Universidad Nacional de Colombia -Sede Bogotá-Departamento de MatemáticasPrimer semestre de 2011

- Matemáticas Básicas PRECÁLCULO-(Facultades de Ciencias, Ciencias Económicas, Ingeniería, Agronomía y

Zootecnia)

Coordinadora: Margarita Ospina

Taller 3El tema del taller corresponde a las siguientes secciones del texto guía y un

buen complemento a éste son los ejercicios de dichas secciones.

Secciones: 1.5 Ecuaciones1.6 Modelado mediante ecuaciones1.7 Desigualdades

I. ECUACIONES LINEALES O REDUCIBLES A LINEALES

Resolver la ecuación y comprobar la solución:

1) 7+2(x+1)3

= 6x5

2) (3x� 1)2 � (5x� 3)2 = �(4x� 2)2

3) 2xx�1 � 2 =

3x+1

4) 6�p2x+ 5 = 0

II. ECUACIONES CUADRÁTICAS O REDUCIBLES A CUADRÁTICAS

Resolver la ecuación por factorización o usando la fórmula y comprobar lassoluciones:

1) w2 � 2p2w = �2

2) 3(x+ 1)2 = (x+ 4)2 � 123) x4 � 17x2 + 16 = 04) x�1

x+3+ x�2

x+1= 1

III. APLICACIONES

Plantear y resolver los siguientes problemas:

A. Ecuaciones lineales:

1

1) Un alambre de 21m se divide en dos partes, de tal modo que la longitudde una de ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar lalongitud de cada parte.

2) Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 36:

3) El ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado de x niñosestá dado por: I = 450x, y sus costos mensuales totales estan dados por:C = 380x + 3500. ¿Cuántos niños se necesitan para llegar al equilibrio, esdecir, para que los ingresos sean iguales a los costos ?

4) ¿Cuántos litros de agua se deben agregar a 6 litros de una solución de salal 8% y agua para producir otra solución al 5% de sal?

5) Juan y Pedro trabajando juntos pueden levantar un muro en 8 horas. SiJuan trabaja solo tarda 12 horas. ¿Cuánto tiempo taradará Pedro solo enlevantarlo?

B. Ecuaciones Cuadráticas:

1) Encontrar dos números cuya suma sea 32 y producto 255:

2) El largo de un rectangulo es 5 metros mayor que su ancho y el área es 150m2, ¿Cuáles son las dimensiones del rectangulo?

3) Un cateto de un triángulo rectángulo es 17 cm mayor que el otro, y lahipotenusa mide 25 cm. Calcular las longitudes de los dos catetos.

4) Un fabricante de hornos microondas sabe que la ganancia G (en dólares)generada por la producción de x hornos por semana está dada por la fórmulaG = 1

10x(300 � x) siempre y cuando 0 � x � 200: ¿Cuántos hornos debe

fabricar en una semana para generar una ganancia de 1250 dólares?

5) La altura h alcanzada por un objeto que se lanza hacia arriba con unavelocidad inicial v0 después de t segundos del lanzamiento viene dada por lafórmula h = �16t2 + v0t donde h viene dada en pies. Si se lanza una pelotahacia arriba con una velocidad inicial de 40 pies=s; determine cuándo alcanzala pelota una altura de 24 pies y cuándo llega al suelo.

IV. DESIGUALDADES

Encontrar el conjunto solución de la inecuación y expresarlo usando interva-los.

1) 4x < 2x+ 1 � 3x+ 2 2) 3x+2

> 1x�1

3) x2 � 8x+ 8 > 4� 4x 4) x3 > x

5)x2 � x� 6x� 1 � 0 6)

(x� 3)(1� 2x)x+ 1

� 0

2

7) j2x+ 1j � 1 8) jx� 3j > 79) j1� 3xj > 2 10) jx2 � xj > 0

11)3

j2x� 5j � �4 12)

���� 3

2x+ 1

���� � 713)

2

j3x� 4j < 1 14) 1 < j7x� 1j � 3

15)

����2x� 14x� 3

���� � 1 16) jjxj � 20j � 10

17) j2x+ 3j + j4� xj � jx� 4j Indicación: en este ejercicio re�exione antesde trabajar demasiado.

