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P O N T I F I CI A U N I V ER S I D A D C A T Ó L I C A D E V A L P A R A Í S OF A C U L T A D

D E

I N G E N I E R Í A

ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA

INFORME TAREA 2CONTROL DE PROCESOSEIQ 540-01

Integrantes:Eduardo Contreras C.Gabriel Silva P.

Profesor:Javier Silva C.Fecha de entrega:09 de Octubre de 2013.

Objetivos Estado natural a partir del dominio s.

Determinar la función de transferencia del proceso con control y sin control(estado natural) y del sistema.

Definir el lazo de control

ResoluciónEl siguiente proceso consta de 3 estanques acumuladores conectados en serie.

Figura 1. Proceso de 3 estanques acumuladores en serie.

Estado natural a partir del dominio s

Las ecuaciones diferenciales de modelación obtenidas de la primera tarea son lassiguientes:

𝑑ℎ1/𝑑𝑡𝑑ℎ2/𝑑𝑡𝑑ℎ3/𝑑𝑡𝑘1∗√ℎ1

=

𝐹1

=

𝑘1∗√ℎ1

=

𝑘2∗√ℎ2

𝐴−

𝐴𝐴(1)

𝐴−

𝑘2∗√ℎ2

−

𝑘3∗ √ℎ3

𝐴𝐴(2)(3)

𝐹1 = 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1𝐴 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒ℎ1 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1ℎ2 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2ℎ3 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 3𝑘1 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1𝑘2 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2𝑘3 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 3Para obtener el dominio s, primero se realiza la serie de Taylor a la variable √ℎ paralas ecuaciones (1), (2) y (3), para posteriormenteaplicar la transformada de Laplace.1

√ℎ1 = √ℎ10 − 2∗√ℎ (ℎ1 − ℎ10 )10

1

√ℎ2 = √ℎ20 − 2∗√ℎ (ℎ2 − ℎ20 )20

1

√ℎ3 = √ℎ30 − 2∗√ℎ (ℎ3 − ℎ30 )30

ℎ10 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1ℎ20 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 2ℎ30 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 3

(4)(5)(6)

Se reemplaza la ecuación (4) en (1) obteniendo:𝑑ℎ1𝑑𝑡𝑑ℎ1𝑑𝑡=

𝐹1

=

𝐹1

𝐴𝐴−

𝑘1

−

𝑘1

𝐴𝐴1

∗ ( √ℎ10 − 2∗√ℎ (ℎ1 − ℎ10 ))10

∗ √ℎ10 +

𝑘1

𝑘1∗ℎ2∗𝐴∗√ℎ10

∗ ℎ1 − 2∗𝐴∗√ℎ10

10

Se usa la transformada de Laplace:𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0) =

𝐹1𝐴1

∗𝑠−

𝑘1𝐴1

∗ √ℎ10 ∗ 𝑠 +

𝑘12∗𝐴∗√ℎ10

𝑘1∗ℎ1

∗ ℎ1 (𝑠) − 2∗𝐴∗√ℎ10 ∗ 𝑠10

(7)

ℎ1 (0) = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒 1

Para minimizar términos, se aplican los respectivos cambios de variables:𝑤1 =

𝐹1

𝑤2 =

𝑘1

𝑤3 =

(8)

𝐴𝐴∗ √ℎ10

(9)

𝑘1

(10)

2∗𝐴∗√ℎ10𝑘1∗ℎ𝑤4 = 2∗𝐴∗√ℎ10

(11)

10

1

𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0) = (𝑤1 − 𝑤2 − 𝑤4 ) ∗ 𝑠 + 𝑤3 ∗ ℎ1 (𝑠)

(12)

𝑤1 − 𝑤2 − 𝑤4 = 𝛼(13)

La ecuación final en el dominio s del primer estanque es finalmente:𝒉 (𝟎)

𝜶𝒉𝟏 (𝒔) = 𝒔∗(𝒔−𝒘𝟑)

𝟏

+ (𝒔−𝒘𝟑)

(14)


