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1. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES REALES DE

VARIABLE REAL.

ESQUEMA

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REALNúmeros reales.

Operaciones y orden. Propiedades. Representación gráfica. Intervalos. Valor absoluto. Puntos extremos. Distancias. Bolas

Sucesiones.Definiciones básicas. El número e. Progresiones aritméticas. Suma de una progresión aritmética. Progresiones geométricas. Suma y producto de una progresión geométrica.

Funciones reales de variable real.Definiciones básicas. Operaciones con funciones. Monotonía. Funciones acotadas. Máximos y mínimos.

Matemáticas - Tema 1

ESQUEMA

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Números reales.Sucesiones.

Funciones reales de variable real.


Conjuntos numéricos

Definimos los siguientes conjuntos numéricos:

• Números naturales: ={1,2,3,…}

• Números enteros: = {….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

• Números racionales: ={ / p , q }

• Números irracionales: ={𝑥 / ∄ p,q tal que x= }

• Números reales: =

Números RealesMatemáticas - Tema 1

Definición.- Una operación interna en un conjunto A es una función f que aplica AA en A.

Es decir, a cada par ordenado de puntos de A (a,b) le asigna otro elemento de A que denotaremos f(a,b) ó a f b.

Ejemplo.- La suma de números naturales es una operación interna:+:

(a, b) ~> a+b(3, 2) ~> 3+2 =5(2, 8) ~> 10


Ejemplo.- La resta de números naturales no es una operación interna:-:

(a,b) ~> a-b(3, 2) ~>3-2 =1(2, 8) ~> -6

Ejemplos.- La suma y el producto enteros son operaciones internas.La suma y el producto de números reales son op. InternasEl cociente de números enteros no es una operación interna


A partir de ahora consideraremos con las operaciones internas suma (+) y producto (.).

Propiedades de + y .

Conmutativa: a+b=b+a a.b=b.a2+(-1)= (-1)+2 2.(-1) = (-1).2

Asociativa: (a+b)+c =a+(b+c) (a.b).c =a.(b.c)(3+5)+1=3+(5+1) (3.5).1=3.(5.1)

Elemento neutro: a+0=a a.1=a(-5)+0=-5 (-5).1=-5

Elemento simétrico: a+(-a)=0 a. (1/a) =1 , a03+(-3)=0 3. (1/3) =1

Propiedad distributiva: a.(b+c)=a.b+a.c2.((-1)+4) =2.(-1)+2.4

Esta propiedad nos permite no poner paréntesis (porque no necesitamos

indicar qué operación de hace primero): 3+5+1


Orden en : < “ser menor que”.

Además se usan los símbolos >, , :

a > b b < a 3 > (-1)a b a <b ó a=b 4 6; 4 4a b a > b ó a=b 3 (-1); (-1)(-1)

Representación gráfica de : la recta real

Orden en : propiedades

• Todo par de números reales son comparables

a,b, a<b ó b<a ó a=b

• a<b a + c < b + c c

• a<b, c>0 a . c < b . c

• a<b, c<0 a . c > b . c

• a<b, c<d a+c <c+d

• a<b c tal que a<c<b


3<5 3+100< 5+1003-40 < 5 -40

3<5 3. 100< 5.100𝟑

𝟒𝟎< 𝟑

𝟒𝟎

3<5 3. (-100)< 5.(-100)𝟑

𝟒𝟎< 𝟑

𝟒𝟎

3<5 3-4 < 5+7-4 <7

Intervalos: def. de intervalos de extremos a,b (a<b)• Intervalo abierto: (a,b) = {x / a<x<b}

• Intervalo cerrado: [a,b] = {x / axb}• [a,b) = {x / ax<b}• (a,b] = {x / a<xb}


Intervalos de longitud infinita: sean a,b

• (a, +) = {x / a<x}

• [a, ) = {x / a x}• (-,b) = {x / x<b}• (-,b] = {x / xb}• (-, ) =

Representación gráfica

Valor absoluto: Dado x denominamos valor absoluto de x, y escribimos |x|, a

|x|= x si x 0x si x 0


• |a| = |-a|• |a.b|=|a|.|b|

• =| || |

, si b0

• |a+b| |a| + |b|

• |a|= a• |an|=|a|n

• |a| c -c a c

Propiedades: sean a,b,c, c0

Obsérvese que |x|0 y además: |x|=0 x=0

Sea A un subconjunto de IR (A IR ).