V. APLICACIONES

1) La temperatura normal del cuerpo humano es de 98;6�F: Si una temper-atura x que di�ere de la normal por lo menos 1;5�F es considerada no sana,escriba la condición para una temperatura no sana x como una desigual-dad que involucre valor absoluto y luego resuelva la desigualdad para darnuméricamente los valores de una temperatura no sana.

2) El voltaje normal en el país es de 115 voltios. Sin embargo no es raroque el voltaje real di�era del normal en 5 voltios cuando más. Exprese estasituación como una desigualdad y encuentre todos los posibles valores delvoltaje real.

3) El costo de un automóvil nuevo varía entre los distribuidores de acuerdo ala comisión cobrada que oscila entre el 12% y el 18%. Si el precio de fábricade un automovil es de 24 millones ¿en qué rango se encuentra el valor delautomovil en los distribuidores?

4) Una botánica dispone para experimentación de una parcela rectangular de20 por 50 metros. Ella desea aumentar el área añadiendo una misma cantidadde metros al ancho y al largo de modo que le resulte un terreno cuya áreaeste entre 1800 y 2275 m2. ¿Cuánto debe agregar a cada lado?

VI. MISCELÁNEA

A. Determinar si las proposiciones son verdaderas o falsas y JUSTIFICAR

1) x = �2 es una solución de la ecuación x(6 + x)� 2(x+ 1)� 5x = 4.2) Las ecuaciones 1

2x2 + 3 = x� 9 y x2 + 6 = 2x� 18 son equivalentes.

3) Si x = 1 es una raíz de la ecuación x2 + kx� 2 = 0, entonces la otra raízes x = 2.

3

4) x = 3 es la solución de la ecuación 9x�3 =

3xx�3 :

5) x2 > x para todo x 2 R:6) Si x < y y z 2 R entonces xz < yz:B. Completar:

1) La ecuación kx2+8x+4 = 0 tiene dos raices iguales si k = ________

2) Una ecuación cuadrática que tiene a 56y �3

2como raices es: __________________

3) Si jx � 2j < 4 entonces la expresión jx + 3j + j2x � 13j sin usar valorabsoluto es:______________

4) Si x < 0, entonces j � xj =C. Preguntas de selección múltiple

Marcar la respuesta correcta:

1) El conjunto solución de la inecuación: 3(x�1)2 � 0 es:

a) R b) x > 1 c) R� f1g d) x � 1

2) La relación entre las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit estádada por C = 5

9(F � 32); si 20 � C � 30 entonces F varía en el intervalo:

a) [68; 86] b) [�809; �109] c) [�12;�2] d) [4; 22]

3)El conjunto solución de la inecuación: 1 � jxj � 4 es:a) [1; 4] b) [�4;�1] c) [�4;�1] [ [1; 4] d) [�4; 4]

4) El conjunto de números reales tales que: j2xj2x= 1 es:

a) [0;1) b) R c) ; d) (0;1)

5) La solución de la ecuación: j4x+ 5j = 10 es:a) [�15

4;1) b) f�15

4; 54g c) [�15

4; 54] d) (�1; 5

4]

6) El conjunto solución de la desigualdad1

x+ 1>

1

2� x es:

a)��1; 1

2

�b)�12;1�

c)��1; 1

2

�[ (2;1) d)

��1;�1

2

�[ (2;1)

7) El conjunto solución de la desigualdadx2 � 2x� 72x� 1 � �1 es:

a)��2p2; 2p2�

b)��1;�2

p2�[�12; 2p2�

4

c)��2p2; 1

2

�[�2p2;1

�d)��2p2; 1

2

�[�12; 2p2�

8) El conjunto solución de la desigualdad 0 < (x2 � 2x� 2) � 1 es:a) � b)

�1�

p3; 1 +

p3�

c)��1; 1�

p3�[�1 +

p3; 3�

d)�1�

p3; 1 +

p3�

5