TÉCNICAS DE MUESTREO


2

I. CONCEPTOS GENERALES DE MUESTREO

El objetivo de la teoría de muestras es proporcionar una serie de técnicas que permitan

conocer características o valores referidas al total de unidades de un conjunto,

estudiando sólo una parte de las unidades del conjunto.

Población o Universo es el conjunto total de unidades de las que se desea información o

conjunto total de unidades objeto de estudio:

{ }P u u uN= 1 2, ,...,

Muestra es una parte de la población sobre la que se mide la información:

{ }S u u uj j j jn=

1 2, ,...,

Tamaño de la población es el número de unidades N que forman la población. Tamaño

de la muestra es el número de unidades n seleccionadas para la muestra.

El término muestreo se refiere al conjunto de técnicas utilizadas para seleccionar una

muestra de una población. Representamos por Yi el valor numérico de una característica

o variable en la unidad ui. Esta variable y se denomina variable de estudio.

Valor poblacional es una expresión θ ϑ= ( )y que sintetiza los valores de la variable en

estudio en las N unidades de la población completa:

Total Y Yii

N

==∑

1

Media Y YN

=

Valor muestral es una estimación !( )θ s del valor poblacional θ que se calcula a partir de

las n unidades de la muestra.

El valor poblacional es una constante, en general desconocida, que depende sólo de los

N valores Yi. La estimación es un valor calculado y único en cada muestra particular,

pero el valor varía de muestra a muestra.


3

Si dado un procedimiento de muestreo podemos definir el conjunto de muestras posibles

o espacio muestral y la selección de la muestra se hace de acuerdo a una función de

probabilidad P definida sobre el espacio muestral, diremos que el muestreo es

probabilístico. Es decir, para cada muestra posible, Sj, está definida una probabilidad

P(Sj) > 0 con P( S jj

∑ =) 1, y la selección de la muestra respeta esta probabilidad.

En el muestreo probabilístico la estimación !ϑ se convierte para una muestra particular

en el valor observado de una variable aleatoria !( )θ S j que se llama estimador cuya

función de probabilidad corresponde a la definida en el espacio muestral, es decir

[ ]P S P( Sj j! ( ) )ϑ =

Esta función de probabilidad del estimador sobre el espacio muestral se denomina

distribución de muestreo del estimador y corresponde, por tanto, al conjunto de

estimaciones de todas las muestras posibles con su probabilidad de materializarse.

En la práctica podemos asignar probabilidades de selección a las N unidades de la

población. En tal caso la probabilidad de selección de una muestra será:

P( S P( u P( u u P( u u u uj j j j j j j jn n) ) ) , ,..., )= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−1 2 1 1 2 1

De esta forma en el muestreo probabilístico, cada unidad de la población tiene una

probabilidad conocida y no nula de ser seleccionada.

El muestreo probabilístico es sin reposición o sin reemplazamiento si toda muestra Sj

está formada por n unidades distintas, es decir, las muestras con alguna unidad repetida

tienen probabilidad cero de ser seleccionadas. En caso contrario, si en la muestra puede

haber unidades repetidas, se dice que el muestreo es con reposición o con

reemplazamiento.

La selección con reposición responde al hecho físico de hacer n selecciones sucesivas de

elementos, restituyendo a la población cada unidad elegida antes de proceder a la

siguiente selección.En la selección sin reposición cada unidad elegida no se restituye a

la población y, por tanto, una misma unidad sólo puede estar presente en la misma

muestra una sola vez. En lo que sigue nos referiremos siempre al muestreo sin

reemplazamiento.


4

Suele hablarse de muestra aleatoria cuando todas las unidades de la población tienen la

misma probabilidad de ser seleccionadas. En éste caso todas las posibles muestras son

también equiprobables.

Trataremos de aclarar algunos de los conceptos anteriores con un ejemplo. Sea una

población de N=6 elementos en los que la variable y , objeto de estudio, toma los

valores { }Yi = 8 31114 7, , , , , .La media poblacional es Y = + + + + + =8 3 1 11 4 7

65 7, . En

una muestra aleatoria, la media muestral es un estimador de la media poblacional, así, si

nuestra muestra, de tamaño 3, estuviera formada por los valores (3,11,4) la media

muestral sería y = 6 0, . Seleccionemos todas las muestras posibles de tamaño 3

calculando para cada una la media muestral. Los resultados se muestran en el siguiente

gráfico:

media muestral vs media poblacional

4,0

7,3

5,0

6,0

6,7

4,3

5,3

7,7

8,7

6,3

5,0

2,7

3,7

6,0

7,0

4,7

5,3

6,3

4,0

7,3

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

(8,3

,1)

(8,3

,11)

(8,3

,4)

(8,3

,7)

(8,1

,11)

(8,1

,4)

(8,1

,7)

(8,1

1,4)

(8,1

1,7)

(8,4

,7)

(3,1

,11)

(3,1

,4)

(3,1

,7)

(3,1

1,4)

(3,1

1,7)

(3,4

,7)

(1,1

1,4)

(1,1

1,7)

(1,4

,7)

(11,

4,7)

muestra

med

ia

muestrapoblac.

Sobre el eje de abscisas se señalan los componentes de cada una de las posibles 20

muestras aleatorias de tamaño 3, todas equiprobables, es decir la probabilidad de tomar

una muestra cualquiera es 1/20. En el eje de ordenadas se señala para cada una de las

muestras la media muestral correspondiente. También se indica la media poblacional

que es constante e igual a 5,7, de acuerdo al cálculo anterior.


5

El gráfico refleja cómo el valor poblacional (la media) es una constante pero su

estimador (la media muestral) presenta valores diferentes según las unidades que

componen la muestra, es decir, el valor del estimador, estimación, varía de muestra a

muestra. Puede observarse también como las distintas estimaciones se sitúan alrededor

del verdadero valor que se quiere estimar.

Puesto que cada muestra en el ejemplo tiene una probabilidad de 1/20 de ser

seleccionada, cada uno de los 20 valores muestrales tiene también una probabilidad de

1/20 de ser obtenido, es decir, denotando por y la media muestral (el estimador) resulta

( ) ( ) ( )P y P y P y= = = = = =2 7 3 7 8 7 1 20, , ," . Este conjunto de posibles valores del

estimador junto con la probabilidad de obtener cada valor constituye la distribución en

el muestreo del estimador. En base a esta distribución puede calcularse la probabilidad

de que el estimador tome valores en un cierto intervalo; así, el intervalo (4,5; 6,5)

comprende 9 de las 20 muestras. Es decir, la probabilidad de que la media muestral

tome valores comprendidos entre 4,5 y 6,5 es de 9/20.

Siendo el estimador una variable aleatoria pueden estudiarse distintas características del

mismo, como son su media o esperanza matemática, la varianza y su raiz cuadrada o

desviación típica, y el coeficiente de variación, esto es, el cociente entre la desviación

típica del estimador y su esperanza matemática. En particular, la desviación típica del

estimador se llama error de muestreo o error estándar.

Sobre el ejemplo anterior fácilmente podemos comprobar que el promedio de las 20

estimaciones es 5,7 que coincide con la media poblacional. Esto no es casualidad, es

debido a que en el muestreo aleatorio de unidades elementales la media muestral es un

estimador insesgado de la media poblacional, es decir, la esperanza matemática del

estimador coincide con el verdadero valor que se quiere estimar: ( )E y Y= . En caso

contrario el estimador se dice sesgado y a la diferencia entre la esperanza matemática o

valor medio del estimador y el valor a estimar se le llama sesgo. En ocasiones puede ser

preferible la utilización de un estimador sesgado si ello implica una sensible reducción

del error de muestreo y el tamaño del sesgo es pequeño respecto al error estándar. En


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caso de estimadores sesgados es deseable la propiedad de consistencia que se cumple

cuando el sesgo tiende a cero al aumentar el tamaño de la muestra.

Calculemos a continuación la desviación típica del estimador en nuestro ejemplo.

Recordemos que dado un conjunto de valores x x xn1 2, , ," , la desviación típica se

define como la raiz cuadrada de la varianza, es decir

( )σ =

−∑ x x

n

i

n2

1

donde xx

ni= ∑ es el valor medio. En nuestro caso xi son las 20 estimaciones del

gráfico y x es su valor medio por lo que

( ) ( ) ( )σ =

− + − + + −=

2 7 5 7 3 7 5 7 8 7 5 720

152 2 2, , , , , ,

,"

Así pues, el error de muestreo en el ejemplo es 1,5 y nos da una medida de la

variabilidad de las estimaciones individuales alrededor de su media. La desviación típica

se expresa en la misma unidad de medida que la variable en estudio, por lo que,

dividiendo por la media se obtiene el coeficiente de variación, que es una medida

relativa de la variabilidad, sin unidad de medida. En nuestro caso el coeficiente de

variación de las estimaciones sería

CV = = →155 7

0 264 26 4,,

, , %

El coeficiente de variación del estimador se denomina error de muestreo relativo.

Veremos posteriormente que no es necesario tomar todas las posibles muestras para

calcular el error de muestreo, lo cuál en la práctica sería irrealizable.

II. POBLACIÓN, MARCO Y MUESTRA. UNIDADES DE

MUESTREO


7

Conviene distinguir entre unidad elemental y unidad de muestreo. La unidad elemental

o unidad de estudio es todo elemento o individuo miembro de la población objetivo. Las

variables objeto de estudio en una investigación por muestreo se miden sobre las

unidades elementales.

Las unidades de muestreo son aquellas que forman parte del proceso de selección de la

muestra. La unidad de muestreo puede coincidir con la unidad elemental, en cuyo caso

hablamos de muestreo de unidades elementales, o puede referirse a un conjunto de

unidades elementales, que se denominan conglomerados. Así, para seleccionar una

muestra de la población española para estudiar cualquier característica, por ejemplo la

talla, podemos seleccionar la muestra a partir de una lista de todos los individuos. Aquí

la unidad de muestreo es la persona física y coincide con la unidad elemental. Pero si no

disponemos de la lista de individuos sino sólo de una lista de viviendas, podemos

seleccionar una muestra de viviendas y recoger información de todos los individuos que

habitan en las viviendas seleccionadas. En este caso la unidad elemental sigue siendo el

individuo pero la unidad de muestreo es la vivienda, formada por un conjunto de

unidades elementales.

El concepto de población establecido anteriormente como conjunto total de unidades de

las que se desea información, se refiere a la población objetivo y constituye un modelo

ideal. En la práctica, la muestra se selecciona a partir de un material soporte,

denominado marco, que coincide en mayor o menor grado con la población objetivo. En

sentido estricto, el marco de muestreo se define como la lista de unidades de muestreo a

partir de la cual se selecciona la muestra. Es decir que el marco equivale a la población

que va a ser muestreada y por tanto el marco o “población marco” será tanto mejor

cuanto mas equivalga a la población objeto de estudio. Como idea intuitiva, un marco

sería aceptable cuando obteniendo a partir de él información exhaustiva (del 100% de

las unidades del marco), ésta cubriese aceptablemente los objetivos propuestos.