Cota superior: S IR es una cota superior de A si a S aACota inferior: s IR es una cota inferior de A si s a aA

Máximo: si una cota superior pertenece al conjunto se dice que es un máximo, es decir,

MA máximo de A a M aA

Mínimo: si una cota inferior pertenece al conjunto se dice que es un mínimo, es decir,

mA mínimo de A m a aA

Nota.- Un conjunto puede tener cota superior o no, pero si tiene una, tiene infinitas.

Números RealesMatemáticas - Tema 1 B={-3, 5, 8}8, 10, 2 son cotas superiores de B-100, -5, -3 son cotas inferiores de B

A=(-, 4)4,8,10 son cotas superiores de AA no tiene cotas inferiores

B={-3, 5, 8}8 es el máximo de B-3 es el mínimo de B

A=(-, 4)Las cotas superiores no son del conjuntono tiene máximono tiene cota inferior no tiene mínimo

Definición.- Si un conjunto tiene cota superior se dice acotado superiormente.

Si un conjunto tiene cota inferior se dice acotado inferiormente.

Un conjunto está acotado si lo está superior e inferiormente.

Definición.- Sea A IR un conjunto acotado superiormente. Si el conjunto de cotas superiores tiene un mínimo a ese elemento le llamamos supremo de A.

Definición.- Sea A IR un conjunto acotado inferiormente. Si el conjunto de cotas inferiores tiene un máximo a ese elemento le llamamos ínfimo de A.

Números RealesMatemáticas - Tema 1B={-3, 5, 8} conjunto acotado

8 es el máximo (y supremo) de B-3 es el mínimo (e ínfimo) de B

A=(-, 4) acotado superiormenteNo tiene máximo pero sí supremo (4)No tiene cota inferior no tiene mínimo ni ínfimo

Propiedad del supremo.- Si un A IR, no vacío, está acotado superiormente entonces existe un elemento b IR que es el supremo de A.

Análogamente, si un A IR, no vacío, está acotado inferiormente entonces existe un elemento a IR ínfimo de A.

Nota.- Si un conjunto tiene máximo, éste coincide con el supremo.

Si un conjunto tiene mínimo, éste coincide con el ínfimo.


Distancia entre dos números reales.- Sean x,y , definimos la distancia entre x e y como

d(x,y)= |y-x|

Propiedades.- Sean x,y,z

1. d(x,y) 0. Además: d(x,y)=0 x=y

2. d(x,y)=d(y,x)

3. d(x,y) d(x,z) + d(z,y)

Definición.- La longitud de un intervalo de extremos a, b (a<b) d(a,b).


ESQUEMA


Números reales.

Sucesiones.Funciones reales de variable real.


Definición.- Una sucesión de elementos de IR es una aplicación

x : IN IRn ~> x(n)=xn

donde xn se denomina término general de la sucesión y, para cada iIN, a xi se le denomina término i-ésimo de la sucesión.

Denotamos la sucesión como {xn}nIN o simplemente {x1, x2, x3, …}

Ejemplo.- {n2}nIN = {1, 4, 9, 16, 25,…}

xn=n2

Definición aproximada en lenguaje coloquial: “Una sucesión es una colección de términos ordenados de tal modo que está determinado el que va en primer lugar, en el segundo,… y dado un término podemos saber cual es el anterior y cual el siguiente.”

Nota.- Una sucesión puede tener términos iguales:

{(-1)n}nIN = {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1,…} x1=x3=x5

Sucesiones Matemáticas - Tema 1

Tipos de sucesiones.- Una sucesión {xn}nIN se dice:1. Acotada

– Superiormente si CIR tal que xn C nIN

(es decir si el conjunto de puntos de la sucesión es acotado superiormente)

– Inferiormente si CIR tal que C xn nIN

– Acotado si lo esta superior e inferiormente

(o equivalentemente si CIR tal que |xn| C nIN

2. Monótona– Creciente si xn xn+1 nIN– Decreciente si xn xn+1 nIN

3. Estrictamente monótona– Creciente estricta si xn < xn+1 nIN– Decreciente estricta si xn > xn+1 nIN


Ejemplo.- Dada la sucesión de cuadrados de números naturales {n2}nIN = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81…} xn=n2

