Tema 01 y 02. Unidad 2. Silogismos Categóricos y Lógica de Enunciados
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8/18/2019 Tema 01 y 02. Unidad 2. Silogismos Categóricos y Lógica de Enunciados
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Lógica para la toma de
decisiones
Facultad de Ciencias Administrativas
Universidad Autónomade Baja California.
© MC. José Luis Cisneros González
Si logismo s categóricos y lógica de enunciados
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Sobre los derechos
Esta obra y sus derechos patrimoniales y autorales son propiedad delautor. La obra se encuentra protegida por la ley de derechos de autor ysus tratados internacionales, la copia y reproducción total o parcial seencuentran prohibidas, salvo permiso explícito por parte del autor.
Si usted recibió una copia de este material como parte de un curso en elcual el instructor es el autor, su uso es de carácter personal y no puedereproducirla. Es exclusivamente para su estudio.
Si usted recibió una copia por otro docente que no es el autor, se
encuentra en violación de los derechos de autor.
Cualquier violación a los derechos de autor y sus tratados internacionalespodrá ser sancionada conforme a derecho.
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Objetivo de la unidad
El participante:
• Será capaz de realizar el análisis lógico de argumentossilogísticos.
• Aprenderá a realizar el análisis lógico de argumentos a travésde la lógica de enunciados o proposiciones.
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José Luis Cisneros González.
Ingeniero Químico - UAEM, MC- ITESM en SistemasComputacionales, Premio Nacional en Fenómenos de Transporte1984. Miembro del SNI 1988-93.Investigador, del Instituto de Investigaciones Eléctricas (IIE) y delInstituto de Ingeniería, UABC.
Director de diversas tesis e investigaciones, y docente en programasde licenciatura y posgrado.Consultor de empresas, ha realizado investigaciones y publicadodiversos libros y artículos sobre Tecnologías de la Información y laComunicación (TIC’s), Sistemas de Información Gerencial y Basesde datos. Actualmente se desempeña como investigador independiente enEnseñanza Asistida por Computadora (EAC) o Elearning, Sistemas
de información y Reingeniería de procesos y como docente de laFacultad de Ciencias Administrativas de la UABC en Licenciatura yPostgrado.
Facilitador
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Forma lógica del silogismo
Aristóteles fue el iniciador de la lógica formal con sus estudios del silogismo, al que abordó en
su tratado Primeros analíticos, en el siglo IV a.C., y caracterizó como un argumento deductivo
compuesto por dos premisas (P1 y P2) y su conclusión (C), integrados a su vez por tres
términos. Veamos un ejemplo del silogismo aristotélico:
Premisa 1: Todos los temperamentales son apasionados.
Premisa 2: Todos los adolescentes son temperamentales.
Conclusión: Por lo tanto, todos los adolescentes son apasionados.
El Silogismo
Comenzaremos con el análisis tradicional del silogismo, un argumento deductivo sencillo
construido con dos premisas, su conclusión y tres términos
Posteriormente nos concentraremos en la lógica de enunciados o de proposiciones, que nosofrece herramientas más sofisticadas para nuestro objetivo de estudiar la forma de los
argumentos.
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Forma lógica del silogismo
Además de contener dos premisas y su conclusión, los silogismos se caracterizan por contar
con tres términos, que aparecen en el sujeto o en el predicado de los enunciados que son
premisas o conclusión.
El Silogismo
Podemos identificar cada término ubicándolo por el lugar que ocupa en la conclusión y después
reconocerlo dentro de las premisas. Así, llamamos término mayor al que figura en el predicado de la conclusión y que también
aparece en el
sujeto o el predicado de alguna de las premisas (lo denotamos con la letra
mayúscula “T” ); denominamos término menor al ubicado en el sujeto de la conclusión y que
también
aparece en algún otro lugar en cualquiera de las premisas (lo denotamos con “t”
minúscula), y finalmente llamamos término medio al que no aparece nunca en la conclusión
pero se
repite en ambas premisas, ya sea como sujeto o como predicado (lo representamos con“M” mayúscula).
Retomando estos criterios, veamos cómo podemos distinguir los tres términos en el silogismo
de nuestro ejemplo anterior.
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Forma lógica del silogismo
P1: Todos los temperamentales son apasionados.
sujeto predicado
P2: Todos los adolescentes son temperamentales.
sujeto predicado
C: Por lo tanto, todos los adolescentes son apasionados.
sujeto predicado
El Silogismo
Tratemos de encontrar en el silogismo el predicado de la conclusión, que se encuentra en una
de las premisas. La respuesta nos da el término mayor (T).
El término medio (M) no aparece en la conclusión pero aparece en ambas premisas.
Finalmente el término menor (t) es el sujeto de la conclusión que aparece en una de laspremisas.
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Forma lógica del silogismo
P1: Todos los temperamentales son apasionados.
M T
P2: Todos los adolescentes son temperamentales.
t M
C: Por lo tanto, todos los adolescentes son apasionados.
t T
El Silogismo
Figuras de los silogismos
Figuras de los silogismos
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Premisa mayor M T T M M T T M
Premisa menor t M t M M t M t
Conclusión t T t T t T t T
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Forma lógica del silogismo
El silogismo no puede tener más de tres términosReglas del Silogismo
Esta ley se limita a cumplir la estructura misma del silogismo: La comparación de dos
términos con un tercero. Aunque la regla es clara, su aplicación no siempre lo es.
Consideremos el siguiente silogismo:
Todos los caballos tienen huesos
Rocinante es un caballo
Por tanto, Rocinante tiene huesos
En la primera premisa estamos hablando de caballos como animales de verdad, y en la
segunda estamos hablando de un caballo imaginario. Este silogismo es de todo puntoinválido, aunque siga una forma aparentemente válida.
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Forma lógica del silogismo
Los términos no deben tener mayor extensión en la conclusión que
en las premisas.
Reglas del Silogismo
Por la misma estructura del silogismo; únicamente podremos obtener conclusiones acerca
que lo que hemos comparado en las premisas.
M es P
S es P
Por lo tanto, S es M
Todo M es P
Algún S es P
Por lo tanto, Todo o Algún S es M
Forma Extensión de los términos
Todo S es P S: Universal, P: Particular
Ningún S es P
Todo S es no P
S: Universal, P: Particular
S: Universal, P: Universal
Algún S es P S: Particular, P: Particular
Algún S no es P S: Particular, P:Universal
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Forma lógica del silogismo
El término medio no puede entrar en la conclusión.
Reglas del Silogismo
Por la misma estructura del silogismo la función del término medio es servir de
intermediario, como término de la comparación.
M es P
S es P
Por lo tanto, S es M
M es P
S es P
Por lo tanto, P es ?
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Forma lógica del silogismo
El término medio ha de tomarse en su extensión universal por lo
menos en una de las premisas
Reglas del Silogismo
Para que la comparación sea tal, es necesario que el término medio sea comparado en su
totalidad. De otra forma, podría ser comparado un término con una parte y el otro con la
otra, constituyéndose en realidad entonces un silogismo de cuatro términos.
Todos los andaluces son españoles.
Algunos españoles son gallegos.
Por tanto, algunos gallegos son andaluces
Lo que evidentemente no es un modo válido, puesto que "españoles" en la premisa mayor
al ser predicado de una afirmativa está tomado en su extensión particular.
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Forma lógica del silogismo
De 2 premisas negativas no puede obtenerse conclusión alguna
Reglas del Silogismo
Dos premisas negativas no se adaptan a la estructura del silogismo, ya que si negamos S
de M, y P de M, no sabemos qué relación puede haber entre S y P.
Para establecer la relación, por lo menos uno de los términos tiene que identificarse con
M. Por tanto una de las dos premisas tiene que ser afirmativa.
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Forma lógica del silogismo
De 2 premisas particulares no puede obtenerse conclusión alguna
Reglas del Silogismo
También tiene dos casos posibles: que una sea afirmativa y la otra negativa o que las dos
sean afirmativas.
a) Afirmativa y negativa: Algún A es B - Algún A no es C.
Sólo hay un término universal que es el predicado de la negativa, que por tanto tiene que
ser el término medio. La conclusión tendrá que ser negativa (caso a, de la regla anterior),
y por tanto el predicado tendrá que ser universal, y no puede ser el término medio por
tanto no puede haber conclusión.
b) Dos afirmativas: Algún A es B - Algún A es C.
Los tres términos son particulares, y por tanto no puede haber término medio con
extensión universal, y por tanto no hay conclusión posible..
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Forma lógica del silogismo
De dos premisas afirmativas no puede sacarse una conclusión
negativa.
Reglas del Silogismo
En efecto, si S se identifica con M, y P también se identifica con M, no tiene sentido
establecer una relación negativa con entre S y P. La conclusión será afirmativa.
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Forma lógica del silogismo
La conclusión siempre sigue la peor parte.
