UNIVERSIDAD DEL CAUCAÁLGEBRA LINEALTema: Vectores

Docente: María del Pilar Astudillo F.

1. Realice los ejercicios de la página A-17, A-18 de Grossman 1� 5, 26� 41

2. Si tres esquinas de un paralelogramo son (1; 1), (4; 2), (1; 3) ¿Cuáles son las posibilidades para la cuartaesquina?

3. Sean u = (�1; 1), v = (2; 3), w = (�2; 1). Gra�que e identi�que los siguientes conjuntos de vectores:

(a) f�u+ (1� �) v j 0 � � � 1g :(b) fx1u+ x2v j 0 � x1; x2 � 1g(c) fx1u+ x2v + w j 0 � x1; x2g

4. Sean u; v dos vectores unitarios. Determine el ángulo entre: u y v, u y (�u), (u+ v) y (u� v).

5. Encuentre el ángulo entre los vectores

(a) u = (1; 2; 3; 4); v = (�1; 1; 1;�1):(b) u = (2; 2; 1); v = (2;�1; 2):

6. Sea u = (1; 1; 1; :::; 1) 2 R9

(a) Determine su longitud.

(b) Determine el vector unitario en la misma dirección que u.

(c) Determine un vector perpendicular a u.

7. Si el producto punto de dos vectores u, v es negativo, ¿Qué puede decirse sobre el ángulo entre ellos ? Dibujeun vector u en R2 e identi�que la región en donde se encuentran los vectores v tales que : u � v < 0.

8. Para u = (1; 2); v = (�1; 3) determine un escalar a tal que u� av sea perpendicular a u. Gra�que.

9. Demuestre las siguientes propiedades:

(a) Si u1, u2 son unitarios y perpendiculares entre sí, entonces se cumple que

k�1u1 + �2u2k =q�21 + �

22

.

(b) Demuestre que si ui, i = 1; :::; k, son vectores unitarios y perpendiculares entre sí (ui � vj = 0 8i 6= j)entonces

k�1u1 + �2u2 + :::+ �kukk =q�21 + �

22 + :::+ �

2k

.

10. Se sabe que u; v; w son vectores unitarios, perpendiculares entre sí. Encuentre

(a) La longitud de u+ 2v � 3w:(b) El ángulo entre u+ v � w y 2u� v + 3w:

11. Sean xo,yo constantes, uo = xoi+ yoj y u = xi+ yj: Describa el conjunto de todos los puntos del plano cuyascoordenadas veri�quen :

(a) ku� u0k = 1(b) ku� u0k � 2

1

12. Sean u =��0:60:8

�, v =

�34

�, w =

�43

�(a) Calcule los productos puntos u � v; u � w;w � v.(b) Determine la longitud de cada uno de estos tres vectores.

(c) Veri�que las desigualdadesju � vj � kuk kvk

kv + wk � kvk+ kwk

13. Analice las expresiones dadas y decida si da un vector, un escalar, o si no tienen sentido.

(a) u� (v � w)(b) u � (v � w)(c) (u� v)� (u� w)

14. Sean los vectores u = 2i + k, v = i � j � k. Halle un vector ortogonal unitario a estos dos vectores. Calculeel volumen del paralelepípedo formado por estos tres vectores.

15. Demuestre que(v � w) � w = 0 para todos los vectores v y w.

16. Veri�que la identidad : u� (v � w) = (u � w)v � (u � v)w, donde u, v y w son vectores arbitrarios.

17. Encuentre los cosenos directores de los vectores dados:

(a) v = i+ 2k

(b) v = �i� j + k(c) v = 2i+ 5j � 7k

18. Sean (�3; 1; 7) y (8; 1; 7) encuentre un vector cuya dirección es opuesta la de��!PQ

19. Encuentre el conjunto de puntos R de R3 tales que�!PR ? ��!PQ

20. Realice los ejercicios 27 al 35 y 39 de la página 260 Grossman.

21. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (1;�3; 4) y es paralela ax� 31

=y + 6

�3 =z

3

22. Halle el punto de intersección de las rectas

x� 32

=y � 1�1 =

z � 41

x+ 2

3=y � 3�1 =

z � 21

23. Halle las ecuaciones de la recta que pasa por (�1; 2; 3) y es paralela a la de intersección de los planos 3x �2y + z = 4 y x+ 2y + 3z = 5

24. Encontrar una representación paramétrica y una simétrica de la recta que pasa por los puntos (5;�4; 3) y(1;�3; 2)

25. Encontrar el plano paralelo al plano4x� 7y + 12z = 6

y que contiene al punto P (1;�1; 2)

26. Dados los puntos P (1;�1; 2) y Q(2; 1; 3) halle la ecuación del plano que pasa por P y es ortogonal a ��!PQ.

De�nition 1 La distancia d de un punto P a un plano con vector normal N es

d =j(P �Q) �N j

kNkdonde Q es un punto cualquiera del plano.

2

� Exprese el plano x+ y + 2z = 1 en su forma vectorial� Indique el vector normal al plano� Calcule la distancia entre el plano y el origen

27. Hallar la distancia entre los planos paralelos

�1 : 3x� 2y + z = 5

�2 : 3x� 2y + z = 1

28. Halle la ecuación de la esfera de centro C(�3; 1; 5) y tangente al plano 6x � 2y + 3z = 9 (Recuerde que laecuación de la esfera de radio r y centro (h; k; l) es: (x� h)2 + (y � k)2 + (z � l)2 = r2)

De�nition 2 En Rn un Hiperplano H es el conjunto de vectores solución x de la ecuación

u � x = u � p

donde u = (u1; u2; :::; un) es un vector no nulo p 2 Rn.

� Demuestre que el segmento dirigido ��!PQ donde P;Q 2 H es ortogonal al vector u

� Encontrar la ecuación del hiperplano de R4 que pasa por el punto P = (3;�2;�1; 4) y es normal alvector u = (3; 5;�7; 1)

29. Hallar una representación paramétrica de una recta en R4 que pasa por el punto (�3; 11; 2; 1) en la direcciónde u = (�5; 7; 2;�1)

30. Sea 2x+3y = 1 una recta. Hallar la distancia entre el punto (2; 3) y la recta para ello particularice el resultadopresentado en la de�nición 1.

3