𝑘1

=

𝑘1

𝐴𝐴1

∗ ( √ℎ10 −2∗√ℎ (ℎ1 − ℎ10 )) −∗ √ℎ10 −

k2

10

𝐴2∗𝐴∗√ℎ10

∗ ℎ1 + 2∗𝐴∗√ℎ10 −

𝑘1

𝑘1∗ℎ1

∗ (√ℎ20 − 2∗√ℎ (ℎ2 − ℎ20 ))20

𝑘2

∗ √ℎ20 +

𝑘22∗𝐴∗√ℎ20

𝑘2∗ℎ∗ ℎ2 − 2∗𝐴∗√ℎ20

10

𝐴𝑘1

∗ ℎ1 (𝑠) + 2∗𝐴∗√ℎ10 ∗ 𝑠 −

20

Se usa la transformada de Laplace:𝑠 ∗ ℎ2 (𝑠) − ℎ2 (0) =𝑘22∗𝐴∗√ℎ20

𝑘1

1

∗ √ℎ10 ∗ 𝑠 −

𝐴𝑘2∗ℎ20

2∗𝐴∗√ℎ10

𝑘1∗ℎ1

10

𝑘2𝐴

1

∗ √ℎ20 ∗ 𝑠 +

1

∗ ℎ2 (𝑠) − 2∗𝐴∗√ℎ ∗ 𝑠(15)

20


Para minimizar términos, se aplican los respectivos cambios de variables:𝑤5 =𝑤6 =

𝑘2𝐴∗ √ℎ20

(16)

𝑘2

(17)

2∗𝐴∗√ℎ20𝑘2∗ℎ𝑤7 = 2∗𝐴∗√ℎ20

(18)

20

1

𝑠 ∗ ℎ2 (𝑠) − ℎ2 (0) = (𝑤2 + 𝑤4 − 𝑤5 − 𝑤7 ) ∗ 𝑠 − 𝑤3 ∗ ℎ1 (𝑠) + 𝑤6 ∗ ℎ2 (𝑠)

(19)

𝑤2 + 𝑤4 − 𝑤5 − 𝑤7 = 𝛽(20)

𝛽ℎ2 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −6

𝑤3 ∗ℎ1 (𝑠)(𝑠−𝑤6 )

+

ℎ2 (0)

(21)

(𝑠−𝑤6 )

Reemplazando la ecuación (14) en (21), La ecuación final en el dominio s delsegundo estanque es finalmente:𝜷𝒉𝟐 (𝒔) = 𝒔∗(𝒔−𝒘𝒘 ∗𝜶𝟔)

− 𝒔∗(𝒔−𝒘 𝟑 )(𝒔−𝒘𝟑𝟔)

𝒘 ∗𝒉𝟏 (𝟎)𝟑 )(𝒔−𝒘𝟔 )

𝟑− 𝒔∗(𝒔−𝒘+

𝒉𝟐 (𝟎)

(𝒔−𝒘𝟔 )

(22)


k2

=

𝑘2

𝐴1

∗ (√ℎ20 − 2∗√ℎ (ℎ2 − ℎ20 )) −

k3

20

𝐴∗ √ℎ20 −

𝑘2

𝐴𝑘2∗ℎ2∗𝐴∗√ℎ20

1

∗ (√ℎ30 − 2∗√ℎ (ℎ3− ℎ30 ))

∗ ℎ2 + 2∗𝐴∗√ℎ20 −

30

𝑘3

∗ √ℎ30 +

𝑘3

𝑘3∗ℎ2∗𝐴∗√ℎ30

∗ ℎ3 − 2∗𝐴∗√ℎ30

20

𝐴𝑘2

∗ ℎ2 (𝑠) + 2∗𝐴∗√ℎ20 ∗ 𝑠 −

30

Se usa la transformada de Laplace:𝑠 ∗ ℎ3 (𝑠) − ℎ3 (0) =𝑘32∗𝐴∗√ℎ30

𝑘2

1

∗ √ℎ20 ∗ 𝑠 −

𝐴𝑘3∗ℎ30

2∗𝐴∗√ℎ20

𝑘2∗ℎ1

20

𝑘3𝐴1

∗ √ℎ30 ∗ 𝑠 +

1

∗ ℎ3 (𝑠) − 2∗𝐴∗√ℎ ∗ 𝑠(23)