En sentido amplio, el marco de muestreo comprende no solo listas de unidades de

muestreo, sino que incluye todo el material e información previa que disponemos sobre

la población y su agrupación en unidades de muestreo, y que es útil para la

estratificación y formación de estimadores.


8

Dada la importancia del marco en una investigación por muestreo, hay que pretender

trabajar con marcos perfectos, es decir marcos en los que todas las unidades de la

población objetivo estén incluidas una sola vez y sólo incluya unidades de la población.

El muestreo de unidades elementales aunque tiene gran interés teórico, no es muy

utilizado en la práctica por dos graves inconvenientes:

a) Imposibilidad práctica en muchas ocasiones de obtener una lista de unidades

elementales en la cuál basar la selección de la muestra.

b) La selección de unidades elementales proporciona en general una muestra muy

esparcida de unidades a entrevistar con el consiguiente incremento de coste y tiempo.

Para evitar estos inconvenientes surge, de forma natural, el muestreo de conglomerados,

agrupando las unidades elementales próximas en un conglomerado que se constituye en

la nueva unidad de muestreo, más grande que la unidad elemental. Los conglomerados

deben estar perfectamente definidos, lo cuál significa que no haya solapamiento entre

ellos (una unidad elemental pertenece sólo a un conglomerado) y que el conjunto de

todos los conglomerados contiene a la población objeto de estudio.

La agrupación de unidades elementales en unidades de muestreo mas amplias tiene

ventajas e inconvenientes. Entre las ventajas podemos citar el ahorro de coste y tiempo,

y la mayor facilidad de preparar listas (sólo se necesitan para los conglomerados de la

muestra). De los inconvenientes hay que destacar la menor precisión derivada de una

mayor homogeneidad de las unidades elementales dentro de un conglomerado respecto a

la característica de estudio.

Si en el proceso de muestreo investigamos todas las unidades elementales contenidas en

los conglomerados seleccionados en la muestra, el muestreo se denomina en una etapa o

monoetápico. Ahora bien, para evitar el inconveniente apuntado (homogeneidad dentro

del conglomerado) podemos investigar no todas las unidades elementales del

conglomerado, sino seleccionar a su vez una muestra probabilística de las mismas.

Estaríamos así ante un muestreo en dos etapas: las unidades de primera etapa o


9

unidades primarias de muestreo serían los conglomerados y las unidades de segunda

etapa serían las unidades elementales.

Este proceso puede generalizarse llevándonos así al muestreo multietápico o

polietápico. Obsérvese que en muestreo por etapas se definen distintas unidades de

muestreo y que la “lista” de unidades de muestreo en una etapa dada, sólo es necesario

disponerla para las unidades seleccionadas en la etapa inmediatamente anterior. Se

constituye así una jerarquía entre las distintas unidades de muestreo de acuerdo a las

etapas del proceso.

Para precisar mejor las ideas anteriores, consideremos la selección de una muestra de

individuos de la población española. En un muestreo de unidades elementales

necesitamos disponer de una lista de todas las personas. Podemos optar por un muestreo

de conglomerados y tomar como unidad de 1ª etapa la sección censal, con lo cual solo

necesitamos la lista de secciones. Podemos tomar como unidad de 2ª etapa las

manzanas, para lo cual necesitamos una lista de manzanas de las secciones previamente

seleccionadas. Finalmente en una 3ª etapa podemos tomar como unidad de muestreo la

vivienda, necesitando una lista de viviendas de las manzanas seleccionadas en la 2ª

etapa.

III. MUESTREO PROBABILÍSTICO Y OTROS TIPOS DE

MUESTREO

Al estudiar una población la primera posibilidad es obtener la información necesaria de

todas y cada una de las unidades que forman la población. Estaríamos así ante un

estudio censal o censo. El censo se caracteriza por obtener información de toda la

población, mientras que en el muestreo se estudia una parte de la población.

En general hay tres principales ventajas en el muestreo respecto a la investigación total

de la población o censo:

1) Menor coste, derivado de obtener información solo de una parte de la población.

2) Mayor rapidez, por el mismo motivo anterior.


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3) Mayor calidad. Al reducirse el volumen de trabajo se puede emplear personal

especialista mejor preparado y entrenado. Igualmente los procesos de supervisión y

proceso de datos están mejor controlados, lo que redunda en una mejor calidad de

trabajo y una disminución de errores (no de muestreo) respecto al censo total.

Ya hemos indicado que el muestreo probabilístico se caracteriza porque cada unidad de

la población tiene una probabilidad no nula y conocida de ser seleccionada en la

muestra. El conocimiento de esta probabilidad permite calcular errores de muestreo, y

los sesgos de selección, no respuesta y estimación pueden ser virtualmente eliminados o

contenidos dentro de límites conocidos.

Un muestreo probabilístico se lleva a cabo con un plan estadístico de selección

totalmente rígido y fijado de antemano de acuerdo a esas probabilidades y donde ni los

entrevistadores ni otras personas que intervengan en el muestreo toman decisión alguna

sobre qué unidad elegir para la muestra. También hay que notar que los procedimientos

para formar estimadores están fijados de antemano como parte del diseño muestral y no

dependen de la muestra particular que se ha seleccionado.

En las muestras que denominamos intencionales o de juicio (judgment samples según

Deming), el procedimiento de selección no es probabilístico y, en consecuencia, los

errores de muestreo y posibles sesgos no pueden ser calculados, sino que son

determinados por el buen juicio y experiencia del investigador que diseña y calcula los

resultados muestrales.

En una muestra intencional las unidades muestrales se seleccionan de forma que a juicio

del diseñador las unidades sean “típicas” o “representativas” respecto a la información

que se desea obtener. Un ejemplo típico de muestreo intencional es el muestreo por

cuotas, donde se fija de antemano, de acuerdo a características poblacionales conocidas,

los porcentajes o cuotas de las unidades muestrales que deben reunir esas características.

El entrevistador deberá seleccionar las unidades de la muestra de forma que el conjunto

de unidades seleccionadas verifiquen las cuotas que se le han fijado.


11

En una muestra por cuotas los porcentajes muestrales de las características

poblacionales fijadas como cuotas pueden corresponder exactamente a las proporciones

poblacionales, lo que lleva a decir que la muestra es perfectamente representativa

transversalmente. Sin embargo, ello no evita el riesgo de sesgos en la representación de

las características que se van a medir en la muestra, no coincidentes con las establecidas

como cuotas. Únicamente una muestra probabilística evita estos riesgos.

Si la experiencia y el conocimiento de la población a muestrear es importante en un

muestreo intencional, no lo es menos en muestreo probabilístico. Este conocimiento de

la población, particularmente en aspectos relacionados con variables objeto de estudio

deben ser utilizados de la mejor manera posible en el diseño de muestras probabilísticas.

Por ejemplo, nos puede ayudar a definir el tamaño y el tipo de las unidades de muestreo

en distintas etapas, en la formación de estratos y en el uso de variables auxiliares

conocidas en la población que ayuden a mejorar las estimaciones, en el establecimiento

de las propias probabilidades de selección de las unidades muestrales, etc. No hay límite

a la cantidad de información que puede utilizarse en un proceso probabilístico de

muestreo. El único límite que existe es que la selección sea matemática, respetando las

probabilidades asignadas.

IV. LA HIPÓTESIS DE NORMALIDAD

Admitiremos que una población finita sigue una distribución normal si su distribución

de frecuencias se ajusta a las correspondientes frecuencias teóricas de la distribución

normal.

Si el estimador está formado por una combinación lineal de variables cuya población

base es normal, sabemos que el estimador tiene una distribución normal en el muestreo.

Si la población base no es normal, está demostrado que en condiciones muy generales,

un estimador lineal sigue una distribución convergente a la normal a medida que

aumenta el tamaño de la muestra. El error de muestreo, que indica en que forma las

estimaciones procedentes de muestras de igual tamaño y diseño se distribuyen alrededor

del verdadero valor poblacional (estimador insesgado), en el supuesto de que tuviéramos


12

miles de tales muestras, corresponde a la desviación típica de la distribución normal del

estimador.

Es importante recalcar que el error estándar no nos dice nada acerca del tamaño o

dirección de la diferencia entre nuestras estimaciones y el valor verdadero. Cuando

estamos ante una muestra en particular, no sabemos en que parte de la distribución de

frecuencias de las estimaciones nos encontramos (no sabemos si estamos cerca o lejos

del verdadero valor, que por otra parte no conocemos). Sin embargo las propiedades de

la distribución normal, nos permiten la construcción de intervalos de la forma

( )! , !ϑ ϑ− +E E dentro del cual y con un determinado nivel de confianza (probabilidad),

se encuentra el verdadero valor. E se calcula a partir del error estándar en la forma

( )E k e e= ⋅ . . . El multiplicador k del error estándar nos proporciona el nivel de confianza

que deseemos y se puede obtener a partir de unas tablas de la normal. Hay que indicar

que el e.e. está definido por el tamaño y el diseño de la encuesta. Conocido su valor, el

usuario de los datos de una encuesta puede manejarlos con el nivel de confianza que

desee. Algunos valores típicos de k y su confianza asociada son:

k nivel de confianza

0.6745 50%

1 68.26%

1.6 89.04%

2 95.44%

3 99.73%

!ϑϑ


13

En la práctica, es habitual encontrarse con poblaciones normales o muy simétricas en su

distribución de frecuencias, por lo que la hipótesis de normalidad de los estimadores es

razonable incluso para tamaños de muestra moderados. Pero también es muy frecuente

encontrarse con poblaciones muy asimétricas, con una gran concentración de

frecuencias en valores moderados de la variable y una marcada cola a la derecha

correspondiente a frecuencias bajas de valores muy altos de la variable. En estos casos

debe tenerse en cuenta que cuanto mayor sea la asimetría de la población, mayor es el

tamaño de la muestra requerido para admitir la distribución normal del estimador. Si el

tamaño de la muestra no es suficiente, la distribución del estimador muestra cierta

asimetría por la derecha, tanto mayor cuanto menor es el tamaño de la muestra:

Los tamaños muestrales que se utilizan en la práctica suelen ser lo suficientemente

grandes para admitir la hipótesis de normalidad sin mayores problemas. Además, la

práctica, muy frecuente en muestreo, de incluir con certeza en la muestra las unidades

muy grandes contribuye a facilitar la validez de la aproximación normal, ya que la

eliminación de las unidades extremas de la población a muestrear, además de reducir la

variabilidad de la muestra y aumentar la precisión de los estimadores, reduce la

asimetría y mejora la aproximación normal.

Como ejemplo de la aproximación normal a la distribución del estimador vamos a

considerar una población de N=2959 supermercados de 400 m2 y más de superficie de

venta que presentan la distribución por superficie que refleja el gráfico:

DISTRIBUCIÓN DE SUPERMERCADOS POR SUPERFICIE

DE VENTA (%)

!ϑ


14

Superficie

400-599

600-799

800-999

1000-1499

1500-2499

2500-4999

5000-9999

10000y m as

1,72,5

7,2

2,4

13,612,2

22,7

37,7

La superficie media poblacional es de Y = 1165 2m , con una desviación típica de

1793m2. De este Universo de supermercados se han seleccionado 100 muestras

aleatorias de tamaño n=100, calculándose la superficie media de cada muestra. El

siguiente gráfico muestra la distribución de medias muestrales obtenida:

DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES DE 100 MUESTRAS

ALEATORIAS (n=100)


15

5

11

28

33

4

19

3

12

27

32

19

7

< 900 1050-1200 1350-1500

superficie m edia estim ada

frec. obs.

frec. teor.

