Tema 1: Introducción · EyM 1-2 Escalares y Vectores ... Representación de campos vectoriales-2...
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J.L. Fernández JambrinaEyM 1-1
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Repaso de álgebra vectorial
Sistemas de coordenadasCartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.Gradiente
Divergencia
Rotacional
Derivada temporal
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.
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Escalares y Vectores
• Escalar: – Magnitud determinada por un número.
– Ejemplos: Longitud, masa, tiempo, …
• Vector:– Magnitud determinada por un número (módulo), una dirección y un
sentido.
– Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleración, …
VectoraA
EscalaraA
⎭⎬⎫
aA
rrAr
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Concepto de campo
• Un campo es la descripción de determinadas propiedades de los puntos del espacio.
• Campo Escalar.– Se puede describir con sólo un número para cada punto.
– Se representa por medio de una función de la posición.
– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno. Potencial Electrostático...
• Campo Vectorial.– Para cada punto la propiedad varía con la dirección
considerada.
– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio.
– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...
• El campo electromagnético requiere al menos dos vectores.
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Representación de campos escalares
0
10
20
30
0
10
20
30-2
-1
0
1
2
Representacion 3D
5 10 15 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Isotímicas
z xe x y= − −2 2
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Representación de campos escalares
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Representación de campos vectoriales
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Vectores
ρ
Z
Líneas de campo
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Representación de campos vectoriales
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Representación de campos vectoriales
• Campo eléctrico en un coaxial • Campo magnético en un coaxial
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Álgebra vectorial: Suma Vectorial
• Suma de vectores:
– Propiedad Conmutativa: - Propiedad Asociativa:
Ar
CBArrr
++
Br
Ar
BArr
+
Br
Br
Ar
Cr
Ar
BArr
+
Br
ABBArrrr
+=+ ( ) ( )CBACBArrrrrr
++=++
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Álgebra vectorial: Producto por un escalar
• Producto por un escalar:– Es multiplicar su módulo por el escalar:
– Propiedades:
Ar
( ) ( )
( ) BABA
AAA
AA
AA
rrrr
rrr
rr
rr
ααα
βαβα
αββα
αα
+=+
+=+
=
=
)(
Ar
α
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Álgebra Vectorial: Producto escalar.
• El producto escalar de dos vectores es:
Es un escalar.
• Propiedades:
αcosBABArrrr
=⋅ Ar
Br
α
( )( ) ( ) ( )BABABA
CABACBA
ABBA
rrrrrr
rrrrrrr
rrrr
ααα ⋅=⋅=⋅
⋅+⋅=+⋅
⋅=⋅
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Álgebra Vectorial: Producto escalar (2)
• Obtención del módulo de un vector:
• Vectores unitarios:– Los de módulo unidad:
– Obtención de un vector unitario
αcosBABArrrr
=⋅
Ar
Br
α
002
≥⋅=⇒==⋅ AAAAAAAArrrrrrrr
cos
11 =⋅⇔= aaarrr
⎩⎨⎧ =
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
⋅=
≠
Aa
a
AA
Aa
Arr
r
rr
rr
r
//
10
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Álgebra Vectorial: Producto escalar (3)
• Signo del producto escalar:
• Propiedad:
αcosBABArrrr
=⋅
Ar
Br
0>⋅ BArr
Ar
Br
α
0<⋅ BArr
Ar
Br
2πα =
0=⋅ BArr
α
BA
B
A
BArr
r
r
rr
⊥⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
≠
≠=⋅
0
0
0
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Bases y componentes
• Base ortonormal:– Vectores unitarios ortogonales que permiten construir cualquier vector
(del espacio correspondiente) por combinación lineal.