Reglas del Silogismo
Entendiendo por peor parte, la negativa respecto a la afirmativa y lo particular respecto a
lo universal.
Veamos los dos casos separadamente:
a) Conclusión negativa de una premisa afirmativa y la otra negativa.
Si se afirma una relación entre dos términos (X, M), pero se niega la de uno de ellos con
otro (Y, M), siendo M el término medio, no puede haber más conclusión que negar larelación que pueda haber entre el primero (X) y el último (Y) siendo uno sujeto y el otro
predicado de la conclusión.
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1. El silogismo sólo puede tener tres términos: mayor, menor y medio.
Reglas de los términos
2. Ningún término (ya sea el mayor o el menor) debe aparecer en la conclusión
con mayor extensión que en las premisas.
3. El término medio debe aparecer por lo menos una vez en toda su extensión
en las premisas.
4. En la conclusión no debe aparecer el término medio.
Forma Extensión de los términos
Todo S es P S: Universal, P: Particular
Ningún S es PTodo S es no P
S: Universal, P: Particular S: Universal, P: Universal
Algún S es P S: Particular, P: Particular
Algún S no es P S: Particular, P:Universal
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1. De dos premisas afirmativas no se puede concluir una proposición negativa.
Reglas de las proposiciones
2. Si una de las premisas es negativa, la conclusión también debe ser
negativa.
3. De dos premisas afirmativas no se puede inferir una conclusión negativa.
4. De dos premisas particulares es imposible obtener una conclusión.
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Las reglas para determinar la validez de un silogismo categórico se deben aplicarconjuntamente con las reglas específicas para cada figura, que son cuatro:
Reglas de las figuras
1. Reglas para la primera figura. La premisa mayor debe ser universal y la menor debe ser
afirmativa.
2. Reglas para la segunda figura. La premisa mayor debe ser universal y alguna de las dos
debe ser negativa, pero no las dos.
3. Reglas para la tercera figura. La premisa menor debe ser afirmativa y la conclusión debe
ser particular.
4. Reglas para la cuarta figura. Si la premisa mayor es afirmativa, la menor debe ser universal.
Si la premisa menor es afirmativa, la conclusión es particular. Si una premisa es negativa, la
mayor debe ser universal.
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Forma lógica del silogismo
De la aplicación de las leyes de los silogismos a los 256 modos posibles resultan válidossolamente 19 y son los que tradicionalmente se memorizan atendiendo a los modos
válidos de cada figura con sus premisas y conclusión.
Modos válidos
De la primera figura AAA, EAE, AII, EIO BARBARA, CELARENT, DARII,
FERIODe la segunda figura EAE, AEE, EIO, AOO CESARE, CAMESTRES, FESTINO,
BAROCO
De la tercera figura AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO DARAPTI, DISAMIS, DATISI,
FELAPTON, BOCARDO, FERISON
De la cuarta figura AAI, AEE, IAI, EAO, EIO BAMALIP, CAMENES, DIMATIS,
FESAPO, FRESISON
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Forma lógica del silogismo
1. Barbara
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Universal afirmativa (A)
Todos los hombres son mortales,
Todos los griegos son hombres,
Todos los griegos son mortales.
2. Celarent
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Universal negativa (E)
Ningún hombre es pez,
Todos los griegos son hombres,
Ningún Griego es pez.
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Forma lógica del silogismo
3. Darii
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Particular afirmativa (I)
Conclusión: Particular afirmativa (I)
Todos los hombres son mortales,
Algunos griegos son hombres,
Algunos griegos son mortales.
4. Ferio
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Particular afirmativa (I)
Conclusión: Particular negativa (O)
Ningún hombre es pez,
Algunos griegos son hombres,
Algunos griegos no son peces.
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Forma lógica del silogismo
5. Barbari
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular afirmativa (I)
Todos los hombres son mortales,
Todos los griegos son hombres,
Algunos griegos son mortales.
6. Celaront
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
Ningún hombre es pez,
Todos los griegos son hombres,
Algunos griegos no son peces.
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Forma lógica del silogismo
7. Cesare
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Universal negativa (E)
8. Camestres
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal negativa (E)
Conclusión: Universal negativa (E)
Ningún hombre es pez,
Todos los tiburones son peces,
Ningún tiburón en hombre.
