Tema 12 Cálculo de primitivas - José Aurelio Pina Romero. · 2019. 12. 9. · Tema 12 Cálculo de...

Tema 12 Cálculo de primitivas 1. Forma potencial. Calcula las siguientes integrales:

dxxxIa

3237) 2 dx

xxIb 2

31) dxxxIc

232) dxxxId 12

53) 2

dxxxIe 42 )73(6)

dxxxIf 1) 2 dxxIg

3

253)

dxx

xIh2

3)2

dxxxsenIi cos) 2 dxxxtgIj 2sec)

kxxxkxxxIa 39

732

233

7) 2323

dxxIb 21) dxx dxx 2 k

xx

kxxdxx

21

21

221

kxxkxxdxxdxxdx

xx

xIc 5

2/52/12/32/1

2

564

2/53

2/123232)

kxxxxdxxxxId

52

33

54

321

25353)

23423

kxdxxxIe

xfxf

573)73(6)

52

)(

42

)(

kxkxdxxxIfxfxf

3

12/31

211

21)

322/322/1

)(

2

)´(

kxkxdxxIgxfxf

44

)(

3

)(253

101

253

41

52

253

25

52)

kxkxdxxxdxxxIhxfxf

23)2(223)2(2

23)2(3) 22/12

)(

2/12

)´(

2/12

kxsendxxxsenIixfxf

3cos)3

)´()(

2

Matemáticas II – Tema 12 .

2

kxtgdxxxtgIjxfxf

2sec)2

)´(

2

)(

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera:

- Pinchamos en la pestaña Análisis, y dentro de ella, en el icono de integral (debemos tener en cuenta

pinchar en el que aparece el diferencial de x):

Figura 1.

- Una vez, hemos pinchado, nos aparecerá la integral, y sólo tendremos que rellenarla y pulsar igual para

obtener nuestra solución:

Figura 2.

2. Apartado a):

Figura 3.

Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato

3

3. Apartado b):

Figura 4.

4. Apartado c):

Figura 5.

5. Apartado d):

Figura 6.


4

6. Apartado e):

Figura 7.

7. Apartado f):

Figura 8.

8. Apartado g):

Figura 9.


5

9. Apartado h):

Figura 10.

10. Apartado i):

Figura 11.

11. Apartado j):

Figura 12.

Enlace con el ejercicio resuelto en la web:


6

2. Forma logarítmica.

dxxx

xIa12

1) 2

dxeeIb x

x

1)

dxxgIc cot) dxxxsen

xxsenId

coscos

)

dxxxIe

232)

Solución:

kxkxxdxxx

xIa

222 )1ln(2

1)12(ln21

1222

21)

keIb x )1ln()

kxsendxxsenx

Ic lncos

)

kxxsenId cosln)

kxxdxx

Ie

2ln722

72)(*)

drc

dD

(*)

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 2. Apartado a):

Figura 13.

3. Apartado b):

Figura 14.


7

4. Apartado c):

Figura 15.

5. Apartado d):

Figura 16.

6. Apartado e):

Figura 17.



8

3. Seno, coseno, tangente, cotangente.

dxxIa

2cos1) dx

xxxsen

Ibcos

cos2)

dxxxIc )1(cos) 2 dxeseneId ) xx

dxxIe )(sec3) 2 dxxtgIf 2)

dxxsen

xIg2

cos1)2

dxxsenxsenIh

11)

2

Solución:

kxsenxdxxxIa 222cos212)

kxxdxdxxsendxx

xxxsenIb cos22

coscoscos2

)

kxsendxxxIc )1(21)1(cos2

21) 22

keId x cos)

kxtgIe )(3)

dxxtgIf 11) 2 kxxtgxddxxtg 21

kxdxxxsendx

xxsenxsenIg cosln

21

cos21

cos2)

2

dxtgdxxxsenxtgdxxtgdxxxsen

xdxdx

xxsenxsen

dxxsenxsen

Ih )11(cos2cos

2coscos

2111

) 22222222(*)

kxx

xtgkxxtxxtg

cos22

1cos2

1

(*) Multiplicamos numerador y denominador por .1 senx Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):


9

Figura 18.

3. Apartado b):

Figura 19.

4. Apartado c):

Figura 20.


10

5. Apartado d):

Figura 21.

6. Apartado e):

Figura 22.

7. Apartado f):

Figura 23.


11

8. Apartado g):

Figura 24.

9. Apartado h):

Figura 25.


4. Forma exponencial.

dxeIa x 23) dxexIb x 12

3) dxIc x 527) dxxeId xsen cos) Solución:

kedxeIa xx 2323 313

31)


12

kedxexIb xx 1122

232

23)

kdxIc xx 5252 77ln2172

21)

keId xsen )

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):

Figura 26.

