TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES · tema 10: sistemas de ecuaciones lineales 1. sistemas de...
Transcript of TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES · tema 10: sistemas de ecuaciones lineales 1. sistemas de...
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
1
TEMA 10: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. FORMAS DE DAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
3. MÉTODO DE GAUSS PARA RESOLVER Y DISCUTIR UN S.E.L.
4. REGLA DE CRAMER
5. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS-CAPELLI-KRONECKER
6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS
7. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS
1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una expresión matemática del tipo:
bxa........xaxa nn 2211
Donde Rai , que se llaman coeficientes, Rx i son las incógnitas y que Rb se
llama término independiente. Un sistema de ecuaciones lineales, S.E.L., es un conjunto finito de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas.
mnmnmm
nn
nn
nn
bxa........xaxa
bxa........xaxa
bxa........xaxa
bxa........xaxa
2211
33232131
22222121
11212111
Consideraciones: Una solución “S” de una ecuación lineal es un conjunto de números reales:
Rss,........,s,sS in 21
tal que al sustituir las incógnitas por dichos números, se verifican todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
Dos S.E.L. son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Resolver un S.E.L. es hallar su conjunto solución. Los métodos de resolución de S.E.L. se basan en que, a partir del S.E.L. dado,
llegar a otro equivalente que sea de más fácil resolución. “Discutir” un S.E.L. consiste en, sin necesidad de resolverlo, decir si tiene
solución (Compatible), si es además única (Compatible Determinado), si tiene infinitas soluciones (Compatible Indeterminado) o bien no tiene solución (Incompatible).
Clasificación de los sistemas de ecuaciones:
nulos.son ntesindependie términos los todos :Homogéneo Lineal Sistema
nulos.son ntesindependie términos los todos no:oHeterogéne Lineal Sistema
En cuanto a la solución se dividen en:
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
2
solución tiene nole;Incompatib Sistema
.soluciones infinitas :doIndetemina
única. solución :oDeterminadsolución) (tiene Compatible Sistema
2. FORMAS DE DAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Forma normal
mnmnmm
nn
nn
nn
bxa........xaxa
bxa........xaxa
bxa........xaxa
bxa........xaxa
2211
33232131
22222121
11212111
Forma matricial BXA
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
mnmnmm
n
n
2
1
2
1
21
22221
11211
Forma vectorial
m
n
mn
n
n
mm b
b
b
x
a
a
a
.......x
a
a
a
x
a
a
a
2
1
2
1
2
2
22
12
1
1
21
11
Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, expresarlo de las distintas formas:
2
4
1
1
1
3
3
2
1
0
1
3
: vectorialForma
2
4
1
130
121
313
:matricial Forma
23
42
133
321
3
2
1
32
321
321
xxx
x
x
x
xx
xxx
xxx
*
2
4
1
130
121
313
|
*
A
A
BA
liadaMatriz AmpAientes los coeficMatriz de A
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
3
3. MÉTODO DE GAUSS PARA DISCUTIR Y RESOLVER UN SEL Criterios de equivalencia
1. Si en un S.E.L. se permutan dos ecuaciones, el sistema resultante es equivalente al primero.
2. Si una ecuación de un S.E.L. se multiplica por un número real distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al primero.
3. Si a una ecuación de un S.E.L. se le suma otra, previamente multiplicada por un número real distinto de cero, el sistema resultante es equivalente al primero.
Método de Gauss Consiste en, aplicando criterios de equivalencia de SEL, transformar el sistema dado en un sistema escalonado, triangularizado o en cascada. Al finalizar el proceso de triangularización podemos llegar a uno de los siguientes casos, por ejemplo, para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas nos podemos encontrar con que:
1. Haya tantas ecuaciones válidas (independientes) como incógnitas. Paso a paso vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita. Es por tanto, un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, esto es, tiene una única terna solución:
Rsssssszyx 321321 ,,,,,,
2. Haya menos ecuaciones válidas
(independientes) que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro, con lo que el valor de las demás se dará en función de ellas. El sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO, esto es,
habría infinitas ternas z,y,x solución del sistema. La
solución general vendrá dada con tantos parámetros como incógnitas hayamos despejado al segundo miembro.
3. Una de las ecuaciones no se puede cumplir nunca (hay
una contradicción del tipo 0=nº). El sistema es INCOMPATIBLE, esto es, NO tiene solución, no hay
ninguna terna z,y,x que verifique todas las
ecuaciones.