Todos los tiburones son peces,
Ningún hombre es pez,
Ningún hombre es tiburón
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Forma lógica del silogismo
9. Festino
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Particular afirmativa (I)
Conclusión: Particular negativa (O)
10. Baroco
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
Ningún hombre es pez,
Algunos tiburones son peces,
Algunos tiburones no son hombres.
Ningún hombre es pez,
Todos los tiburones son peces,
Algunos tiburones no son hombres
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Forma lógica del silogismo
11. Camestrop
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal negativa (E)
Conclusión: Particular negativa (O)
12. Darapti
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular afirmativa (I)
Todos los tiburones son peces
Ningún hombre es pez,
Algunos hombres no son tiburones.
Todas las abejas son insectos,
Todas las abejas son invertebrados,
Algunos invertebrados son insectos
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Forma lógica del silogismo
13. Felapton
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
14. Disamis
Premisa 1: Particular afirmativa (I)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular afirmativa (I)
Ningún león es perro,
Todos los leones son felinos,
Algunos felinos no son perros.
Algunas abejas son insectos,
Todas las abejas son invertebrados,
Algunos invertebrados son insectos
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Forma lógica del silogismo
15. Datisi
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Particular afirmativa (I)
Conclusión: Particular afirmativa (I)
16. Bocardo
Premisa 1: Particular negativa (O)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
Todas las abejas son insectos,
Algunas abejas son invertebrados,
Algunos invertebrados son insectos.
Algunos leones no son penos,
Todos los leones son felinos,
Algunos felinos no son penos.
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Forma lógica del silogismo
17. Ferison
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular afirmativa (I)
18. Bamalip
Premisa 1: Particular negativa (O)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
Todos los griegos son hombres,
Todos los hombres son mortales,
Algunos mortales son griegos.
Algunos leones no son penos,
Todos los leones son felinos,
Algunos felinos no son penos.
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Forma lógica del silogismo
19. Calemes
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal negativa (A)
Conclusión: Universal negativa (I)
20. Dimatis
Premisa 1: Particular negativa (O)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
Todos los griegos son hombres,
Ningún hombre es pez,
Ningún pez es griego.
Algunos griegos son hombres,
Todos los hombres son mortales,
Algunos mortales son griegos.
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Forma lógica del silogismo
21. Fesapo
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Universal afirmativa (A)
Conclusión: Particular negativa (O)
22. Fresison
Premisa 1: Universal negativa (E)
Premisa 2: Particular afirmativa (I)
Conclusión: Particular negativa (O)
Ningún pez es hombre,
Todos los hombres son mortales,
Algunos mortales no son peces.
Ningún pez es hombre,
Algunos hombres son mortales,
Algunos mortales no son peces.
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Forma lógica del silogismo
23. Calemop
Modos del silogismo
Premisa 1: Universal afirmativa (A)
Premisa 2: Universal negativa (E)
Conclusión: Particular negativa (O)
Todos los griegos son hombres,
Ningún hombre es pez,
Algún pez no es griego.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
La lógica de enunciados, recibe ese nombre porque analiza la composición de los argumentos
distinguiendo esencialmente dos tipos de enunciados: los simples o atómicos y los compuestos
o moleculares.
El primer sistema formal completo de lógica de primer orden (en el que encontramos
desarrolladas las llamadas lógica de enunciados y lógica de predicados) se lo debemos al
matemático y filósofo Friedrich Ludwig Gottlob Frege, quien lo desarrolló en su obra
Conceptografía (Begriffsschrift), publicada en 1879.
Podemos decir que el español o castellano, como otros lenguajes naturales, no es exacto, pues
admite ambigüedades, es decir, que una palabra pueda ser usada con más de: un significado,
mientras que, en cambio, el lenguaje de la lógica formal (que es artificial) busca ser riguroso,
exacto y carente de ambigüedades.
La virtud de la lógica de enunciados reside en que puede estudiar la forma de más argumentos
de los que podrían ser analizados con la lógica silogística.
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Aprender el lenguaje simbólico de la lógica de enunciados (y más adelante el de la lógica
de predicados) es útil para adquirir más habilidades en el manejo del pensamiento
abstracto, pues nos exige apreciar la forma en que estructuramos argumentos más
complejos; nos ayuda a reconocer que dentro de los argumentos hay elementos fijos y
otros variables, y nos permite apreciar que es posible desprendernos del contenido de lo
que hablamos para concentrarnos en la manera en que lo hacemos. Incluso es útil paraacrecentar nuestra competencia en el manejo del idioma, pues enriquece nuestra
comprensión del significado de algunas partículas, como la negación, la conjunción, la
disyunción o el uso de comas, comillas, etcétera.
