Taller 2 - Derivadas Parciales (Solución) (1)

TALLER 2

DERIVADAS PARCIALES

Nombres: Daniel Alejandro Sabogal

Jorge Enrique Vergara

Sergio Sanabria

APLICACIONES DE SISTEMAS

CONTÍNUOS FECHA

Docente:

María Teresa Vargas M. TALLER

StudentOutcome ABET

b. La capacidad para analizar e interpretar datos.

d. Capacidad de trabajar en equipos multidisciplinarios.

k. La capacidad para utilizar las técnicas, habilidades y herramientas

modernas necesarias para la práctica de la ingeniería.

ACTIVIDAD

1. Suponga que la producción de Q unidades del producto de una compañía se

determina mediante la función de producción de Cobb-Douglas 4/31/430K= LQ ,

donde K representa la inversión de capital en dólares y L las horas de trabajo.

a. Encuentre Q si K=10 (miles de dólares) y L=625 horas.

Determine la productividad marginal de la mano de obra y del capital, y evalúela

cuando L=1 y K=1

2. Suponga que una función de producción está dada por la función

LK

K=,

LLKP

a. Determine las funciones de productividad marginal.

b. Demuestre que cuando K=L, la suma de las productividades marginales es

una constante.

3. En un día de frío, una persona puede sentir más frio cuando hay viento que cuando

no lo hay, porque la razón de pérdida del calor es una función de la temperatura y de

la velocidad del viento. La ecuación twH 33w= 100.451 indica la razón de

pérdida de calor H (en kilocalorías por metro cuadrado por hora) cuando la

temperatura del aire es t (en grados Celsius) y la velocidad del viento w (en metros

por segundo)

a. evaluar H cuando t=0 y w=4

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CONTÍNUOS FECHA

Docente:


b. evaluar w

H

y t

H

cuando t=0 y w=4. Interpretar los resultados.

4. Encuentre las derivadas parciales:

a. 9222 zyx

b. yeLnzLnyLnx

c. 02 xyyxz

d. rts

rs

22

e. zyexxyzzxLn 2

DESARROLLO

1.

4/31/430K= LQ

K = Inversión de capital

L = Tiempo de trabajo

a)

625L

10000K

37500)125)(10(30

= 4

3

6254

1

30(10000)

Q

Q

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CONTÍNUOS FECHA

Docente:


b)

2

15Q

4

30Q

14

30Q

)1(4

)1(30Q

)(4

30Q

)0)(30()()30(4

1Q

4

4 3

3

1

4 3

4

3

4

1

4

3

4

3

K

K

K

K

K

L

K

KLKK

2

45Q

4

90Q

14

)1(90Q

4

90Q

)4

3)(30())(0(

Q

3 2

4

1

4

4

1

4

1

4

1

4

3

L

L

L

L

K

L

LKLL

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CONTÍNUOS FECHA

Docente:


2. LK

K=,

LLKP

a)

2

2

2

2

2

2

)(

)(

)(

)(

)(

)01()0()(1

=,LK

K

LK

L

K

P

LK

KLLKL

K

P

LK

KLLKL

K

P

LK

KLLKKL

K

P

LKPL

2

2

2

2

2

2

)(

)(

)(

)(

)(

)10()1()(0

=,LK

K

LK

L

L

P

LK

KLLKL

L

P

LK

KLLKL

L

P

LK

KLLKKL

L

P

LKPL

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CONTÍNUOS FECHA

Docente:


b) LK

12

1

2

1

22

)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

L

L

L

L

LL

L

LL

L

12

1

2

1

22

)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

K

K

K

K

KK

K

KK

K

3. twH 33w= 100.451

a)

85.872

3326.45=

0334=

33w=

4w0,t

4100.451

100.451

H

H

H

twH

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b)

w

tt

w

H

tw

t

w

H

tw

t

ww

H

wwtww

H

335165

335165

335165

)0)(1015.10()33)(15

(

wwt

H

wwtt

H

333204.334

)33)(1045.10()33(0

Cuando

2

99

4

99

4

40433)0(5165

4w0,t

w

H

w

H

w

H

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4.846

1284.977

12843204.334

)4(3243204.334

4w0,t

t

H

t

H

t

H

t

H

4.

a) 9222 zyx

a) x

z

z

x

x

z

z

x

x

z

xx

zz

x

zzx

2

2

22

0202

b) y

z

z

y

y

z

z

y

y

z

yy

zz

y

zzy

2

2

22

0220

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b) yeLnzLnyLnx

a) x

z

x

z

x

z

xx

z

z

ex

z

zx

y

11

01

01

b) y

z

y

y

y

zey

z

y

z

eyx

z

z

ey

z

zy

11

111

0

c) 02 xyyxz

a)

x

z

x

zyxzy

x

z

zyxzyx

zx

yxzyx

zxz

yyxz

x

zxz

xyx

zxzyxz

xyyxz

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

02

0)0()(1))(1()(2

1

0)(

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b) y

z

x

zyxzy

x

z

yyxzyx

zx

yxzxyx

zx

xyxz

yx

zx

xyyx

zxzyxz

xyyxz

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

22

22

02

2

0)1()(0)2)(0()(2

1

0)(

d) rts

rs

22

a) r

t

rst

ststs

r

t

ststsr

trst

tsr

trststs

ts

r

trststs

ts

r

ttrstss

ts

r

ttrstsrs

2

2

2

1

2

1

)2(

1

20)0()(1

23222

23222

22223

222

23

222

22

222

22

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CONTÍNUOS FECHA

Docente:


b) s

t

rst

rsrt

r

t

rst

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r

t

rsrtrsr

trst

r

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tsr

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ts

r

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ts

r

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ts

r

ttsrstsrs

2

2

2

22

022

022

0

22

0

22

0

22)1()(0

22

222

222

222

222222

222

222

222

222

222

22

e) zyexxyzzxLn 2

a) x

z

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Docente:


)1

1)(2

1)(2)1

)(2)11

2)(

)11

2)(

)()(11

2)(

)()(1

2)(

1

2)(

1

02)0()(1)(

1

232

232

232

232

2

2

2

2

2

zyzy

zy

zyzyzy

zyzyzy

zy

zyzy

zy

zy

zy

zy

zyzy

zyzy

zyzy

zexexxyzyx

zxxeyz

x

z

zxxeyzzexexxyzyxx

z

zxxeyzzexexxyzyxx

z

xeyzzx

zexexxyzyxx

z

xeyzzx

zxexzxxyx

z

xeyzzx

zxx

zexzx

x

zxy

x

z

xeyzx

zex

x

zxy

zx

x

z

x

zexxe

x

zxyyz

zx

x

z

ex

zxxe

x

zxyzxy

zx

x

z

b) y

z

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zyzy

zy

zyzyzy

zy

zyzy

zy

zy

zy

zy

zyzy

zyzy

zyzy

zyzy

zexexxyzyx

zxxzex

y

z

zxxzexzexexxyzyxy

z

xzexzx

zexexxyzyxy

z

xzexzx

zxexzxxyy

z

xzexzx

zxy

zexzx

y

zxy

y

z

xzexy

zex

y

zxy

zx

y

z

y

zexex

y

zxyxz

zx

y

z

y

zeex

y

zxyxz

zx

y

z

ey

zxe

y

zxyzxy

zx

y

z

232

2

2232

2

232

2

2

2

2

22

22

2

2

1

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