3. Apartado b):

Figura 27.


13

4. Apartado c):

Figura 28.

5. Apartado d):

Figura 29.


5. Formas arcsen y arctg.

dxx

xIa6

2

1)

dx

eeIb

x

x

21) dxxIc 241

1) dxxId 291) dxxIe 254

1)

dxxxIf 221) 2 dxx

xIg 22

1) dxx

xIh1

) 24

dxx

Ii234

1)


14

Solución:

kxsenarcdx

x

xIa

3232

31

1

331)

kesenarcdx

e

eIb xx

x

21)

kxtgarcdx

xIc

22

1212

21) 2

dxxId 9/19/1) 2

dxx 23/1

9/1

kxtgarcdxx

33

13/1

3/131

2

kxtgarcdx

xdx

xIe

25

521

2/51

2/55

241

4/514/1) 22

kxtgarcdxxIf )1(111) 2

kxtgarcxdxx

dxdxx

xIg 222

111

111)

kxtgarcxxdxx

xIh

31

11)3

22

dxxIi

4/34/42/1)

2

dx

x2

2/31

2/1

kxsenarcdx

x

2

33

1

2/31

2/33

12

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera:


15

2. Apartado a):

Figura 30.

3. Apartado b):

Figura 31.

4. Apartado c):

Figura 32.


16

5. Apartado d):

Figura 33.

6. Apartado e):

Figura 34.

7. Apartado f):

Figura 35.


17

8. Apartado g):

Figura 36.

9. Apartado h):

Figura 37.

10. Apartado i):

Figura 38.



18

6. Método de sustitución. Los ejercicios anteriores se han resuelto mediante cambios de variable que se han efectuado mentalmente. En

los siguientes ejercicios no son evidentes y es necesario explicarlos:

xxdxIa

)1() 32 1cos) xtgx

dxIb xxdxIc

ln1)

dxxxId

21)

2

dxxxIe

1) dxeIf x 1)

a) Hacemos el cambio dttdxtx 2 2 kxtgarckttgarc

tdt

ttdttI 22

12

)1(

2222

b) Hacemos el cambio dtdxx

txtg 2cos11 kxtgktdttt

dtI 3 23/23/13

123

23

c) Hacemos el cambio dtdxx

tx 1ln1

kxktdtttdtI ln122 2/12/1

d) Ponemos 2

3;2

12123

3 dttdxtxtx

kxx

xktttdttttdtt

ttI

21

5212

821

8213

252

8832

83

231

21 23 2258472

23

e) Ponemos dttdxtx 22

kxxxxkttttdt

tttdt

ttI )1ln(

2321ln

232

1112

12 32323

f) Hacemos 1

221 22

tdttdxdttdxete xx

ketgarcekttgarctdt

tdt

tt

tdtttI xx 1122

1112

12

12

22

2

2

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):


19

Figura 39.

3. Apartado b):

Figura 40.

4. Apartado c):

Figura 41.

5. Apartado d):


20

Figura 42.

6. Apartado e):

Figura 43.

7. Apartado f):

Figura 44.



21

7. Integrales trigonométricas.

dxxsenIa 2) dxxIb 3cos) dxxIc 24)

Las siguientes fórmulas te serán útiles: 22cos

212 xxsen

22cos

21cos2 xx

kxsenxdxxxdxxIa 2

41

212cos2

41

21

22cos

21)

dxxxIb 2coscos) kxsenxsendxxsenxdxxxosdxxsenx

3cos1cos

322

)c Hacemos dttdxtsenx cos2;2 dtttsenI cos244 2

ktsentktsentdttdttdtttsen 22

42

24

22cos

214cos4cos142 22

(Deshacemos el cambio: 22xsenarctxtsen )

kxxxsenarckxxxsenarc

2

2

422

22

12

22

2


Figura 45.


22

3. Apartado b):

Figura 46.

4. Apartado c):

Figura 47.


8. Integración por partes.

dxxsenxIa ) dxxxIb 2cos) 2 dxxseneIc x)

Recuerda la fórmula de integración por partes: duvuvdvu

Hacemos:

xvdxxsendvdxxsendvdxduxu

cos)a


23

Aplicamos la fórmula: kxsenxxdxxxxdxxsenx coscoscos

)b Con frecuencia es necesario aplicar varias veces el método de integración por partes para resolver la integral.

vxsendxxdv

dxxduxu

2212cos

22

1

1

22

22

I

dxxsenxxsenxI

vxdxxsendv

dxduxu

2cos212

1

241

22cos2cos

21

22cos21 xsen

xxdxxxxdxxsenxI

Sustituyendo : 1I kxsenxxxsenxI 2

41

22cos

222

)c Puede ocurrir que, al aplicar este método varias veces, aparezca en el segundo miembro una integral igual a la

inicial. En este caso, se agrupan y se despeja la integral que queremos hallar:

vxdxxsendvdxedueu xx

cos (Se resuelve también haciendo: ) dxedvxsenu ; x

xsenexedxxexedxxsene xxxxI

x coscoscos

I

x dxxsene

kxsenexeIxsenexeIxx

xx

2

coscos2

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos todos los apartados de idéntica manera: 2. Apartado a):


