TEMA 10 - 5 - PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
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TEMA 10: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (ENUNCIADOS Y SOLUCIONES) EJERCICIO 1: Un triángulo isósceles tiene 10 cm. de base (que es el lado desigual) y 20 cm. de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible. EJERCICIO 2: Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por alarmas de dos tipos, A ó B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Estudiar cuántas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad. EJERCICIO 3: Hallar el punto P de la curva más próximo al punto ¿Qué ángulo forman la recta que une P y Q y la tangente a la curva en el punto P? EJERCICIO 4: Un cono circular recto tiene una altura de 12 cm. y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Hallar las dimensiones (altura y radio de la base) del cono de volumen máximo que puede inscribirse así.
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TEMA 10: PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (ENUNCIADOS Y SOLUCIONES)
EJERCICIO 1:
Un triángulo isósceles tiene 10 cm. de base (que es el lado desigual) y 20 cm. de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible.
EJERCICIO 2:
Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por alarmas de dos tipos, A ó B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Estudiar cuántas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad.
EJERCICIO 3:
Hallar el punto P de la curva más próximo al punto
¿Qué ángulo forman la recta que une P y Q y la tangente
a la curva en el punto P?
EJERCICIO 4:
Un cono circular recto tiene una altura de 12 cm. y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Hallar las dimensiones (altura y radio de la base) del cono de volumen máximo que puede inscribirse así.
EJERCICIO 5:
Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 36 cm. y la altura correspondiente mide 12 cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo
EJERCICIO 6:
Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0 , 0), (a , 0), (a , b) y (0 , b), de modo que el punto (a , b) tiene coordenadas positivas y
está situado en la curva de ecuación . De todos estos
rectángulos hallar razonadamente el de área mínima.
EJERCICIO 7:
Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.
EJERCICIO 1:
Un triángulo isósceles tiene 10 cm. de base (que es el lado desigual) y 20 cm. de altura. Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Hallar las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible.
SOLUCIÓN:
Sea x la mitad de la base e y la altura del rectángulo.
La función que debe ser máxima es .
Como la función depende en principio de dos variables, busquemos una relación entre ellas. Los triángulos CHB y FEB son semejantes por lo que puede establecerse la siguiente proporción:
La función que debe ser máxima es: .
Veamos para qué valor alcanza su máximo:
y como
la función alcanza un máximo para
Para este valor de x:
Las dimensiones del rectángulo son: base = 5 cm. , altura = 10 cm.
EJERCICIO 2:
Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por alarmas de dos tipos, A ó B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Estudiar cuántas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad.
SOLUCIÓN:
Sean x el número de alarmas del tipo B y 9 – x el número de alarmas del tipo A que conviene instalar.
La función “seguridad” es: .
Veamos para qué valor de x alcanza su máximo:
Por lo tanto, deben instalarse 3 alarmas del tipo A y 6 del tipo B.
EJERCICIO 3:
Hallar el punto P de la curva más próximo al punto
¿Qué ángulo forman la recta que une P y Q y la tangente
a la curva en el punto P?
SOLUCIÓN:
.
Veamos cuándo la distancia entre ambos puntos es mínima:
Para la distancia es mínima.
Por tanto:
la pendiente de la recta PQ es
La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:
Como las pendientes son inversas y opuestas las dos rectas son perpendiculares.
EJERCICIO 4:
Un cono circular recto tiene una altura de 12 cm. y radio de la base de 6 cm. Se inscribe un cono de vértice el centro de la base del cono dado y base paralela a la del cono dado. Hallar las dimensiones (altura y radio de la base) del cono de volumen máximo que puede inscribirse así.
SOLUCIÓN:
El volumen del cono inscrito es:
Encontremos una relación entre las variables x e y:
Los triángulos ABC y DEC son semejantes, luego
El volumen del cono inscrito viene dado entonces por la función:
.
Estudiemos para qué valor de x el volumen es máximo:
(valores críticos)
Por tanto, el volumen es máximo para es decir 4 cm. de altura y 4 cm. de radio de la base.
EJERCICIO 5:
Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo isósceles cuya base es el lado desigual y mide 36 cm. y la altura correspondiente mide 12 cm. Suponer que un lado del rectángulo está en la base del triángulo
SOLUCIÓN:
Sean x e y las dimensiones del rectángulo. La función que debe ser máxima es:
Busquemos una relación entre las variables x e y:
Los triángulos y son semejantes por estar en posición de Tales. Sus lados son entonces proporcionales:
y por tanto:
y como
hace el área máxima.
Por tanto, las dimensiones del rectángulo de área máxima son:
EJERCICIO 6:
Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0 , 0), (a , 0), (a , b) y (0 , b), de modo que el punto (a , b) tiene coordenadas positivas y
está situado en la curva de ecuación . De todos estos
rectángulos hallar razonadamente el de área mínima.
SOLUCIÓN:
El área del rectángulo es
Si pertenece a la curva de ecuación
, se verifica: por lo que el área del
rectángulo está expresada por la función
que debe ser mínima.
;
y mínimo
Por tanto, el rectángulo de área mínima debe tener
de base y de altura, es decir,
las coordenadas de sus vértices son:
EJERCICIO 7:
Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos lados opuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.
SOLUCIÓN:
Sean x e y los lados del rectángulo. El área del rectángulo debe ser máxima:
(1)
Como el perímetro de la pista debe ser de 400 metros:
Sustituyendo en (1):
y como .
Las dimensiones son por tanto:
