1

TEMA 1:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

TÓPICOS DE MÁTEMATICA

UPC

2

COMPETENCIAS• Definir el concepto de sistemas de ecuaciones lineales.

• Describir el concepto de solución de un sistema de ecuaciones lineales y de conjunto solución.

• Clasificar un S.E.L. de acuerdo con su conjunto solución.

• Interpretar geométricamente los diversos tipos de S.E.L. para los casos de dos y tres incógnitas.

• Describir los diferentes tipos de transformaciones elementales en un S.E.L.

• Describir el método de eliminación de gauss en forma matricial.

• Definir el concepto de S.E.L. homogéneos.

3

Introducción:

Multitud de fenómenos naturales,

sociales, económicos o técnicos se

comportan linealmente; es decir

presentan la Ax = b , lo cual se reduce

al problema de resolver un sistema de

ecuaciones lineales.

4

Ejemplo:

• En economía, la función demanda

expresa la cantidad de piezas de cierto

producto que se venden en función de

su demanda. Con frecuencia, ella y sus

variables forman una ecuación lineal.

5

Se dice que la mayor parte del tiempo que los ordenadores actuales dedican a resolver problemas matemáticos, que tienen que ver con la industria y el comercio, se emplea en el tratamiento de sistemas de ecuaciones lineales: así tenemos: Modelos económicos lineales. La programación lineal. Circuitos eléctricos. Cadenas de Markov.

6

EJEMPLO :

Una firma de transporte posee tres tipos de camiones A, B y C. Los camiones pue-den transportar dos clases de maquinaria pesada . El número de máquinas de cadaclase que puede transportar cada camiónse encuentra en el siguiente cuadro:

7

Máquinas camiones A B C

clase 1 2 1 1clase 2 0 1 2

Máquinas camiones A B C

clase 1 2 1 1clase 2 0 1 2 Si la firma debe transportar 32 máquinas de

clase 1 y 10 máquinas de clase 2 .¿Cuántos camiones se requieren para satisfacer el total de transporte y cuál es la solución más económica. Sabiendo que el costo de transporte por camión es el mismo?.

8

Interpretación geométrica en R2 de una ecuación lineal

Ecuación general de una recta: Ax + By + C =0

x

y

0La gráfica de toda ecuación de primer grado con dos incógnitas en el sistema de coordenadas rectangulares XY, es una recta y viceversa.

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + bX

Y

Ecuación de la recta.

10

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas x1 , x2 ,..., xn es un conjunto finito de ecuaciones lineales en dichas incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2+... + amn xn = bm

.... .. .. ..

11

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Una sucesión finita de números reales esuna solución de un S.E.L si es solución de cada ecuación del sistema.

Al conjunto de todas las soluciones se le llama conjunto solución del S.E.L.

12

Ejemplo: El sistema: x + y = 5

x y = 3 es determinado la única solución es el par formado por x = 4 e y = 1.

(4; 1)

Las rectas son secantes

El punto de corte es la única solución de la ecuación.

En este caso el par ordenado (4; 1).

C.S.= {(4; 1)

13

b. Indeterminado: si admite un número ilimitado de soluciones.

Ejemplo: El sistema: x + y = 53x + 3y = 15

admite infinitas soluciones.

En este caso, las rectas son coincidentes.

C.S. ={(x; y) R2/ x + y = 5

14

Incompatible: es cuando el sistema no admite solución.Ejemplo: El sistema : x + y = 5

3x + 3y = 12 no admite ninguna solución.

En este caso, las rectas resultantes son paralelas.

C.S. =

15

Determinados: solución única.

Indeterminados : infinitas soluciones.

CUADRO RESUMEN

COMPATIBLE

INCOMPATIBLE

CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO

16

    MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON

DOS INCÓGNITAS  

MÉTODO DE IGUALACIÓN Este método consiste en despejar en ambas ecuaciones una de las incógnitas e igualarlas.

Ejemplo: resuelva el siguiente sistema 

2x + 3y = 73x 5y = 1

17

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNConsiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una sola ecuación de primer grado con una incógnita cuya resolución ya nos es familiar.