Coeficientes incógnitas
Términos independientes
0
0 0
x y z
Ti
0
0 0 0
x y z
Ti
0
0 0 0 0
x y z
Ti
0
0 0
x y z
Ti
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
4
Ejercicios: Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.
1,2,0,,
01121
201202
122
2
0
1
200
210
111
2
0
1
430
210
111
0
3
1
212
123
111
022
323
1
23
13
12 323
zyxsoluciónTerna
odeterminadcompatibleSistema
xxzyx
yyzy
zz
zyx
zyx
zyx
EEEEEE
Ídem con el sistema:
2 1 3 2
3 12
3 4 2 1 5 5 5 5
2 3 2 2 3 2 1º " " 3 2 2
5 5 3 4 2 1 2 4 3 1
1 1 5 5 1 1 5 5 1
1 3 2 2 0 2 7 3
2 4 3 1 0 2 7 9
E E E EE E
x y z x y z z y x
x y z cambio el orden x y z ponemos la z z y x
x y z x y z z y x
1 5 5
0 2 7 3
0 0 0 6
0 6
,
IMPOSIBLE
Sistema Incompatible no hay terna solución
Ídem con el sistema:
0
2
3
000
110
021
10
2
3
550
110
021
4
4
3
512
132
021
452
432
32
23
13
12 522 EE
EEEE
zyx
zyx
yx
R
RzyxRzyxSSoluciones
zllamamos
zzzyxyx
hemoszyzy
parámetro al demos le valores
como tantassistema, delsolución ternasinfinitas
,2,12,,,,,:
soluciónternasinfinitashayado,indetermincompatibleSistema
123423223232
z""defuncióneny"" ejemplo,pordespejado,22
00
3
Ejercicios: Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.
733
132
422
11104
85
1073
1175
4352
32
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
5
4. REGLA DE CRAMER Un S.E.L. es de Cramer cuando tiene el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas y además, la matriz de los coeficientes es regular, esto es 0A .
Al ser 0A existe la inversa 1A y el sistema puede resolverse matricialmente:
BAXBAXAABXAI
111
Todo sistema de Cramer es compatible determinado. Resolución por Cramer: supongamos que tenemos un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:
0
cba
cba
cba
Acon
d
d
d
cba
cba
cba
dzcybxa
dzcybxa
dczbyax
Puesto que el determinante de A, 0A podemos decir que el sistema es
Compatible Determinado y que su solución es:
A
Az
A
Ay
A
AxA
zyx 0
Siendo xA la matriz que resulta de sustituir la columna de los coeficientes de la x por
la columna de los términos independientes, análogamente yA y zA
Ejemplo: comprobar que el siguiente sistema es de Cramer y resolverlo:
5
17,
5
3,
5
13,,
5
17
10
321
322
425
5
3
10
231
132
345
5
13
10
223
123
324
:,
010125222123223112225
221
122
325
calculamos ,incógnitas de que ecuaciones de nº mismo
3
3
4
221
122
325
322
322
4325
zyxSolución
zyx
loresolvámosCramerdesistemaunesluego
A
zyx
zyx
zyx
Ejercicios: resolver los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer:
022
323
1
0
3335
123
1742
524
23
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
6
5. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS-CAPELLI-KRONECKER La condición necesaria y suficiente para que un S.E.L. sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada coincidan. Si a su vez, coincide con el número “n” de incógnitas, será compatible determinado; en caso contrario, compatible indeterminado. Si ambos rangos son distintos, el sistema es incompatible:
EL SISTEMA TIENE SOLUCIÓN ArgArg
Si ArgArg
erminado ible Indeterá Compat sistema sas) ele incógnitn (nº dh
do DeterminaCompatibletema será el sisnitas) º de incógn (n
EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN ArgArg
EJERCICIOS: 1. Discutir, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de ecuaciones:
02
0
2
442244
2
121
121
42
22
22
2
42
2
4222
2
112
102
14
., Compatible Sistema
º 302,º1
20202211
111
101
12
:su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
AMA3A3
3AMA3MA
2
2
4
111
101
12
|
:
2
2
42
4x3
4x33x3
*
aa
aa
a
a
y
a
a
a
a
a
a
a
a
x
CramerporresolverlopodemosoDeterminad
incógnitasnArgArgAaRa
DISCUSIÓN
aaAaa
a
A
tedeterminan
AypuesrgArgcuando
rgArga
BA
AmpliadaMatrizescoeficientlosdeMatrizlaPonemos
zyx
zx
azyx
A
A
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
7
0210
12 pues 2 rg(A) El
0
0
4
000
010
212
0
0
4
010
010
212
2
2
4
111
101
212
sistema elen 2a ,30A 2,a Para º2
0,0,2,,
02
0
2
4242
2
211
201
412
os sustituimArg
a"" de depende no soluciónla caso este enzyxSOLUCIÓN
aaaz
dondeterminampatible ISistema CoincógnitasnArgArgLuego
ArgPara
º32
2 tambiénes que vemosA
RzyxRzyxSSoluciones
y
,0,-2,,,,,
z
0y
-2x
0y
z-2x
0y
2zx
0y
42z2x
0y
42z2x
0y-
42zy2x
:SOLUCIÓN
3
2. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de
ecuaciones:
1,20120
12
100
010
111
2
11
11
111
2
12
12
112
11
11
11
:tedeterminansu calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
AMA3A3
3AMA3MA
1
11
11
11
|
:
1
2
2
4x3
4x33x3
*
2
2
aaaA
aa
a
aa
a
aa
aa
aa
a
a
a
a
A
AypuesrgArgcuando
rgArg
a
a
a
a
a
BA
AmpliadaMatrizescoeficientlosdeMatrizlaPonemos
aazyx
azayx
zyax
A
A
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
8
2
1
12
11
12
111
12
11
12
110
100
111
12
1
1
111
x
:Cramer de regla la aplicando
º3301,2,1
2
2
22
2
2
2
2
2
a
a
aa
aa
aa
aaa
aa
aa
aa
aa
a
aa
aa
aa
Solución
oDeterminadompatible Sistema CincógnitasnArgArgAaRa
DISCUSIÓN
2
1
12
1
12
001
101
11
12
1
11
11
y2
2
2
2
2
2
aaa
a
aa
a
aa
a
aa
aa
a
a
)1,2 suponiendo estamos pues r,simplifica (podemos
2
1
12
11
12
1
12
011
001
11
12
11
1
11
z
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
a
a
a
aa
aa
aa
a
aa
aa
a
a
aa
a
aa
a
2
1,
2
1,
2
1,,
2
a
a
aa
azyxSOLUCIÓN
2a para
024
400
530
112
pues ,3 A 0630
12 pues 2 rg(A) El
4
5
1
000
330
112
9
5
1
330
330
112
4
2
1
211
121
112
:2a 30 2aPara2º
compatibleSistema InArgArgLuego
Argpara
ssustituimoArgA
RzyxRzyxSSOLUCIONES
SistemanArgArg
Arg
1s asustituimoArgA
,,,--1,,,,,
z
y
--1x
z-y-1x1zyx
restantes21 - 3r-n las defunción en incógnita 1r Despejamos
adoIndetermin Compatible incógnitas de º31
1 1 rg(A)
0
0
1
000
000
111
1
1
1
111
111
111
30 1aPara3º
3
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
9
3. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “m”, el S.E.L.:
:
22
42
31
AmpliadaMatrizescoeficientlosdeMatrizlaPonemos
zmyx
mzyx
zyxm
tedeterminan
AypuesrgArgcuando
rgArg
m
m
m
BA
A
A
su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
AMA3A3
3AMA3MA
2
4
3
21
21
111
|4x3
4x33x3
*
mm
m
mmm
mm
mmm
mm
mmm
mmmm
mmm
m
m
mm
m
mmm
mm
mmm
mm
mmm
mmmm
mmm
m
m
mmmm
mm
mmm
mm
mmm
mmm
mmm
m
m
S
oDeterminadompatible Sistema C
incógnitasnArgArgAmRm
DISCUSIÓN
mmmmA
mmm
m
mmm
mmm
m
mmm
m
mm
m
mm
m
mm
mm
mm
m
m
m
m
A
23
43
23
43
23
43
23
44263444
23
21
421
311
z
23
29
23
29
23
29
23
22642388
23
221
41
131
y
3
3
23
23
23
36
23
3844212
23
22
24
113
x
:Cramer de regla la aplicando :OLUCIÓN
º302,3,0,º1
:
2,3,00230
23
20
113
11
113
1
13
11
113
110
110
111
3
21
21
111
3
23
23
113
21
21
111
22
22
22