30


Para minimizar términos, se aplican los respectivos cambios de variables:

𝑤8 =𝑤9 =

𝑘3𝐴∗ √ℎ30

(24)

𝑘3

(25)

2∗𝐴∗√ℎ30𝑘3∗ℎ𝑤10 = 2∗𝐴∗√ℎ30

(26)

30

1

𝑠 ∗ ℎ2 (𝑠) − ℎ2 (0) = (𝑤5 + 𝑤7 − 𝑤8 − 𝑤10 ) ∗ 𝑠 − 𝑤6 ∗ ℎ2 (𝑠) + 𝑤9 ∗ ℎ3 (𝑠)

(27)

𝑤5 + 𝑤7 − 𝑤8 − 𝑤10 = 𝛾(28)

𝛾ℎ3 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −9

𝑤6 ∗ℎ2 (𝑠)(𝑠−𝑤9 )

+

ℎ3 (0)(𝑠−𝑤9 )

(29)

Reemplazando la ecuación (22) en (29), La ecuación final en el dominio s deltercer estanque es finalmente (ESTADO NATURAL):𝜸𝒉𝟑 (𝒔) = 𝒔∗(𝒔−𝒘𝟗)

𝜷∗𝒘𝟔𝜶∗𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑+ 𝒔∗(𝒔−𝒘 )∗(𝒔−𝒘)∗(𝒔−𝒘)𝟔𝟗𝟑𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟗 )

− 𝒔∗(𝒔−𝒘𝒘𝟔 ∗𝒉𝟐 (𝟎)

𝒉𝟑 (𝟎)+(𝒔−𝒘𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟗 )(𝒔−𝒘𝟗 )

+ (𝒔−𝒘𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝒉𝟏 (𝟎)𝟑 )∗(𝒔−𝒘𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟗 )

−(30)

Parámetros de operación de los estanques:Tabla 1. Parámetros (Estado natural).

Variables

Valores

𝑭𝟏1 (m/s)

𝑨2 (m)

𝒉𝟏 (𝟎)

4 (m)

𝒉𝟐 (𝟎)

2 (m)

𝒉𝟑 (𝟎)

3 (m)

𝒉𝟏𝟎4(m)

𝒉𝟐𝟎2(m)

𝒉𝟑𝟎3 (m)

𝒌𝟏0,89 (m2,5/s)

𝒌𝟐

0,78 (m2,5/s)

𝒌𝟑0,67 (m2,5/s)

Reemplazando los datos establecidos:1

𝑤1 = = 0,50002

𝑤2 =

0,892

∗ √4 = 0,8900

0.89

𝑤3 = 2∗2∗√4 = 0,11130,89∗4

𝑤4 = 2∗2∗√4 = 0,4450𝑤5 =

0,782

∗ √2 = 0,5515

𝑤6 =

0,782∗2∗√2

= 0,1379

0,78∗2

𝑤7 = 2∗2∗√2 = 0,2758𝑤8 =𝑤9 =

0,672

∗ √3 = 0,5802

0,672∗2∗√3

= 0,0967

0,67∗3

𝑤10 = 2∗2∗√3 = 0,2901𝛼 = 0,5000 − 0,8900 − 0,4450 = −0,8350𝛽 = 0,8900 + 0,4450 − 0,5515 − 0,2758 = 0,5077𝛾 = 0,5515 + 0,2758 − 0,5802 − 0,2901 = −0,0430

Aplicando el límite de s tendiendo a cero:a. Estanque 1ℎ (0)

𝛼1lim 𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) + (𝑠−𝑤𝑠→0

3)

3

𝛼𝑬. (𝟏) = (𝑠−𝑤3)

−0,8350

𝑬. (𝟏) = − (0−0,1113) = 𝟕, 𝟓𝟎𝟐𝟐 (𝒎)

Aplicando el límite de s tendiendo a cero:b. Estanque 2𝛽lim 𝑠 ∗ ℎ2 (𝑠) =

𝑤 ∗𝛼𝑠∗(𝑠−𝑤6 )

