TEMA 2:

EVOLUCIÓN TÉRMICA DEL UNIVERSO

Friday, November 22, 13

2.1 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PARTÍCULAS •La manera usual de describir partículas en equilibrio térmico es mediante la función

de distribución, que indica el número de partículas en el espacio de fases con una posición X y un momento P. A orden 0: Bose Einstein o Fermi-Dirac:

• fBE =1

e(E�µ)/T � 1fFD =

1

e(E�µ)/T + 1•La densidad del número de partículas, de energía y la presión vienen dadas por:

n =g

(2⇡)3

Zf(~x, ~p)d3xd3p

⇢ =g

(2⇡)3

ZE(~p)f(~x, ~p)d3xd3p

p =g

(2⇡)3

Zp

2

3E(p)f(~x, ~p)d3xd3p

•Mientras que la densidad de entropía es:s ⌘ ⇢+ p

TFriday, November 22, 13

2.2 ECUACIÓN DE BOLTZMANN

•A lo largo de la historia del universo, las partículas permanecen en equilibrio térmicohasta que, aproximadamente, el ritmo de interacción de dichas partículas es igual o inferior al ritmo de expansión del universo. En ese momento, la partícula se desacoplay deja de interactuar con el resto. De modo que, como regla aproximada:

• la partícula se desacopla.� . H

•Sin embargo, la manera precisa de hacerlo es mediante la ecuación de Boltzmann:

Lf = Cf

•f es la función de distribución, L es el operador de Liouville y C el de colisiones.

•En mecánica clásica L̂ =d

dt+ ~v · ~r

x

+ ~F/m · ~rv

•La versión relativista es L̂ = p

↵ @

@x

↵� �↵

��p�p

� @

@p

↵

•En la geometría FRW: L̂f = E@f

@t�Hp2

@f

@E

dn

dt+ 3Hn =

g

(2⇡)3

ZCf

d3p

E

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2.2 ECUACIÓN DE BOLTZMANN•Simplificando los posibles procesos, (1+2 ↔3+4):

dn

dt+ 3Hn =

Zd3p1

(2⇡)32E1

Zd3p2

(2⇡)32E2

Zd3p3

(2⇡)32E3

Zd3p4

(2⇡)32E4

⇥(2⇡)4�3(p1 + p2 � p3 � p4)�(E1 + E2 � E3 � E4)|M|2

⇥ (f3f4(1± f1)(1± f2)� f1f2(1± f3)(1± f4))

En un universo en expansión, el número de partículas se diluye!

En ausencia de interacciones, n / a�3

El ritmo de producción de 1 es proporcional a los números de ocupación de 3 y 4. El ritmo de pérdida de 1 es

proporcional a los números de ocupación de 1 y 2.

+ “Bose enhancement” - “Pauli Blocking”

Conservación del momento y de la energía

Física de partículas

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2.2 ECUACIÓN DE BOLTZMANN

•Simplificando más factores (equilibrio químico), y, entre otros, los factores de Bose enhancement y Pauli blocking y definiendo una “sección eficaz térmica”:

dn

dt+ 3Hn = n0

1n02h�vi

✓n3n4

n03n

04

� n1n2

n01n

02

◆

•Donde: n0i ⌘ gi

Zd3p

(2⇡)3e�Ei/T

•Cuando veamos el caso de materia oscura, veremos que dos partículas de materia oscura X se pueden aniquilar produciendo dos partículas más ligeras (l): XX ↔  ll que prácticamente no se acoplan al resto de partículas,de modo que

gi(miT/2⇡)3/2e�mi/T mi � T

giT 3

⇡2mi ⌧ T

n3n4 = n03n

04

dnX

dt+ 3HnX = h�vi

�(n0

X)2 � n2X

�

Y ⌘ nX

T 3

dY

dt= T 3h�vi

�Y 2EQ � Y 2

�

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2.3 Desacoplo de partículas: Neutrinos•Hemos visto que una regla sencilla para ver cuándo se desacopla una partícula la proporciona la comparación del ritmo de expansión del universo con el ritmo de interacción:

•El ritmo de expansión del universo viene dado por el factor de Hubble:

� . H

•Los neutrinos sólo interaccionan via interacciones débiles y su ritmo de interacción:

�⌫ = n�v ' T 3G2FT

2 ⇠ G2FT

5

H2 =8⇡G

3⇢ ⇠ T 4/m2

pl

�⌫/H ⇠✓

T

1 MeV

◆3

•De modo que los neutrinos se desacoplan a temperaturas T del orden de 1 MeV.

