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TEMA 1 TRIGONOMETRíA
Objetivo:
Reforzar los conceptos de trigonometría para lograr una mejor
comprensión del algebra
La trigonometría fue inventada hace mas de 2000 años por los griegos
quienes necesitaban métodos mas precisos para medir ángulos y lados de
triángulos.
La palabra trigonometría se deriva de las palabras griegas trigon
(triangulo) y metria (medición).
Tarea: Definiciones
Ángulo
Ángulo llano
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Radián
Funciones trigonométricas de ángulosSon razones de los lados de un triángulo rectángulo
y dependen de un ángulo (𝜃), no del tamaño o
posición del triángulo
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝐶. 𝑂
𝐻𝑖𝑝cos 𝛽 =
𝐶. 𝐴
𝐻𝑖𝑝tan 𝛽 =
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
csc 𝛽 =𝐻𝑖𝑝
𝐶. 𝑂sec 𝛽 =
𝐻𝑖𝑝
𝐶. 𝐴.cot 𝛽 =
𝐶. 𝐴.
𝐶. 𝑂
Determine las funciones trigonométricas de los
ángulos a y b𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝐶. 𝑂
𝐻𝑖𝑝cos 𝛽 =
𝐶. 𝐴
𝐻𝑖𝑝tan 𝛽 =
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
csc 𝛽 =𝐻𝑖𝑝
𝐶. 𝑂sec 𝛽 =
𝐻𝑖𝑝
𝐶. 𝐴.cot 𝛽 =
𝐶. 𝐴.
𝐶. 𝑂
El monte Fuji, en Japón, mide
aproximadamente 1200ft de
altura. Un estudiante de
trigonometría, que esta a varias
millas de distancia de esta
montaña, observa que el ángulo
entre el nivel del suelo y la
cima es de 30°. Calcula la
distancia desde el estudiante
hasta un punto al nivel del
suelo, directamente debajo del
pico de la montaña.
Definición de las funciones
trigonométricas de cualquier ángulo
Sea un ángulo 𝛽 en posición estándar en un sistema de coordenadas
rectangulares, y sea P(x,y) cualquier punto fuera del origen en el lado
terminal de 𝛽.
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =𝑦
𝑟cos 𝛽 =
𝑥
𝑟tan 𝛽 =
𝑦
𝑥𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
csc 𝛽 =𝑟
𝑦sec 𝛽 =
𝑟
𝑥cot 𝛽 =
𝑥
𝑦𝑠𝑖 𝑦 ≠ 0
Signos de las funciones trigonométricas
(Tarea)
Cuadrante
que
contiene 𝜽
Funciones
positivas
Funciones
negativas
I
II
III
IV
(1)Identidades recíprocas
csc 𝜃 =1
𝑠𝑒𝑛 𝜃sec 𝜃 =
1
cos 𝜃cot 𝜃 =
1
tan 𝜃
(1)Identidades tangente y cotangente
tan 𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃cot 𝜃 =
cos 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
(1)Identidades pitagóricas
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃
Las identidades fundamentales suelen utilizarse en la simplificación de
expresiones que comprenden funciones trigonométricas.
IDENTIDADES FUNDAMENTALES DE TRIGONOMETRÍA
Demuestra que la ecuación que sigue es una
identidad, transformando el lado izquierdo en el
lado derecho
(sec 𝜃 + tan 𝜃) 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = cos 𝜃
LI LD
Teorema del seno:Los lados de un triangulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos𝑎
𝑠𝑒𝑛 ∝=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
Teorema del coseno:
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ cos 𝛼𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ∗ cos 𝛽𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∗ cos 𝛾
ProblemaEn un momento dado, cuando un globo aerostático estaba directamente
arriba de una carretera recta que une a dos pueblos, los ángulos de
elevación con respecto a estos puntos eran 21.2° y 12.3°.
a) Determina las distancias del globo a cada uno de los pueblos en dicho
instante, considerando una separación de 8.45km entre los puntos
representativos de los pueblos.
b) Determina la altitud del vuelo del globo en ese momento.
Problema
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los
puntos medios respectivamente. Una de las diagonales
mide 8cm y la otra mide 6cm, el ángulo que se forma
entre ellos es de 50°. Encuentra la medida de los lados
del paralelogramo