𝑠→0

𝛽− 𝑠∗(𝑠−𝑤 3 )(𝑠−𝑤3

6)

𝑤 ∗ℎ1 (0)3 )(𝑠−𝑤6 )

− (𝑠−𝑤3

+

𝑤 ∗𝛼𝑬. (𝟐) = (0−𝑤 ) − (0−𝑤 3)(0−𝑤6

0,5077

3

6)

0,1113 ∗−0,8350

𝑬. 𝑵(𝟐) = (0−0,1379) − (0−0,1113 )(0−0,1379) = 𝟐, 𝟑𝟕𝟑𝟓 (𝒎)

ℎ2 (0)(𝑠−𝑤6 )

Aplicando el límite de s tendiendo a cero:c. Estanque 3𝛾𝛽∗𝑤6𝛼∗𝑤6 ∗𝑤3+𝑠∗(𝑠−𝑤3 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤9 )𝑠→096 )∗(𝑠−𝑤9 )𝑤6 ∗𝑤3 ∗ℎ1 (0)𝑤6 ∗ℎ2 (0)ℎ3 (0)− (𝑠−𝑤 )∗(𝑠−𝑤 ) + (𝑠−𝑤 )(𝑠−𝑤3 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤9 )699

lim 𝑠 ∗ ℎ3 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) − 𝑠∗(𝑠−𝑤𝛾𝛽∗𝑤66 )∗(0−𝑤9 )

𝑬. 𝑵(𝟑) = (0−𝑤 ) − (0−𝑤9

−0,0430

+

𝛼∗𝑤6 ∗𝑤33 )∗(0−𝑤6 )∗(0−𝑤9 )

+ (0−𝑤0,5077 ∗0,1379)∗(𝟎−0,0967 )

𝑬. (𝟑) = (𝟎−0,0967 ) − (𝟎−0,1379

+

−0,8350∗0,1379∗0,1113(𝟎−0,1113 )∗(𝟎−0,1379 )∗(𝟎−0,0967 )

=

𝟑, 𝟖𝟐𝟗𝟒 (𝒎)

Comparación de MATLAB con el estado natural en el dominio sTabla 2. Comparación del estado natural de MATLAB con el del dominio s

Estado

Natural Estado Natural del

MATLAB (m)

dominio s (m)

Estanque 1

1,2625

7,5022

Estanque 2

1,6437

2,3735

Estanque 3

2,2282

3,8294

Error = 2,2282 – 3,8294 = - 1,6012 (m)

Identificación de la función transferencia del proceso con control

De la primera tarea se identificó que los grados de libertad serian igual a 1, por lotanto la variable a manipular será F1, el cual mencionado anteriormentecorresponde al flujo de entrada del estanque 1. Dicho esto, la ecuación con controlse determina de la siguiente forma:De la ecuación (7) se llega a que:𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0) =

𝐹1(𝑠)𝑘11𝑘1𝑘1 ∗ ℎ101∗−∗ √ℎ10 ∗ +∗ ℎ1 (𝑠) −∗𝐴𝐴𝑠 2 ∗ 𝐴 ∗ √ℎ102 ∗ 𝐴 ∗ √ℎ10 𝑠1

𝑠 ∗ ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0) = 𝑤0 ∗ 𝐹1 − (𝑤2 + 𝑤4 ) ∗ 𝑠 + 𝑤3 ∗ ℎ1 (𝑠)

(31)

Realizando cambios de variables:1

𝑤0 = 𝐴(32)

𝛿 = 𝑤2 + 𝑤4

(33)

ℎ1(𝑠) =

𝑤0 ∗𝐹1(𝑠)(𝑠−𝑤3 )

ℎ (0)

𝛿1− 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) + (𝑠−𝑤(34)

3)

3

Luego reemplazar la ecuación (34) en (21):𝛽ℎ2 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −6

𝑤3(𝑠−𝑤6 )

𝑤0 ∗𝐹1(𝑠)(𝑠−𝑤3 )

∗(

ℎ (0)