Junto a la distribución observada de medias muestrales aparece la distribución teórica

que se obtendría de acuerdo a la hipótesis de distribución normal del estimador. Puede

observarse como la distribución de medias muestrales está muy próxima a la

distribución normal teórica, a pesar del alto grado de asimetría de la distribución

original de superficies de venta.

V. PRINCIPALES FASES DEL DISEÑO DE UNA ENCUESTA

POR MUESTREO

1. Establecer los objetivos. Es clave establecer unos objetivos claros y precisos de la

encuesta. Esta fase puede incluir una revisión de la información existente en relación

con los objetivos perseguidos y un análisis de la utilidad final de la encuesta, con el fin

de revelar que la información a recoger sea realmente necesaria.

2. Definir la población a ser muestreada. Las definiciones deben ser claras de forma

que los inspectores de Campo no tengan dificultad para decidir si una unidad pertenece

o no a la población. La definición de la población incluye el marco de muestreo y la

división del mismo en unidades de muestreo.

3. Cuestionario. Se incluye aquí la lista de datos que deben ser recogidos, la forma de

medición y la estructura y organización de todo ello en un cuestionario. Establecer un


16

primer plan de tabulación puede ser de ayuda también en el diseño del cuestionario,

sobre todo para eliminar preguntas que no se van a utilizar. Debe tenerse presente que el

cuestionario puede ser fuente de errores y sesgos y causa de falta de cooperación de los

entrevistados. Un cuestionario demasiado largo puede bajar la calidad de las respuestas,

tanto a las preguntas importantes como a las de poca importancia.

Entre los aspectos a tener en cuenta al preparar el cuestionario citaremos:

-Forma de presentar las preguntas.

-Redacción correcta de las mismas.

-Orden de las preguntas.

-Evitar preguntas tendenciosas.

4. Nivel de precisión - coste y selección de la muestra. Será útil disponer de diseños

muestrales alternativos que muestren los costes aproximados para distintos grados de

precisión, que ayuden a tomar la decisión sobre el grado de precisión y tamaños

muestrales. Debe tenerse presente que el coste de una encuesta por muestreo está muy

relacionado con el tamaño de muestra.

5. Elaboración de instrucciones de campo y planes de supervisión. Deben ser claras e

inteligibles por la gente que va a trabajar. Los objetivos de la encuesta ayudarán a

entender mejor las instrucciones. Debe incluirse el calendario de realización de la

encuesta y planes de envío a la central.

6. Encuesta piloto o prueba. Sirve para testar sobre el terreno el cuestionario y los

métodos de campo a pequeña escala. Puede resultar en mejoras del cuestionario y

soluciones de otros problemas, que descubiertos a mayor escala, podrían incluso

invalidar la encuesta.

7. Preparación de planes de inspección de resultados, análisis de datos y tabulación.

Inspección de datos, depuración de errores. Primeros resultados para datos importantes

basados en una submuestra. Planes para manejar la no respuesta. Los métodos de

control de calidad utilizados en la industria pueden aplicarse en la encuesta para

determinar la calidad del trabajo de campo y de otras operaciones realizadas en la

oficina.


17

8. Interpretación y publicación de resultados finales. Es una buena práctica la de

informar de los errores de muestreo esperados para las estimaciones mas importantes.

VI. MUESTREO DE UNIDADES ELEMENTALES CON

PROBABILIDADES IGUALES

También llamado muestreo aleatorio simple, corresponde al caso de seleccionar las

unidades elementales o de estudio con igual probabilidad. La probabilidad de que la

unidad ui esté en la muestra es n/N y el número de muestras posibles corresponde a las

combinaciones de N elementos tomados de n en n, siendo todas las muestras

equiprobables. Antes de entrar en el estudio de estimadores y errores de muestreo vamos

a recordar el concepto de varianza, ya apuntado anterormente.

Sea una población { }P u u uN= 1 2, ,..., y sean { }Y Y YN1 2, ,..., los valores de la variable en

estudio. La media y el total poblacional vienen dados por :

YY

N

i

N

=∑

1 Y Yi

N

= ∑1

El promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada valor individual a la media es

la varianza:

( )σ2

2

1=−∑ Y Y

N

i

N

Su raiz cuadrada, ( )

σ =−∑ Y Y

N

i

N 2

1 , se denomina desviación típica o estándar y es

una medida de la dispersión o variabilidad de los valores individuales alrededor de su

media: cuanto mayor es la desviación típica mayor variabilidad, es decir, menos

concentrados estan los valores alrededor de la media. En cualquier distribución, al

menos el 75% de los valores, se encuentran comprendidos entre la media y ± dos veces

la desviación típica.


18

Tanto la media como la desviación estándar se expresan en la misma unidad de medida

que la variable en estudio, es decir, si estamos considerando ventas de empresas,

tendremos una venta media por empresa expresada en pesetas y su correspondiente

desviación típica expresada también en pesetas. En la práctica es frecuente utilizar como

medida de dispersión el coeficiente de variación, que es el cociente entre la desviación

típica y la media: C VY

. = σ , y en el cuál la unidad de medida de la variable desaparece

al dividir por la media: el CV es la desviación estandar en términos relativos (expresable

en % sin mas que multiplicar por 100) y es comparable para distintas variables y

poblaciones.

Con frecuencia estaremos interesados en conocer el número de unidades que cumplen

una condición o poseen una característica (% de votantes de un determinado partido, %

de personas que han visto un cierto programa de televisión, etc). En este caso la variable

Yi toma el valor 1 si la unidad posee la característica y el valor 0 si no la posee. Se dice

que estamos estudiando una variable cualitativa o de atributos.Llamaremos C al número

total de elementos de la población que poseen el atributo o característica en estudio. C

se denomina total de clase y P CN

= es la proporción de clase, expresable en %. En este

caso tenemos:

Yu Cu Ci

i

i

=∈∉

10

sisi

por lo que

C Yi

N

= ∑1

P YY

NCN

i

N

= = =∑

1

corresponden al total y la media de una variable cualitativa. Hay que indicar que todas

las fórmulas que se obtienen para varibles cuantitativas Yi son igualmente válidas para

variables cualitativas o dicotómicas.De ahí que no siempre se obtengan las fórmulas en

el caso dicotómico. Como ejemplo, para la varianza tenemos


19

( ) ( ) ( )σ2

2

1

2

12 22

=−

=−

=− +

=∑ ∑ ∑Y Y

N

Y P

N

Y PY P

N

i

N

i

N

i i

( )=− +

= − + = − = − =∑∑Y P Y NPN

P P P P P P P PQi i2 2

2 2 222 1

dónde se ha tenido en cuenta que

YN

YN

Pi i2∑ ∑= =

VI.A. Estimadores y varianzas

Designaremos por y Yi

n= ∑

1 el total muestral correspondiente a una muestra de tamaño

n. La media muestral

y yn

Y

n

i

n

= =∑1

es el estimador insesgado de la media poblacional Y , mientras que para el total

poblacional Y, el estimador insesgado es

!Y N y Nn

Y Nn

yi

n= ⋅ = =∑

1

De la misma forma la proporción muestral pY

n

i

n

=∑1 y !C N p= ⋅ son los estimadores

insesgados de la proporción poblacional P y del total de clase C respectivamente.

La relación f nN

= se llama fracción de muestreo y expresa la relación que existe entre

el tamaño de la muestra y el de la población. Su inverso Nn

se llama factor de

expansión, factor por el que se multiplica cada valor muestral para obtener la estimación

del total.


20

La varianza de la media muestral es

( ) ( )V y N nN n

N nN

Sn

f Sn

= −−

= − = −1

12 2 2σ

dónde

( )S N

N

Y Y

N

i

N

2 2

2

1

1 1=

−=

−

−

∑σ

es la cuasivarianza poblacional. A partir de aquí se obtiene

( ) ( )V Y N V y! = 2

( )V p N nN

PQn

= −−1

( ) ( )V C N V p! = 2

La raiz cuadrada de las varianzas de los estimadores son su desviación típica o error de

muestreo. Puede comprobarse cómo en la población del ejemplo del epígrafe I, resulta

S2 = 13,47 y el error estándar es ( )1 0 5 13 473

1 5− =, , , , coincidente con el allí calculado

a partir de todas las muestras posibles.

El problema práctico con las fórmulas anteriores es que en las mismas intervienen los

parámetros poblacionales σ2 o S2, en general desconocidos, por lo que necesitan ser

estimados. Como estimador insesgado de S2 se toma la cuasivarianza muestral

( )s

Y y

n

i

n

2 1

1=

−

−

∑

que, para el caso de proporciones, resulta en

s nn

pq2

1=

−

En consecuencia los estimadores insesgados de las varianzas de los estimadores son

( ) ( )!V y f sn

= −12

( ) ( )! ! !V Y N V y= 2


21

( ) ( )!V p f pqn

= −−

11 ( ) ( )! ! !V C N V p= 2

En la práctica, si exceptuamos el caso de proporciones, suele trabajarse con errores de

muestreo relativos, que se obtienen al dividir los valores absolutos por el valor de los

estimadores. También en la práctica la fracción de muestreo n/N suele ser próxima a

cero y se prescinde del factor (1-f), llamado factor de corrección por población finita.

Con ello el error estándar en términos relativos resulta

ee Knr =

dónde K sy

= es el coeficiente de variación estimado a partir de los datos muestrales.

Para calcular el tamaño de muestra necesario para obtener un determinado error estándar

no hay mas que despejar n, obteniéndose

n Keer

0

2

2=

En el caso de que la fracción de muestreo no sea próxima a cero, se tiene

ee f Knr = −1 ( )n

nn N

=+

0

01

En el caso de proporciones si se sustituye K por pq se obtiene una aproximación al

error estándar en términos absolutos. Si no se tiene ninguna idea aproximada del valor

de P, puede utilizarse p=q=0,50 ya que en éste caso pq es máximo y estamos ante el

caso mas desfavorable. Al trabajar con errores absolutos en proporciones debe tenerse

presente que, por ejemplo, 1 punto de error para P=50% es un 2% de error relativo y se

convierte en un 10% de error si P=10%.