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
10
mm
m
mm
m
mzyxSOLUCIÓN
23
43,
23
29,
3
3,,
0m para 2
2 tambiénes que vemosA
0110
11 pues 2 rg(A) El
0
1
3
000
110
111
1
1
3
110
110
111
2
4
3
201
021
111
: 30A 0,m Para º2
dondeterminampatible ISistema CoArgArg
ArgPara
stema0 en el sios m sustituimArg
0180
1800
1150
312
pues 3 es que vemosA
01050
12 pues 2 rg(A) El
18
11
3
000
550
112
7
11
3
550
550
112
2
4
3
231
321
112
:sistema elen 3-m ssustituimo 30A ,3-m Para º3
,1,22,,,,,
1
22
1
22
1
31
1
3
1
3
0
1
3
000
110
111
:SOLUCIÓN
3
ArgPara
Arg
RzyxRzyxSSOLUCIONES
z
y
x
zy
zx
zy
zzx
zy
zyx
zy
zyx
-3 para mcompatibleSistema InArgArg
-3 para mcompatibleSistema InArgArg
Argparay
BA
stema2 en el sis msustituimoArg
090
600
950
313
pues 3 es A 01550
13 pues 2 rg(A) El
6
9
3
000
550
113
3
9
3
550
550
113
2
4
3
221
221
113
|
: 30A ,2m Para º4
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
11
4. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “m”, el S.E.L.:
nte determina
AypuesrgArgcuando
rgArg
a
a
a
BA
AmpliadaMatrizescoeficientlosdeMatrizlaPonemos
azyx
zayx
zyax
A
A
su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
AMA3A3
3AMA3MA
2
1
4
111
11
11
|
:
2
1
4
4x3
4x33x3
*
111
11
11
10
311
11
21
311
11
21
31
11
021
031
14
11
121
111
14
y
1
2
11
21
11
21
11
02
13
11
002
013
114
11
112
11
114
x
:Cramer de regla la aplicando :OLUCIÓN
incógnitasnº 3 301,1,º1
:
1,10110
111101
11
001
011
11
111
11
11
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
a
aa
aa
a
a
aa
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
aa
a
a
aa
a
a
aa
a
a
S
oDeterminadompatible Sistema CArgArgAaRa
DISCUSIÓN
aaaA
aaaaa
aaa
aaa
a
a
A
a
aa
aa
aaa
aa
aaa
aa
a
aa
aa
a
a
a
aa
a
a
a
aa
aa
a
a
aa
a
a
a
1
3
11
31
11
31
11
11
31
11
100
111
43
1
11
110
11
41
1
11
110
11
41
11
211
11
41
z
222
a
aa
a
azyxSOLUCIÓN
1
3,1,
1
2,,
2
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
12
RzyxRzyxSSOL
zzz
z
y
zzz
z
x
adoIndeterminmpatible Sistema Congnitasnº de incóArgArg
ArgPara
stema1 en el simos a sustituiArg
compatibleSistema InArgArg
ArgPara
stema:1 en el sios a sustituimArg
,2
5,
2
3,,,,,UCIONES
2
5
2-
25
2-
250
41
2
3
2-
2528
2-
225
14
2z-52y
z-4yx- Cramer por Hagásmolo 02
20
11
0
5
4
000
220
111
SOLUCIÓN
32
2 tambiénes que vemosA
0220
11 pues 2 rg(A) El
0
5
4
000
220
111
5
5
4
220
220
111
1
1
4
111
111
111
: 30A 1,a Para º3
02
100
320
411
pues 3 es que vemosA
0220
11 pues 2 rg(A) El
1
3
4
000
020
111
3
1
4
111
111
111
30A 1,a Para º2
3
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
13
6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando TODOS los términos independientes son nulos
0........
0........
0........
0........
2211
3232131
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
A
A
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
0
0
0
21
22221
11211
A la vista de lo anterior no hará falta poner más la columna de los términos independientes ya que es toda de ceros, además, aplicando el Teorema de Rouché, se tiene que:
ArgArg
Por tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles, entonces si:
1. incógnitas de nº nArg , será Compatible Determinado, siendo la solución
la trivial: 0,.......,0,0,........,, 21 nxxx
2. incógnitas de nº nhArg , será Compatible Indeterminado.