Puede interesarme extraer de ella solo los términos que son cuadrados de pares. Mantengo el orden, pero algunos de los términos los desprecio: { 4, 16, 36, 64, 100,…}

Esta será una subsucesión de la anterior. Su término general es

yn=x2n=(2n)2

Definición.- Una subsucesión {𝑥 } de {xn} es un subconjunto de la sucesión donde nk es una sucesión de números reales creciente (n1<n2<n3<…):

IN IN IRk ~> nk ~> x(nk)= 𝑥


Ejemplos de sucesiones.- La sucesion de Fibonacci{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…}

Se define por: x1=1

x2=1

xn= xn-1 + xn-2, n, n>2


-Es una sucesión creciente-No es acotada

El número e: 𝑥 1n (1+1/n)n1 22 2,253 2,370370374 2,441406255 2,488326 2,5216263727 2,5464996978 2,5657845149 2,581174792

10 2,59374246100 2,704813829

1.000 2,716923932100.000 2,718268237

100.000.000 2,718281786

- Sucesión creciente

- Sucesión acotada

- La tabla de puntos se “estabiliza” entorno a un número irracional que llamamos e:

e = 2,7182818…

(que el es el supremo del conjunto de puntos {xn/n} )

Ejemplos de sucesiones.- progresiones aritméticasSon aquellas sucesiones donde una vez fijado el primer término, los demás se construyen a partir del inmediatamente anterior sumando una cantidad fija d (que llamamos diferencia de la progresión):Ejemplo: a1=5, d=4 {5, 9, 13, 17, 21,…} a1=5

a2=5+4a3=5+2.4a4=5+3.4……….an=5+(n-1).4

El término general de una progresión aritmética es an=a1+(n-1).dNota.- Si d>0 la sucesion es creciente, si d<0 es decreciente.


Suma de n términos de una progresión aritméticaDados los primeros n términos de una progresión aritmética,

a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an

observamos que: a2 + an-1= (a1+d)+(an-d)=a1+ an

a3 + an-2= (a2+d)+(an-1-d)= a2 + an-1= a1+ an

…………………..

En general a1+k + an-k= a1+ an k=1,2,…,n-1Si Sn es la suma de los n primeros términos de la progresión: Sn=a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an

Sn=an + an-1 + an-2 + …+ a3 + a2 + a1

2Sn=(a1 + an)+ (a2 + an-1)+(a3 + an-2)+ …+( an + a1) 2Sn= n (a1 + an)


𝐧 𝟏 𝐧

+

Ejemplo.- Hallar la suma de los 14 primeros términos de la progresión aritmética B = {6, 9, 12, 15, 18, …}


a1=6 a14 = a1+(14-1)d = 6+13.3 = 45

𝐒𝐧𝐧𝟐 𝐚𝟏 𝐚𝐧

S 6 45 = 357

Ejemplos de sucesiones.- progresiones geométricasSon aquellas sucesiones en las que una vez fijado el primer término, los demás se construyen a partir del inmediatamente anterior multiplicando por una cantidad fija r (que llamamos razón de la progresión):

Ejemplo: a1=2, r=3 {2, 6, 18, 54, 162,…} a1= 2

a2= 2.3

a3= 2.32

a4= 2.33

……….

an= 2.3n-1

El término general de una progresión aritmética es an=a1. r(n-1)


Suma de n términos de una progresión geométricaDados los primeros n términos de una progresión geométrica queremos calcular su suma Sn=a1 + a2 + a3 + …+ an-1 + an =

= a1 + a1 r+ a1 r2+ …+ a1 rn-2+ a1 rn-1

Multiplicando esta expresión por la razón: r. Sn =a1 r+ a1 r2+ a1 r3+ + …+ a1 rn-1+ a1 rn

Y restando:r. Sn = a1 r+ a1 r2+ a1 r3+ …......+ a1 rn-2+ a1 rn-1+ a1 rn

Sn = a1 + a1 r+ a1 r2+ …………….+ a1 rn-2+ a1 rn-1

rSn- Sn = -a1 + a1 rn


𝐧

𝒏

𝟏

-

Suma de n términos de una progresión geométricaSi además r<1 se puede calcular la suma de todos los términos de la progresión geométrica y vale


𝟏

Ejemplo.- Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión geométrica D = {1, 2, 4, 8, 16, …}

Ejemplo.- Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica E = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …}

𝐒𝐧𝟏 𝒓𝒏

𝟏 𝒓 𝐚𝟏 𝐒𝟐𝟎𝟏 𝟐𝟐𝟎

𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟓𝟕𝟔

𝐒𝟏𝟎𝟏 𝟏

𝟐𝟏𝟎

𝟏 𝟏𝟐

𝟏 𝟏, 𝟗𝟗𝟖𝟎𝟒𝟔𝟖𝟕𝟔 𝐒𝟏

𝟏 𝟏𝟐

𝟏 𝟐

ESQUEMA


Números reales. Sucesiones.