Conviene notar que el error estándar es inversamente proporcional a la raiz cuadrada del

tamaño de muestra. Esto significa, por ejemplo, que para reducir el error estándar a la

mitad es necesario tomar un tamaño de muestra cuatro veces superior. El siguiente


22

gráfico relaciona el coeficiente de variación de la población, el error estándar y el

tamaño de muestra:

Tamaño de muestra según CV y error estándar

2025

1600

1225

900

625

400

225100

1111

900

711

544

400278

178

625506

400306

225

0

500

1000

1500

2000

2500

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2COEFICIENTE DE VARIACION

TAM

AÑ

O D

E M

UES

TRA

2%3%4%

err. est

Ya se ha mencionado la influencia del error estándar en el tamaño de muestra. El gráfico

revela también la influencia del coeficiente de variación de la población en el tamaño de

muestra: cuanto más homogénea sea la población tanto menor será el tamaño de muestra

requerido. De ahí la importancia que tiene el conocimiento de la población a muestrear

para tratar de reducir la variabilidad original de la misma. Existen dos principales

técnicas de muestreo con éste objetivo: el muestreo estratificado y la técnica del

estimador de razón.

VII. MUESTREO ESTRATIFICADO

VII.A. Definición y objetivos

El muestreo estratificado consiste en :

1º) Dividir la población de N unidades en un cierto número de subpoblaciones llamadas

estratos, de forma que las unidades que componen cada estrato sean lo más homogéneas


23

posibles en cuanto a la variable objeto de estudio. Cada unidad de la población ha de

pertenecer a uno y sólo uno de los estratos formados. El número de unidades que

pertenecen a un estrato dado es el tamaño del estrato.

L = número de estratos

Nh = tamaño del estrato h. N Nhh

L

∑ =

W NNh

h= = tamaño relativo del estrato h (peso del estrato h)

2º) Seleccionar una muestra probabilística en cada estrato. La muestra de cada estrato es

independiente de la muestra de cualquier otro estrato. Si la muestra en cada estrato es

una muestra aleatoria simple (probabilidades iguales) tenemos el muestreo aleatorio

estratificado que es el que vamos a estudiar (sin reemplazamiento).

nh = tamaño de la muestra en el estrato h

n = tamaño de la muestra total: n nhh

L

= ∑

f nNh

h

h

= = fracción de muestreo en el estrato h

f nN

= = fracción de muestreo global o total

Los principales objetivos del muestreo estratificado son:

a) Ganancia en precisión respecto al muestreo no estratificado. Es el objetivo

fundamental y en poblaciones muy asimétricas pueden conseguirse excelentes

resultados. Para precisar mas la idea vamos a considerar la población de supermercados

de 400 m2 y más de superficie de venta citada anteriormente. Tomaremos como variable

de estudio el personal empleado. Los datos del Universo son:

Número de establecimientos: N = 2959

Personal medio por establecimiento: Y = 29 8,

Coeficiente de variación poblacional: CV= 2,16


24

Vamos a dividir el Universo en tres estratos tomando como variable de estratificación la

superficie de venta, que, intuitivamente, debe estar correlacionada con el personal. Los

resultados que se obtienen son:

estrato1

>= 2500m2

estrato2

1000-2500 m2

estrato3

400-1000 m2

Núm. establ (Nh) 195 615 2149

media person. ( )Yh216.3 30.8 12.6

coefic. de variac. 0.70 0.68 0.72

Fijémonos como el coeficiente de variación del personal, que en la población global es

de 2,16, se reduce a la tercera parte, alrededor de 0,70 en cada estrato. Si recordamos la

fórmula del error estándar resulta intuitivo que éste experimentará sensibles reducciones

al tomar muestras independientes en cada estrato.

Ésta es la clave de la estratificación: formar estratos que reduzcan la variabilidad de la

población original. Cuanto más reduzcamos la variabilidad dentro de cada estrato

respecto a la variabilidad total de la población, mayor será la ganancia en precisión ( o al

revés, menor muestra necesitaremos para una precisión prefijada).

b) Posibilidad de obtener estimadores separados para cada estrato o agrupación de

estratos, lo que proporciona una información mas rica y detallada.

c) Más eficacia en la organización administrativa, al poder considerar como variables de

estratificación provincias o regiones geográficas, que permiten una mayor

descentralización de la organización de Campo y de tareas administrativas.

d) Los problemas de muestreo pueden diferir marcadamente en diferentes partes de la

población. Al ser el proceso de muestreo independiente en cada estrato, pueden

aplicarse métodos diferentes de muestreo por estrato de acuerdo a la información de que

se disponga.

Respecto a las variables o criterios de estratificación, su número y el número de estratos,

dependen de los objetivos concretos de cada caso, de la información disponible y de la


25

estructura de la población; las variables utilizadas en la estratificación, deberán estar

correlacionadas con las variables objeto de investigación, aunque tambien pueden

incluirse criterios “administrativos” (regiones geográficas).

En general, un número moderado de variables de estratificación y de estratos es

suficiente para obtener ganacias de precisión; ésta es, en general, decreciente al

aumentar el número de estratos.

Puesto que en cada estrato vamos a seleccionar una muestra aleatoria simple de

unidades, recordemos que la media muestral y es estimador insesgado de la media

poblacional, con varianza, ( )V y f Sn

( ) = −12

, estimada por ( ) ( )!V y f sn

= −12

y

varianza relativa estimada = ( ) ( )!V x fknry= −1

2

.

VII.B. Estimadores insesgados y varianzas

La formación de estimadores se basa en la selección independiente de muestras

aleatorias en cada estrato. Ello lleva a elegir el correspondiente estimador insesgado en

cada estrato y, posteriormente, mediante combinaciones lineales adecuadas de los

estimadores insesgados de cada estrato, obtener el estimador insesgado global de toda la

población. Para el cálculo de varianzas de los estimadores no hay mas que tener en

cuenta la regla de aditividad de varianzas de combinaciones lineales de variables

aleatorias (en este caso estimadores) independientes.

Sean:

Yhi = valor de la variable de estudio en la unidad i del estrato h

YY

NYNh

hii

N

h

h

h

h

= = =∑

media poblacional del estrato h

Y N Yh h h= = total poblacinal del estrato h

Y Yhh

L

= =∑ total poblacional


26

YY

NN Y

NW Y

hh

L

h h

h

L

h hh

L

= = = =∑

∑ ∑ media poblacional

( )S

Y Y

Nh

hi hi

N

h

h

2

2

1=

−

−=

∑ cuasivarianza poblacional del estrato h

Los estimadores y sus varianzas son ya inmediatos de obtener:

Media:

!Y W yst h h= ∑ ( ) ( )E Y W E y W Y Yst h hh

L

h hh

L! = = =∑ ∑

( ) ( ) ( )V Y W V y W f Snst h h

h

L

h hh

hh

L! = = −∑ ∑2 2

2

1

( ) ( ) ( )! ! !V Y W V y W f snst h h

h

L

h hh

hh

L

= = −∑ ∑2 22

1

dónde ( )

sY y

nh

hi hi

n

h

h

2

2

1=

−

−

∑ es la cuasivarianza muestral del estrato h.

Total:

! ! !Y NY N W y N y Yst st h hh

L

h hh

L

hh

L

= = = =∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )V Y N V Y N V y V Yst st h hh

L

hh

L! ! != = =∑ ∑2 2

( ) ( ) ( )! ! ! !V Y N V Y N f snst st h hh

hh

L

= = −∑2 22

1

Proporción:

En este caso estamos ante una variable cualitativa que sólo toma los valores, Yhi = 1 si la

unidad uhi posee la característica en estudio, y Yhi = 0 si no la posee. Tenemos:

!P W pst h hh

L

= ∑


27

( ) ( )V P W V p W N nN

P Qnst h h

h

L

hh h

h

h h

hh

L! = =

−−∑ ∑2 2

1

( ) ( ) ( )! ! !V P W V p W N nN

p qn

W f p qnst h h

h

L

hh h

h

h h

hh

L

h hh h

hh

L

= =−

−= −

−∑ ∑ ∑2 2 2

11

1

Total de clase:

! !C NPst st= ( ) ( )V C N V Pst st! != 2 ( ) ( )! ! ! !V C N V Pst st= 2

Debe observarse que el cálculo de estimadores de la varianza, requiere al menos dos

unidades en la muestra por cada estrato.

VII.C. Afijación

Se denomina afijación al método de distribuir las n unidades de la muestra total entre los

diferentes estratos. Supondremos que el tamaño de muestra total, n, está dado. En

principio, el tamaño de muestra en cada estrato puede fijarlo el diseñador a su buen

juicio y criterio. Esta forma de distribución de la muestra entre estratos puede

denominarse afijación subjetiva. Sin embargo, en la práctica es habitual utilizar algún

criterio formulable para hacer la afijación. Los tipos de afijación más comunes son:

1. Afijacion proporcional. Consiste en repartir la muestra proporcionalmente a los

tamaños de los estratos:

n n NNh

h= , h = 1,2, ...., L ; nN

nN

h

h

= ; fh = f

Las fracciones de muestreo resultan idénticas en todos los estratos y cada unidad de la

población tiene la misma probabilidad de pertenecer a la muestra, originando una

muestra autoponderada en la que los factores de expansión por estrato para la


28

estimación de totales son todos iguales. Ello se traduce en una notable simplificación en

el cálculo de estimaciones y sus varianzas.

2. Afijación óptima. Introducimos una función de coste de la forma C c c nh hh

L

= +∑0 ,

dónde c0 representa un costo general, mientras que ch correspondería a un coste por

unidad de muestreo en el estrato h. La afijación óptima proporciona la mínima varianza

del estimador para un coste prefijado. La fórmula que se obtiene es

n nN S c

N S chh h h

h h hh

=∑

y utilizando los coeficientes de variación por estrato K SX

S K Xhh

hh h h= → = , se

obtiene

n nY K c

Y K chh h h

h h hh

=∑

Resulta, pues, que la muestra en cada estrato es proporcional a la variabilidad del estrato

(Sh) e inversamente proporcional a la raiz cuadrada del coste por unidad.

Si no se consideran costes o ch es igual por estrato se obtiene

n n N SN S

n Y KY Kh

h h

h hh

h h

h hh

= =∑ ∑

Si además Sh es igual por estrato se obtiene la afijación proporcional, mientras que si Kh

es igual por estrato se obtiene una afijación proporcional a la importancia que tiene en

cada estrato la variable en estudio.

Obsérvese que en las fórmulas anteriores pueden utilizarse los valores absolutos de Nh,

Yh o los relativos NN

h , YY

h (no habría mas que dividir numerador y denominador por N

y Y respectivamente). Los valores relativos pueden utilizarse también en forma de

porcentaje. Los valores de Sh o Yh deberán ser, en la práctica, estimados a partir de la


29

información disponible. Alguna de las variables de estratificación, correlacionada con la

de estudio puede ser de utilidad.

La eficiencia de la estratificación nos indica en qué medida la varianza del estimador se

reduce con la estratificación respecto al muestreo aleatorio simple. Ya hemos visto que

la afijación óptima coincide con la proporcional si Sh es igual por estrato; dado que la

afijación óptima produce la mínima varianza del estimador se deduce que ésta será tanto

mejor respecto a la afijación proporcional cuanto más difieran las Sh entre estratos. Al

comparar la afijación proporcional con el muestreo aleatorio simple se llega a la

conclusión de que la estratificación es tanto más eficiente cuanto mas difieran entre si

las medias por estrato Yh .