Ejercicios:
1. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:
tedeterminan
a
A
escoeficientlosdeMatrizlaPonemos
zyxa
zyx
zyx
su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
MA
12122
2132
4124
012122
02132
04124
3x3
0,0,0zy,x, triviallasolución o,Determinad Compatible Sistema
,º3010º1
100100
7610522410213
41210
121210
2130
4120
12122
2132
4124
incógnitasnArgArgAaRa
DISCUSIÓN
aaA
aaa
aa
A
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
14
RzyxRzyxSSOLUCIONES
y
zx
y
zx
y
zyx
adoindeterminSistemaincógnitasnArgArg
incógnitasnArgAaPara
,0,,,,,,
00
0
0
03
º32
000
010
131
010
010
131
040
0190
131
111
2132
131
121212
2132
4124
:sistema elen 10a ssustituimo
adoIndetermin Compatible Sistema º 3010º2
3
2. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “a” el siguiente sistema de
ecuaciones homogéneo:
42
62
22
62
2
62
2
3242
0820
825
58
082
58
1024
010
518
10324
418
11
23
su calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
MA
418
11
23
048
0
023
2
2
22
22
3x3
2
2
a
a
a
aaA
aa
a
aa
a
aa
a
a
a
A
tedeterminan
a
a
A
escoeficientlosdeMatrizlaPonemos
zyx
zyax
zyxa
2
000
610
2316
610
610
2316
418
114
2316
:sistema elen 4-a
º 304º2
0,0,0zy,x, triviallasolución o,Determinad Compatible Sistema
,º302,4º1
:
ArgArg
ssustituimo
do ndeterminampatible ISistema CoincógnitasnArgAaPara
incógnitasnArgArgAaRa
DISCUSIÓN
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
15
RzyxRzyxSSOLUCIONES
y
zx
y
zx
y
zx
y
zx
y
zyx
y
zyx
ArgArg
stema:2 en el sis asustituimo
incógnitasnArgAaPara
RzyxRzyxSSOLUCIONES
zy
zx
zy
zx
zy
zx
zy
zx
zy
zzx
zy
zyx
zy
zyx
zy
zyx
,0,2
,,,,,
0
20
2
0
02
0
024
0
0234
05
0234
2
000
050
234
050
050
234
418
112
234
adoIndetermin Compatible Sistema º 302º3
,6,4
5,,,,,
6
4
5
6
54
6
2016
6
02016
6
021816
6
02316
6
02316
06
02316
3
3
3. Discutir y resolver, según los valores del parámetro “m” el siguiente sistema de
ecuaciones homogéneo:
52
73
22
73
2
73
2
4093
010301030
10332
5
100
32
35
110
32
32
edeterminatsu calculando empezamos cuadrada esA matriz la Como
MA
110
32
32
0
032
032
22
2
3x3
m
m
m
mmmmA
mmm
mmm
m
m
m
A
m
m
A
escoeficientlosdeMatrizlaPonemos
zy
mzyx
zymx
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
16
RSSOLUCIONESzy
zx
zy
zx
zy
zx
zy
zzx
zy
zyx
zy
zyx
ArgArg
istema:-5 en el ss msustituimo
do ndeterminampatible ISistema CoincógnitasnArgAmPara
eterminadompatible DSistema Co
incógnitasnArgArgAmRm
DISCUSIÓN
,,0
05503250325
0
0325
2
000
110
6410
000
19190
6410
110
19190
6410
110
251510
6410
110
532
325
º 305º2
0,0,0zy,x, triviallasolución ,
,º302,5º1
:
RSSOLUCIONES
zy
zx
zy
zx
zy
zx
zy
zzx
zy
zyx
zy
zyx
ArgArg
sistema:2 en els msustituimo
ado Indeterminompatible Sistema CincógnitasnArgAmPara
,,2
52
552
05203220322
0
0322
2
000
110
322
110
110
322
110
232
322
º 302º3
4. Discutir, según los valores del parámetro “k” el siguiente sistema de ecuaciones:
AmpliadaMatrizescoeficientlosdeMatrizlaPonemos
zy
zy
zkyx
zyx
23
33
132
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
17
4)A(3)(
MAMA
2
0
3
1
130
110
31
321
| 4x43x4
*
rgArg
kBA
A
A
tiblerá Incompasistema se
el por tantoArgyArgAkRk
DISCUSIÓN
kkA
kkk
k
kkkk
A
nte determina
,4 es MA como 404º1
:
4040
4251215
112
015
011
202
213
011
202
2
0
2
1
130
110
020
321
2
0
3
1
130
110
31
321
su calculando empezamos cuadrada es A matriz la Como
3x4
1,1,4,,
1
1
4
1
1
132
1
1
132
:SOLUCIÓN
. ,incógnitas de nº3
01
100
010
321
0
1
1
1
000
100
010
321
0
2
2
1
000
200
020
321
2
2
2
1
200
200
020
321
2
0
2
1
130
110
020
321
2
0
3
1
130
110
341
321
404º2
zyx
z
y
x
z
y
x
z
y
zyx
eterminadompatible DSistema CoArgArg
stema:4 en el sis ksustituimoArgAkPara
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
18
7. ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS Al proceso inverso a la resolución e un SEL compatible indeterminado se le denomina eliminación de parámetros, es decir, dado el conjunto solución, hallar que SEL tiene dichas soluciones. Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones, resolverlo y luego realizar el proceso inverso.