Aprender a emplear el lenguaje de la lógica de enunciados es como aprender un nuevo
idioma: necesitamos saber cuáles son sus símbolos y cómo construimos enunciados bienhechos conforme lo dicta su gramática. Veamos el siguiente cuadro comparativo entre el
español y el lenguaje de la lógica de enunciados:
FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
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Lenguaje Natural (español) Lenguaje artificial de la lógica
Alfabeto (símbolos)
a) Vocales: a, e, i, o, u.
Alfabeto (símbolos)
a) Letras de enunciados o proposicionales
...simples: p, q, r, s,...
b) Consonantes: b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ,
p, q, r, s, t, v, w, x, y, z.
b) Términos lógicos:
~ (negación)
∧ (conjunción)
c) Signos auxiliares:. , ; : … ( ) — _ ¡! ¿? “” ∨ (disyunción) O ⊃ (implicación material)
≡ (equivalencia)
c) Signos auxiliares:
( ) [ ] { }
Reglas de la gramática
1. Los elementos de un enunciado son sujeto, verbo y
complemento.
2. Los nombres propios se escriben con inicial mayúscula.
3. Las palabras que comienzan con las sílabas bu, bur y bus, se
escriben con b, etcétera.
Reglas de la gramática
1. Toda letra de enunciado es una fórmula de nuestro lenguaje lógico.
2. Si A es una fórmula de nuestro lenguaje, las expresiones ~A son fórmulas de
nuestro lenguaje lógico.
3. Si A y B* son fórmulas de nuestro lenguaje, las expresiones A ∧ B, A ∨ B, A ⊃ B, A
≡ B*también lo son.4. Ninguna otra fórmula, más que las descritas en 1 a 3, son fórmulas de nuestro
lenguaje lógico.* Observa que las letras mayúsculas A y B representan
cualquier fórmula del lenguaje de la lógica de
enunciados; es decir, pueden ser letras de enunciado
como p, q, r, o la combinación entre letras de
enunciados y conectivas, por ejemplo:
p ∧ q, ~p, etcétera.
FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
1. Cada una de las letras minúsculas o letras de enunciado representa un enunciado
simple o atómico, que se caracteriza por no contener ningún término lógico. Por lo regular,
y visto desde el lenguaje natural, con una letra de enunciado identificamos una expresión
de la forma sujeto y predicado, que decimos expresa una idea completa.
2. Con excepción de la negación, las restantes conectivas lógicas cumplen la función de
conectar proposiciones o enunciados simples, de tal forma que dan lugar a enunciados
compuestos o también llamados moleculares. Las cinco conectivas lógicas tienen unsignificado fijo. También se les conoce con el nombre de funciones de verdad, porque se
definen a partir de la asignación de valores de verdad de los elementos de los enunciados
en los que aparecen.
3. Los signos auxiliares son como los signos de puntuación, que nos sirven para
expresarnos con precisión a través de la escritura, como ocurre en nuestro lenguaje
ordinario.
4. La gramática de los lenguajes formales está compuesta de unas cuantas reglas muy
precisas, en contraste con las reglas gramaticales de los lenguajes naturales, que no sólo
son extensas, sino que en ocasiones admiten excepciones, y por ello convierten la
práctica de la gramática correcta en todo un arte.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Ejemplos de fórmulas bien formadas:
a. p
b. p ∧ q
c. ~p
d. ~p ⊃ ~r
e. ~(p ≡ r) ∧ ~q
Analicemos porque están bien formadas
a. p. La regla 1 de la gramática de la lógica de enunciados lo autoriza, puesto que se
trata de una letra de enunciado.
b. p ∧ q. Lo autoriza la regla 3 de la gramática de la lógica de enunciados, puesto
que se trata de un caso o instancia de la forma “A ∧ B”..
c. ~p. Lo autoriza la regla 2 de la gramática de la lógica de enunciados, puesto que
se trata de un caso o instancia de la forma “~A”.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Ejemplos de fórmulas bien formadas:
a. p
b. p ∧ q
c. ~p
d. ~p ⊃ ~r
e. ~(p ≡ r) ∧ ~q
Analicemos porque están bien formadas
d. ~p ⊃ ~r. Las reglas 2 y 3 la convalidan. La regla 2 autoriza que “~p y ~r” sean
buenas fórmulas por que son instancias de la forma “~A”, y la regla 3 autoriza “~p
⊃ ~r” porque son un caso de forma “A ⊃ B”.
