UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERIA DE PETRÓLEOS

METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

1. Un tanque de almacenamiento contiene un líquido

de altura y , donde 0=y cuando el tanque está

medio lleno. El líquido es desalojado con una

velocidad de flujo constante Q

demanda. El contenido es reabastecido a una

velocidad senosoidal de senQ3 ⋅

Para este sistema la ecuación característica es:

( )QtsenQ

dt

Ayd−⋅= 23

−

=

salida

de

flujo

entrada

de

flujo

volumen

cambio

O dado que el área de la superficie

constante,

A

Qtsen

A

Q

dt

dy−⋅= 2

3

Use un modelo numérico para encontrar la altura

y de 0=t a 5d con un tamaño de paso de

d. Los valores de los parámetros son

m2 y 400=Q m

3/d (Ver Figura 1).

2. La ecuación diferencial del movimiento libre

amortiguado se describe mediante la siguiente

expresión:

2

2

=++ xm

k

dt

dx

mdt

xd β

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METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

TALLER Primera Entrega

Un tanque de almacenamiento contiene un líquido

cuando el tanque está

medio lleno. El líquido es desalojado con una

Q para satisfacer la

El contenido es reabastecido a una

tsen2

Para este sistema la ecuación característica es:

salida

de

flujo

O dado que el área de la superficie A es

Use un modelo numérico para encontrar la altura

d con un tamaño de paso de 5.0

d. Los valores de los parámetros son 1200=A(Ver Figura 1).

del movimiento libre

amortiguado se describe mediante la siguiente

0=

donde β es una constante de amortiguación

positiva, k es la constante del resorte y masa del cuerpo colgante.

Para el problema dado por:

( )

( ) 10

10

045

,

2

2

=

=

=++

x

x

xdt

dx

dt

xd

Halle el modelo analítico que describe el sistema.

Proponga un modelo numérico y modele hasta un

3=t . Grafique los resultados y compare.

3. La serie infinita,

!321

32 xxxe x +++=

se utiliza para aproximar

a. Muestre que la expansión en serie de

Maclaurin es un caso especial de la expansión

en la serie de Taylor con

b. Use la serie de Taylor para estimar

( ) xexf −= en

Emplee versiones de cero, primero, segundo y

tercer orden calculando el

4. Use la serie de Taylor de cero a cuarto orden para

estimar ( )3f si (xf

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METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

na constante de amortiguación

es la constante del resorte y m es la

masa del cuerpo colgante.

Para el problema dado por:

Halle el modelo analítico que describe el sistema.

Proponga un modelo numérico y modele hasta un

. Grafique los resultados y compare.

!...

n

x n

++

se utiliza para aproximar xe .

Muestre que la expansión en serie de

Maclaurin es un caso especial de la expansión

en la serie de Taylor con 0=ix y xh = .

Use la serie de Taylor para estimar

en 11 =+ix para 25.0=ix .

Emplee versiones de cero, primero, segundo y

tercer orden calculando el VE para cada caso.

Use la serie de Taylor de cero a cuarto orden para

) ( )xLnx = utilizando 1=x

como punto base. Calcule el VE para cada

aproximación. Analice los resultados.

5. En las siguientes dos series, calcule:

a. La suma de la serie.

b. La suma parcial nS indicada y completar la

tabla.

c. Representar en un gráfico las diez primeras

sumas parciales y una recta horizontal que

represente la suma total.

d. Explicar la relación entre la magnitud de los

términos de la serie y el ritmo al que la

sucesión de sumas parciales tiende a la suma

de la serie.

( )∑∞

=

−

1

19,02

n

n ( )∑

∞

=

−

1

125,010

n

n

n 5 10 20 50 100

nS

6. Un polinomio de Taylor centrado en 0 se va a

usar para aproximar la función coseno.

Determinar el grado del polinomio requerido para

lograr la precisión que se especifica sobre el

intervalo indicado.

Error máximo Intervalo a) 0,001 [-0.5 , 0.5]

b) 0,001 [-1 , 1]

c) 0,0001 [-0.5 , 0.5]

d) 0,0001 [-2 , 2]

Represente en un gráfico la función coseno y los

polinomios de Taylor de cada aproximación.

7. Use el criterio de estabilidad de Von Neumann

para demostrar que un esquema implícito simple

es incondicionalmente estable para una ecuación

parabólica unidimensional de la forma:

t

P

x

P

∂

∂=

∂

∂2

2

8. Use el criterio de estabilidad de Karplus para

demostrar que el esquema de Crank – Nicholson

es incondicionalmente estable para una ecuación

parabólica unidimensional de la forma:

t

P

x

P

∂

∂=

∂

∂2

2

9. Una formación saturada de aceite se encuentra

inclinada 10º respecto a la horizontal. Su

permeabilidad es de 100 mD y su espesor es de 40

ft. La densidad y viscosidad de este aceite es de

40 lbm/ft3 y 0.6 cp respectivamente. Dos pozos

fueron perforados como se observa en la Figura 2.

