UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAMAESTRA EN ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALESENSEANZA DE LA GEOMETRALUIS GABRIEL DOMNGUEZ RAMREZCONSTRUCCIONES REALIZADAS CON EL PROGRAMA GEOGEBRA

1. Presentar la construccin dinmica y la justificacin del mtodo geomtrico para calcular el producto .

i. Sobre un plano cartesiano se localizan los puntos A, B, U y O, con A B, siendo O, B, A y U.ii. Obsrvese que la medida de los segmentos OU, OA y OB, son respectivamente y .iii. Se trazan los segmentos AU y BU.iv. Se trazan las mediatrices de los segmentos AU y BU, las cuales se intersecan en el punto D (tales mediatrices no sern paralelas puesto que A, B y U no son colineales).v. La medida de los segmentos DU y DB es la misma, puesto que todo punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos.vi. La medida de los segmentos DU y DA es la misma, puesto que todo punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos.vii. La medida de los segmentos DA y DB es la misma, por propiedad transitiva.viii. Se traza una circunferencia centrada en D y de radio igual a la medida del segmento DA, tal circunferencia contiene a los puntos A, B y U, por definicin de circunferencia.ix. Sea E la interseccin de la circunferencia con el eje Y, luego la medida del segmento OE es .x. La potencia del punto O a la circunferencia indica que el producto de las medidas de los segmentos OA y OB es igual al producto de las medidas de los segmentos OU y OE.xi. Como OU OE = OA OB, se tiene que , luego

2. Presentar la construccin dinmica y la justificacin del mtodo geomtrico para calcular el cociente .

i. Sobre un plano cartesiano se localizan los puntos A, B, U y O, con A U y B O, siendo O, B, A y U.ii. Obsrvese que la medida de los segmentos OU, OA y OB, son respectivamente y .iii. Se trazan los segmentos BA y BU.iv. Se trazan las mediatrices de los segmentos BA y BU, las cuales se intersecan en el punto D (tales mediatrices no sern paralelas puesto que A, B y U no son colineales).v. La medida de los segmentos DU y DB es la misma, puesto que todo punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos.vi. La medida de los segmentos DU y DA es la misma, puesto que todo punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos.vii. La medida de los segmentos DA y DB es la misma, por propiedad transitiva.viii. Se traza una circunferencia centrada en D y de radio igual a la medida del segmento DA, tal circunferencia contiene a los puntos A, B y U, por definicin de circunferencia.ix. Sea E la interseccin de la circunferencia con el eje X, luego la medida del segmento OE es .x. La potencia del punto O a la circunferencia indica que el producto de las medidas de los segmentos OE y OB es igual al producto de las medidas de los segmentos OU y OA.xi. Como OE OB = OU OA, se tiene que , luego

3. Grafique las funciones trigonomtricas , y usando un crculo unitario (no se pueden usar las funciones preexistentes en el software). Para este ejercicio es necesario usar una aproximacin de con el fin de graficar el ngulo sobre las abscisas.

A.

i. Se construye una circunferencia de radio 1, con centro en el punto A(0, 0) y B(1, 0).ii. Se ubica un punto C, que pertenezca a la circunferencia.iii. Se traza el rayo definido por los puntos A y C.iv. t corresponde a la medida del ngulo BAC, y corresponde a un valor entre 0 y 360.v. Para construir la parte de la funcin donde x > 0, se crea un punto E, cuya abscisa es la medida de t en radianes y ordenada igual a la ordenada de C. El lugar geomtrico de este punto E, con respecto a C, genera la parte de la grfica de seno para valores de x mayores o iguales a cero.vi. Para construir la parte de la funcin donde x < 0, se crea un punto F, cuya abscisa es la medida de t en radianes multiplicada por (-1) y ordenada igual a la ordenada de C multiplicada por (-1). El lugar geomtrico de este punto F, con respecto a C, genera la parte de la grfica de seno para valores de x menores o iguales a cero.

