Ecuaciones DiferencialesTarea 5

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.

La ecuación diferencial de coeficientes constantes, lineal homogénea de segundo orden general En donde los coeficientes a, b, c son constantes reales y a 0.

La solución general será de la forma en donde forma un conjunto

fundamental de soluciones.Una ecuación diferencial con coeficientes constantes lineal homogénea siempre tiene al menos

una solución de la forma , en donde r es una raíz del polinomio característico

.Todo polinomio de segundo grado tiene dos raíces. Para , las raíces están dadas

por . Existen tres casos, dependiente si (b2-4ac)>0, (b2-4ac)=0, (b2-4ac)<0.

Caso 1: el polinomio característico tiene raíces reales distintas . (b2-4ac)>0

Conjunto fundamental :

Caso 2: el polinomio característico tiene raíces reales repetidas (b2-4ac)=0

Cuando y1= es una solución de corresponde a raíces repetidas, una segunda

solución es siempre de la forma . Conjunto fundamental : .Caso 3: el polinomio característico tiene raíces complejas (b2-4ac)<0.

En caso de que raíces complejas, la solución general de está dada por

Ejemplo 1Resuelva la ecuación diferencial: El polinomio característico , las raíces son: La solución general es y = c1e-1.5x + c2e0.5x

Ejemplo 2Resuelva la ecuación diferencial: El polinomio característico 4, las raíces son: La solución general es y = c1e-0.5x + c2xe-0.5x

Ejemplo 3Resuelva la ecuación diferencial:

El polinomio característico , las raíces son:

La solución general es y = c1e-0.5x cos( )x + c2e-0.5xsen( )x

Ejemplo 4Resuelva la ecuación diferencial con valores iniciales: y(0)=1, y`(0)=3El polinomio característico , las raíces son: r1 = 1 r2 = 2La solución general es y = c1ex + c2e2x

y(0) = c1 + c2 = 1 y`(0)= c1 + 2c2 = 3 c1= -1, c2= 2 y = -ex + 2e2x

Tarea 5(b)Resuelva las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

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