Universidad Nacional de Colombia -Sede Bogot-Departamento de MatemticasPrimer semestre de 2012- Matemticas Bsicas PRECLCULO- Grupos 1al 14.(Facultades de Ciencias, Ciencias Econmicas, Ingeniera y Zootecnia)Coordinadora: Margarita OspinaTaller 1Ejercicios del texto gua: Un buen complemento a este taller son los ejerciciosde la Seccin 1.1I. Sea U el conjunto de estudiantes de la U.N. Considere los siguientes subcon-juntos de U:A: mayores de 20 aos, B: mujeres, C: de estratos 1,2 o 3.Describa con palabras los siguientes conjuntos:1) A0 C 2) A' B 3) B0' C04) (A C)05) A0' C06) (A' C)07) A0 C08) A B C:9) AB 10) (AB) C:II. Sean A y B conjuntos arbitrarios.Complete el espacio con los smbolos _; _ o nc (no son comparables) segnsea el caso:a) A_____A B b) A_____ A' Bc) A0_____AB d) A_____ABe) A_____B A f) A0_____B AIII. En cada literal, haga un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacosA; B y C, que satisfagan las condiciones:a) A B; C B, A C =b) A C; A ,= C; B C = c) A B, C * B , A C ,=d) A (B C); B C, C ,= B, A ,= CIV. Sean A y B conjuntos arbitrarios. Diga si las siguientes proposiciones sonverdaderas o falsas y justique. (Note que las armaciones se reeren a cualquierpar de conjuntos A y B). Para justicar su falsedad bastar entonces mostrarun caso particular en el que sea falsa la contenencia, igualdad o implicacindada. Para justicar la veracidad se hace necesario garantizar que es verdaderoindependientemente de cuales sean los conjuntos A y B)a) B A A0b) B A0 = B Ac) (A B)0 = A0 B0d) AB A' Be) Si A B entonces A0 B0f) Si A B entonces AB = g) Si A B entonces A B = A h) Si A B entonces A' B = B1V. Considere el universo U = x N [ x _ 50 y los siguientes subconjuntos:A = x [ x es par ; B = x [ x es primo C = x [ x es divisor de 36D = x [ x es mltiplo de 4Escriba por extensin y por comprensin los siguientes conjuntos:1) A0 C 2) (A' B)03) B D 4) A C D5) AD 6) B0A 7) AC 8) C D0:VI. Marque la casilla que corresponde, segn el nmero de la izquierda seanatural, entero, racional, irracional o real. Tenga en cuenta que un mismonmero puede pertenecer a varios conjuntos y por tanto puede necesitar marcarms de una casilla para cada nmero.N Z Q R Q R_10q35q9100 2

23; 14163; 14161 0; 1011011101111:::El valor de la longitud de la circunferenciade radio 0,5 unidadesEl valor del rea de un cuadrado de lado 2 unidadesEl valor de la longitud de la hipotenusa del tringulorectngulo cuyos catetos miden 5 y 12 unidades.El valor del volumen del cilindro de altura 2 unidadesy cuya base tiene un radio de 1 unidad.El valor del rea de un tringulo rectngulo isscelescuya hipotenusa mide 2 unidades.VII. Determine si cada una de las siguientes armaciones es verdadera o falsa.En cada caso justique su respuesta.a) Algunos nmeros irracionales tienen representacin decimal innita y per-idica.b) Ningn decimal innito es un nmero irracional.c) Algunos racionales tienen representacin decimal innita no peridica.d) Todo decimal peridico es racional.e) Existen algunos nmeros que no son ni enteros ni racionales.f ) El producto de dos nmeros irracionales siempre es irracional.g) El cociente de dos nmeros irracionales siempre es irracional.2VIII. a) Cuntos nmeros irracionales hay entre 0 y 1? Si es posible, muestretres.b) Cuntos nmeros irracionales hay entre 2; 9 y 3? Si es posible, muestretres.c) Cuntos nmeros irracionales hay entre 7; 9999 y 8? Si es posible, muestretres.d) Construya tres irracionales y tres racionales entre 27y 37.IX. Efecte las siguientes operaciones:a) 13; 42442444244442::: + 6; 12112111211112:::b) 21; 01001000100001::: + 7; 32332333233332:::c)_2 _2 d) _2 _3e) 1; 45 + 3; 71 f ) 1; 45 3; 71X. Sabiendo que r es un nmero racional y que t y s son nmeros irracionales,qu puede decir de los siguientes nmeros: (justique sus respuestas)a) r +t b) r t c) t +s d) t s e) t1.XI. Encuentre el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de:a) 15b) 73c) 2 d) 1; 45 e) _5 _7XII. Demuestre usando un contraejemplo que:a) la sustraccin en R no es una operacin conmutativa.b) la divisin en R 0 no es una operacin conmutativa.c) la divisin en R 0 no es una operacin asociativa.XIII. Represente grcamente y exprese utilizando notacin de intervalos cadauno de los siguientes conjuntos.a) El conjunto de los nmeros reales que distan 5 unidades de 4.b) El conjunto de los nmeros reales que distan menos de 3 unidades de :c) El conjunto de los nmeros reales que distan 2 unidades o menos de 0.d) El conjunto de los nmeros reales que distan 3 unidades o ms de 1:e) El conjunto de los nmeros reales que distan 32 de unidad de 45 :XIV. Calcule los siguientes valores absolutos:a)

3 _5

b)

711 0; 63

c) [ 4[ d) [6; 28 2[XV. Bajo qu condiciones se cumple la igualdad en la desigualdad triangular,es decir, para qu valores de a y b se cumple que [a +b[ = [a[ +[b[?XVI. Sean w un nmero irracional y z un nmero racional distinto de 0. Con-sidere las siguientes armaciones:3I. 2w es irracional y 2z es racional. II. (w +z) es irracional y _z esirracional.Es correcto decir que:A. I y II son verdaderas B. I es verdadera y II es falsaC. I es falsa y II es verdadera D. I y II son falsas.XVII. Cul de los siguientes enunciados es falso?A. La suma de dos nmeros racionales es racional.B. Cero es un nmero racional.C. La raz cuadrada de todo nmero natural es irracional.D. Todo nmero natural es entero.XVIII. Suponga que a es un nmero real tal que 0 < a < 1 y considere losnmeros:(i)1a2(ii) a3(iii) a (iv) 1a(v) a2(vi)1a3El orden correcto de menor a mayor es:A. (iii),(ii),(v),(iv),(i),(vi) B. (i),(ii),(iii),(iv),(v),(vi)C. (ii),(v),(iv),(i),(vi),(iii) D. (ii),(v),(iii),(iv),(i),(vi).4