UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRAFACULTAD DE INGENIERIAS

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRICAANALISIS,TRANSMISION Y FILTRADO DE SENALES

Taller (2) sobre representacion de senales y transformadas de Fourier

1. Determine la constante A para que las senales ϕ1(t)y ϕ2(t) sean ortogonales en el intervalo (−∞,∞).

ϕ1(t) = e−|t| ; ϕ1(t) = 1−Ae−2|t|

R//A = 3.

2. Demostrar que el error cuadratico medio Ek enuna aproximacion a f(t) por Sk(t), donde Sk(t) esuna aproximacion en una serie finita de Fourier, sereduce a:

Ek =1

T

T2∫

−T2

|f(t)|2 dt− a20 −1

2

k∑n=1

(a2n + b2n)

3. Encontrar la serie de Fourier para la funcion f(t)definida por f(t) = 1 para −π < t < 0, f(t) = 0,para 0 < t < π y f(t+ 2π) = f(t)

π 2π-π-2π

( )f t

t

R// 12 −

2π

∞∑n=1

sen(2n−1)t2n−1

4. Encontrar la serie de Fourier de la funcion f(t)definida por f(t) = t para el intervalo (−π, π) yf(t+ 2π) = f(t)

π 2π-π-2π

( )f t

t

R// 2∞∑n=1

(−1)n−1

n sen(nt)

5. Encontrar la serie de Fourier para la funcion f(t)definida por f(t) = t2 en el intervalo (−π, π) yf(t+ 2π) = f(t)

π 2π-π-2π

( )f t

t

R// 13π

2 + 4∞∑n=1

(−1)n

n2 cos(nt)

6. Encontrar la serie de Fourier de la funcion f(t)definida por f(t) = et en el intervalo (−π, π) yf(t+ 2π) = f(t)

π 2π-π-2π

( )f t

t

R// 2senh(π)π

[12 +

∞∑n=1

(−1)n

1+n2 (cos(nt)− n sen(nt))]

7. Aproximar la funcion f(t) = t en el intervalo (−π, π)mediante una serie finita de Fourier de 5 terminosque sean diferentes de cero. Calcular tambien elerror cuadratico medio en la aproximacion.

R// 25∑

n=1

(−1)n−1

n sen(nt), E5 = 0,363

8. Desarrollar f(t) = sen5(t) en serie de Fourier.

9. Demostrar que:

∞∑n=1

1

n2= 1 +

1

4+

1

9+

1

16+ ... =

π2

6

(Sugerencia: Hacer t = π en el resultado del problema 5)

10. Determinar la representacion en serie exponencialde Fourier para la senal x(t) que se ilustra.

2x(t)

2π

1

t4π0-2π-4π

11. Considerando la senal periodica cuadrada x(t)como se ilustra en la figura.

tTo

A

2To-To-2To 0 To/2-To/2

X(t)

a) Determinar la serie exponencial compleja deFourier de la senal x(t).

b) Determinar la serie trigonometrica de Fourierde la senal x(t).

c) Determinar la serie trigonometrica de Fourierde la senal y(t), cuando:

y(t) = x(t)− A

2

d) Determinar la serie trigonometrica de Fourierde la senal y(t),cuando:

y(t) = x

(t+

T04

)− A

2

12. Dada la funcion

f(t) =

{0 para 0 < t < π

21 para π2 < t < π

Desarrollar f(t) en una serie en terminos del cosenoy trace la correspondiente extension periodica paraf(t)

13. Dada la funcion

f(t) =

{2kl t para 0 < t < l

22kl (l − t) para π2 < t < π

Desarrollar f(t) en terminos del seno y realizar lacorrespondiente extension periodica.

14. Encuentre la serie de Fourier en su segunda formapara los ejercicios 3, 4, 5 y 6.

15. Demostrar cada una de las propiedades de latransformada de Fourier.

16. Verificar cada una de las transformadas de Fourier(integral de representacion) de las siguientessenales. Bosquejar su representacion tanto en eldominio del tiempo como en el dominio de lafrecuencia.

a) 1↔ 2πδ(ω)

b) ejω0t ↔ 2πδ(ω − ω0)

c) e−jω0t ↔ 2πδ(ω + ω0)

d) cosω0t↔ π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]

e) j senω0t↔ π[δ(ω − ω0)− δ(ω + ω0)]

f ) 1− |t|τ , |t| < τ0 , |t| > τ

↔ τ[Sa(ωτ2

)]2g) e−t

2/2σ2 ↔ σ√2πe−σ

2ω2/2

17. Encontrar la transformada de Fourier de la funcionSigno, sgn(t), definida como:

sgn(t) =

{1, t > 0−1, t < 0

R// sgn(t)↔ 2jω

Con la transformada anterior, verificar que latransfomada de Fourier de la funcion EscalonUnitario, u(t), esta dada como:

u(t)↔ πδ(ω) +1

jω

18. Usando el teorema de la convolucion en el tiempo,encontrar la transformada inversa de Fourier de

X(ω) =1

(a+ jω)2

R// te−atu(t)↔ 1(a+jω)2

19. Empleando el teorema de Parseval para senales deEnergıa, evaluar la siguiente integral:∫ ∞

−∞

dx

a2 + x2

R// πa

Nota: El teorema de Parseval para senales de energıaestablece una relacion entre la energıa de la senal enel dominio del tiempo y la energıa de la misma en eldominio de la frecuencia y esta dada como:

Ex =

∫ ∞−∞|x(t)|2dt = 1

2π

∫ ∞−∞|x(ω)|2 dω