LA PROGRAMACION LINEAL EN LAS CIENCIAS

AGROPECUARIAS

ING. JOHN ZAMORA CORDOVA

DIAGNOSTICO

Planeación de la

Producción

Distribución Asignación de recursos limitados

Inventarios Programación de Actividades

Pronósticos de

Demanda

Medio Ambiente

Análisis de Líneas de

Espera

Analisis de Sistemas de Producción

Que el área de sistemas lo proporcione

Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema bajo estudio

Seleccionar el Modelo

Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos

Programación Lineal

 Soluciones

Reales  

Programación Lineal Entera

  

Soluciones Entereas

Programación Lineal por

metas 

Soluciones en orden de prioridad

Programación Dinámica

  

Soluciones en Etapas continuas

Optimización de Redes

 Soluciones

orientadas a la distribución

óptima

Control de Inventarios

 Soluciones por

etapas (n+1)

Pronósticos 

Comportamiento futuro sistema

basado en datos históricos

Teoría de Colas

Determinación de tiempos de

espera y longitud de la cola promedio

 

Simulación de Sistemas

Estimación de las medidas de desempeño del

sistema modelado

HERRAMIENTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TIPOS DE PROBLEMAS

Mapa conceptual del área de INVESTIGACION DE OPERACIONES (IO)  Alumnos capaces de definir un problema

CONCEPTO Y DELIMITACIÓN DE LA I.O.

• ANTECEDENTES: Surge durante la segunda Guerra Mundial, luego y con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el desarrollo de la informática.

• DEFINICIÓN: Aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario de personas avocados en la resolución de un problema.

• OBJETIVO: Decidir mediante métodos científicos el diseño que optimiza el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

Fases de un

estudio

 FORMULACIÓN DEL

PROBLEMA 

   CONSTRUCCIÓN DEL

MODELO

 NECESIDAD DE

REORGANIZACIÓN 

   MODELO DEL SISTEMA

REAL

 SISTEMA DE INTERÉS

 

   OBTENCIÓN DE DATOS

 TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y

CONTROL 

    

SOLUCIÓN DEL MODELO

 INTERPRETACIÓN DE

RESULTADOS E IMPLICACIONES

 

   VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

BASE FILOSOFICA El reduccionismo ha sido el enfoque que

más accionó en la especialización progresiva que ha sufrido la ciencia hasta hoy, con él, se ganó profundidad en los conocimientos pero no, amplitud. “ por observar el árbol se perdió de vista el bosque”.

En tanto, la visión general de sistemas persigue un enfoque fenomenológico, integrador, que permite ver el conjunto, comprender el todo, “entender el bosque”, para luego comprender las partes que lo constituyen

PROGRAMACION LINEAL

Mucha gente sitúa el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de la segunda mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmación si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario.

Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles.

APLICACIONES Se aplica a problemas que se refieren a la

conducción y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia, el gobierno, los hospitales, etc. Desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de envío; desde la planeación agropecuaria (formular raciones: Mixit-2plus), hasta el diseño de una terapia de radiación, etc.

El problema de la industria de las Pelotas

produce dos tipos de pelotas:* Pelotas de basquet* Pelotas de fútbol

Los recursos están limitados a:

* 1200 libras de plástico especial.

* 40 horas de producción semanalmente. Requerimientos de Marketing.

* La producción total no puede exceder de 800 docenas.* El número de docenas de las pelotas de básquet no puede exceder al número de docenas de las de fútbol por más de 450.

Requerimientos Tecnológicos.

* Las de básquet requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de producción por docena.* Las de fútbol requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción por docena.

Plan común de producción para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a las de básquet ($8 de utilidad por docena).* Usar la menor cantidad de recursos para producir las de fútbol, porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por docena).

Solución Variables de decisión

* X1 = Cantidad producida de Pelotas de Básquet (en docenas por semana).

* X2 = Cantidad producida de Pelotas de Fútbol (en docenas por semana).

Función objetivo* Maximizar la ganancia semanal.