Funciones reales de variable real.


Definición.- Llamamos función real de variable real a una aplicación f : D IR

x ~> f(x)donde D es un subconjunto de IR (DIR ).

La variable x decimos que es la variable independiente.

Y si denotamos y=f(x), diremos que y es la variable dependiente.

El dominio de la función f es el conjunto de puntos en los que está definida:

Dom(f) = D = { xIR / f(x)}

La imagen de la función f es el conjunto de puntos de IR que proceden de uno del dominio aplicando f:

Im(f) = { yIR / xD tal que y=f(x)}

Funciones reales de variable realMatemáticas - Tema 1

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

Representamos gráficamente la función en el plano tomando los puntos de abscisa x con ordenada asociada f(x).

La gráfica de la función f es el conjunto Graf(f) = { (x,f(x)) / xD }


• f(1)=1• f(2)=4• f(x)=x2

• f(x)=x2

Operaciones con funciones.- Dadas funciones reales de variable real con dominio D

f : DIR IR g : DIR IR h : DIR IR

con h(x)0, xD. Sea IR.

Se definen las funciones:

1. Suma: f+g :DIR IR , definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x)

2. Producto por un escalar: f : DIR IR, (.f)(x)= .f(x)

3. Producto interno: f.g : DIR IR, (f.g)(x)= f(x).g(x)

4. Cociente: : DIR IR , x


Composición de funciones.- Sean f,g funciones reales de variable real tales que Im(f) Dom(g). Se define g◦f, f compuesto con g, como una nueva función

g◦f : DIR IR

(g◦f)(x)=g[f(x)]

donde D= Dom(f).

Función inversa .- Sean f una función real de variable real. Llamamos función inversa, si existe, y la denotamos f-1, a aquella función que cumple que y=f(x) f-1(y)=x

Se verifica entonces: (f◦f-1)(y)=y

(f-1◦f)(x)=x

Proposición.- Una función f tiene inversa si, y sólo si, es inyectiva


Definición (monotonía).- Una función f : DIR IR se dice

• Creciente si x1 x2 f(x1) f(x2)

• Estrictamente creciente si x1 < x2 f(x1)< f(x2)

• Decreciente si x1 x2 f(x1) f(x2)

• Estrictamente decreciente si x1 < x2 f(x1)> f(x2)

Definición (monotonía en un punto).- Sea f : DIR IR una función y aD, se dice que f es

• Creciente en a

>0 tal que si x1, x2 D(a-,a+), x1 x2 f(x1) f(x2)

• Decreciente en a

>0 tal que x1, x2 D(a-,a+), x1 x2 f(x1) f(x2)


Definición.- Una función f : DIR IR se dice

• Acotada superiormente si Im(f) es un conjunto acotado superiormente, es decir, si K tal que f(x) K,xD

– En este caso K es una cota superior

– La menor de las cotas superiores es el supremo

– Máximo global: si dD tal que f(d) es el supremo

• Acotada inferiormente si Im(f) es un conjunto acotado inferiormente, es decir, si K tal que K f(x),xD

– En este caso K es una cota inferior

– La mayor de las cotas superiores es el ínfimo

– Mínimo global: si dD tal que f(d) es el ínfimo

• Acotada si lo es superior e inferiormente, es decir, si

M tal que |f(x)| M , xD


Definición.- Se la función f : DIR IR:

Tiene un máximo local en x0 D si:$ >0 tal que x ∈ (x0− , x0 +)D ⇒ f(x) f(x0 )

Tiene un mínimo local en x0 D si:$ >0 tal que x ∈ (x0− , x0 +)D ⇒ f(x) f(x0 )


mínimos locales

máximos localesmáximo global


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