atm

m6 . a)Calcular el trabajorealizado sobre el gas durante la compresion. Solu-cion.1.3x105J .7. Trabajo en procesos isotermicos. Sobre un

mol de gas se realiza 2000 J de trabajo y se comprimeisotermicamente hasta que su presion alcanza 1 atmy su volumen los 10 L. Determine el volumen ini-cial y la temperatura del gas. Solucion.12.2 L y 122K .

8. Trabajo efectuado por la dilatacion de un metal.

Una barra de aluminio de 1 kg de masa se enfrıa a unaatmosfera de presion. Si la temperatura disminuye de150 C a 20 C, calcule el trabajo realizado sobre labarra de aluminio por el entorno, αAl = 24x10−6/C yρAl = 2700 kg

m3 .Solucion. 35x10−2J.

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3. Formulario

Ley general del gas ideal

PiViTi

=PfVfTf

(4)

4. Notas de estudio