VII.D. Ejemplo

Sigamos con la población de supermercados de 400 m2 y más de superficie de venta,

con los estratos señalados anteriormente según la superficie de venta. Nuestra variable

de estudio será el personal. El siguiente cuadro resume los valores poblacionales:

TOTAL Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3UNIVERSO >=2500m2 1000-2500 400-1000

Nh 2.959 195 615 2.149Yh 29,8 216,3 30,8 12,6

Y 88.174 42.173 18.959 27.042Sh 64,4 150,9 20,9 9,1Kh 2,16 0,7 0,68 0,72ch 4 2 1

Para una muestra de tamaño 100 las dos afijaciones consideradas proporcionarían la

siguiente distribución muestral:

Afijación Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3

Proporcional 6 21 73

Óptima 34 21 45


30

Con los datos anteriores estamos ya en situación de calcular el error estándar del

estimador de la media. Los resultados se resumen a continuación (se prescinde del factor

1-f):

Tipo de muestreo Tamaño de

muestra

Varianza del

estimador

error de

muestreo

error relativo

de muestreo

muestra aleatoria 100 41,47 6,4 21,6%

m. estr. proporcional 100 17,98 4,2 14,2%

m. estr. óptima 100 4,78 2,2 7,3%

Vemos que el muestreo estratificado con afijación óptima produce una sensible

disminución del error de muestreo, a la tercera parte, respecto al muestreo aleatorio

simple, y también respecto a la afijación proporcional debido a los diferentes valores de

Sh, según se apuntó anteriormente. En forma gráfica se tiene:

COMPARACIÓN DE ERRORES ESTÁNDAR (n = 100)

21,6%

14,2%

7,3%

mtra aleat m. estr. prop. m. estr. ópt.

Otra forma de ver los resultados anteriores es comparar los tamaños de muestra que para

los distintos diseños muestrales proporciona el mismo nivel de error estándar, según

muestra el gráfico siguiente:


31

TAMAÑOS DE MUESTRA PARA IGUAL ERROR ESTÁNDAR

876

350

100

mtra aleat m. estr. prop. m. estr. ópt.

Resulta notable el incremento de muestra necesario, casi 9 veces, para tener el mismo

nivel de error estándar con una muestra aleatoria, que con una muestra estratificada con

afijación óptima. Los dos gráficos anteriores ilustran el grado de eficiencia que se puede

conseguir con la estratificación respecto al muestreo aleatorio y, a su vez, con la

afijación óptima respecto a la proporcional, cuando estamos ante poblaciones muy

asimétricas como es la del ejemplo.

En el ejemplo se ha considerado en los tres casos un tamaño de muestra n=100, lo que

proporciona una fracción de muestreo global de 100/2959 = 3,4%. Esta es también la

fracción de muestreo en cada estrato con afijación proporcional. Sin embargo con la

afijación óptima la fracción de muestreo difiere de estrato a estrato: la muestra tiende a

concentrarse más en los estratos con mayor Sh. La fracción de muestreo es de 34/195 =

17,4% en el estrato1, de 21/615 = 3,4% en el estrato 2 y de 45/2149 = 2,1% en el estrato

3. Suponiendo que la media muestral en cada estrato es similar a la media poblacional el

total de personas empleadas en los establecimientos de la muestra sería de

34 216 3 21 30 8 45 12 6 8568⋅ + ⋅ + ⋅ =, , ,

que sobre los 88174 empleados en todo el Universo supone un 9,7%. Este es el concepto

de fracción muestral ponderada: qué parte del total de la variable en estudio se mide en


32

las unidades muestrales. Tanto en muestreo aleatorio como en muestreo estratificado

con afijación proporcional la fracción muestral ponderada es similar o igual a la fracción

de número. Pero con la afijación óptima, con un 3,4% de muestra se está “observando”

el 9,7% de la variable en estudio, siendo ésta última, con frecuencia, un mejor indicador

del tamaño de muestra que el simple número n.

Hay que destacar también que siendo el factor de expansión el inverso de la fracción de

muestreo, la afijación óptima origina factores de expansión diferentes por estrato, tanto

menores cuanto mayor es la varianza del estrato: obsérvese que el factor de expansión

más pequeño corresponde a las unidades muestrales más grandes.

VIII. ESTIMADOR DE RAZON

El estimador de razón trata de mejorar la precisión de un estimador utilizando la

información que se posee, para la población investigada, de una variable auxiliar que se

supone correlacionada con la variable de estudio. Sea Yi la variable de estudio y sea Xi

la variable auxiliar conocida para el Universo o población en estudio.

Supongamos que se desea estimar la producción de trigo mediante una muestra aleatoria

de explotaciones agrarias, y poseemos información sobre la superficie cultivada:

explotación prod. trigo (Yi) superf. cultivada (Xi)

1 Y1 X1

2 Y2 X2

...... ....... ......

n Yn Xn

total muestral y x

El estimador insesgado lineal de la producción de trigo es

!Y Nn

Y Nn

yi

n

= =∑1


33

Puesto que poseemos información de la superficie cultivada Xi y conocemos su total

poblacional X, podemos, además, estimarlo con los datos de la muestra

!X Nn

X Nn

xi

n

= =∑1

El cociente XX!

constituye una cierta medida de la representatividad de la muestra: si

XX!

> 1 , indicaría que en la muestra hay una mayor representación de explotaciones

pequeñas, mientras que si XX!

< 1 , tendríamos una mayor representación de

explotaciones grandes. Habiendo correlación entre ambas variables parece lógico

utilizar la desviación XX!

, cometida en la estimación de la variable conocida para

corregir la estimación de Y. Esto nos lleva al estimador

! !!

!

!!Y Y X

XYX

X RXR = = =

!!

!R Y

Xyx

= = , se llama estimador de razón, !YR es el estimador del total por el método

de razón. !YR lo podemos escribir como

!Y Nn

y XNn

x

Xx

YR i

n

= = ∑1

es decir, el estimador del total por razón equivale a la expansión de los datos muestrales

mediante el factor X x , relación entre el valor poblacional y el valor muestral de la

variable auxiliar Xi , en lugar de utilizar la expansión N/n de número o expansión

simple. Al factor X x le llamamos factor-X.

La media Y se estima por !!

! !Y YN

R XN

RXRR= = = .

La razón R YX

YX

= = se llama razón poblacional, y su estimador !R es sesgado, es

decir, la esperanza matemática de !R o media sobre todas las posibles muestras no

coincide con R. Una acotación para el sesgo ( )B E R R= −! viene dada por


34

BX

C Knx

xx

x

σσ

≤ = ≈

que expresa que la razón del sesgo al error estandar de x es menor o igual al coeficiente

de variación Cx o error de muestreo relativo de la media muestral x . En la práctica si

Cx es menor de 0,20 el sesgo puede ignorarse. También se observa que la razón del

sesgo al error de muestreo es del orden de magnitud de 1 n y, por tanto, disminuye

con el tamaño de muestra. En el caso particular de que la línea de regresión poblacional

de y respecto a x sea una recta que pasa por el origen, el estimador de razón !R es

insesgado.

La varianza del estimador de razón es

( ) ( )V R fnX

S R S RSy x yx! = − + −

1 222 2 2

con

( )( )S

Y Y X X

Nyx

i i

N

=− −

−

∑1

1

y se estima sustituyendo los valores poblacionales por los muestrales:

( ) ( )! ! ! !V R fnX

s R s Rsy x yx= − + −1 22

2 2 2

Para el total ! !Y RXR = y la media ! !Y RXR = , la varianza es

( ) ( )! ! ! !V Y X V RR = 2 ( ) ( )! ! ! !V Y X V RR = 2

Al comparar ( )V YR! con la varianza del total en muestreo aleatorio simple,

( ) ( )V YN f

nSas y

! =−2

21

resulta que ( ) ( )V Y V YR as! !< si se verifica

ρ >12

CC

x

y

dónde ( )( )( )ρ =

− −

−=

∑ Y Y X X

N S SS

S S

i i

N

y x

yx

y x

1

1 es el coeficiente de correlación entre Yi y Xi.


35

Se deduce entonces, que el estimador de razón puede ser más o menos preciso que el de

simple expansión dependiendo del tamaño del coeficiente de correlación entre Yi, Xi y

de la relación de sus coeficientes de variación. Si Cx > 2Cy el estimador de razón es

siempre menos preciso ya que ρ no puede ser superior a 1. Cuando Xi es el valor de Yi

en alguna ocasión previa, Cx y Cy pueden ser aproximadamente iguales y el estimador de

razón es superior si ρ > 0 5, . Siendo Xi el valor de Yi en alguna ocasión anterior, es

frcuente que R ≈ 1 y S Sx y≈ , con lo cuál tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V YN f

nS S S

N fn

S VR y y y y as! =

−+ − =

−⋅ − = ⋅ −

22 2 2

221

21

2 1 2 1ρ ρ ρ

( )2 1− ρ indica la ganacia en precisión respecto al estimador de simple expansión. Así,

si ρ = 0 8, , ( )V Y VR as= ⋅0 4, , ( )V Y VR as= ⋅0 63, . Vemos que con correlaciones altas

se obtienen reducciones importantes en el error de muestreo.

En el muestreo estratificado la variabilidad de la población se reduce por la formación

de estratos relativamente homogéneos. Con el estimador de razón la variabilidad se

reduce por medio de la correlación existente entre la variable de estudio y, y la variable

auxiliar x. Resulta entonces, que la utilización de muestreo estratificado junto con

estimador de razón puede producir importantes aumentos en la precisión de los

estimadores.

IX. MUESTREO DE CONGLOMERADOS SIN SUBMUESTREO.

El muestreo de unidades elementales tiene dos principales inconvenientes de tipo

práctico:

a) Imposibilidad en muchas ocasiones de obtener una lista de unidades elementales en la

cuál basar la selección de la muestra.

b) La selección de unidades elementales proporciona, en general, una muestra muy

esparcida de unidades a entrevistar con el consiguiente incremento de coste y tiempo.

Para evitar estos inconvenientes surge de forma natural la idea de agrupar unidades

elementales próximas entre si en una unidad mayor que se denomina conglomerado,


36

constituyéndose el conjunto de conglomerados en las nuevas unidades de muestreo. Los

conglomerados deben estar perfectamente definidos, lo cuál significa que no haya

solapamiento entre ellos -una unidad elemental pertenece sólo a un conglomerado- y

que el conjunto de todos los conglomerados contiene a la población objeto de estudio.

Así pues, en el muestreo de conglomerados se selecciona una muestra de

conglomerados. Si posteriormente, investigamos todas las unidades elementales

contenidas en los conglomerados seleccionados en la muestra, el muestreo se dice de

conglomerados sin submuestreo o muestreo en una etapa, que es el que vamos a estudiar

aquí.

Se denomina tamaño del conglomerado al número de unidades elementales que

contiene. Supondremos que todos los conglomerados son de igual tamaño M .

Supondremos también que la selección de la muestra se hace con probabilidades iguales

y sin reemplazamiento (muestreo aleatorio simple):

N = número de conglomerados en la población.

M NM0 = = número total de unidades elementales en la población.

n = número de conglomerados en la muestra.

nM = número de unidades elementales en la muestra.