e. ~(p ≡ r) ∧ ~q. Es una fórmula bien formada que se apoya en las reglas 2 y 3. La
regla 2 autoriza que “~(p ≡ r) y ~q” sean buenas fórmulas porque son instancias
de la forma “~A”, y la regla 3 autoriza “p ≡ r” debido a que representan un caso de
la forma “A ≡ B”, y “~(p ≡ r) ∧ ~q” es una instancia de “A ∧ B”.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Ejemplos de fórmulas que no están bien formadas:
a. p~
b. pq∧
c. ~ ⊃ p~r
d. ~p ≡ r ~ q
Analicemos porque no están bien formadas
a. p~. No es una fórmula bien formada porque viola la regla 2, pues no conserva la
forma “~A”.
b. pq∧. Viola la regla 3, pues no conserva la forma “A ∧ B”.
c. ~ ⊃ p~r. Viola las reglas 2 y 3: “~ ⊃” no conserva la forma “~A” como dicta la regla
2; y “~ p ~⊃r” no conserva ninguna de las formas estipuladas por la regla 3.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Ejemplos de fórmulas que no están bien formadas:
a. p~
b. pq∧
c. ~ ⊃ p~r
d. ~p ≡ r ~ q
Analicemos porque no están bien formadas
d. ~p ≡ r ~ q. No es una fórmula bien formada, porque aunque “~p ≡ r” sí dan lugar a
una fórmula correcta, al agregar “~q” se convierte en incorrecta, porque la regla 4
la excluye, puesto que ninguna de las reglas de la 1 a la 3 lo permite..
Diferencia entre enunciados simples o atómicos y enunciados compuestos o
moleculares
Un enunciado simple o también llamado atómico expresa una sola idea, por ejemplo: “El
pizarrón es blanco”, “Jorge es alto” Su rasgo más característico, es que carece de
conectivas lógicas
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Hay que poner mucha atención en el aprendizaje de las conectivas lógicas, pues no
siempre tenemos las expresiones del español con que las identificamos.
Pensemos por ejemplo en ciertos usos de la expresión “no”, ya que muchos enunciados la
contienen para expresar duda, como al decir: “¿Alicia no hizo este desastre?”
Igual ocurre con la reiteración del “no”, que no pretende estar invirtiendo constantementeel valor de verdad, sino enfatizar una negación: “NO, no, no, no, esto debe ser un error ”.
Estamos ante una conectiva lógica cuando podemos reconocer que la empleamos en el
sentido que estipula su definición formal, la cual estudiaremos en el siguiente tema, donde
ampliaremos la explicación y los ejercicios para su aprendizaje.
Por el momento concentraremos nuestra atención en ejercitarte para distinguir los
enunciados simples o atómicos de los compuestos o moleculares.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Veamos algunos ejemplos de enunciados atómicos:
a) Los jaguares fueron felinos venerados por los mayas.
b) “La niña mirando desde la ventana” es una pintura famosa.
c) El bosque alberga muchas especies animales.
Ahora revisemos ejemplos de enunciados moleculares. Observa los conectivos en
negritas:
a) Rubén Darío es el padre del modernismo y escribió la obra Azul.
b) Si me duermo, entonces no veo la televisión.
c) Tengo jaqueca, o me subió la presión.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Una conectiva lógica es cualquier expresión de una función de verdad, cuyo valor de
verdad se establece de acuerdo con el valor de verdad de las expresiones que la
constituyen. Decimos que una expresión es veritativo-funcional si forma compuestos en
los que basta conocer el valor de verdad de sus partes para saber el valor de verdad del
conjunto. Ya hemos aprendido que existen diversas conectivas lógicas. Aquí revisaremoscon cierta amplitud las siguientes: la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional
y el bicondicional.
Aprender a identificar cada conectiva nos ayudará a saber cómo aplicar el lenguaje de la
lógica de enunciados para pasar de un lenguaje escrito en español a su traducción al
lenguaje lógico.
Las conectivas lógicas
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Lenguaje relacionado: No, nada, nunca, jamás, ningún, es falso que, no es cierto que, es
incorrecto que, y otros términos similares.
Las conectivas lógicas – La negación
∽ ⊔ ¬Símbolos:.
Tabla de verdad
a ~a
V F
F V
Maneras de leer la negación lógica. Cuando tenemos una
fórmula negada (~a), podemos leerla de cualquiera de las
siguientes maneras:
• No a • No es cierto que a
• No es verdad que a • a, no
• No es el caso que a • No ocurre que a
• Es falso que a
Ejemplos:
a = México consumó su independencia en 1821.