– Componentes:
zAyAxAA
zz
zyyy
zxyxxx
zyxBase zyx ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆ,ˆ,ˆ: ++=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
⇒r
1
01
001
( )
z
y
xzyx
AzA
AyA
AxzAyAxAxA
=⋅
=⋅
=⋅++=⋅
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆˆ
r
r
r
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Álgebra Vectorial: Producto Vectorial
• El producto vectorial de dos vectores:– Es otro vector:
– Ortogonal a los operandos:
–
– Orientado según la regla del tornilloal girar el primero hacia el segundo
Ar
Br
α
BArr
×
αsenBABArrrr
=×
Br
Ar
ααsenB
r
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Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (2)
• Propiedades:
( )( ) ( ) ( )
0
0
=×
=×⇒
×=×=×
×+×=+×
×−=×
AA
BABA
BABABA
CABACBA
ABBA
rr
rrrr
rrrrrr
rrrrrrr
rrrr
//
ααα Ar
Br
BArr
×
BArr
×−
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Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (3)
• Propiedades:
xy
z
( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABA
BBB
AAA
zyx
BA
xzyyxzzyx
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
−+−+−=
==×
=×=×=×
rr
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Álgebra vectorial: Productos triples
( ) ( )CBACBArrrrrr
⋅≠⋅
Ar
BArr
×
Cr
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBA
ACBBCACBA
CBABCACBA rrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrr
××≠××⇒⎭⎬⎫
⋅−⋅=××⋅−⋅=××
( ) ( ) ( )→×⋅=×⋅=×⋅ BACACBCBArrrrrrrrr
Br
( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBArrrrrrrrrrrr
⋅⋅−⋅⋅=×⋅×
Producto Mixto
Doble Producto vectorial
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Álgebra vectorial: Diferenciación
• Derivada de un vector:
• Propiedades:
( ) ( ) ( )α∆
∆α∆
αα∆ααα
αα
AAA
d
Adrrrr
00 →→=
−+= limlim
zd
dAy
d
dAx
d
dA
d
Ad zyx ˆˆˆαααα
++=r
( ) ( )( ) ( )
αααααα
αααααα
d
BdAB
d
AdBA
d
d
d
AdmA
d
dmAm
d
dd
BdAB
d
AdBA
d
d
d
Bd
d
AdBA
d
d
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrrr
×+×=×⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅+=+
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Álgebra vectorial: Diferenciación (2)
• Diferencial de un vector:
zdAydAxdA
zdd
dAyd
d
dAxd
d
dA
dd
AdAd
zyx
zyx
ˆˆˆ
ˆˆˆ
++=
=++=
==
αα
αα
αα
αα
rr
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Álgebra Vectorial: Integración
• Definición como límite de una suma:
• Evaluación:
( ) ( )( )11
−=
∞→−= ∑∫ ii
N
ii
N
b
a
AdA ααβααrr
limiii
NN ba
αβα
αααα
≤≤
=≤≤≤=
−
−
1
110 L
∫∫∫∫ ++=b
a
z
b
a
y
b
a
x
b
a
dAzdAydAxdA αααα ˆˆˆr
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Sistemas de coordenadas
• Hacen falta para describir los puntos del espacio.
• El más simple es el cartesiano:– Al decir que un punto P tiene coordenadas
x0, y0, z0 se quiere decir que está contenidoen los planos:
– Los vectores unitarios llevan la dirección y sentido en que se desplaza el punto al incrementar la coordenada correspondiente.
– Los vectores unitarios se ordenan deforma que el producto vectorial del primero por el segundo da el tercero:
» Sistema levógiro o a izquierdas.
000 zzyyxx ===
dx
rd
x
rx
x
rr=
∆∆
=→∆
limˆ0
zyx ˆˆˆ =×
z z= 0
y y= 0
X
Z
Y
$x
$y
$z
P
x x= 0
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Sistema cartesiano (2)
rr
r rr l+ ∆
∆rl
O
– El vector de posición del punto es el vector que une el origen de coordenadas con el punto:
– Un desplazamiento a lo largo de una curva se puede definir por un vector:
– Si el desplazamiento es de magnitud muy pequeña (infinitesimal) se puede representar por:
» Puesto que una curva está definida por dos ecuaciones, los tres diferenciales se pueden reducir a uno.
– La longitud del desplazamiento infinitesimal será:
zzyyxxr ˆˆˆ ++=r
222 dzdydxldldlddl ++=⋅==rrr
zzyyxxl ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r
zdzydyxdxld ˆˆˆ ++=r
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Sistemas cartesiano, cilíndrico y esférico
z z= 0
y y= 0
X
Z
Y
$x
$y
$z
P
x x= 0
X
P
Y
z
ρϕ
Z $z$ϕ
$ρ
$z
$r $ϕ
$θ
X
Y
Z
r
ϕ
θ
θ
Cartesiano Cilíndrico Esférico
( )zyx ,, ( )z,,ϕρ ( )ϕθ,,r
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Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales
• En general, cualquier tríada de familias de superficies puede servir para definir un sistema de coordenadas:
– Estas ecuaciones permiten el paso de cartesianas al nuevo sistema.