Para la variable en estudio tenemos:

Yij = valor de y en la unidad j del conglomerado i.

Y Yi ijj

M

= =∑ total del conglomerado i.

Y Y Yii

N

ijj

M

i

N

= = =∑ ∑∑ total general.

Y YMi

i= = media por elemento del conglomerado i.

YY

N

ii

N

= =∑

total medio de conglomerados, es decir, media de los totales de

conglomerados (media entre conglomerados).


37

YY

NM

Y

NMYM

Y

N

ijj

M

i

N

ii

N

ii

N

= = = = =∑∑ ∑ ∑

media general por elemento.

La media muestral por elemento puede expresarse por :

y ynM

Y

nM

Y

nM

ijj

M

i

n

ii

n

= = =∑∑ ∑

y es un estimador insesgado de la media poblacional por elemento Y con varianza

dada por

( )V y fnM

Sb= −1 2

dónde

( ) ( )S

Y Y

N

M Y Y

Nb

ij

M

i

N

ii

N

2

2 2

1 1=

−

−=

−

−

∑∑ ∑

es decir, la varianza de la media muestral por elemento proviene en su totalidad de la

varianza de las medias por elemento entre los conglomerados, lo cuál es lógico ya que

dentro de cada conglomerado de la muestra no hay submuestreo: todas las unidades

elementales del conglomerado seleccionado forman parte de la muestra. Si hubiera

submuestreo, habría que añadir un componente de variabilidad debido al submuestreo

dentro de cada conglomerado.

Si consideramos una muestra aleatoria simple de nM elementos, la varianza de la

media muestral sería:

( )( )

( )V y NM nMNM nM

Y Y

NMf

nMS V yas

ijj

M

i

N

= −−

−= − ≠

∑∑11

1

2

2

La relación entre ambas puede aproximarse por

( ) ( ) ( )[ ]V y V y Mas≈ + −1 1 δ (1)

dónde


38

( )( )( ) ( )

( )( )( )( )δ =

− −

− −=

− −

− −≠ ≠∑∑

∑∑

∑∑Y Y Y Y

M Y Y

Y Y Y Y

M NM S

ij ikj k

M

i

N

ijj

M

i

N

ij ikj k

M

i

N

1 1 12 2

define la correlación existente entre todos los posibles pares de unidades distintas dentro

de cada conglomerado. δ se denomina coficiente de correlación intraconglomerados y

constituye una medida de la homogeneidad existente entre las unidades elementales

dentro de cada conglomerado.

A la razón ( ) ( )V y V yas entre la varianza del estimador en un diseño particular y la

varianza del estimador en una muestra aleatoria simple, con el mismo tamaño muestral

en unidades elementales, se denomina efecto de diseño. En el caso de muestreo por

conglomerados, el efecto de diseño es ( )1 1+ −M δ , y corresponde al factor por el que

hay que multiplicar la varianza del estimador por usar conglomerados en lugar de una

muestra aleatoria simple de unidades elementales.

Así pues, siempre que δ > 0 , que es lo más habitual, el muestreo por conglomerados

tiene menos prcisión que el muestreo aleatorio simple para el mismo tamaño de muestra

en unidades elmentales. Si δ < 0 , el muestreo por conglomerados es mas eficiente y si

δ = 0 , ambos son equivalentes. En el caso de M = 1, el muestreo por conglomerados

coincide con el muestreo aleatorio simple.

De (1) se obtiene una expresión aproximada para el coeficiente de correlación

intraconglomerados:

( )δ ≈−

−S SM S

b2 2

21

Según el valor de Sb2 en relación a S2 el, el coeficiente de correlación

intraconglomerados podrá tomar valores positivos o negativos. Vamos a distinguir los

siguientes casos:


39

a) Sb2 = 0 . Entonces δ = −

−1

1M , su valor mínimo, y ( )V y = 0 . Estamos ante el caso

ideal para la utilización de muestreo por conglomerados. Todas las Yi son iguales a Y

y por tanto, un solo conglomerado en la muestra suministra toda la información. En

otras palabras, toda la variabilidad procede de dentro de los conglomerados y todos los

conglomerados son iguales entre si. Aún cuando δ no alcance su valor mínimo, siempre

que δ < 0 , que no es usual en la práctica, resultará ventajoso utilizar muestreo por

conglomerados.

b) Sb2 = S2 . Entonces δ = 0 y V Vc as= . La variación entre conglomerados es igual a la

variación entre unidades elementales en la población. Yi varía de conglomerado a

conglomerado como podría esperarse si los conglomerados hubiesen sido formados

agrupando aleatoriamente las unidades elementales. Sb2 = S2 . Con δ = 0 da igual

utilizar muestreo de conglomerados o de unidades elementales en lo que a precisión se

refiere.

c) Sb2 > S2 . Entonces δ > 0 y V Vc as> . Es el caso mas común. La varianza entre

conglomerados es mayor que la varianza de las unidades elementales en la población, es

decir, Yi varía de conglomerado a conglomerado más que varían las unidades

elementales en la población. Esto equivale a decir que las unidades dentro de los

conglomerados son más homogéneas que lo son en la población. Cuanto mayor sea Sb2,

mayor será δ y mayor el efecto de diseño o efecto conglomerado, y mayor la varianza

del estimador respecto al muestreo aleatorio simple. El caso mas desfavorable será aquel

en que toda la variabilidad de la población procede de la variabilidad entre

conglomerados, es decir, existiese homogeneidad absoluta dentro de los conglomerados.

En este caso δ tomaría su valor máximo: δ =1 .

X. MUESTREO SISTEMÁTICO

Sea una población { }u u uN1 2, , ,# . La selección sistemática de una muestra de n

unidades se realiza en la siguiente forma: sea k N n= (suponemos N divisible por n),


40

tomamos un número i al azar 1 ≤ ≤i k con probabilidad 1 k y la muestra sistemática

queda formada por las n unidades

( ){ }u u u ui i k i k i n k, , , ,+ + + −2 1#

Como vemos, la selección de la primera unidad determina la muestra completa. El

espacio muestral está formado por las siguientes k muestras posibles, dónde se indica el

valor de la variable en estudio en cada unidad seleccionada:

Muestra

1 2 ...... i ...... k

X1 X2 Xi Xk

X1+k X2+k Xi+k X2k

...... ...... ...... ......

X1+(n-1)k X2+(n-1)k Xi+(n-1)k Xnk

Media x1 x2 xi xk

Las k muestras posibles son equiprobables (prob. = 1 k ) y la probabilidad de que la

unidad ui esté en la muestra es 1 k n N= . La media muestral

xn

Xi ijj

n= ∑1

es el estimador insesgado de la media poblacional. Observar que al utilizar dos

subíndices, el primero i hace referencia a la muestra sistemática y el segundo j a la

unidad elemental dentro de la muestra.

El muestreo sistemático es de fácil aplicación práctica y asegura además que la muestra

se extiende a toda la población. Podemos considerar la población dividida en n estratos,

los cuales consisten de las primeras k unidades, las segundas k unidades, etc., es decir, al

contemplar el cuadro de muestras posibles en horizontal, cada fila sería un estrato. La

muestra sistemática correspondería a una muestra estratificada con una unidad por

estratos

conglomerados


41

estrato, por lo que sería esperable una mayor precisión respecto al muestreo aleatorio

simple.

La diferencia con el muestreo estratificado está en que con la muestra sistemática, las

unidades seleccionadas ocupan la misma posición relativa en cada estrato, mientras que

en el muestreo estratificado la selección es independiente en cada estrato, por lo que

también es esperable que el muestreo sistemático sea menos preciso que el muestreo al

azar estratificado.

Observando el cuadro de muestras posibles, el muestreo sistemático es equivalente a

considerar la población dividida en k grupos o conglomerados (columnas del cuadro),

cada uno de n unidades, de los cuales se selecciona uno al azar. Es decir, una muestra

sistemática es una muestra aleatoria de una unidad conglomerada de una población de k

conglomerados de tamaño n.

El comportamiento del muestreo sistemático respecto al estratificado o el muestreo

aleatorio simple, depende en gran medida de las propiedades de la población. En

poblaciones en las cuales la numeración de las unidades puede considerarse al azar

respecto a la característica que se mide, cabría esperar que el muestreo sistemático fuera

equivalente al muestreo aleatorio simple y que tuviera la misma varianza.

Cuando la población presenta una tendencia lineal como en la figura que sigue,

ui

Xi

muestra aleatoria estratif.

muestra sistemática

intuitivamente se ve que la muestra sistemática es más efectiva que la muestra aleatoria

simple ya que asegura presencia en la muestra de todas las zonas de tendencia, pero es


42

menos efectiva que la muestra estratificada ya que si la muestra sistemática es muy baja

en un estrato, es muy baja en todos, mientras que la estratificación da oportunidad para

que los errores dentro de los estratos se compensen. El comportamiento de la muestra

sistemática podría mejorarse usando una muestra centralmente ubicada.

Para una población con tendencia periódica, por ejemplo una curva sinoidal, la

efectividad de la muestra sistemática depende del valor de k, como puede verse en la

A A A B

B B

B B

figura, dónde la altura de la curva es la observación Yi. Los puntos A de la muestra,

representan el caso menos favorable y suceden si k es igual al periodo de la curva o a un

múltiplo entero del periodo. Toda observación dentro de la muestra sistemática

proporciona la misma información y la muestra no es más precisa que una sola

observación tomada al azar de la población.

El caso más favorable (muestra B) ocurre cuando k es un múltiplo impar del medio-

periodo. Toda muestra sistemática tiene una media exactamente igual a la media

verdadera. Entre estos dos casos extremos, la muestra sistemática tiene varios grados de

efectividad, dependiendo de la relación entre k y el periodo de la curva.

Poblaciones con tendencia más o menos periódica se encuentran en la práctica con

relativa frecuencia. Ejemplos son el flujo de tránsito por un punto de una carretera

durante las 24 horas del día y las ventas de una tienda durante los dias de la semana.

Para estimar un promedio sobre un periodo de tiempo, una muestra sistemática diaria a

las 6 p. m. o cada martes, no sería obviamente juicioso. La estrategia correcta es girar la

muestra sobre la curva periódica, por ejemplo, viendo que cada día de la semana esté

igualmente representado, en el caso de las ventas de una tienda.


43

A partir de los resultados de una muestra aletoria simple podemos calcular un estimador

insesgado de la varianza de la media muestral siempre que n > 1. Este estimador es

insesgado cualquiera que sea la forma de la población. Dado que una muestra

sistemática corresponde a una muestra aleatoria simple de tamaño n = 1, seleccionada de

entre k conglomerados en la población, no resulta posible construir un estimador de la

varianza de la media muestral. En la práctica si la población está ordenada al azar puede

utilizarse la estimación de la varianza que proporcionaría una muestra aleatoria simple

del mismo tamaño.