𝛿1− 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) + (𝑠−𝑤)+)3

3

ℎ2 (0)

(35)

(𝑠−𝑤6 )

Finalmente reemplazar la ecuación (35) y (29) y ordenar la ecuación se llega a que:𝛾ℎ3 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −9

ℎ2 (0))(𝑠−𝑤6 )

+

𝑤6(𝑠−𝑤9 )

𝛽∗ (𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −6

𝑤3(𝑠−𝑤6 )

𝑤0 ∗𝐹1(𝑠)(𝑠−𝑤3 )

∗(

ℎ (0)

𝛿1− 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) + (𝑠−𝑤)+)3

3

ℎ3 (0)(𝑠−𝑤9 )

𝜸𝑮𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝒉𝟑 (𝒔) = 𝒔∗(𝒔−𝒘𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝜹𝒔∗(𝒔−𝒘𝟗 )∗(𝒔−𝒘𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟑 )

+

𝒘 ∗𝜷𝟗)

− 𝒔∗(𝒔−𝒘 𝟔)∗(𝒔−𝒘𝟔𝟗)

𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝒉𝟏 (𝟎)(𝒔−𝒘𝟗 )∗(𝒔−𝒘𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟑 )

+

−

𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝒘𝟎 ∗𝑭𝟏(𝒔)−(𝒔−𝒘𝟗 )∗(𝒔−𝒘𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟑 )

𝒘𝟔 ∗𝒉𝟐 (𝟎)(𝒔−𝒘𝟗 )∗(𝒔−𝒘𝟔 )

+

𝒉𝟑 (𝟎)(𝒔−𝒘𝟗 )

(36)

La función de transferencia del proceso es:ℎ (𝑠)

3𝐺𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 = 𝐹1(𝑠)=

𝑤6 ∗𝑤3 ∗𝑤0(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )

(37)

Las perturbaciones del proceso son:𝛾𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 = 𝑠∗(𝑠−𝑤(38)

9)

𝑤 ∗𝛽𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 = 𝑠∗(𝑠−𝑤 6)∗(𝑠−𝑤6

𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 3 =

(39)

9)

𝑤6 ∗𝑤3 ∗𝛿(40)

𝑠∗(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )


𝑤6 ∗𝑤3 ∗ℎ1 (0)(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )

(41)


𝑤6 ∗ℎ2 (0)(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )

(42)

𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 6 =ℎ3 (0)(𝑠−𝑤9 )

(43)

Simplificando las perturbaciones𝛾𝑤 ∗𝛽𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) − 𝑠∗(𝑠−𝑤 6)∗(𝑠−𝑤9

𝑤6 ∗𝑤3 ∗ℎ1 (0)(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )

−

9)

6

𝑤6 ∗ℎ2 (0)(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )

+

−

𝑤6 ∗𝑤3 ∗𝛿𝑠∗(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )

+

ℎ3 (0)(𝑠−𝑤9 )

𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =𝛾∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )−𝑤6 ∗𝛽∗(𝑠−𝑤3 )−(𝑤6 ∗𝑤3 ∗𝛿)+𝑤6 ∗𝑤3 ∗ℎ1 (0)∗𝑠−𝑤6 ∗ℎ2 (0)∗𝑠∗(𝑠−𝑤3 )+ℎ3 (0)∗𝑠∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )𝑠∗(𝑠−𝑤9 )∗(𝑠−𝑤6 )∗(𝑠−𝑤3 )

(44)

La utilización de la expansión de Taylor para la posterior aplicación del teorema deLaplace trae desviaciones que pueden ser considerables a la hora de controlar laestabilidad del proceso, por ende se debe considerar este error de tal forma que seminimicen las influencias que este pueda tener en la estabilidad.Este error varía de acuerdo a las condiciones de trabajo, para motivos de estetrabajo se considerar el error como una constante; esto es factible ya que lascondiciones iniciales se mantuvieron constantes y los puntos de cercanía para elprimer y segundo estanque también lo fueron.:ℎ1 (𝑠) =

𝑤0 ∗𝐹1(𝑠)(𝑠−𝑤3 )