Ejemplo: resuelva el sistema 

3x 2y = 75x 4y = 3

18

MÉTODO DE ELIMINACIÓN Este método consiste en buscar eliminar una incógnita sumando ambas ecuaciones. Esto se consigue multiplicando cada ecuación por un número real no nulo, de tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos. Finalmente se suma las dos ecuaciones para obtener una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

Ejemplo: resuelva el sistema 

4x + 3y = 63x + 5y = 1

19

Sea el sistema:

Se tiene:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1

a21 x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ...+amnxn= bm

... ...... ...Método Matricial

20

a11 a12 ...a1n a21 a22 ... a2n

am1 am2... amn

......

Matriz delsistema.

Matriz aumentada delsistema.

a11 a12 ...a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

am1 am2... amn bm

...... ...

21

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS

1. Intercambiar dos filas cualesquiera de la matriz. NOTACIÓN: Fi X Fj

2. Multiplicar cualquier fila de la matriz por una constante diferente de cero.

NOTACIÓN: c.Fi ; 3. Reemplazar cualquier fila de la matriz por el

resultado de sumarle a ella un múltiplo de cualquier otra fila. NOTACIÓN:Fi+ cFi;c= 0

c= 0

22

MATRICES EQUIVALENTES POR FILAS

Sea A una matriz. Si B se obtiene de A mediante una sucesión finitade operaciones elementales de filas se dice que A y B son equivalentespor filas y se escribe: A B

23

Componente guía

Definición:Es el primer elemento no nulo de una fila, comenzando esta de izquierda a derecha.

24

Matriz escalonada por filaDefinición:Una matriz se llama escalonada por filas si:1.Todas las componentes que se encuentrandebajo de la componente guía de una fila son ceros.2. La componente guía de cada fila se en-cuentra a la derecha de la componente guía de la fila que la precede.3.Todas las filas nulas se encuentran al final de la matriz.

25

Observación: Si además en la definición anterior, se cumple que :

1. Todas las componentes guías son 1.

2. Cada columna que incluye una com- ponente guía contiene ceros en los demás elementos, la matriz se llama: “ escalonada reducida por filas”

26

EJEMPLOS

27

MÉTODO DE GAUSS (forma matricial)

1.Representar el sistema mediante su matriz ampliada.

2.Mediante operaciones elementales filas reducir la matriz ampliada a una

forma escalonada.

3.Obtener el sistema equivalente que resulta.

28

4.Resolver el sistema por sustitución regresiva tomando las variables

libres necesarias.Nota: Si en el 2do paso se obtiene la matriz escalonada reducida, el 4to paso se simplifica enormemente ( Método de Gauss-Jordan)

Donde:

No de variables libres =no de incógnitas -no de ecuaciones

29

SISTEMAS INCOMPATIBLES

Teorema:Un sistema lineal de ecuaciones es incompatible si y sólo si su matriz escalonada por fila tiene alguna fila de la forma [0 0 ...0 C] con C = 0.

30

OBSERVACIONES

1. Un sistema compatible es determinado si y sólo si su forma escalonada tiene tantas filas no nulas como incógnitas.

2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones y ya

está en su forma escalonada, entonces hay infinitas soluciones es decir es indeterminado.

31

Sistemas homogéneos

Son los que tienen todos sus términos independientes nulos.

a11x1 + a12x2 + ...+a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ...+a2nxn = 0

am1x1 + am2x2 + ...+amnxn = 0... ......

32

Todo sistema homogéneo es compatible

TEOREMA:

SISTEMA HOMOGÉNEO

Determinado:La única solución es la solución trivial.

Indeterminado: Existen infinitas soluciones. Además de la trivial, existen otras soluciones.

33

CONCLUSIONESForma escalonada:

[0 0 ...0 C]•Alguna fila Incompatible

•Ninguna fila [0 0 ...0 C]

COMPATIBLE NF = NI Determinado

NF < NI Indeterminado