Taller 4 angulos y lineas de la circunferencia

2 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

TALLER 4 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO PROFESORA:YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO

1

Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es

siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman

una superficie llamada círculo.

Si medimos con un hilo la

longitud de la circunferencia,

veremos que es igual a 3,14 su

diametro. A este número

decimal se lo define con la

letra griega “pi”:

UN ÁNGULO, respecto de una circunferencia, puede ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de

un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que

delimita dicho arco.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y

una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-

inscrito es la mitad de la del arco que abarca.



2

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es

la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus

prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta. La amplitud de un ángulo exterior es la mitad

de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

I.- Dibuja, identificando claramente los radios:

Dos circunferencias

tangentes interiores

Dos circunferencias

secantes

Dos circunferencias

tangentes interiores

II.- Dibuja los siguientes ángulos en la circunferencia:

NOMBRE DIBUJO FORMULA

Angulo exterior

Angulo interior



3

Angulo central

Angulo inscrito

III.Dibuja cada teorema

TEOREMA DIBUJO

1. En un círculo, o en c;irculos congruentes,

las cuerdas congruentes tienen arcos

congruentes.

2. En un círculo, o en círculos congruentes,

los arcos menores congruentes tienen

cuerdas congruentes.


las cuerdas congruentes equidistan del

centro.


las cuerdas equidistantes del centro son

congruentes.



4

5. La bisectriz perpendicular de una cuerda

contiene al centro del círculo.

6. Si una recta que pasa por el centro de un

círculo es perpendicular a una cuerda que

no es un diámetro, entonces biseca a la

cuerda y a su arco menor.

7. Si una cuerda que pasa por el centro de un

círculo biseca a una recta que no es un

diámetro, entonces es perpendicular a la

cuerda.

8. Si una recta es perpendicular a un radio en

un punto del círculo, entonces la recta es

tangente al círculo.

9. Si una recta es tangente a un círculo,

entonces el radio trazado hasta el punto de

contacto es perpendicular a la tangente.

10. Si una recta es perpendicular a una tangente

en un punto del círculo, entonces la recta

contiene al centro del círculo.

11. Los segmentos tangentes a un círculo desde

un punto exterior son congruentes y forman

ángulos congruentes con la recta que une al

centro con el punto.

12. La medida de un ángulo inscrito es la mitad

de la medida de su arco interceptado.

13. Un ángulo inscrito en un semicírculo es un

ángulo recto.



5

14. Un ángulo formado por dos cuerdas que se

intersecan en el interior de un círculo tiene

una medida igual a la semisuma de los

arcos interceptados.

15. La medida del ángulo formado por una

tangente y una cuerda trazada al punto de

contacto es igual a la mitad del arco

interceptado.

16. La medida de un ángulo formado por dos

tangentes a un círculo que se intersecan, es

igual a la mitad de la diferencia de los arcos

interceptados.

17. La medida de un ángulo formado por una

tangente y una secante, o por dos secantes

desde un punto exterior a un círculo, es

igual a la mitad de la diferencia de las

medidas de los arcos interceptados.

18. Si se traza un segmento tangente y un

segmento secante desde un punto exterior a

un círculo, entonces el cuadrado de la

longitud del segmento tangente es igual al

producto de las longitudes del segmento

secante por su segmento secante externo.

19. Si dos cuerdas se intersecan en un círculo,

entonces el producto de las longitudes de

los segmentos de una cuerda es igual al

producto de las longitudes de la segunda

cuerda.

20. Si se trazan dos segmentos secantes a un

círculo desde un punto exterior, entonces el

producto de las longitudes de un segmento

secante y segmento secante externo es igual

al producto de las longitudes del otro

segmento secante y su segmento secante

externo.



6

EJERCICIO I

Calcula el dato pedido aplicando las propiedades:

1) O centro de la circunferencia, ∡BAC=30° ∡EOC=40°. Calcular ∡EDB

B

A

O C

D

E

2) En la circunferencia P es punto medio de AB ,Si ∡ACB=30° , calcular la medida del arco

AP.

C

A B

P

3) Si ∡ABC=30° y arco AC =80° . Calcular la medida del arco DE.

A D

B

E

C

4) AD = 26° y BC = 96° . Calcular la medida del ∡BPC

C

A

P

O

D B

A) 20°

B) 30°

C) 25°

D) 50°

A) 15°

B) 30°

C) 60°

D) 7,5°

A) 10°

B) 30°

C) 60°

D) 20°

A) 23°

B) 46°

C) 61°

D) 48°



7



8

Circunferencia I

Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:

1) x = ? 2) x = ? 3) <ABC 60º, AB diámetro; x = ?

4) <CAO = 20º; 5) <BOC = 140º 6) <OCB = 55º; <AOB = 100º; <ABC = 80º; x = ? x = ? <OAB = ?

7) AB//CD; <COE = 30º; 8) Recta AB tangente; 9) <CAB = 50º; <EOD = 70º; <AOC = 110º; <ABO = 30º; <DOB = ? x = ? x = ?