−

𝛽−

ℎ2 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤6)

𝛾𝛿ℎ (0)+ 1𝑠∗(𝑠−𝑤3 )(𝑠−𝑤3 )𝑤3𝑤0 ∗𝐹1(𝑠)𝛿ℎ1 (0)ℎ2 (0)∗ ( (𝑠−𝑤− 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) + (𝑠−𝑤) + (𝑠−𝑤(𝑠−𝑤6 )))33

36)

ℎ3 (𝑠) = 𝑠∗(𝑠−𝑤 ) −9

𝑤6 ∗ℎ2 (𝑠)(𝑠−𝑤9 )

+

ℎ3 (0)(𝑠−𝑤9 )

−

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑠∗(𝑠−𝑤9)

Reemplazando ℎ1 (𝑠) en 𝒉𝟐 (𝒔) y posteriormente en 𝒉𝟑 (𝒔), y finalmentefactorizando términos, tenemos que la función del sistema con control finales:

𝒉𝟑 (𝒔) =

𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝒘𝟎 ∗𝑭𝟏(𝒔)(𝒔−𝒘𝟗 )∗(𝒔−𝒘𝟔 )∗(𝒔−𝒘𝟑 )

+

𝒉𝟑 (𝟎)∗𝒔𝟑 +(𝜸−𝒘𝟔 ∗𝒉𝟑 (𝟎)−𝒘𝟑 ∗𝒉𝟑 (𝟎))∗𝒔𝟐 +(𝒉𝟑 (𝟎)∗𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 −𝒘𝟔 ∗𝒉𝟐 (𝟎)−𝜷∗𝒘𝟔 −𝜸∗𝒘𝟑 −𝜸∗𝒘𝟔 )∗𝒔+𝜸∗𝒘𝟑 ∗𝒘𝟔 +𝜷∗𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 −𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝜹+𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 ∗𝒉𝟐 (𝟎)𝒔𝟒 −(𝒘𝟑 +𝒘𝟔 )∗𝒔𝟑 +(𝒘𝟔 ∗𝒘𝟑 −𝒘𝟗 +𝒘𝟗 ∗𝒘𝟑 +𝒘𝟗 ∗𝒘𝟔 )∗𝒔𝟐 −𝒘𝟑 ∗𝒘𝟔 ∗𝒘𝟗 ∗𝒔𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝒔∗(𝒔−𝒘𝟗)

−

(45)

Por lo tanto la función del proceso viene dada por:𝐺𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 =

𝐰𝟔 ∗𝐰𝟑 ∗𝐰𝟎(𝐬−𝐰𝟗 )∗(𝐬−𝐰𝟔 )∗(𝐬−𝐰𝟑 )

Mientras que la función de las perturbaciones viene dada por:𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =𝐡𝟑 (𝟎)∗𝐬𝟑 +(𝛄−𝐰𝟔 ∗𝐡𝟑 (𝟎)−𝐰𝟑 ∗𝐡𝟑 (𝟎))∗𝐬𝟐 +(𝐡𝟑 (𝟎)∗𝐰𝟔 ∗𝐰𝟑 −𝐰𝟔 ∗𝐡𝟐 (𝟎)−𝛃∗𝐰𝟔 −𝛄∗𝐰𝟑 −𝛄∗𝐰𝟔 )∗𝐬+𝛄∗𝐰𝟑 ∗𝐰𝟔 +𝛃∗𝐰𝟔 ∗𝐰𝟑 −𝐰𝟔 ∗𝐰𝟑 ∗𝛅+𝐰𝟔 ∗𝐰𝟑 ∗𝐡𝟐 (𝟎)𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓𝐬𝟒 −(𝐰𝟑 +𝐰𝟔 )∗𝐬𝟑 +(𝐰𝟔 ∗𝐰𝟑 −𝐰𝟗 +𝐰𝟗 ∗𝐰𝟑 +𝐰𝟗 ∗𝐰𝟔 )∗𝐬𝟐 −𝐰𝟑 ∗𝐰𝟔 ∗𝐰𝟗 ∗𝐬𝒔∗(𝒔−𝒘𝟗)

