TALLER 1 Analisis Numerico
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1. Dada la siguiente matriz A= | 1 +d 1 1 1 1+d 1 1 1 1+ d | determine P ( λ ), los valores característicos de A y ρ ( A ). Solución: P ( λ ) =det ( A−λI )= | 1+d 1 1 1 1+d 1 1 1 1 + d | − | λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ | = | 1+d− λ 1 1 1 1+ d−λ 1 1 1 1 +d−λ | seam=1 +d−λ det ( A −λI ) = | m 1 1 1 m 1 1 1 m | ¿ m∗det ( m 1 1 m ) −det ( 1 1 1 m ) + det ( 1 m 1 1 ) =m [ m 2 −1 ]−[ m− 1] +[ 1−m ] ¿ m 3 −3 m +2 Remplazando m=1+ d− λ tenemos: ( 1 +d) 3 −3 ( 1 +d ) 2 λ + 3 ( 1+ d) λ −λ 3 −3 ( 1+d− λ ) +2 ¿ −λ 3 +3 ( 1 +d) λ 2 −3 ( 1 +d) 2 λ +3 λ +( 1 +d) 3 −3 d−1 Resolviendo los cuadrados y cubos… ¿ −λ 3 +3 ( 1 +d) λ 2 −( 6 d +3 d 2 ) λ +1+3 d +3 d 2 +d 3 −3 d−1 P ( λ )=−λ 3 +3 ( 1+d ) λ 2 −( 6 d+3 d 2 ) λ +d 2 ( d+3) Factorizando se tienen los valores característicos λ =d ( multiplicidad=2 ) λ =d+3 Para encontrar ρ ( A ) se tiene
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Talleres de analisis numerico.
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1. Dada la siguiente matriz A= determine , los valores caractersticos de A y .Solucin:
Remplazando tenemos:
Resolviendo los cuadrados y cubos
Factorizando se tienen los valores caractersticos
Para encontrar se tiene
2. Teniendo en cuenta que . utilice los 5 primeros trminos de la serie de Taylor correspondiente a para determinar:a) Una aproximacin X de X (6 dgitos de precisin).b) El error absoluto EA y relativo ER de truncamientoSolucin:a) Para resolver la integral la dividimos en dos partes y las resolvemos por separado:
Primera integral: partiendo de su desarrollo en serie de Taylor (5 primeros trminos) tenemos
Segunda integral:
Error absoluto:
3. Aproxime aplicando el mtodo de la regla falsa usando el intervalo [1, 1.5]. Itere once (11) veces y trabaje con ocho (8) dgitos de precisin.
Tenemos:
De acuerdo con los datos tenemos
Y:
011.210536321.5-1-0.226126201.375
11.210536321.251408541.5-0.22612620-0.040265031.3750.04088222
21.251408541.25848111.5-0.04026503-0.00684951.3750.00707256
31.25848111.259678251.5-0.0068495-0.001156031.3750.00119715
41.259678251.259880131.5-0.00115603-0.000194861.3750.00020188
51.259880131.259914151.5-0.00019486-0.000032841.3750.00003803
61.259914151.259919881.5-0.00003284-0.000005571.3750.00000573
71.259919881.259920851.5-0.00000557-0.000000951.3750.00000097
81.259920851.259921021.5-0.00000095-0.000000161.3750.00000017
91.259921021.259921051.5-0.00000016-0.000000001.3750.00000003
101.259921051.259921051.5-0.00000000-0.000000001.3750.00000000
111.259921051.259921051.5-0.00000000-0.000000001.3750.00000000
De acuerdo con el proceso iterativo para aproximar la se obtiene el resultado 1.25992105 el cual se encuentra en el intervalo [1,1.5] como se comprueba en la siguiente grfica:
4. Aplique Newton-Raphson para aproximar la raz cuadrada positiva de 4. Comience con y termine cuando . Consigne los resultados obtenidos en una tabla. Trabaje con cuatro dgitos de precisin.
Tenemos:
Para el caso enunciado:
As la funcin de iteracin ser
La tabla con los resultados de la iteracin queda:
12.08330.38030.2533
22.00170.00670.0816
32.00000.00000.0017
42.00000.00000.0000