El conjunto de puntos que satisface todas las

restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

Modelo de Programación Lineal

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

1200

600

The Plastic constraint

Factible

Restricción del plástico: 2X1+X2<=1200

X2

No Factible

Horas deProducción3X1+4X2<=2400

Restricción del total de producción: X1+X2<=800

600

800

Restricción del exceso de producción:X1-X2<=450

• Tipos de puntos de factibilidadPunto Inferior

Punto MedioPunto Extremo

X1

Recalcular la región factible

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Utilid. = $ 000 2,

Entonces aumente la ganancia...

3,4,

...y continúe hasta que salga de la región factible

Ganancia =$5040

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Se toma un valor cercano al punto óptimo

FeasibleregionRegiónFactible

Región no factible

Resumen de la solución óptima

Pelotas de básquet = 480 docenas

Pelotas de Fútbol = 240 docenas

Ganancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y

todas las horas de producción. * La producción total son 720 docenas (no 800).

* La producción de las de Básquet excede a las de Fútbol por solo 240 docenas y no por 450.

Soluciones óptimas y puntos extremos.* Si un problema de programación lineal tiene una solución

óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

Múltiples soluciones óptimas. * Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica

que la función objetivo es una recta paralela a uno de los

lados de la región factible.* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es también una solución óptima.

Soluciones no acotadas y no factibles. * Cuando no se puede encontrar la mas optima de todas

las soluciones (la región factible no esta limitada) tiende al infinito* Cuando no existe ningún valor que cumpla con todas las restricciones (la región factible es vacío).

Solución mediante el método Simplex

Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:

Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Sujeto a:2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico

3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producciónX1 + X2 <= 800 (Limite

producción totalX1 - X2 <= 450 (Producción en excesoXj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir las siguientes restricciones:

Restricciones del Algoritmo

a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo. Para minimizar se debe maximizar (-z).b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.

2x1 + X2 + S1 =1200 ;S1 = Var. de holgura

<= 3X1 + 4X2 + S2 = 2400 ;S2 = Var de holgura

X1 + X2 + S3 = 800 ;S3 = Var de holgura

(caso ficticio)>= 2X1 + x2 >= 100 2X1 + X2 - S4 = 100 ;S4 = Var de exceso

c) Todas las variables deben ser mayores que cero.

x1 - x2 + S4 + a1 = 450 a1= Var artificial

Por el hecho de haber agregado una variable artificial se debe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muy grande y negativo representado por -M.

Max 8x1 + 5x2 - Ma1

8 5 0 0 0 0 CB XB X1 X2 S1 S2 S3 S4 bi

Zj –Cj -8 -5 0 0 0 0 0 0 S1 2 1 1 0 0 0 1200 0 S2 3 4 0 1 0 0 2400 0 S3 1 1 0 0 1 0 800 0 S4 1 -1 0 0 0 1 450 COEF. TEC MATRIZ IDENTIDAD

8 5 0 0 0 0 CB XB X1 X2 S1 S2 S3 S4 bi

Zj –Cj 0 0 0 3.4 0.4 4.4 0 0 05040 0 X1 1 0 0.8 -0.2 0 0 480 0 X2 0 1 -0.6 0 0 240 0 S3 1 0 1 0 80 0 S4 1 0 0 1 210

-0.2-1.4

0.4-0.20.6

Y Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6

PRECIOS DUALESCOSTOSREDUCIDOS

Análisis de sensibilidad para la solución óptima.

¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada?

Posibles razones para responder la pregunta anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores

estimados.* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información

económica y operacional.

Análisis de sensibilidad de los coeficientes de la función

objetivo

Rango de optimalidad– La solución óptima permanecerá inalterable

mientras: Un coeficiente de la función objetivo se encuentre

dentro del rango de optimalidad. No hay cambios en ningún otro parámetro.