24

ALGUNOS TIPOS DE INTEGRALES QUE SE RESUELVEN POR PARTES

dxex xn

nu x

dxedv x

dxxsenxn

nu x

dxxsendv

dxxxn cos

nu x

dxxdv cos

dxxxn ln

xu ln

dxxdv n

dxxtgarc

xtgarcu

dxdv

xsenarcu

dxdv dxxsenarc

dxxln

xu ln dxdv

Figura 48.

3. Apartado b):


25

Figura 49.

4. Apartado c):

Figura 50.


9. Integración de funciones con solo raíces reales en el denominador.

dxxxIa

312)

3

dxxxIb

123) 2

dxxxIc 32

1)

xdx

xxId

2

12)

Solución:

kxxxxdxx

xxIa

3ln55182

63

23

551862)23

2

Puesto que el grado del denominador no es inferior al del numerador, hemos hecho la división para poner:

divisorrestocociente

divisordividendo


26

)b Descomponemos el denominador en factores Descomponemos la fracción: ).1()1(12 xxx

11123

2

xB

xA

xx

Calculamos A y B )1()1(23 xBxAx Si 251;

211 AxsiBx

kxxdxx

dxx

I

1ln211ln

25

12/1

12/5

)c Denominador: tiene una raíz doble y una simple. Descomponemos: )1(232 xxxx

12421210

)1()1()1(

11

2

2

232

AACBAxParaCxParaBxPara

xxCxxBxAx

xC

xB

xA

xx

kxx

xkx

xxkxxxdxx

dxx

dxx

I

1

1ln11lnln1ln

1ln

1111 1

2

)d Descomponemos la fracción: x

Cx

Bx

Axx

x

22

2

1112

Calculamos A, B y C: A =-3, B = 9, C = 4

kxx

xkxx

xdxx

dxx

dxx

I1

91

lnln41

91ln341

91

33

4

2



27

Figura 51.

3. Apartado b):

Figura 52.

4. Apartado c):

Figura 53.

5. Apartado d):


28

Figura 54.


10. Función primitiva. Halla una función g(x) que sea primitiva de f (x) = sen x, cuya gráfica pase por el punto .0, La función g debe verificar que .0)()()´( gyxfxg Hallamos todas las primitivas de f:

cxxgcxdxxsen cos)(cos 1010cos)( cccg La función que buscamos es: 1cos)( xxg Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Para resolver el ejercicio, debemos calcular en primer lugar, la integral del seno(x):

Figura 55.

2. Ahora escribimos nuestra función g(x), y dentro del mismo bloque, indicamos que queremos calcular :)(g


29

Figura 56.

3. Para saber el valor de c, resolveremos la siguiente ecuación:

Figura 57.

4. Por último representamos la función obtenida:

Figura 58.


30

Figura 59.


11. Función primitiva. Halla sabiendo que: )(xf xxfff 3)´´(,2)0´(,1)0(

2)0´(233)´´()´( 11

2

GfGxdxxdxxfxf

22

3)´(2

xxf

2

32

22

22

3)´()( Cxxdxxdxxfxf

122

)(1)0(3

2 xxxfCf


31

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. En este ejercicio, resolveremos en primer lugar la integral de f’’:

Figura 59.

2. También calcularemos la integral de f’:

Figura 60.


12. Función primitiva.

a) Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquier

punto viene dada por la función xexxf 2)(

b) Obtén de esta familia, la curva que pasa por el punto A (0, 2).


32

a) Buscamos todas las tales que Es decir, las primitivas de )(xF .)()´( 2xexxfxF ).(xf

Integramos por partes:

xx evdxedv

dvduxu

212 k

eexdxeexdxexxx

xxx

4221

21 22222

b) Si queremos que la curva pase por A (0, 2), se debe cumplir: 492

420 0202

kkee

La curva pedida es: )(xF49

42

22

xx eex

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Calcularemos la integral de f(x):

Figura 61.

2. Ahora, resolveremos la ecuación resultante de igualar el resultado del paso anterior (después de sustituir x por 0)

a 2:

Figura 62.


Tema 12 Cálculo de primitivas - José Aurelio Pina Romero. · 2019. 12. 9. · Tema 12 Cálculo de...

Documents

Transcript of Tema 12 Cálculo de primitivas - José Aurelio Pina Romero. · 2019. 12. 9. · Tema 12 Cálculo de...