– Despejando x, y y z se realiza el pasoinverso.
( ) ( ) ( ) 332211 ,,,,,, uzyxUuzyxUuzyxU ===
u1=cte
u2 =cte
u3 =cte
P
û1
û2
û3
• La tríada (u1,u2,u3) son las coordenadas del punto:
– Cualquier tríada debe definir un único punto.
– Cualquier punto debe estar definido por una única tríada.
– Se admiten excepciones.
• El vector de posición se puede obtener a partir de cartesianas: zzyyxxr ˆˆˆ ++=
r
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Curvilíneas (2)
• En general las coordenadas no son distancias:– Un incremento infinitesimal de una coordenada y el desplazamiento
correspondiente se relacionan a través de un factor de escala:
» La expresión central permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.
• Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.
• Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:
iiiiiiii
uduhlduhu
r
u
rˆˆ1 =⇒=⇒≠
rrr
∂∂
∂∂
213132321
133221
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ
uuuuuuuuu
uuuuuu
=×=×=×=⋅=⋅=⋅
23
23
22
22
21
21
333222111 ˆˆˆ
duhduhduhdl
uduhuduhuduhld
++=
++=r
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Curvilíneas (3)
• Propiedad interesante:– Es evidente que:
es decir, todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de coordenadas ortogonal en otro tambiénortogonal se repiten en la transformación inversa en posición traspuesta.
– Se puede definir una matriz de rotación [R] que es ortogonal (su inversa es su traspuesta).
[ ] [ ]
[ ] [ ]TRR
RRu
u
u
z
y
x
z
y
x
u
u
u
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
1
3
2
11
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 332211
332211
332211
3333
2222
1111
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
uzuuzuuzuz
uyuuyuuyuy
uxuuxuuxux
zzuyyuxxuu
zzuyyuxxuu
zzuyyuxxuu
⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-28
• También se puede calcular el diferencial de volumen:– En cartesianas:
– En curvilíneas generalizadas ortogonales:A pesar del aspecto del dibujo,al ser las dimensiones muypequeñas, los lados sonson rectos y ortogonales.
Curvilíneas (4)
dy
dz
dxX
Z
YdzdydxdV =
u2
u1
u3h2du2
h3du3
h1du1
321321 dududuhhhdV =
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-29
Sistema de coordenadas Cilíndricas
• Las superficies coordenadas del sistema son:
– Cilindros de eje z y radio ρ.
– Semiplanos que contienen al eje z y forman un ángulo ϕ con el semiplano xz que se toma como referencia.
– Planos z = cte.
• Las coordenadas del sistema serán ternas de valores ρ, ϕ, z.
• Para describir unívocamente todos los puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, -∞ < z < +∞.
zz =
x
yarctg=ϕ
22 yx +=ρ
• Existe una ambigüedad:Los puntos del eje z quedan definidos por su z y ρ=0: ϕ puede ser cualquiera.
• Relaciones inversas:
X
P
Y
z
ρϕ
Z $z$ϕ
$ρ
zzyx === ϕρϕρ sencos
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Cilíndricas (2)Vectores unitarios y factores de escala
• De momento el vector de posición es:
• Trabajando un poco:zzy
yx
xr ˆˆsenˆcos ++=
321321r ϕρϕρ
( )
zzz
rhz
z
rz
yxh
rrhyx
r
yxh
rrhyx
r
z ˆˆ1ˆ:
ˆcosˆsenˆˆcosˆsen:
ˆsenˆcosˆ1ˆsenˆcos:
====
+−====+−=
+====+=
∂∂
∂∂
ϕϕ∂ϕ∂ϕρ∂ϕ∂ϕϕρ
∂ϕ∂ϕ
ϕϕ∂ρ∂ρ∂ρ∂ϕϕ
∂ρ∂ρ
ρϕ
ρρ
rr
rrr
