Universidad Nacionalde ColombiaDepartamento de MatematicasPrograma: VariosAlgebra Lineal 2013-IIDocente: Camilo Chaparro

Taller No. 3 - Determinantes

Tema: Determinantes.Objetivo: Calcular determinantes aplicando sus propiedades. Estudiar algunas aplicaciones de losdeterminantes.Calcule los siguientes determinantes:

1.

1 23 4

2.

1 32 4

3.

2 53 8

4.

0 08 11

5.

1 0 30 1 42 1 0

6.

1 1 02 1 41 5 6

7.

3 1 46 3 52 1 6

Respuestas:

1. 2 2. 2 3. 31 4. 0 5. 10 6. 6 7. 47

8. Demuestre que si A y B son matrices diagonales de nn, entonces det(AB) = det(A)det(B).

9. De un ejemplo que muestre que, en general, NO se cumple que det(A+B) = det(A)+det(B).

10. Si A es una matriz triangular con un 0 sobre su diagonal, cual es el valor de det(A)?

11. Encuentre todos los valores de para los cuales las siguientes matrices son singulares.

a.

[ 2 15 + 4

]b.

4 0 00 20 3 1

12. Resolver para x x 13 1 x

=1 0 32 x 61 3 x 5

13. Muestre que el valor del determinante sen cos cos sen

No depende de .

Calcule los siguientes determinantes, usando las propiedades vistas:

14.

1 0 23 1 42 0 6

15.2 1 13 2 05 1 6

16.3 2 41 1 2

1 4 0

17.

0 2 31 2 34 0 5

18.

2 3 64 1 8

2 0 0

19.

2 1 34 0 65 2 3

20.

1 1 2 40 3 5 61 4 0 30 5 6 7

21.

2 3 1 40 2 0 03 7 1 24 1 3 8

22.

1 1 1 0

3 4 6 02 5 1 34 0 3 0

23.

3 1 2 14 3 1 2

1 0 2 36 2 5 2

24.

2 0 0 00 0 3 00 1 0 00 0 0 4

25.

0 a 0 0b 0 0 00 0 0 c0 0 d 0

26.

1 2 0 03 2 0 00 0 1 50 0 7 2

27.

a 0 0 0 00 0 b 0 00 0 0 0 c0 0 0 d 00 e 0 0 0

28.

2 5 6 8 00 1 7 6 00 0 0 4 00 2 1 5 14 1 5 3 0

29.

0 0 0 0 30 0 0 4 00 0 1 0 00 2 0 0 05 0 0 0 0

Respuestas:

14. 2

15. 5516. 32

17. 10

18. 36

19. 1820. 26021. 80

22. 18323. 0

24. 24

25. abcd

26. 29627. abcde

28. 480

En los ejercicios 30 al 36, calcule el determinante suponiendo quea11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= 830.

a31 a32 a33a21 a22 a23a11 a12 a13

31.

a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23

32.

a11 a12 a132a21 2a22 2a23a31 a32 a33

33.

3a11 3a12 3a132a21 2a22 2a235a31 5a32 5a33

34.

a11 2a13 a12a21 2a23 a22a31 2a33 a32

35.

a11 a12 a12 a13a21 a22 a22 a23a31 a32 a32 a33

36.

2a11 3a21 2a12 3a22 2a13 3a23

a31 a32 a33a21 a22 a23

Respuestas:

30. 8 31. 8 32. 16 33. 240 34. 16 35. 8 36. 16

37. Por simple inspeccion, explicar por que det(A) = 0.

a. 1 8 1 43 2 5 11 0 7 04 6 4 3

b.

1 3 1 70 1 4 63 5 2 8

1 4 5 13

c.

1 4 5 62 3 2 7

1 0 1 23 2 3 4

38. Usando las propiedades de los determinantes, muestre que si A es de tamano nn, entonces

det(kA) = kn det(A).

39. Si A es una matriz de tamano 3 3 con det(A) = 3, calcular

a. det(2A) b. det(3A) c. det(12A

)d. det

(A1

)e. det

(4A1

)40. Para que valores de k se cumple que A no es invertible?

a.

[k 3 22 k 2

]b.

1 2 43 1 6k 3 2

41. Recuerde que una matriz es antisimetrica si AT = A. Si A es una matriz antisimetrica

de n n, muestre que det(AT

)= (1)n det(A).

42. Usando el resultado anterior, muestre que si A es una matriz antisimetrica de n n y n esimpar, entonces det(A) = 0.

43. Una matriz A es ortogonal si A es invertible y A1 = AT . Muestre que si A es ortogonal,entonces det(A) = 1.

44. Una matriz A se llama nilpotente si existe un entero k 1 tal que Ak = 0 (la matriz cero).Muestre que las siguientes matrices son nilpotentes y halle la k mas pequena que cumplaAk = 0 (ndice de nilpotencia)

a.

[0 20 0

]b.

0 1 30 0 40 0 0

45. Muestre que si A es nilpotente, entonces det(A) = 0.

46. Una matriz A es idempotente si A2 = A. Cuales son los valores posibles para det(A) si Aes idempotente?

47. Para las siguientes matrices calcular A1 usando la matriz adjunta

a.

2 5 51 1 02 4 3

b. 2 0 30 3 2

2 0 4

48. Resuelva los siguientes sistemas usando la regla de Cramer cuando sea posible

a.

4x + 5y = 211x + y + 2z = 3x + 5y + 2z = 1

b.

3x y + z = 4x + 7y 2z = 12x + 6y z = 5

49. Tomese un K y descanse!

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

1) GROSSMAN, Stanley. Algebra Lineal. 6 ed.

2) ANTON, Howard. Introduccion al Algebra Lineal. 9 ed.