O

30

x

O

40

x

A

x

B

O

C A

B

O C

A

x B O

C

A x

B O

C E D

A

x

B O C

A

x

B

O

C

x

C

B O A



9

10) Los arcos MN, NP, 11) Los arcos MN, NP = 120º; 12) <PQR = 34º; y PQ son iguales; y PQ son iguales; <MOQ, <POR = ? <MOP = 100º; <MRP = ? <PRQ = ?

.

13) OS//QP; 14) OA = AB; x = ? 15) Los arco AB, BC <PQR = 30º ; y CA son iguales <SOP = ? x + 2z = ? 16) z = 100º; x + y = ? 17) <SOD = 140º; 18) <MPQ = 20º; x = ?

<LSD = 80º; x = ? 19) ¿Qué parte del circulo 20) x = ? representa el sector OBA?

O

Q

P M

R

N

N

R

O

M

P

Q

Q R

P

O

A

O

B

C

x

O

A

B

C

z

x

O

P

Q

R

S

S

x

L D

O O

C

A

B

x

x

z

O

N

Q M

P

x

20 O

B

A

x

40

O

B



10

CIRCUNFERENCIA: Guía 2

Determina el valor de x en las siguientes figuras considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:

1) x = ? 2) El arco AB es el 15% de 3) x = ?

la circunferencia; <AOB = ? 4) <COB = 120º; 5) AB tangente; 6) x + y = ? <AED = 85º; x = ? <AOB = 70º 7) AB = AO; <ACB = ? 8) 2·AB = AC; <ADO = ? 9) ABC triángulo

equilátero; rectas DA y DC tangentes, x = ?

x

x

O O

A

B x

C

O A

B

D a

3a 6a

C

O

A B E

x

120 O

A

B x y

65

x

60

A

C

B O

A

C

B

O

D

A

C

B

O

D

x



11

10) AB tangente; <AOB = aº; 11) AB diámetro; <OCB = 55º; x = ? x = ?

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO 3

Longitud de una circunferencia. Área de un círculo

Longitud de un arco de Área del sector circular

Circunferencia.

Área de un segmento circular.

A s eg c = Á re a d e l se c to r c i rc u l a r A OB me nos Á re a d e l t r i á ng u lo A OB .

Área de una corona ci rcular

x

C

B O A

A

C B O x



12

El área de una corona ci rcular es igual a l área de l cí rcu lo mayor menos e l á rea del

cí rculo menor .

Área de un trapecio circular .

El área de l t rapecio ci rcular es igua l a l área de l sector c i rcu lar mayor menos e l área

del sector c i rcular menor .

EJERCICIOS.

1 . C a lc u la r l a l o n g i t u d d e u n a c i r c u n fe re n c ia d e 9 0 c m d e d iá me t r o .

2 . S i l a l o n g i t u d d e u n a c i r c u n f e r e n c ia e s 4 3 .9 6 c m . ¿ C u á l e s e l á r e a d e l c í r c u lo ?

3 . L o s b ra z os d e u n co l u m p i o m i d e n 1 .8 m d e l a r g o y p u ed e n de sc r i b i r c o m o m áx i m o u n á n g u lo d e

1 4 6 ° . C a lc u l a r e l es p ac i o r e co r r i do po r e l a s i e n to d e l c o l u m p i o c ua n d o e l án g u l o d e s c r i t o e n s u

b a l a n c eo e s e l m á x i m o .

4 . H a l la r e l á r e a d e l s ec t o r c i r c u la r c uy a cu e r d a e s e l l a do d e l c u a d r a d o in s c r i t o , s i e n d o 4 c m e l

r a d io d e l a c i r c u n f e r e n c ia .

5 . So b r e u n c í r c u lo d e 4 c m d e ra d i o , s e t r a z a u n á n g u lo c e nt r a l d e 6 0 ° . Ca lc u la r e l á r e a d e l

s e g me n t o c i r c u la r c o m p r e n d id o e n t r e l a c u e r da q u e u n e l os e x t r e m os d e l o s do s ra d i o s y s u a rc o

c o r re s p on d i e n te .

6 . En u n p ar q u e d e f o r ma c i r c u l a r d e 7 0 0 m d e r a d io h ay s i t u a d a en e l c e n t r o u n a f u en te , t a m b i é n d e

f o r m a c i r c u l a r , d e 5 m d e r a d i o . C a lc u la r e l á r e a d e l a z o n a d e p a s eo .

7 . D a d a s d os c i r c u n f e r e nc ia s c o n c é nt r ic as d e r ad i o 8 y 5 c m , r e sp e c t i v a me n te , s e t r az a n l os

r a d io s O A y O B , q u e f o r m a n u n á n g u lo d e 6 0 ° . C a lc u la r e l á r e a d e l t r a p e c io c i r c u l a r f o r m a d o .

Resp CIRCUNFERENCIA 1.: 1) 60 2) 80 3) 120 4) 30 5) 60 6) 110 7) 40 8) 160 9) 60 10) 25 11) 40 12) 44 13) 30 14) 30 15) 30

Resp.CIRCUNFERENCIA 2: 1) 60 2) 54 3) 54 4) 25 5) 160 6) 250 7) 30 8) 30 9) 60 10) 90+a 11) 35



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