ΦΦUNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Obras CivilesHidráulica Aplicada

Tarea Nº1

Hidráulica Aplicada

Integrantes: Javier Casanova M.Matthias Breytmann S.Matías Wulf R.

Profesor: Ludwig StowhasFecha: 08/04/09

Tarrea Nº1 Hidráulica Aplicada

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................3

OBJETIVOS........................................................................................................................................................3

MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº1.................................................................................................................4

MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº2.................................................................................................................5

PROBLEMA Nº1 – REDES DE FLUJO..................................................................................................................6

PROBLEMA Nº2 - POTENCIAL COMPLEJO.........................................................................................................7

ANEXO............................................................................................................................................................10

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INTRODUCCIÓN

La determinación del caudal que se infiltra en una presa es de gran relevancia, ya que dependiendo de la permeabilidad que un suelo pueda tener, estará en directa relación al caudal que será infiltrado a través de ella.

Existen diversos métodos para poder determinar este caudal, uno de ellos es el método de las Redes de Flujo (o gráfico), el cual consiste en dibujar las líneas equipotenciales y de flujo, cumpliendo la condición de ortogonalidad entre éstas y que deben formar cuadrados curvilíneos.

Otro método para determinar el caudal circulante en la presa es la utilización del potencial complejo, desarrollado por Kozeny, el cual incorpora la corrección realizada por Casagrande.

OBJETIVOS

Confeccionar la red de flujo para una presa de tierra en forma gráfica, determinando las líneas de corriente y las equipotenciales que la determinan, cumpliendo la condición de ortogonalidad entre éstas y formar cuadrados curvilíneos.

Por medio de la red de flujo confeccionada determinar el caudal que se infiltra en la presa, conocida la permeabilidad K del suelo.

Determinar el caudal circulante en la presa mediante la utilización del potencial complejo.

Comparar ambos métodos y verificar su precisión.

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MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº1

En un medio homogéneo e isotrópico en estado estacionario, la red de flujo es el conjunto de las líneas de corriente (ψ) y equipotenciales (Φ).

Las curvas de equipotenciales son constantes (Φ=cte.), de igual forma las líneas de corriente son las curvas ψ=cte. y entre ellas forman una red ortogonal, si estas curvas son dibujadas a intervalos constantes, el flujo entre dos líneas de corriente contiguas es el mismo, lo cual permite determinar el caudal circulante en una sección, conocida la permeabilidad del medio.

La regla común de construcción de redes de flujo se basa en formar cuadrados curvilíneos, donde Δn/Δs=1, las cuales fueron establecidas por Prasil y más tarde por Forchheimer, para la construcción del trazado de una red de flujo se debe:

- Dibujar límites del dominio de flujo a escala (la misma en horizontales y verticales), para que todas las líneas equipotenciales y de corriente que se dibujen puedan acabar sobre los límites.

- Trazar tres a cuatro líneas de corriente tentativamente.

- Trazar tentativamente las líneas equipotenciales, las cuales deben cortar a todas las líneas de corriente, incluidas las limitantes, formando ángulos rectos, y cuadrados, excepto en los puntos singulares.

- Ajustar líneas de corriente y equipotenciales hasta lograr la ortogonalidad y la formación de cuadrados curvilíneos.

El caudal circulante se determina mediante la ecuación:

Una vez dibujada la red de flujo, si se desea saber el flujo que pasa por un punto P, se determina:

Velocidad de flujo (caudal por unidad de sección):

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También:

El flujo a través de MN esta dado por:

MARCO TEÓRICO – PROBLEMA Nº2

La utilización del potencial complejo, aproxima la geometría de la presa a la de una parábola, pero se debe realizar una corrección de la distancia (d), corrección realizada por Casagrande, mediante:

Kozeny estableció:

Ecuaciones en las cuales luego se deben determinar las condiciones de borde para determinar el caudal circulante.

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PROBLEMA Nº1 – REDES DE FLUJO

Consiste en dibujar aproximadamente una red de flujo al interior de la presa con permeabilidad K y por medio de la siguiente fórmula se obtiene el caudal de infiltración que circula por la red:

En donde k es la permeabilidad de la presa, H la carga de agua, es el número de tubos de flujo y es el número de caídas de potencial obtenidas del dibujo.

De cuerdo a la teoría explicada en el marco teórico se dibujan las líneas de flujo que provienen de la función flujo y las superficies equipotenciales que para este caso serían líneas equipotenciales debido al plano bidimensional. Se debe tener el consideración que estas funciones son ortogonales entre sí y su geometría (lado/ancho) debe estar en relación 1:1.

El siguiente dibujo es una aproximación de la red de flujo (dibujo a mayor escala, ver anexo):

Por medio de la red dibujada se obtiene los valores de los siguientes parámetros:

=7 (Número de tubos de flujo)

=48 (Número de caídas de potencial)

Entonces aplicando la fórmula:

Se obtiene el valor del caudal de infiltración:

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PROBLEMA Nº2 - POTENCIAL COMPLEJO

Consiste en obtener el caudal de infiltración de la presa por medio del uso de variable compleja. Para ello se aproxima la geometría de la presa a una parábola corrigiendo la distancia d a d’. El siguiente dibujo detalla los valores a encontrar:

Utilizando la corrección de Casagrande para la parábola de Kozeny:

La cara izquierda de la presa se puede modelar como una recta de formula:

Reemplazando en y = 50 [m] que es el nivel del agua, se obtiene que x = 100 [m]. Esto implica que .

De la figura adjuntada se calcula el valor de d:

Y por tanto se obtiene:

.

Aplicando las condiciones de borde en los puntos A y B:

En el punto A:

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Reemplazando en las expresiones anteriores en la ecuación desarrollada por Kozeny se obtiene que:

En el punto B:

Con lo que se obtiene:

Análogamente se obtiene que:

Reemplazando los valores de d’ y H en las fórmulas anteriores se puede conocer el caudal pedido el cual es:

, por unidad de ancho.

PROBLEMA Nº3 – COMENTARIOS Y CONCLUSIONES

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De acuerdo a los dos métodos para obtener el caudal de infiltración en una presa de pueden destacar los siguientes puntos:

El método de la Parábola de Kozeny es de gran utilidad ya que permite aproximar la geometría de la presa a una parábola simplificando el cálculo. De igual forma, las propiedades de la función flujo y líneas equipotenciales siguen siendo las mismas por lo que el resultado se acerca al valor exacto.

El método de las Redes de Flujo es un tanto más aproximado que el anterior por lo que los resultados pueden diferir en cierta forma, pero a pesar de ello sirve como una forma de aproximación simple al comportamiento real. El método tiene a su favor que a través de relaciones geométricas sencillas se puede predecir el valor del caudal de infiltración de la presa.

Ambos métodos son aproximaciones del problema, sin embargo es posible apreciar cierta precisión de cada uno ya que comparando los resultados el margen de entre ellos es relativamente pequeño (11,1% de diferencia) y no incide en los parámetros de diseño del proyecto.

Se deduce también que entre más pequeños sean los cuadrados de la red de flujos, más exacto va a ser el resultado, no obstante más compleja será su resolución. Por otro lado si bien se trato de realizar la red de flujo con la mayor precisión posible, se admite como válido el resultado obtenido pues está en el mismo orden de magnitud del resultado de teórico y además es un valor cercano.

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ANEXO

El dibujo está a escala y fue realizado en AutoCad para obtener una mayor precisión de la red (medidas en metros):

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