PROBLEMAS DE EXTENSIÓN –II UNIDADCONJUNTOS NUMÉRICOS

DEMOSTRAR:1) -0 = 0

-0+0 (elemento neutro aditivo)0 (elemento inverso aditivo)→ −0 = 0 (l.q.q.d)

6) ∀ , ∈ :−(− ) =Si b = -a (*)

b +a (sumando a)(-a) +a(reemplazando b=-a)

0 (inverso aditivo)Como existe un único elemento (–b)tal que b + (-b) =0 (inverso aditivo)

Concluimos que a=(-b)Reemplazando (*) b = -a a= -(-a)(lqqd.)

2)Si a+b= a demostrar que b=0b= 0 + b (elemento neutro aditivo)

= [(-a)+a] +b(elemento inverso aditivo)= (-a)+[a+b](asociativa)= (-a)+a(remplazando a+b=a)= 0 (elemento inverso aditivo)= 0 (l.q.q.d)

7) ∀ , ∈ : (− )(− ) = b-(a)(-b) (demostración 5)

-[-(ab)] (demostración 5)ab (demostración 6)→ (− )(− ) = b (lqqd.)

3) a.0 = 0a.0 + 0(elemento neutro aditivo)a.0 +[ a.0+(-a.0)](elemento inverso aditivo)[a.0 + a.0] +(-a.0)(p. asociativa)a[0 +0] +(-a.0)(p. distributiva)a.0+(-a.0)( elemento neutro aditivo)

0 (elemento inverso aditivo)a.0 = 0(l.q.q.d)

8)Probar que 1-1 = 1(es decir que elinverso multiplicativo de 1 es el mismo)1-1 = 1-1 .1 (neutro multiplicativo)

1 (inverso multiplicativo)→ = (lqqd.)

4)-a = (-1).aSe sabe que:a+ (-a) =0(elemento inverso aditivo)

1.a+(-1)a (neutro multiplicativo)*[1+(-1)]a(p.distributiva)

0.a (elemento inverso aditivo)0 (demostración 3)→ (−1) = − (*)porque el inverso

aditivo es único

9) Si ≠ demostrar que: ≠Si ≠ 0 existe un a-1 tal que a. a-1 = 1(inverso multiplicativo)Si fuese a-1 = 0 entonces 1=a.a-1=a.0=0O sea que 1= 0 (absurdo), pues 1≠ 0Luego ≠

5) ∀ , ∈ : (− ) = −( ) = (− )a. (−b) = a. [(−1). b](demostración 4)a. [(−1). b]→[( ). ]. [( )]. ( ).→[( ). ]. ( ).[ ] ( )(en ambos casos hemos aplicado laspropiedades conmutativa, asociativa yla demostración 4)→ (− ) = −( ) = (− ) ( . )

10) Si ≠ , entonces: ( ) ≠Si b= a-1 , entonces b.a= a-1.a (inversomultiplicativo)Sabemos que el inverso multiplicativode b es b-1 y es único además b.b-1= 1Entonces a = b-1 = (a-1)-1 (lqqd.)