El pozo de observación en el fondo se encuentra a

8152,6 ft de profundidad respecto al nivel del

mar, y el pozo del tope se encuentra a 7800 ft

respecto al nivel del mar. La presión de fondo del

primer pozo es de 3600 psia y la del segundo es

de 3570 psia. Determine la velocidad del fluido

los dos puntos de observación.

10. Considere el problema de determinar la

distribución estacionaria de temperatura en una

lámina delgada en forma cuadrada con

dimensiones de 0.5 m por 0.5 m, la cual se

mantiene a 0ºC en dos fronteras adyacentes

mientras que la temperatura en las otras fronteras

se va incrementando linealmente de 0 ºC en una

esquina a 100 ºC donde estos lados se encuentran.

Si ponemos los lados con condición de frontera

cero a lo largo de los ejes x e y , el problema se

puede expresar matemáticamente como:

( ) ( )0

,,2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

yxT

x

yxT

para ( )yx, en el conjunto

( ){ }5.00,5.00, <<<<= yxyxR , con las

condiciones de frontera:

( ) 0,0 =yT , ( ) 00, =xT , ( ) xxT 2005.0, = y

( ) yyT 200,5.0 =

11. Considere la ecuación de Poisson

( ) ( )

10

20

,,2

2

2

2

<<

<<

=∂

∂+

∂

∂

y

x

xey

yxu

x

yxu y

con condiciones de frontera:

( ) 0,0 =yu , ( ) yeyu 2,2 = , 10 ≤≤ y

( ) 00, =xu , ( ) exxu =1, , 20 ≤≤ x

12. La ecuación que describe el flujo unidimensional

de una fase ligeramente compresible viene dada,

para 10000 << x y t<0 , por

−∂

∂=

∂

∂

,1000

,02

2

t

P

t

P

K

Cφµ

500

500

=

≠

x

x

donde se ha supuesto que el medio poroso y el

pozo son homogéneos, que el líquido es ideal y

que los efectos gravitacionales son despreciables.

Los parámetros de definen de la siguiente manera:

φ es la porosidad de la roca

µ es la viscosidad del fluido

K es la permeabilidad del medio

C la compresibilidad

Suponiendo que 00004.0== KCφµα días/ft2

y que se satisfacen las siguientes condiciones:

( ) 7105.20, ×=xP , 10000 ≤≤ x

( ) ( )0

,1000,0=

∂

∂=

∂

∂

x

tP

x

tP, t<0

Encuentre la presión en 5=t , usando el método

de Crank-Nicolson con 5.0=∆t y 100=∆x .

13. Aproxime la solución de la ecuación de onda:

t

x

x

u

t

u

<

<<

=∂

∂−

∂

∂

0

10

02

2

2

2

( ) ( ) ,0,1,0 == tutu t<0

( ) ( )xsenxu π20, = , 10 ≤≤ x

( ) ( )xsenxt

uππ 220, =

∂

∂, 10 ≤≤ x

con 1.0=∆t y 1.0=∆x . Compare sus

resultados con la solución exacta:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tsentxsentxu πππ 22cos2, +=

para un 3.0=t

14. Desde el punto de vista algebráico es conocido que

( ) ( )

( ) 1x6x15x20x15x6xxP

1xxP

23456

6

6

6

+−+−+−=

−=

Dibuje en una única gráfica las curvas

correspondientes a las dos expresiones del polinomio

anterior. En esta gráfica el eje de las abscisas será el

intervalo [ ]δδ +−= 11111111 ,I , siendo δ un valor

conocido. Presentar las gráficas que se obtienen

para 003003003003000000500500500500000070070070070000008008008008000001010101000011110000 .,.,.,.,.,.=δ

en un único dibujo y justificar los resultados

obtenidos.

15. Una viga de longitud L está empotrada en ambos

extremos. Determine la desviación de esa viga si

sostiene una carga constante, Wo, uniformemente

distribuida en su longitud; esto es, w(x) = wo, 0 < x <

L.

16. Calcule el tiempo necesario para que el nivel

del líquido dentro del tanque esférico con radio r

= 5m mostrado en la figura, pase de 4 m a 3 m.

La velocidad de salida por el orificio del fondo

viene dada por av 895.4= m/s, siendo el

diámetro de dicho orificio 10 cm.

CONSIDERACIONES ADICIONALES:

a. Plantee un modelo numérico para resolver

este problema.

b. Explique y sustente todas las suposiciones

necesarias para construir el modelo que

plantea.

17. Usando como base la forma general de la

ecuación fundamental de flujo de fluidos,

establezca el modelo matemático asociado a la

descripción del flujo bidimensional de un fluido

incompresible dentro de un medio poroso

sabiendo que el plano de flujo predominante es el

XY.

18. Formule la ecuación fundamental de flujo

para una geometría cilíndrica en 3D.

19. Demuestre que para un fluido levemente

compresible el modelo de ecuación de estado

tiene la forma:

( ) ( )cp1p o += ρρ