B.

i. Se construye una circunferencia de radio 1, con centro en el punto A(0, 0) y B(1, 0).ii. Se ubica un punto C, que pertenezca a la circunferencia.iii. Se traza el rayo definido por los puntos A y C.iv. t corresponde a la medida del ngulo BAC, y corresponde a un valor entre 0 y 360.v. Para construir la parte de la funcin donde x > 0, se crea un punto E, cuya abscisa es la medida de t en radianes y ordenada igual a la abscisa de C. El lugar geomtrico de este punto E, con respecto a C, genera la parte de la grfica de coseno para valores de x mayores o iguales a cero.vi. Para construir la parte de la funcin donde x < 0, se crea un punto F, cuya abscisa es la medida de t en radianes multiplicada por (-1) y ordenada igual a la abscisa de C. El lugar geomtrico de este punto F, con respecto a C, genera la parte de la grfica de coseno para valores de x menores o iguales a cero.C.

i. Se construye una circunferencia de radio 1, con centro en el punto A(0, 0) y B(1, 0).ii. Se ubica un punto C, que pertenezca a la circunferencia.iii. Se traza el rayo definido por los puntos A y C.iv. t corresponde a la medida del ngulo BAC, y corresponde a un valor entre 0 y 360.v. Para construir la parte de la funcin donde x > 0, se crea un punto E, cuya abscisa es la medida de t en radianes y ordenada igual al cociente entre la ordenada y la abscisa de C. El lugar geomtrico de este punto E, con respecto a C, genera la parte de la grfica de tangente para valores de x mayores o iguales a cero.vi. Para construir la parte de la funcin donde x < 0, se crea un punto F, cuya abscisa es la medida de t en radianes multiplicada por (-1) y ordenada igual al cociente entre la ordenada de C multilicada por (-1) y a la abscisa de C. El lugar geomtrico de este punto F, con respecto a C, genera la parte de la grfica de tangente para valores de x menores o iguales a cero.

4. Construya con regla y comps las circunferencias inscrita y circunscrita a un tringulo dado. Justifique sus pasos.

A. Circunferencia inscrita

i. Dado el tringulo ABC, se construyen las bisectrices de los ngulos internos (basta con slo dos puesto que las bisectrices son concurrentes). El punto de concurrencia de las bisectrices se nota como D.ii. Como D pertenece a la bisectriz del ngulo BAC, entonces D equidista de los lados AC y AB.iii. Como D pertenece a la bisectriz del ngulo ABC, entonces D equidista de los lados AB y BC.iv. Por transitividad D equidista de todos los lados del tringulo, luego basta determinar un punto E en alguno de los lados del tringulo ABC, tal que la medida del segmento ED, corresponda a la distancia de D a alguno de los lados.v. Se traza una perpendicular al segmento AC que contenga a D, el punto de interseccin de dicha recta con el segmento AC, corresponder a E.vi. Luego, la circunferencia centrada en D que contenga a E, ser tangente a los lados del tringulo ABC, siendo as, la circunferencia inscrita a dicho tringulo.

B. Circunferencia circunscrita

i. Dado el tringulo ABC, se construyen las mediatrices de los lados (basta con dos de ellas puesto que las mediatrices son concurrentes), El punto de concurrencia de las mediatrices se nota D.ii. Como D pertenece a la mediatriz del lado AB, los puntos A y B equidistan de D.iii. Como D pertenece a la mediatriz del lados BC, los puntos B y C equidistan de D.iv. Por transitividad, D equidista de A, B y C.v. Luego, una circunferencia centrada en D que contenga a B, tambin contendr a C y A. Tal circunferencia ser pues, la circunferencia circunscrita al tringulo ABC.

5. Dadas dos rectas paralelas construya un tringulo equiltero que tenga sus vrtices sobre las paralelas. Luego construya un cuadrado con igual rea que el tringulo.

Para construir un tringulo equiltero cuyos vrtices pertenezcan a dos paralelas, basta con construir un tringulo equiltero (preferiblemente que la altura mida ms que la distancia entre las paralelas), en que uno de sus lados pertenezca a una de las paralelas ( tringulo DEF). Trazando una paralela al lado EF en ste caso, se determina el segmento GH (obsrvese que los ngulos internos del tringulo DGH tienen una medida de 60), luego el tringulo DGH sera equiltero. Para construir el cuadrado de igual rea al tringulo DGH, se determina la media geomtrica (segmento DN) del segmento KG, que corresponde a la altura y el segmento KD, que corresponde a un medio de la base (esto es ). Finalmente se construye un cuadrado de lado igual a la medida del segmento DN

6. Dada una circunferencia de radio 1, construya con regla y compas el lugar geomtrico de los puntos con potencia igual a 3/2.