XI. OTROS ASPECTOS DEL MUESTREO

Habrá ocasiones en que el conocimiento previo que se dispone del Universo objeto de

estudio es muy limitado e insuficiente para proceder a una estratificación eficiente o

para la utilización de estimadores del tipo de razón que nos permitan importantes

reducciones del error estándar. En estos casos puede ser conveniente la realización de

una primera muestra, relativamente amplia, con el objeto de estimar aquellas

características básicas que nos sirvan para la utilización posterior de muestreo

estratificado o de estimadores de razón. Una vez determinadas las características del

Universo que sean de interés, se selecciona en una segunda fase una submuestra de la

primera sobre la que ya se estudian propiamente las variables objeto de estudio. Este

proceso se conoce como muestreo doble o muestreo en dos fases. El proceso se justifica

si la información obtenida en la primera fase permite una reducción de muestra en la

segunda fase que compense costes.

La muestra correspondiente a la primera fase se denomina también muestra censal,

muestra maestra o censo muestral. Estas denominaciones indican un primer proceso de

muestreo sustitutivo de un censo completo, es decir, cuyo fin es conocer características

poblacionales, incluso el propio tamaño del Universo N, necesarios para el posterior

diseño de la muestra. Este procedimiento censal en base a una muestra no debe

sorprender: es práctica habitual en grandes operaciones censales proporcionar resultados

basados en una muestra de los cuestionarios censales en lugar de utilizar la información

completa del censo total. La muestra en segunda fase puede denominarse muestra


44

principal o muestra de estudio, ya que es la muestra sobre la que se miden las variables

objeto de estudio.

Cuando se estudia la teoría de muestras siempre se habla de la variable de estudio Yi.

Sin embargo cuando se selecciona una muestra van a ser muchas variables Yi las que se

estudien en cada unidad muestral, lo que significa que la muestra va a proporcionar

multitud de estimaciones cada una con su propio nivel de error estándar, es decir, no

puede hablarse de la calidad global de una muestra, sino que cada estimación que

proporcione, tendrá su propio error de muestreo. Previamente habrá que haber definido

un tamaño de muestra en función de un cierto error estándar. Si quisiéramos el mismo

nivel de error estándar para cada variable en estudio resultarían tamaños de muestra

diferentes para cada una, lo cuál, desde un punto de vista práctico no tiene sentido. Lo

normal será que entre las variables a estudiar haya unas pocas de mayor importancia y

sean éstas las que predominen en la determinación del tamaño de muestra, llegándose a

una solución de compromiso. Un problema similar surge al establecer la distribución

óptima de una muestra estratificada para distintas variables a estudiar: cada variable nos

puede proporcionar afijaciones diferentes y debe llegarse a una solución única.

El concepto de error de muestreo surge porque al tomar cientos o miles de muestras

independientes de una población para estimar un parámetro, las estimaciones presentan

una variabilidad aleatoria que puede aproximarse por la distribución normal. En una

forma análoga se puede pensar que cuando una muestra proporciona cientos, miles de

estimaciones se pueden aplicar las propiedades de la distribución normal y pensar que,

por ejemplo, un 5% de las estimaciones quedan fuera de su intervalo de confianza ( ± 2

veces el error estándar), es decir, alejadas de la realidad, sin que pueda saberse cuales

son: es el analista de los resultados el que con su conocimiento y experiencia puede

separar, quizá no totalmente, aquellos datos que reflejen la realidad de aquellos otros

que pueden ser debidos a variaciones extremas de muestreo o a sesgos introducidos en

la muestra, no importantes para muchas de las variables investigadas pero que sí lo son

para otras.

En la actualidad es práctica común la de utilizar muestras para recoger series de datos

sobre la misma población que se publican a intervalos regulares de tiempo. Ejemplos de


45

ello los tenemos en las encuestas de población activa o de fuerza de trabajo que realizan

los paises desarrollados, los paneles de audiencia de televisión, muestras contínuas de

hogares o de tiendas para medir el consumo, etc.

Cuando la misma población se muestrea repetidamente en el tiempo, estamos en una

posición ideal para obtener estimadores realistas de costes y varianzas y, en

consecuencia, para aplicar técnicas que conducen a una utilización óptima del muestreo.

Una cuestión importante en muestreo repetido es con qué frecuencia y de qué manera

debe cambiarse la muestra a lo largo del tiempo. Podemos optar entre las siguientes

alternativas:

a) Utilizar la misma muestra, llamada panel, en cada repetición del muestreo o

periodo.

b) Mantener en cada periodo una proporción πc de muestra común con el

periodo anterior, renovando el resto de la muestra.

c) Utilizar en cada periodo muestras independientes.

Hay muchas consideraciones que afectan a la decisión. Los entrevistados pueden

negarse a dar la misma información una y otra vez. Los que responden pueden influirse

por la información que reciben durante las entrevistas lo que contribuye a introducir

paulatinamente sesgos en la muestra y suele decirse que la muestra se contamina con el

tiempo. Otras veces puede haber mejor cooperación en segunda y sucesivas tomas de

información. Si conseguir la colaboración de una unidad muestral implica un coste

relativamente alto respecto a la toma de información puede ser aconsejable utilizar la

misma muestra o una alta proporción de muestra común.

Con los datos de muestras sucesivas de la misma población hay tres clases de cantidades

a estimar y, en cada caso, la política de renovación de la muestra es diferente si

deseamos maximizar la precisión:

1. Si deseamos estimar el cambio en Y de un periodo al siguiente o de un año al mismo

periodo del año anterior, es mejor retener la misma muestra.

2. Para estimar el valor promedio Y sobre varios periodos, es mejor tomar muestras

independientes en cada periodo.


46

3. Si nuestro interés se centra en el valor promedio Y para el periodo más reciente,

entonces se obtiene la misma precisión conservando la misma muestra o cambiándola

en cada periodo; el cambio parcial de parte de la muestra puede ser mejor que cualquiera

de estas alternativas.

Lo anterior es consecuencia de la correlación positiva ρ entre las medidas de la misma

unidad en dos periodos consecutivos. Al mantener la muestra constante en periodos

consecutivos, existe una alta correlación entre los datos de las unidades muestrales en

ambas ocasiones, lo que hace que los errores en las estimaciones tiendan a permanecer

en la misma dirección (es decir, si el error es + 2,5% en el primer periodo, puede ser

+1,5% en el siguiente, pero dificílmente será -3%), lo que hace que los cambios se

midan con menor error absoluto que las estimaciones individuales de cada periodo.

Si suponemos muestreo aleatorio simple y que la varianza poblacional es la misma en

los dos periodos t1, y t2 se tiene que la varianza de la media en cada periodo es

( ) ( )V y V y Sn1 2

2

= =

y la varianza de la diferencia resulta ser

( ) ( )V y y Sn c2 1

22 1− = − ρπ

obteniéndose la mayor precisión cuando la parte común de la muestra es πc = 1 ,

mientras que si el cambio se estima a partir de muestras independientes la varianza

resulta en

( )V y y Sn2 1

22− =

Al estimar la media de los dos periodos resulta

( )V y y Sn c

2 12

2 21+

= + ρπ

y si las muestras son independientes

V y y Sn

2 12

2 2+

=


47

Hay que notar que en el caso de πc = 1 y ρ = 1, sería V y y Sn

2 12

2+

= , es decir, igual

a la varianza de la media de cualquiera de los periodos. Significa esto que utilizando la

misma muestra en cada periodo, siempre que ρ < 1 la media de dos periodos tiene algo

más de precisión que la de un periodo individual aunque, desde luego, mayor que si se

utilizaran muestras independientes.

En muestreo repetido de la misma población puede tener total sentido la dedicación de

parte de los recursos a lo que anteriormente se ha indicado como primera fase del

muestreo o censo muestral ya que su coste se amortiza sobre varias realizaciones de la

muestra objetivo. En estudios periódicos en el tiempo esta primera fase censal se vuelve

imprescindible si el Universo que se pretende estudiar cambia en el tiempo y no se

dispone de información sobre su evolución: en estos caso resulta necesario realizar

estudios censales periódicos (cada cinco, dos años, o de forma contínua) para preservar

de sesgos a la muestra de estudio. Lógicamente, la muestra de estudio, aunque se

pretenda constante en el tiempo, estará afectada por la propia evolución del Universo y

será necesario introducir cambios paulatinos en la misma para su adaptación al carácter

cambiante y evolutivo del Universo.

Cuando se muestrean poblaciones con un alto grado de asimetría ya se vió la

importancia del muestreo estratificado para la precisión. En estos casos la varianza por

estrato suele aumentar con el valor de la variable de estudio (tamaño de la unidad) de

forma que la afijación óptima es la única garantía para que el factor de expansión de las

unidades grande o muy grandes se mantenga dentro de límites razonables. Pensemos

que en cualquier proceso de muestreo, el total poblacional se estima aplicando a cada

unidad muestral un factor de expansión Fi, de forma que el total estimado es

!Y Y Fi

n

i= ∑1

. La cantidad Y FYi i

! es la contribución de la i-ésima unidad muestral a la

estimación y es la misma para la estimación del total que para la media. Con muestreo

aleatorio o con afijación proporcional Fi es igual para todas las unidades muestrales y la

contribución depende del valor Yi: valores muy altos van a resultar en contribuciones

muy altas y estimaciones con alto error de muestreo y, por tanto, poco fiables. Resulta

intuitivo que cuanto mayor es Yi menor debe ser Fi con el fin de preservar a la


48

estimación final de contribuciones extremas debidas a una sola o unas pocas unidades:

no parecería muy fiable una estimación obtenida con una muestra de 100 unidades (100

sumandos) , de las cuales una sola de ellas represente el 80% del total estimado, cuando

cada sumando en promedio contribuya con un 1%. La afijación óptima es la única

garantía para evitar estos problemas.

XII. ERRORES NO DE MUESTREO

Hasta ahora hemos supuesto que 1) la población marco coincide con la población

objetivo, 2) que la muestra real alcanzada se corresponde con la muestra inicialmente

planificada y seleccionada probabilísticamente y 3) que la información obtenida en cada

unidad muestral es correcta. En estas condiciones la única fuente de error del estimador

es el error de muestreo que es la variación aleatoria que se presenta cuando se miden n

de las unidades en lugar de la población completa N. Lamentablemente esta situación

ideal no se da con frecuencia en la práctica y debemos asumir la presencia de otros

errores, que se presentan cuando no se cumple cualquiera de los tres supuestos

mencionados y que se agrupan bajo el nombre de errores no de muestreo o errores

ajenos al muestreo.

Cuando la población marco no coincide con la población objetivo tenemos los llamados

errores de cobertura. Recordemos que la población marco es la población que sirve de

base para la selección de la muestra. Podemos pensar en un listado del que se selecciona

la muestra: puede haber unidades de la población objetivo no contenidas en el listado

(omisiones) o puede haber unidades en el listado que no se corresponden con la

población objetivo (unidades vacias), incluso el listado puede contener unidades

duplicadas:

(1)+(2) = población marco

(1)

(2)

(3)


49

(1)+(3) = población objetivo

Con la muestra seleccionada de la población marco podremos estimar la proporción de

unidades (1) y hacer que los resultados estimados se refieran al Universo (1), parte

coincidente entre la población marco y la población objetivo, pero no a la parte (3),

conjunto de unidades omitidas en el listado. Una solución para disminuir errores de

cobertura puede ser la utilización de varios listados. No obstante, si las proporciones (2)

y (3) son altas será necesario utilizar conjuntamente una muestra de la lista junto con

otro procedimiento de selección, por ejemplo áreas, que nos permita acceder a la parte

(3). Una muestra en primera fase nos puede servir para determinar estimaciones de (1) y

(3) y por tanto de la población objetivo.