~a = No es cierto que México consumó su independencia en 1821.
V = Verdadero
F = Falso
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas – La negación
Tabla de verdad
México consumó su
independencia en 1821
No es cierto que México consumó su
independencia en 1821
Verdadero Falso
Falso Verdadero
Usando nuestro conocimiento de la historia de México, sabemos que de hecho ese
enunciado es verdadero y que por tanto su negación lógica (“No es cierto que México
consumó su independencia en 1821”) da lugar a un enunciado falso..
Es importante subrayar que la negación de un enunciado falso, da lugar a un enunciado
verdadero.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Lenguaje relacionado: Y; también; además; incluso; e; “,”; pero; entre otras expresiones.
Las conectivas lógicas – La conjunción
∙ ∩ ∧Símbolos:.Tabla de verdad
a b a˄b
V V V
V F F
F V F
F F F
Maneras de leer la conjunción lógica.
• A y B • A además de B
• A pero B • Tanto A como B• A sin embargo B • A aunque B
Ejemplos:
a = La Independencia de México se festeja el 15 de septiembre.
b = La Revolución Mexicana se festeja el 20 de noviembre . V = VerdaderoF = Falso
a˄b = La Independencia de México se festeja el 15 de septiembre y la revolución el 20 de
noviembre.
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CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD
En la tabla de verdad de la negación sólo teníamos dos valores, puesto que una fórmulaque por ejemplo represente un enunciado atómico sólo puede tener dos valores:
verdadero o falso. En cambio, en la conectiva de la conjunción relacionamos dos
fórmulas, por ello se duplica la cantidad de valores. Para contemplar todos los valores de
verdad posibles en la relación entre fórmulas, aplicamos la regla 2, sabiendo que 2 es el
número de valores posibles que le corresponden a una sola fórmula (verdadero o falso) y
“n” el número de letras de enunciado presentes en las fórmulas que se estén
relacionando. En este caso tendríamos 2; por lo tanto, el resultado son 4 valores, lo cualnos indica el número de filas que tendrá nuestra tabla de verdad.
La colocación de valores en la tabla se ajusta a la convención que estipula comenzar por
los valores verdaderos. Los de la primera fórmula de la izquierda tendrán la mitad de los
valores totales como verdaderos y la otra mitad como falsos. La fórmula siguiente a la
derecha tendrá la mitad de los anteriores hasta concluir el total de valores. En la siguienteunidad te ejercitarás en la colocación de los valores en su tabla de verdad cuando veamos
el tema de tablas de verdad como método para la demostración de la validez.
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CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDADEjemplo
Supondremos que tenemos un enunciado con tres variables (p, q, r) que pueden tomar valores de cierto y falso, así según lo dicho previamente tendremos un conjunto de
valores de 23 = 8, de estos ocho valores para la primera variable 4 deberán ser ciertos y
otros 4 deberán ser falsos. Para la segunda variable los deberá haber 2 valores de cierto y
2 de falso y repetirlos hasta completar la tabla y para la tercera variable deberá haber 1
valor de cierto y un valor de falso y repetirlos hasta completar la tabla. L
Las subsecuentes columnas pertenecen a las operaciones lógicas que involucran a las
variables.p q r ~p p˄q
V V V F V
V V F F V
V F V F F
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V F
F F F V F
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Lenguaje relacionado: O, u, o bien, y cualquier otra expresión similar.
Las conectivas lógicas – La disyunción
⋁Símbolos:. disyunción inclusiva Tabla de verdad
a b a˅b
V V V
V F V
F V V
F F F
Maneras de leer la disyunción inclusiva lógica.
• O bien A , o bien B exclusiva
Ejemplos:
a = Iré al cine.
b = Iré al teatro. V = Verdadero
F = Falsoa˅b = Iré al cine o al teatro.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Lenguaje relacionado: O, u, o bien, y cualquier otra expresión similar.
Las conectivas lógicas – La disyunción
Símbolos:. ≢ disyunción exclusiva Tabla de verdad
Maneras de leer la disyunción exclusiva lógica.
• O bien A , o bien B exclusiva
Ejemplos:
a = Manolo esta en España.
b = Manolo esta en México. V = VerdaderoF = Falso
≢ = Manolo o esta en España, o esta en México
a b ≢ b
V V F
V F V
F V V
F F F
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Lenguaje relacionado: (Si…, entonces…), (Si…, …), (…, sólo si…) (Los… son…)..