Tabla 3. Parámetros (Control)

Variables

Valores

𝑺𝒆𝒕𝒑𝒐𝒊𝒏𝒕 (3° estanque)

2 (m)

𝑨2 (m)

𝒉𝟏 (𝟎)

4 (m)

𝒉𝟐 (𝟎)

2 (m)

𝒉𝟑 (𝟎)

3 (m)

𝒉𝟏𝟎4 (m)

𝒉𝟐𝟎3 (m)

𝒉𝟑𝟎2,2 (m)

𝒌𝟏0,89 (m2,5/s)

𝒌𝟐0,78 (m2,5/s)

𝒌𝟑0,67 (m2,5/s)

−

Reemplazando nuevamente:1

𝑤0 = 2 = 0,5000𝑤2 =

0,892

∗ √4 = 0,8900

0.89

𝑤3 = 2∗2∗√4 = 0,11130,89∗4

𝑤4 = 2∗2∗√4 = 0,4450𝑤5 =𝑤6 =

0,782

∗ √2 = 0,5515

0,782∗2∗√2

= 0,13790,78∗2

𝑤7 = 2∗2∗√2 = 0,2758𝑤8 =𝑤9 =

0,672

∗ √2,2 = 0,4969

0,672∗2∗√2,2

= 0,1129

0,67∗3

𝑤10 = 2∗2∗√2 = 0,3388𝛼 = 0,5000 − 0,8900 − 0,4450 = −0,8350𝛽 = 0,8900 + 0,4450 − 0,5515 − 0,2758 = 0,5077𝛾 = 0,5515 + 0,2758 − 0,4969 − 0,3388 = −0,0084Las funciones del proceso y de las perturbaciones numéricamente para los datosentregados por la tabla 3 son los siguientes:

𝐺𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜=

0,0077𝑠3 −0,3621∗𝑠2 +0,0435∗𝑠+0,0017

𝐺𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =

𝟑𝟐𝟑∗𝐬 −𝟎,𝟎𝟖𝟐∗𝐬 −𝟎,𝟑∗𝐬+𝟎,𝟎𝟏𝟖𝐬𝟒 −𝟎,𝟐𝟓∗𝐬𝟑 −𝟎,𝟎𝟕∗𝐬𝟐 −𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟕∗𝐬−

𝟏,𝟔𝟎𝟏𝟐𝐬𝟐 −𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟗∗𝒔

Función de control para el sensor

Primero se deben establecer cuáles son las variables de entrada y salida que mideel sensor. Para nuestro caso, se trata de estanques acumuladores por lo tanto a laentrada del sensor debe ir una medición de altura y debe realizar una transduccióna una señal de voltaje.

Figura 2. Entrada y salida del sensor

Altura(metro)

Voltaje (volts)

Sensor

La función del sensor viene dada por la siguiente expresión:𝐺𝑠 =

𝐾𝑠𝜏∗𝑠+1

∗ 𝑒 −𝐿∗𝑆Donde:𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝐾𝑠 representa la ganancia estatica y tiene unidades de:

-

𝐿 representa el retardo con el cual es sensor comienza a medir, tiene

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=

𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠-

𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜unidades de segundos

-

𝜏 representa cuanto tiempo demora en conseguir el 63,2% del rango denivel

A continuación la tabla de transducción del sensor:

Tabla 4. Datos de medición del sensor de nivel

Estimulo:

0,2 metros

Tiempo (segundos) Altura (metros) Voltaje0

0,1

4

2

0,1

4

4

0,1

4

6

0,15

7,2

8

0,18

7,6

10

0,19

7,6

De la tabla 1 se puede apreciar que el retardo con el cual comienza actuar el sensores de 4 segundos, por lo cual debe generarse una nueva tabla donde muestre lasmediciones desde el punto en donde efectivamente comienza a medir el sensor.𝐿 =4𝑠Tabla 5. Modificación de la tabla 4 según el retardo del sensor