rrr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
y
x
z ˆ
ˆ
ˆ
100
0cossen
0sencos
ˆ
ˆ
ˆ
ϕϕϕϕ
ϕρ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
zz
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
100
0cossen
0sencos
ˆ
ˆ
ˆ
ϕρ
ϕϕϕϕ
11 === zhhh ρϕρ
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Cilíndricas (3)Vector de posición y diferenciales
• Vector de posición:
– La dependencia con ϕ está implícita dentro de :
• Diferencial de longitud (vector):
• Diferencial de longitud (escalar):
• Diferencial de volumen:
( ) ( ) zz
yyxxr ˆ
ˆ
ˆcosˆsensen
ˆ
ˆsenˆcoscos +++−=44 344 2132144 344 21321
r ϕϕρϕϕρϕϕρϕϕρ zzr ˆˆ += ρρr
zdzddld ˆˆˆ ++= ϕϕρρρr
2222 dzdddl ++= ϕρρ
dzdddV ϕρρ=
$ρ ( ) ( ) zzzr ˆˆ,, += ϕρρϕρr
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-32
Sistema de coordenadas Esféricas
• Las superficies coordenadas del sistema son:
– Esferas de radio r:
– Conos cuya generatriz forma unángulo θ con el eje z positivo:
– Semiplanos limitados por el eje zque forman un ángulo ϕ con eleje z:
• Para describir unívocamente todoslos puntos del espacio las coordenadas deberán variar en los márgenes: 0 ≤ r < ∞, 0≤θ≤π, 0 ≤ ϕ < 2π
z
yx 22
arctg+
=θ
x
yarctg=ϕ
222 zyxr ++=
• Existen dos ambigüedades:
– Los puntos del eje z quedan definidos por su r y θ=0 ó π, ϕ puede ser cualquiera.
– El origen queda definido por r=0, con independencia de los valores de θ y ϕ.
• Relaciones inversas: θϕθϕθ cossensencossen rzryrx ===
$z
$r $ϕ
$θ
X
Y
Z
r
ϕ
θ
θ
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-33
zz
ryy
rxx
rr ˆcosˆsensenˆcossen 3214342143421r θϕθϕθ ++=
( ) ( )
( )[ ] ( )
( ) yxrhyxrr
zyxrhzyxrr
zyxrhzyxr
rr r
ˆcosˆsenˆsenˆcosˆsensen:
ˆsenˆsenˆcoscosˆˆsenˆsenˆcoscos:
ˆcosˆsenˆcossenˆ1ˆcosˆsenˆcossen:
ϕϕϕθϕϕθ∂ϕ∂ϕ
θϕϕθθθϕϕθ∂θ∂θ
θϕϕθθϕϕθ∂∂
ϕ
θ
+−==+−=
−+==−+=
++==++=
r
r
r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
y
xr
ˆ
ˆ
ˆ
0cossen
sensencoscoscos
cossensencossen
ˆ
ˆˆ
ϕϕθϕθϕθ
θϕθϕθ
ϕθ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ϕθ
θθϕϕθϕθϕϕθϕθ
ˆ
ˆˆ
0sencos
cossencossensen
sencoscoscossen
ˆ
ˆ
ˆ r
z
y
x
θϕθ sen1 rhrhhr ===
Esféricas (2)Vectores unitarios y factores de escala
• De momento el vector de posición es:
• Trabajando un poco:
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-34
Esféricas (3)Vector de posición y diferenciales
• Vector de posición:
– La dependencia con θ y ϕ está implícita dentro de
• Diferencial de longitud (vector):
• Diferencial de longitud (escalar):
• Diferencial de volumen:
rrr ˆ=r
ϕϕθθθ ˆsenˆˆ drrdrdrld ++=r
ϕθθ ddrdrdV sen2=
( )[ ]44444 344444 21 r
r
r
zyxrr ˆcosˆsenˆcossen θϕϕθ ++=
222222 sen ϕθθ drdrdrdl ++=
$r
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-35
Cilíndricas - Esféricas
• Es posible relacionar directamente entre sí cilíndricas y esféricas:– Relación entre coordenadas:
– Relación entre vectores unitarios:
r zz
r z r
= + = =
= = =
ρ θρ
ϕ ϕ
ρ θ ϕ ϕ θ
2 2 arctg
sen cos
$$
$
sen cos
cos sen
$
$
$
r
z
θϕ
θ θθ θ
ρϕ
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
0
0
0 1 0
$
$
$
sen cos
cos sen
$$
$
ρϕ
θ θ
θ θθϕz
r⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
0
0 0 1
0
$z
$r
$ρ
$ϕ
$θ
X
Y
Z
r
ϕ
θ
θρ
z
J.L. Fernández JambrinaEyM 1-36