Las conectivas lógicas – La condicional o implicación material
Símbolos:. ⊃ > ⇒ Tabla de verdad
Maneras de leer la condicional lógica:
• Si A entonces B • A, si B
• A es necesaria si se da B • Sólo A si B• No se da A sin B • No A o B
Ejemplos:
a = Apruebas el examen de ingreso a la universidad.
b = Te regalaré un carro. V = VerdaderoF = Falso
⇒ = Si apruebas el examen de ingreso a la universidad entonces te regalaré uncarro
a b ⊃ b
V V V
V F F
F V V
F F V
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas – La condicional o implicación material
“Si p entonces q”, llamamos antecedente al enunciado que aparece a la izquierda de la
palabra entonces y que en este caso es “p”, y llamamos consecuente al enunciado que
aparece a la derecha de la palabra entonces, en este caso “q”.
Sin embargo, sí hay algo que asevera el enunciado condicional: a saber, la relación que
guardan entre sí, antecedente y consecuente. En otras palabras, que aquello que sea q o elconsecuente, se da al presentarse p o el antecedente. Lo cual es igual a decir que q es
consecuencia de p. Por eso decimos que p es condición suficiente para la presencia de q;
es decir, saber que contamos con p es suficiente para saber que contamos con q. Por otra
parte, si sabemos que contamos con q, en ese caso es necesario que contemos con p. Es
por eso que podemos decir que q es condición necesaria para la presencia de p.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas – La condicional o implicación material
⇒
a es condición suficiente para b
b es condición necesaria para a ”Si un número es div is ib le entre 4 entonces es d iv is ible entre dos 2
1. La div is ibi l idad p ara 4 es co nd ic ión s uf ic iente para la div is ibi l idad para 2.
Es s ufic iente que u n número sea div isib le entre 4 para que tamb ién lo sea
entre 2.
2. L a d iv is ib il id ad en tre 2 es c ondic ión n ec es ar ia p ara la d iv is ib il id ad en tre 4.
Es n eces ar io q ue un número s ea d iv is ib le en tre 2 p ara q ue s e d iv is ib le en tre 4,
pero no es cond ic ión su f ic ien te por ejem plo 6 es d iv is ib le en tre dos pero no
en t re 4.
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Las conectivas lógicas – La condicional o implicación material
⇒
Enunciación hipotética condicional
Iréa trabajar s i me pagan , Si me pagan en tonces iréa trabajar, Si voy a
trab ajar en to nc es me pagan , Si n o me pagan en to nces n o iréa trab ajar, Si n o
v oy a trab ajar en to nc es n o me pagan .
⇒
~ ⇒ ~
~ ⇒ ~
La recíproca
La inversa
La contrarecíproca
La normal
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Lenguaje relacionado: (Si y sólo si… equivale a…,), (decir … es tanto como decir …),(decir … es lo mismo que decir …), y otras expresiones análogas
Las conectivas lógicas – La bicondicional o equivalencia material
Símbolos:. = ⟺≡ Tabla de verdad
Maneras de leer la condicional lógica:
• A si y sólo si B • A implica B y B implica A
• A es necesario y suficiente para B • A es lo mismo que B• No hay diferencia entre decir A o decir B • A siempre y cuando B
Ejemplos:
a = Un triángulo es equilátero.
b = Un triángulo equilátero tiene sus ángulos de igual medida. V = VerdaderoF = Falso
⟺ = Un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus ángulos de igual medida
a b ⟺ b
V V V
V F F
F V F
F F V
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FORMAS DEDUCTIVAS CON LÓGICA DE ENUNCIADOS
Simples: Expresan una idea simple, sin conectivas lógicas.
Proposiciones simples y compuestas
El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de susproposiciones simples.
Suponga que a=verdadero, b = falso y c = verdadero.
Compuestas: Formadas por varias proposiciones y tienen una o varias de las conectivas
lógicas.
(( ∨ ) ∧ ~) ⇒ ( ⇒ )Ejemplo:
(( ∨ ) ∧ ~) ⇒ ( ⇒ )
(( ∨ ) ∧ ~) ⇒ ( ⇒ )
v F F
F
V
Primero se substituyen valores y se resuelve para las
conectivas lógicas primarias.
Se obtienen valores para las conectivas lógicas
primarias y se resuelve para el siguiente nivel de
conectivas lógicas hasta llegar al resultado final.