Dada la circunferencia de radio 1, y F un punto con potencia a la circunferencia igual a 3/2, es decir que el producto entre las medidas de los segmentos FP y FQ es igual a 3/2. Esto tambin significa que el producto entre la medida del segmento FA menos 1, y FA ms 1 es 3/2, lo cual indica que , es decir que el conjunto de puntos cuya potencia es 3/2, son todos los puntos F tales que .El problema se reduce a determinar F, esto se logra construyendo los segmentos (correspondiente al segmento AE) y (correspondiente al segmento BC), para posteriormente realizar el cociente entre ellos, este sera el segmento GM. Luego, el conjunto de puntos cuya potencia a la circunferencia de radio 1 es 3/2, corresponde a una circunferencia de centrada en A y de radio igual a la medida del segmento GM.

7. Este ejercicio debe realizarse sin usar ningn tipo de macros. Dados tres puntos no colineales cualesquiera, construya un rombo tal que sus lados contengan los tres puntos y por lo menos dos de ellos sean sus vrtices.

i. Dados los puntos A, B y C no colineales, se trazan las rectas AB y BC.ii. Se localiza un punto D en la recta BC, tal que la medida del segmento BD, sea igual a la medida del segmento AB.iii. Se traza un ngulo de igual medida al ngulo ABC, con vrtice en A, este es el ngulo FAG.iv. Se traza la recta AG y en ella se localiza un punto H, tal que la medida del segmento AH, sea igual a la medida del segmento BD, es as que el segmento HD, resulta tener la misma medida que AB.v. Luego, el cuadriltero ABDH resulta ser un rombo que contiene al punto C.

8. Dada una circunferencia C de radio 2 y un punto P situado a una distancia de 4 unidades de su centro. Verifique que el lugar geomtrico del punto medio entre P y un punto cualquiera de la circunferencia es una circunferencia C. Determine el radio de C.

Se traza la circunferencia C de radio 2, centrada en el origen es decir en A (0, 0), se localiza un punto P (4, 0), es decir, a 4 unidades del centro de la circunferencia, luego se localiza un punto Q en la circunferencia C, en seguida se traza el segmento PQ y en el se determina el punto R, que corresponde al punto medio entre P y Q; finalmente se determina el lugar geomtrico determinado por R, respecto a Q, obteniendo as una circunferencia C, de radio 1, con centro en (2, 0). Esto puede corroborarse si se tienen en cuenta que uno de los dimetros de la circunferencia contiene los puntos (1, 0) (correspondiente al punto medio de (-2, 0) y (4, 0)) y (3, 0) (correspondiente al punto medio de (2, 0) y (4, 0)).

9. Considere dos segmentos perpendiculares AB y CD que se corta en un punto interior E, de tal forma que AE = CE: Determine si existe una circunferencia que pase por los extremos de los segmentos. Si existe constryala usando regla y comps.

No es posible construir una circunferencia que contenga a los extremos de los segmentos AB y CD, puesto que, en toda circunferencia se cumple que si dos puntos pertenecen a ella, la mediatriz del segmento definido por tales puntos contiene al centro de la circunferencia. Ello implicara que las mediatrices de los segmentos AC, CB, BD, y DA fuesen concurrentes, lo cul no se cumple en todos los casos. (los puntos G, H e I son las intersecciones de las mediatrices)

10. Determine usando regla y comps si existe un tringulo tal que dos de sus alturas midan 3 y 4 cm.

i. Se trazan dos rectas perpendiculares que se intersecan en el punto O.ii. Con centro en O, y radio 3 cm se construye una circunferencia que corta a una de las rectas en A.iii. Sobre la recta que no contiene al punto A, se localiza un punto B (es importante que el segmento AB, mida ms de 4 cm).iv. Con centro en B, y radio 4 cm se traza una circunferencia.v. Se traza una tangente a la circunferencia de radio 4, que contenga al punto A. (pueden ser dos tangentes y los puntos de tangencia seran E y F).vi. La tangente corta a la recta OB, en C (o D, dependiendo la tangente que se trace).vii. Luego, el tringulo ABC, tiene como alturas al segmento OA, el cul mide 3 cm, y al segmento BE, el cul mide 4 cm. (tambin se tiene al tringulo ABD, que tiene por alturas al segmento OA, que mide 3 cm, y al segmento BF, que mide 4 cm).