Estimulo

0,2 metros

Tiempo (segundos) Altura (metros) Voltaje (volts)0

0,1

4

2

0,15

7,2

4

0,18

7,6

6

0,19

7,6

A continuación se procederá a calcular el 𝜏 del sensor:Δℎ = 0,632 ∗ (0,2 − 0,1) + 0,1 = 0,163 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠Este Δℎ representa la altura que mide el sensor en el tiempo 𝜏. Asumiendo uncomportamiento lineal en la medición del sensor, obtendremos 𝜏 interpolando losvalores entre 0,15 y 0,18 metros.El valor de 𝜏 es: 2,87 segundos.Para calcular la ganancia estática se debe realizar una regresión lineal entre lavariable de entrada (altura) y la variable de salida (voltaje), en la cual la pendientede la curva representara el valor buscado. Se obtuvo la siguiente regresión lineal:Grafica 1.Regresión lineal Altura vs Voltaje

El grafico 1 nos proporciona la ganancia estática con una correlación lineal cercanaal 90%:𝑘𝑠 = 40,816

𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠La expresión 𝑒 −4∗𝑆 se puede representar como:

𝑒 −4∗𝑆41− 2∗𝑠=41+ 2∗𝑠

Por lo tanto la función de control para el sensor viene dada por:𝐺𝑠 =

40,816

∗2,87∗𝑠+1

1− 2∗𝑠1+ 2∗𝑠Función de control para el actuadorPara el actuador se escoge una válvula, la cual tendrá una entrada de voltaje y setraducirá a un aumento o disminución de flujo, según sea el caso de control.

Figura 3. Actuador

Voltaje(Volts)

FlujoM3/sg

Actuador

La función del actuador viene dado por:𝐺𝑎 =

𝐾𝑎𝜏𝑎∗𝑠+1

∗ 𝑒 −𝐿∗𝑆Donde:-

𝐾𝑎 representa la ganancia estática del actuador y tiene unidades de:𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎-

=

𝑚3𝑠𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠𝐿 representa el retardo con el cual el actuador comienza a ejecutar la orden,tiene unidades de segundos.

-

𝜏𝑎 representa cuanto tiempo demora en conseguir el 63,2% del rango delvoltaje.

A continuación los valores de transducción para la válvula:Tabla 6. Valores de transducción de la válvula

Tiempo (segundos) Voltaje (volts) Flujo (m3/s)0

11,6

0,00022

2

11,6

0,00022

4

16,8

0,00032

6

17,4

0,00033

8

19

0,00036

10

20

0,00038

De la tabla 3 se puedeapreciar que la válvula tiene un retardo de 2 segundos, yaque este es el tiempo en el que la variable de salida comienza a variar. Por lo tanto:𝐿 =2𝑠𝑒 −2∗𝑆 =

2221+ ∗𝑠2

1− ∗𝑠La tabla modificada es la siguiente:Tabla 7. Modificación de la tabla 6 según el retardo del actuador

Tiempo (segundos) Voltaje (volts) Flujo (m3/s)0

11,6

0,00022

2

16,8

0,00032

4

17,4

0,00033

6

19

0,00036

8

20

0,00038

Para calcular 𝜏𝑎, se tiene que:Δ𝑉 = 0,632 ∗ (20 − 11,6) + 11,6 = 16,9 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠La interpolación se realiza entre 2 y 4 segundos.Dando un 𝜏𝑎 = 2,33 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠Para la ganancia estática del actuador se realiza una regresión lineal entre el voltajey el flujo; la pendiente de esta recta será 𝐾𝑎.Grafica 2. Voltaje vs Flujo

Voltaje vs Flujo0,000350,00030

y = 2E-05x - 2E-18R² = 1

0,000250,000200,000150,000100,000050,000000

5

10

15

Por lo tanto la ganancia del actuador es:𝐾𝑎 = 0,00002

𝑚3𝑠𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠La función de control del actuador viene dada por:𝐺𝑎 =

0,00002

1− 𝑠

∗2,33∗𝑠+1 1+ 𝑠20

25

Lazo de control:A continuación se presenta el diagrama de bloques del lazo de control:

Figura 4. Lazo de control

1

Perturbaciones

SetPoint

Ks

GcControlador

h3(s)

Actuador

Sensor

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