Los problemas de cobertura no son exclusivos de la utilización de listas. Pensemos en

un muestreo por áreas en una ciudad en el que se parte de planos o mapas incompletos:

manzanas, urbanizaciones o barrios de reciente construcción pueden quedar omitidos

del marco.

Cuando la muestra real alcanzada no se corresponde con la muestra inicialmente

planificada, es decir, no se obtiene información en todas las unidades de la muestra,

decimos que existe falta de respuesta o no respuesta. Aparte la no respuesta por

unidades omitidas en el marco, ya mencionada, la falta de respuesta puede agruparse en

dos principales tipos:

a) No localizado o falta de contacto, que puede ser debido a:

a1) Ausencia temporal durante las horas de entrevista (no-en-casa). Es conocido que

familias en las cuales ambos padres trabajan y las familias sin niños son más difíciles de

alcanzar que familias con niños pequeños o con personas jubiladas.

a2) Viaje, vacaciones.

a3) Enfermedad.

a4) Problemas de lenguaje.

a5) Movilidad gegráfica: cambio de dirección o domicilio, cambio de ciudad.

a6) Falta de motivación o experiencia en el entrevistador para contactar con el

entrevistado. Está comprobado que las tasas de no respuesta varían por entrevistador.


50

a7) Barrio o vecindad “dificil”.

b) Negativa a colaborar, debido a:

b1) Falta de tiempo.

b2) Falta de motivación o de interés por el tema de la encuesta.

b3) No desea que el entrevistador conozca sus respuestas u opiniones.

b4) No desea estar “registrado”.

b5) Cansancio de las entrevistas.

b6) Cuestionario demasiado largo, preguntas complicadas, preguntas que rozan la

intimidad.

b7) Los “hueso duro”. Personas que cerradamente rechazan ser entrevistadas o están

sistemáticamente fuera de casa durante el tiempo disponible para el trabajo de campo.

b8) Falta de habilidad del entrevistador para conseguir la colaboración. Vale aquí el

comentario de a6): hay entrevistadores que consiguen mejores tasa de respuesta que

otros.

b9) La colaboración es, finalmente, voluntaria: “Busque a otro que yo no puedo ahora”.

A estos dos grupos de no respuesta puede añadirse la falta de respuesta parcial: el

entrevistado no responde a parte de las preguntas porque no tiene la información o,

simplemente, no está dispuesto a facilitarla.

Para evaluar los efectos de la falta de respuesta conviene pensar en la población dividida

en dos estratos: en el primero se incluyen todas las unidades para las cuales se

obtendrían mediciones si caen en la muestra y en el segundo se incluyen las unidades

para las que no se obtendrían mediciones. La muestra no proporciona información del

estrato 2, lo cuál no sería un problema si se pudiera suponer que las características que

se miden en el muestreo son las mismas, en promedio, en el estrato 2 que en el estrato1.

Desde el momento que esto no sea así estaremos en presencia de un sesgo causado por

la falta de respuesta.

Suponiendo muestreo aleatorio simple, sean N1 y N2 el número de unidades en el

Universo en cada uno de los dos estratos y W N N1 1= , W N N2 2= , es decir, W2 es la

proporción de no respuesta en toda la población y W1 la proporción de respuesta.


51

Terminado el trabajo de campo tenemos datos del estrato 1 pero no del estrato 2 y

siendo la media muestral y1 estimador insesgado de la media poblacional del estrato 1,

Y1 , la cantidad de sesgo en la media de la muestra es

( ) ( ) ( )E y Y Y Y Y W Y W Y W Y Y1 1 1 1 1 2 2 2 1 2− = − = − + = −

es decir, el sesgo es el producto de la proporción de no respuesta y la diferencia entre las

medias de los dos estratos. Al no disponer de información de Y2 , el tamaño del sesgo es

desconocido.

La falta de respuesta no debe ignorarse o pensar que se corrige sustituyendo en la

muestra a los que no responde por otros que sí colaboren, ya que ello no va eliminar el

sesgo, simplemente nos mantiene el tamaño de muestra. Por el contrario hay que ser

conscientes de que la no respuesta va a ocurrir y asignar, en lo posible, algunos recursos

y disponer de algunas estrategias para reducir su proporción. Algunos procedimientos

para reducir la no respuesta son:

1) Cartas y llamadas telefónicas por adelantado.

2) Dar algún incentivo por la colaboración.

3) Programar visitas repetidas puede ser de gran efectividad para reducir los no-en-casa.

4) Mejora de los procedimientos de recogida de información. Si la información se

recoge por entrevista personal el entrenamiento del entrevistador es fundamental: la

interacción positiva entrevistador-entrevistado es básica para el éxito de la entrevista, lo

cuál puede requerir que el entrevistador disponga de distintas estrategias para afrontar la

entrevista en función de ciertas características observables de los encuestados. Preservar

la intimidad del entrevistado puede favorecer el dejarle el cuestionario para que lo

rellene y envíe posteriormente por correo, aunque se haya tenido un primer contacto

personal para obtener la colaboración. Otro aspecto a tener en cuenta es que cuanto más

activa (más tiempo requiere) sea la colaboración de la unidad muestral menor es su

disposición a colaborar: pensemos en un panel de audiencia de TV en el que el hogar

debe rellenar y enviar por correo un largo y tedioso cuestionario sobre qué ha visto cada

día en relación con la instalación de un audímetro conectado al televisor que registra y

transmite lo que el televisor emite en cada momento; la colaboración del hogar en el

caso del audímetro es mucho más pasiva (menos molestia), lo cuál favorece la

colaboración.


52

En la práctica y a pesar de las medidas que se tomen será imposible, en general, reducir

la no respuesta a cero por lo que se hace imprescindible su medición y control. Un

primer aspecto en este sentido es cuantificar la tasa de no respuesta según distintas

causas. Ello puede ayudar para reducir las tasas de no respuesta en encuestas

posteriores. En ocasiones será posible recoger ciertas características observables de las

unidades no respuesta que puedan ser utilizadas posteriormente en procedimientos de

ajuste para remover los sesgos de no respuesta en las estimaciones finales.

Normalmente, además de las variables que hayan servido para la estratificación del

Universo se dispone de información poblacional de otras características que pueden

servir para controlar la “microrrepresentatividad” final de la muestra obtenida,

comparando los valores poblacionales de estas variables conocidas con los estimados

por la muestra. Éste control de microrrepresentatividad es fundamental en presencia de

falta de respuesta y nos puede ayudar a determinar ciertas características del estrato de

no respuesta Las desviaciones que se producen pueden utilizarse para modificar los

factores de expansión originales de cada unidad muestral, en un proceso iterativo, hasta

conseguir que los valores “estimados” coincidan con los conocidos en el Universo para

las distintas variables incluidas en el proceso. Este proceso iterativo de ajuste en los

factores originales de expansión se conoce también como equilibraje de la muestra y

puede contribuir a remover sesgos introducidos en la muestra final, en la medida en que

las variables objeto de investigación puedan estar correlacionadas con las variables que

intervienen en el proceso de equilibraje.

Un tercer tipo de error no de muestreo se produce por errores de medición y errores que

se introducen en la producción de los resultados de una encuesta. Estos errores suceden

cuando el valor medido Yi* (o el utilizado para la estimación) no se corresponde con el

valor real Yi. Se conocen también por errores de respuesta y pueden ser varias las

causas que los producen:

1) Instrumentos de medición inadecuados o sujetos a error.

2) Fallos de memoria. El entrevistado responde lo que él cree que hizo, pero no lo qué

realmente hizo.


53

3) El entrevistado dá una respuesta falsa, bién inducido por el entrevistador (quizá por el

cuestionario), o bién porque no desea que “su verdad” quede registrada (“qué dirán...”).

4) Olvido. Por ejemplo en un panel de hogares el hogar colaborador olvida anotar

algunas compras en el diario o en un panel de audímetros una persona olvida

identificarse.

5) Falta de información. El informante no dispone de toda la información para contestar

y da una respuesta aproximada.

6) Errores de codificación y grabación que introducen en el proceso un valor erróneo

con independencia de que el valor original fuera correcto o no.

Si suponemos que las mediciones Yi estan sujetas a un sesgo constante B Y Yi i= −* cuya

magnitud se desconoce, entonces la media muestral está también sujeta al sesgo,

mientras que la estimación del error de muestreo no se ve afectado por el sesgo ya que

se deriva de una suma de cuadrados de los términos ( )Y yi − 2 . Este hecho puede

desvirtuar los límites de confianza, al aplicar a una cantidad sesgada una variabilidad

que no contempla el sesgo. Con sesgo constante, estimadores de cambio de un periodo a

otro o de un estrato a otro permanecen sin sesgo, precísamente por la constancia del

mismo.

Si los errores de medición son independientes de unidad a unidad dentro de la muestra y

promedian cero sobre toda la población la media muestral sigue siendo estimador

insesgado y los errores de medición son tenidos en cuenta en el cálculo de errores

estándar. La precisión de las estimaciones disminuye. Si los errores de medición no son

independientes la formula usual de error estándar es un subestimador, debido a que en la

práctica la correlación intramuestra de los errores será positiva.

Una técnica útil para para el estudio de errores correlacionados es el de submuestras

mutuamente penetrantes. En forma simple consistiría en dividir una muestra aleatoria de

n unidades en k submuestras de n/k unidades cada una. El trabajo de campo y

procesamiento se planean de forma que no hay correlación entre los errores de medición

de dos unidades cualesquiera en submuestras diferentes. Por ejemplo si la correlación

que hay que tratar proviene solo de sesgos imputables a los entrevistadores se puede


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asignar cada submuestra a un entrevistador. Un análisis de varianza posterior “entre

submuestras” y “dentro de submuestras” ayuda a determinar el efecto del entrevistador.

Con datos cuantitativos se mencionó anteriormente el concepto de contribución de una

unidad muestral al total estimado. El análisis cuidadoso de las contribuciones puede

ayudar en la detección de datos especialmente extremos que pueden tener efectos fuertes

en las estimaciones y provenir de errores de medición.

Como comentario final hay que decir que al planear un estudio por muestreo debe

prestarse especial atención a los errores no de muestreo que pueden presentarse en

cualquier fase del trabajo y, si son importantes, incluso invalidar los resultados. Por otra

parte detectarlos y cuantificarlos no es tarea fácil. Sólo la anticipación y el análisis

cuidadoso de cada paso en el proceso de muestreo y de los resultados pueden ayudar.

Los errores de muestreo desde el momento que pueden ser evaluados y estimados dejan

de tener importancia. El error de muestreo se constituye en una medida de la calidad del

diseño teórico de la muestra pero no mide la calidad real, afectada por los errores no de

muestreo.

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