– El valor de la función objetivo cambiará si el coeficiente

multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

Los efectos del cambios en un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200 X2

X1

Max 8x1 + 5x2

Max 4x1 + 5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2

400 600 800

Los efectos del cambio de un coeficiente de la función objetivo, sobre la solución óptima

600

800

1200

400 600 800

X2

X1Max8x1 + 5x2

Max 3.75x1 + 5x2

Max8x1 + 5x2

Max 3.75 x1 + 5x2M

ax 10 x1 + 5x23.75

10

Rango de optimalidad

8 5 0 0 0 0 CB XB X1 X2 S1 S2 S3 S4 bi

Zj –Cj 0 0 0 3.4 0.4 4.4 0 0 05040 0 X1 1 0 0.8 -0.2 0 0 480 0 X2 0 1 -0.6 0 0 240 0 S3 1 0 1 0 80 0 S4 1 0 0 1 210

-0.2-1.4

0.4-0.20.6

Y Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6

PRECIOS DUALESCOSTOSREDUCIDOS

Cambios Múltìples El rango de optimalidad es válido cuando un único

coeficiente de la función objetivo cambia.

Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla del 100%.

Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de la función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible (disminución) determinada por los límites del rango de optimalidad.

Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.

Reducción de costosLa reducción de costos de una variable a su cota inferior (comúnmente cero) implica que:

– Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.

– Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará según las variables aumentadas desde la cota inferior.

Holgura complementaria

– Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variable está en su cota inferior o el costo reducido es 0.

Análisis de Sensibilidad del coeficiente del lado derecho

Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de una restricción activa cambiará la solución óptima.

Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima.

Para el análisis de sensibilidad de la validez de los coeficiente del lado derecho

nos interesa responder las siguientes preguntas :

¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad?

¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida?

1200

600

X2

Restricción materiales (plásticos)

FeasibleX1

600

800

Restricción del tiempo de producción

Ganancia máxima= 5040

2x1 + 1x2 <=1200

Nueva restricción materiales (plásticos)2x1 + 1x2 <=1350 Combinación de restricciones en la producción

Puntos extremos

8 5 0 0 0 0 CB XB X1 X2 S1 S2 S3 S4 bi

Zj –Cj 0 0 0 3.4 0.4 4.4 0 0 05040 0 X1 1 0 0.8 -0.2 0 0 480 0 X2 0 1 -0.6 0 0 240 0 S3 1 0 1 0 80 0 S4 1 0 0 1 210

-0.2-1.4

0.4-0.20.6

Y Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6

PRECIOS DUALESCOSTOSREDUCIDOS

Interpretación correcta del precio sombra

Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.

Los costos incluídos: El precio sombra es el valor superior por unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo del coeficiente de la función objetivo.

EL RANGO DE FACTIBILIDAD

El conjunto de los coeficientes del lado derecho entregan el rango para que el mismo conjunto de restricciones determine el punto óptimo.

Dentro del rango de factibilidad, los precios sombras permanecen constante; sin embargo, la solución óptima cambiará.

Otros Cambios para optimizar la Función Objetivo:

La incorporación de una restricción. La eliminación de una restricción. La incorporación de un variable. La eliminación de un variable. Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.

Considere el problema de la empresa que opera una hacienda con 800 hectáreas de tierra en la costa norte del país. Las principales actividades de esta empresa son el cultivo de trigo, alfalfa y la crianza de ganado vacuno. Las autoridades de recursos hidráulicos en el referido valle acaban de dar las asignaciones de agua para el próximo año. (A esta empresa se le asigno con 1000 ha-pie) y se esta ocupado en la preparación de su plan de producción del próximo año. El se imagina que los precios de la carne se mantendrán alrededor de $500.00 por tonelada y el trigo se venderá $2.00 por acre.

PROBLEMA

ACTIVIDAD COSTO M/OMAQ.Y OTROS

REQUERIMIENTO DE AGUA

REQUERIMIENTO DE TIERRA

REQUERIMIENDE ALFALFA

1 Ha de trigo $ 20 2 Ha-pie 1 Ha1 Ha de alfalfa $ 28 3 Ha-pie 1 Ha1 Ton de carne $ 50 0.05 Ha-pie 0.1 Ha 5 Ton

La mejor predicción es que la alfalfa se podría vender a $22.00 por tonelada, pero si llegara a necesitar mas alfalfa que la que pudiera cosechar para alimentar su ganado tendría que pagar $28.00 por tonelada para conseguirla.Algunos detalles tecnológicos de la operación por la empresa son los siguientes: el trigo produce 70 acres por hectárea; la alfalfa 4 toneladas por hectárea. Otros datos en la siguiente tabla:

Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres componentes básicas:

i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo,

W: Hectáreas de trigo cultivado y vendido.B: Ton. de carne de ganado criado y vendidoC: Toneladas de alfalfa comprada

D: Tonelada de alfalfa vendida.A: Toneladas de alfalfa cultivada.

