Problema 4 (camiones C1 y C2)Variables: x1: cantidad de camiones C1x2: cantidad de camiones C2

Si se quiere transportar exactamente 100 toneladas de carga, la solucin debe estar sobre la recta que representa la restriccin de la carga. Las posibles soluciones son:- 6 camiones tipo C1 y 2 tipo C2 con un costo de $ 300- 5 camiones tipo C1 y 5 tipo C2 con un costo de $ 350- 4 camiones tipo C1 y 8 tipo C2 con un costo de $ 400

15x1+5x2=100

Problema 8 (Fbrica de muebles)Variables: xij = la cantidad de madera de la compaa i a la planta j (en tn semanales). Sea cij a los costos de transportar una tonelada de madera desde i a j. Compaa iPlanta jxij

x1i : dinero depositado a un ao al comienzo del ao i (a 8% anual)x2i : dinero depositado a dos aos al comienzo del ao i (a 17% anual)x3i : dinero invertido en certicados a tres aos al comienzo del ao i (a 27% anual)si: dinero no invertido al comienzo del ao iBalance de dinero en perodo i+1: Problema 9 (Inversiones)

Por supuesto que hay perodos en los que no estn disponibles los tres tipos de inversiones, por ejemplo, los certicados a tres aos estn disponibles slo a partir del segundo perodo, y en el cuarto ao no puede realizar depsitos a dos aos, ya que la inversin termina en el ao 5. Teniendo en cuenta esto, el modelo matemtico es:Per 1Per 2Per 3Per 4Per 52200FINx12x11s1x23x22x21s2s5x42x41x33x32x31s4s3x51

Problema 10 (Heladera)Datos: Di: demanda (en kg) en mes i. Vi: precio de venta en mes i ($/kg).ci: costo de produccin en mes i ($/kg) Variables: xi : kg de helado producido en mes i si: kg de helado sobrantes del mes icon i=1, 2, ..., 6Balance de helado en mes i:

Problema 12 (Instalacin de plantas)Datos: di: demanda de ciudad i. M: capacidad mxima de cada plantaF: costo de instalacin.bij: beneficio por vender a ciudad i desde planta jVariables: hay dos tipos de decisiones: si se instala una planta en las posibles localizaciones o no; y cunto producto se vende de cada planta a cada ciudad. El primer tipo de decisiones tiene slo dos posibles valores: se instala o no. Se usan variables binarias. Las otras decisiones son continuas:yj = 1 si se instala una planta en la localizacin j 0 en otro caso, xij : cantidad de producto que la planta instalada en j vende a la ciudad i.

con j=1, 2, ..., 6 y i = 1, 2, ..., 7

Geometra en programacin lineal. Un conjunto S en Rn se dice convexo si para todo x1 y x2 en S, el punto x = x1+(1- )x2 tambin est en el conjunto, para todo [0,1]x = x1+(1- )x2 con [0,1] = x2+ (x1 -x2)Combinacin convexa de x1 y x2 Puntos en el segmento que une x1 y x2 Un punto de un conjunto S se denomina punto extremo si no puede expresarse como combinacin convexa de dos puntos distintos en el conjunto, con (0,1) (en un conjunto polidrico, son los vrtices del mismo)x1x2x1x2Conjunto no convexoConjunto convexo

Hiperplano: H = {xRn : px = k} con pRn y k Rnp es el vector normal al hiperplanoHipersemiplano: H+ = {xRn : px k} con pRn y k RnUn hiperplano es un conjunto convexoUn hipersemiplano es un conjunto convexoPara demostrar que H es convexo, debemos probar que la combinacin convexa de dos puntos cualesquiera de H genera un punto tambin en H. Sean x1 H y x2 H, entonces px1 = k y px2 = k. Consideremos la combinacin convexa x = x1 + (1 ) x2. Luego,p x = px1 + (1 ) px2 = k + (1 )k = k, por lo tanto, x H.La interseccin de conjuntos convexos es un conjunto convexoLuego: la regin factible de un problema lineal (interseccin de hipersemiplanos o hiperplanos) es un conjunto convexo.

dx0+dUna direccin d Rn es direccin extrema si no se puede escribir como combinacin de otras direcciones del conjuntod Rn es una direccin de un conjunto convexo S si para cada x0 en S, el rayo {x Rn :x = x0+d, 0} est contenido en Sdireccin extremadireccin extremadireccin

Un conjunto polidrico o poliedro es la interseccin de una cantidad finita de hipersemiplanos (en cualquier dimensin).Todo punto de un poliedro acotado puede escribirse como combinacin convexa de los puntos extremos (vrtices del poliedro). Combinacin convexa de varios puntos = combinacin lineal donde los coeficientes son positivos y suman 1x = y + (1- )x4 con (0,1) y = x1 + (1- )x2 con (0,1) Entonces: x = ( x1 + (1- )x2) + (1- )x4 = x1 + (1- )x2 + (1- )x4 y resulta que los coeficientes suman 1: + (1- ) + (1- ) = 1 y son positivos

Todo punto en un conjunto polidrico acotado S se puede escribir como combinacin convexa de sus puntos extremos. Es decir: si x1, x2, ..., xn, son los puntos extremos de S y x S, entonces existen 1, 2, ..., n positivos, con i = 1 tal que

Todo punto en un conjunto polidrico S se puede escribir como combinacin convexa de sus puntos extremos ms una combinacin positiva de sus direcciones extremas. Es decir: si x1, x2, ..., xn, son los puntos extremos de S , d1, d2, ..., dk son sus direcciones extremas y x S, entonces existen 1, 2, ..., n positivos, con i = 1, y 1, 2, ..., k positivos tal queTeoremas de representacin