4321
4
4321
4343
2432
4343
1431
4321
4321
21
4321
4321
,,2
3
2
3,
22/,,,
:
2
3
2
3
2
33332- :ecuaciones las Restamos
2222 :ecuaciones las Sumamos
:reducción método elpor sistema el Resolvemos 22
:2º al resto el pasamosy miembroprimer elen y dejamos
20211
1-1 como :A matriz la de Rango
1111
22-1-1
0
022
xxxxRxxxxS
Solucíón
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
xxEntonces
Arg
Aienteslos coeficMatriz de xxxx
xxxx
Realizamos ahora el proceso inverso: dado el conjunto solución, obtener un SEL que lo genera
nulos ser todos dehan 3orden de menores Los 2
102321
012321r
:será matriz una de rango de definición lasegún Y
1,0,2
3,
2
10,1,
2
3,
2
1,,,
:de linealn combinació comoexpresar podemos lo ,,, vector
2
3
2
3
22
4321
4321
4321
4
3
2
1
xxxx
xxxx
xxxxEl
x
x
x
x
06640
203
0230
1023
0123
02240
201
0210
1021
0121
342
432432
2
341
431431
1
xxx
xxxxxx
M
xxx
xxxxxx
M
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
19
partida. de SEL del ecuaciones las te,precisamen son, Que
0
022
03333 :obtiene se ecuaciones dos las Sumando
04422 :obtiene se ecuaciones dos las Restando
:
0332
02
0664
0224
4321
4321
4321
4321
342
341
342
341
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
nteo equivaletema en unmos el sistransformaSi
xxx
xxx
xxx
xxx
Ejercicio: Eliminar los parámetros
0103
0532
0137
01030
121
011
31
05320
021
111
11
01370
321
211
21
:nulosser dehan 3orden de menores siguientes los Por tanto,
2
10321
01211
3121
rg Luego
1,0,3,2,10,1,2,1,13,1,2,,1
:que Tenemos
3
1
322
2
1
3
1
322
2
1
521
421
321
521
521
3
421
421
2
321
321
1
54321
54321
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
M
xxx
xxx
M
xxx
xxx
M
xxxxx
baxxxxx
bx
ax
bax
bax
bax
bro rimer miementes al p independis términosPasamos lo
bx
ax
bax
bax
bax
Ejercicio: Eliminar los parámetros
:nulosser dehan 3orden de menores siguientes los Por tanto,2
1211
1312rg Luego
1,2,1,11,3,1,2,,,:que Tenemos 23
2
tzyx
batzyx
bat
baz
bay
bax
Matemáticas 2º Bachillerato Álgebra Lineal
20
032
037
0320
111
112
0370
211
312
2
1
tyx
zyx
tyx
tyx
M
zyx
zyx
M
Ejercicio: Eliminar los parámetros
09161391613
311
231
221
2
211
131
321
5
231
121
321
231
123
322
1
:fila 1ª lapor ndodesarrolla 0
2311
1231
3221
251
M
:nulosser dehan 4orden de menores siguientes los Por tanto,
3
12311
21231
13221
1251
rg Luego
1,2,3,1,12,1,2,3,11,3,2,2,11,2,5,,1
:que Tenemos
21
232
3225
32
1
21
232
3225
32
1
43214321
4321
4321
1
54321
54321
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
xxxxxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
cbaxxxxx
cbax
cbax
cbax
cbax
cbax
un miembrodientes aos indepenLos términ
cbax
cbax
cbax
cbax
cbax
0911717
091613
0911717911717
311
231
221
1
111
231
121
5
131
221
121
131
223
122
1
:fila 1ª lapor ndodesarrolla 0
1311
2231
1221
151
M
5321
4321
53215321
5321
5321
2
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxx