7/21/2019 Taller Grupo s

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UNIVERSIDAD DEL CAUCA

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA EDUCACION

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

GUIA DE TEORIA DE GRUPOS

Prof. Martha Romero

1. Muestre que sia, b, d Z, a impar y si d|ay d|(ab+ 2), entonces d = 1.

2. Sea R una relacion de equivalencia enA= {a,b,c,d,e} demuestre que si: (a, c), (b, d)y (b, c) R, entonces (d, a) R.

3. En el conjunto de los numeros reales se define la siguiente relacionR:

(x, y) R k2 kx+x2 = 4 +ky y2

a) Determinar los valores de k para los cualesRes simetrica.

b) Determinar los valores de k para los cualesRes reflexiva.

4. SeaG un grupo finito de orden par. Muestre la existencia de un elemento 1=g Gcong 2 = 1.

5. Sea G un grupo tal que g2 = 1 para todo g G. Demuestre que Ges abeliano.

6. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Para todo par de elementos x, y Gdefinamosx y si y solo si y1x H. Demuestre que:

a) es una relacion de equivalencia enG.

b) La clase de equivalencia dex Gmodulo es el conjuntoxH={xh: h H}.c) Para G/H={Hx: x G}, la aplicacion

: {xH :x G} G/HxH Hx1

es una funcion biyectiva.

7. Pruebe que un enteroa tiene inverso multiplicativo modulon si y solo si (a, n) = 1.

8. Sea Un = U(Z)n = {[a] Zn : (a, n) = 1}. Pruebe que U(Z)n es un grupo con lamultiplicacion modulon

9. Muestre que a bb a

:a, b R, no ambos cero

es un grupo abeliano con la multiplicacion de matrices.

10. Hallar un ejemplo de un grupoG infinito en el cual existe exactamente un elementode orden 2.

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11. Dar un ejemplo de un grupo G infinito en el cual todo elemento, salvo el neutro,tiene orden 2.

12. SiGes un grupo bajo la operacion indicada, pruebelo. Si no, de un contraejemplo.

a) G= Q, a b= a+b+ 3.

b) G= {r Q :r = 0},a b= ab3.

c) G= {r Q :r = 1},a b= a+b+ab.

d) G= {r R :r = 0},a b= |a|b.

13. Suponga queG es un grupo con la operacion, definamos una nueva operacion enG por a b= b a. Pruebe que G es un grupo con .

14. Sea S = {1, 2} y G el conjunto de todos los subconjuntos de Scon la operacion

A B= (A B) \ (A B), Construya la tabla de (G, ). EsGun grupo?15. Pruebe queG= {r R :r = 0}es grupo con la operacion:

a b=

absi a > oab

si a < o

16. Sea G un grupo. Pruebe que:

a) a, b G,a b= e implica b a= e.

b) a, b G, (a b)1 =a1b1 implicaG es abeliano.

c) a, b G, (a b)2 =a2b2 implicaG es abeliano.

17. Si a, b R. Sea Ta,b : R R la funcion defininida por Ta,b(x) = ax+ b. PruebequeG= {Ta,b: a, b R}es un grupo no abeliano con la composicion de funciones.Demuestre ademas queH={T1,b: b R} es un grupo abeliano bajo la composicion.

18. Sean G un grupo,a G y f :G G la funcion definida por f(g) =a g . Pruebequefes una funcion biyectiva.

19. En cada uno de los apartados siguientes, estudie si el subconjunto dadoHes o noun subgrupo del grupo simetrico S8:

a) H={ S8: (4) = 4}

b) H={ S8: 2 = 1}

20. Sean G un grupo y a, b G tales que b6 =e, a b= b4a. Pruebe que b3 =e y queG es abeliano.

21. Sea G un grupo de orden impar. Demostrar que para cada x G existe y G talquey2 =x.

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22. Para l = m Escriba la permutacion (l, m) como productro de las transposiciones(1, l) y (1, m). Deduzca que Sn es generado por las transposiciones (1, 2), (1, 3), , (1, n).

23. Considere las permutaciones

=

1 2 3 4 5 6 72 3 6 1 4 7 5

y =

1 2 3 4 5 6 77 5 2 1 3 6 4

.

DetermineenS7 tal que 1 = (2, 3).

24. Escriba = (1, 5, 3)(1, 3, 2, 4, 5)(5, 2, 4)(1, 3) S5como producto de ciclos disjuntos.Determine el orden de .

25. Encontrar todos los subgrupos de Z12.