SOLUCION PROGRAMACION LINEAL

ii) La función objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por:Z = C1W + C2B + C3D + C4C - C5AC1 = ($2/acre)(70acre/Ha)-$20/Ha=140-20 = $120/HaC2 = $500/Ton - $50/Ton = $450/TonC3 = $22/TonC4 = $28/TonC5 = ($28/Ha)(1Ha/4Ton) = $7/Ton Z = f(W,A,B,C,D) = 120W + 450B + 22D + 28C - 7A

iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. Respetar lo disponible de tierra, agua para el plan de producción:(1HaTIE/HaTRI) WHaTRI + (1HaTIE/HaALF) (1HaALF/ 4TonALF) ATonALF + (0.1HaTIE/TonCARNE)BTonCARNE

(2Ha-pieAGUA/HaTRI)WHaTRI +(3Ha-pieAGUA/HaALF)(1HaALF/ 4TonALF)ATonALF + (0.05Ha-pieAGUA/TonCARNE)BTonCARNE (5TonALF/TonCAR)BTonCAR+DTonALF = ATonALF+CTonALF

Has de tierra disponibles: W + 0.25A + 0.1B 800Ha-pie de ración de agua:2W + 0.75A + 0.05B 1000Ton de alfalfa para el ganado : - A + 5B - C + D = 0También se impone restricciones de no-negatividad:

W, A, B, C, D 0

En resumen:z = f(W,A,B,C,D) = 120W + 450B + 22D + 28C - 7A sa: W + 0.25A + 0.1B +S1 800

2W + 0.75A + 0.05B +S2 1000 -A + 5B - C +D +A3 = 0

SOLUCION POR EL METODO SIMPLEX: TABLERO INICIAL

120 450 22 -28 -7 0 0 -M CB XB W B D C A S1 S2 A3 BI

Z -120 -450 -5M

-22 -M

28 + M

7 + M 0 0 0 0

0 S1 1 0.1 0 0 0.25 1 0 0 800 0 S2 2 0.05 0 0 0.75 0 1 0 1000

-M A3 0 5 1 -1 -1 0 0 1 0

VAR. BASICA MATRIZ DE COEFICIENTES TECNOLOGICOS MATRIZ IDENTIDAD LADO DER

120 450 22 -28 -7 0 0 -M CB XB W B D C A S1 S2 A3 BI

Z 2980 0 6 0 754 3100 0 M+28 2480000 -28 C 50 0 -1 1 13.5 50 0 -1 40000 0 S2 1.5 0 0 0 0.625 -0.5 1 0 600

450 B 10 1 0 0 2.5 10 0 0 8000 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y1 Y2 Y3

TABLERO FINAL Y SOLUCION OPTIMA

W= 0 Hectáreas de trigo cultivado y vendido.A = 0 Toneladas de alfalfa cultivada. B = 8000 Ton. de carne de ganado criado y vendidoC = 40000 Toneladas de alfalfa compradaD = 0 Tonelada de alfalfa vendida.S2 = 600 Ha-pie de ración de agua no utilizadosZ = 2480000 Valor optimo

¿qué cantidad de agua se esta usando? ¿Comprara o venderá alfalfa? Cuanto. ¿Cuanto pagara para adquirir otro Ha-pie de

agua? ¿Que sucede con la política de plantación

optima si el precio del trigo se triplica?¿qué pasa con la FO? ¿en cuanto se deberá incrementar el precio del trigo para que sea atractivo su cultivo?

¿Que sucede con el valor optimo de la FO si el costo de alfalfa comprada aumenta de $28 a $29? ¿En cuanto disminuirá el costo de compra de alfalfa sin que la política optima de plantación cambie?

Si la disponibilidad de tierra aumenta de 800 a 2100 ¿la FO aumenta en 4030000?

En cuanto debiera solicitar le diminuyan el agua