Universidad Tecnológica Israel

Trabajo de Estadística

Introducción a la estadística

Paola TeránCarlos Chango

Jorge Campoverde

Técnicas de conteo

Principio fundamental del conteo Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras

diferentes y si, continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse de n1 maneras diferentes y asi sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1*n2*n3...

Técnicas de conteo

Notación factorial• El producto de numero enteros positivos desde 1

hasta n se emplea con mucha frecuencia en Matemáticas, y lo denotaremos por el símbolo n!.

)!)(1)...(2)(1(!

)!1(!

3*2*1)...2)(1(!

*...*3*2*1!

rnrnnnnn

nnn

nnnn

nn

)1()!1(

)!1()1(

)!1(

)!1(

nnn

nnn

n

n

Técnicas de conteo

Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un

orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un numero r de dichos objetos r<=n en un orden dado se llama una permutación r o permutación de n objetos tomados r a la vez

!1

!

!0

!),(

)!(

!),(

nnn

rnP

nr

rn

nrnP

Técnicas de conteo

Ejemplo:

!1

!

!0

!),(

)!(

!),(

nnn

rnP

nr

rn

nrnP

24!4)4,4(

24!1

!1*2*3*4

)!34(

!4)3,4(

12!2

!2*3*4

)!24(

!4)2,4(

4!3

!3*4

)!14(

!4)1,4(

},,,{

P

P

P

P

dcbas

Técnicas de conteo

Combinaciones Supongamos que tenemos una colección de n

objetos. Una combinación de n objetos tomados r a la vez es un subconjunto de r elementos . En otras palabras una combinación es una selección de r o n objetos donde el orden no se tiene en cuenta

!)!(

!

!

),(),(

rrn

n

r

rnPrnC

Técnicas de conteo

Ejemplo: Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el numero de formas en las que un cliente pueda escoger 2 de los postres.

!)!(

!

!

),(),(

rrn

n

r

rnPrnC

15!2!4

!4*5*6

!2!4

!6)2,6( C

Técnicas de conteo

Diferencias entre permutación y combinación "Mi ensalada de frutas es una combinación de

manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación.

Técnicas de conteo

Diagramas de árbol Para la construcción de un diagrama en árbol se

partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Técnicas de conteo

Ejemplo: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar.

Introducción a la ProbabilidadEspacio muestral y eventos

El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento se llama espacio muestral.

S espacio muestral e.m. S={cara,sello} S={1,2,3,4,5,6}

1203*2*1!*7

!7*8*9*10

!3!*7

!10)3,10( C

Introducción a la Probabilidad

Un resultado particular, esto es un elemento del espacio muestral se llama punto muestral.

Un evento a es un subconjunto del espacio muestral S el conjunto vacío Φ y el espacio S por si son eventos.

S{(1,1)(1,2)...(1,6),(2,1)(2,2).....(6,6)} A={(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)} B={(6,6)} C={ }

Introducción a la ProbabilidadOperaciones Es el conjunto que sucede si y solo si A o B o

ambos suceden. Es el evento que sucede si y solo si A y B suceden

simultáneamente Es el evento que sucede si y solo si ambos

suceden. Dos eventos se llaman mutuamente exclusivos si son

disyuntivos, es decir . En otras palabras dos eventos son mutuamente exclusivos si no pueden suceder simultáneamente.

A∩ B

BA

CA

{} BA

Introducción a la ProbabilidadAxiomas de Probabilidad• Sea S un espacio muestral y P una función de valores

reales. Entonces P se llama función de probabilidad del evento A, entonces se cumplen los siguientes axiomas de probabilidad.

• P1] evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1• P2] P(S)= 1• P3] sean A y B eventos mutuamente exclusivos

entonces :

)()()( BPAPBAP

Introducción a la Probabilidad• Teoremas de Probabilidad• T1] si ф es el conjunto vacio, entonces P(ф)=0

eventossonAy

0)(

)()()(

)()()(

)()(

P

APAPP

APPAP

APAP

AA

..emsonAy

A

Introducción a la Probabilidad• T2] si es el complemento A entonces P( )=1-P(A)CA CA

eventossonAyAC

..emsonAyA

AAC

C

)(1)(

1)()(

)()(

APAP

APAP

SPAAP

SAA

C

C

C

C

Introducción a la Probabilidad• T3] sean Ay B eventos entonces P(A-B)=P(A)-P( )A∩ B

..

)()(

emsonBByAA

BABA

)()()(

)()()(

)()]()[(

BAPAPBAP

APBAPBAP

APBABAP

Introducción a la Probabilidad• T4] sean A y B eventos entonces P( )=P(A)+P(B)-P(

)A∩ BBA

..

)()(

emsonByBA

APBBA

)()()()(

)()()(

)()()(

)(])[(

BAPBAPBPAP

BAPAPBAP

BAPBPBAP

BAPBBAP