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2.3 Desacoplo de partículas: Neutrinos

•Hemos visto que la densidad de entropía total es

¿Cómo se relacionan las temperaturas del fotón y del neutrino?

•La clave es el hecho de que los electrones y los positrones se aniquilan después del descacoplo del neutrino y por lo tanto estos neutrinos estarán un poco más fríos que el fondo de radiación cósmica.•La segunda clave es usar el hecho de que, en un universo en expansión, la entropíatotal por unidad de volumen comoving se mantiene constante.

•Los bosones contribuyen a la entropía: •Los fermiones contribuyen a la entropía:

s ⌘ ⇢+ p

T

2⇡2T 3/45

7/8⇥ 2⇡2T 3/45

•Antes de la aniquilación de electrones y positrones= electrones (g=2), positrones (g=2), neutrinos (3), antineutrinos (3) y fotones (g=2) luego:

•Después, solo tenemos neutrinos y fotones, a distinta temperatura:

s(a2) = 2⇡2/45(2T 3� + 7/8(3 + 3)T 3

⌫ )

s(a1) = 2⇡2T 31 /45(2 + 7/8(2 + 2 + 3 + 3))

s(a1)a31 = s(a2)a

32 a1T1 = a2T⌫

✓T⌫

T�

◆=

✓4

11

◆1/3

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2.3 Desacoplo de partículas: Materia oscuradY

dt= T 3h�vi

�Y 2EQ � Y 2

�

•La ecuación es una forma particular de la ecuación de Ricatti (no soluciones analítica)

•Para temperaturas muy altas, x<<1, la reacciones ocurren muy rápido: Y= YEQ.

•Para x>>1, YEQ está suprimida exponencialmente, y la densidad de partículas de materia oscura X es tan pequeña que las interacción XX ↔  ll deja de ser efectiva yla partícula de desacopla: “FREEZE OUT”, e integrando esta ecuación desde el desacoplo xf hasta la abundancia hoy en día:

x ⌘ m/T

dY

dx

=�

x

2

�Y

2 � Y

2EQ

�� ⌘ m3h�vi

H(m)

Y1 ' xf

�

PHYS 652: Astrophysics 94

Figure 29: Abundance of heavy stable particle as the temperature drops beneath its mass. Dashed line isequilibrium abundance. Two di!erent solid curves show heavy particle abundance for two di!erent valuesof !, the ratio of the annihilation rate to the Hubble rate. Inset shows that the di!erence between quantumstatistics and Boltzmann statistics is important only at temperatures larger than the mass.

its energy density today is equal to

"X(a0)a30 = "X(a1)a

31 =! "X(a0) = "X(a1)

!

a1

a0

"3

mXnX(a1)

!

a1

a0

"3

, (359)

where a1 corresponds to the time when Y has reached its asymptotic value of Y!. The numberdensity at that time is [from the definition Y " nX/T 3 in eq. (350)] nX = Y!T 3

1 , so

"X(a0) " "X0 = mXY!T 31

!

a1

a0

"3

= mXY!T 30

!

a1T1

a0T0

"3

. (360)

At the first glance, we may expect that the ratio in the parenthesis is unity because we have usedT # a"1. However, this is only true after the annihilations of many particles in the primordial souphas been completed — such annihilation raise the temperature of the Universe. (We have alreadytalked about an example of this: annihilation of electrons and positrons heats up photons, whileneutrinos, which have decoupled shortly before that remain una!ected.) This means that the ratio(a1T1)/(a0T0) has to be computed from the entropy density argument, and the fact that it scalesas a"3, as we have computed earlier (Lecture 9):

s "" + P

T, radiation-dominated: P = 1

3"

s =4

3

"

T=

4

3

#

g!"2

30T 4

$

T=

4#2

90g!T

3 eq. (306)

s(a1)a31 = s(a0)a

30 =!

4#2

90g!(a1)T

31 a3

1 =4#2

90g!(a0)T

30 a3

0

=!

!

a1T1

a0T0

"3

=g!(a0)

g!(a1), (361)

94

xf ⇠ 10Y1 ' 10

�

⌦X =H(m)xfT

30

30m2h�vi⇢crit⌦Xh2 =

3⇥ 10�27 cm3s�1

h�vi

•Asumiendo secciones eficaces del orden de la interacción débil:

⌦Xh2 ⇠ 0.1 El milagro WIMP! “The WIMP miracle”!Friday, November 22, 13

2.4 Big Bang Nucleosíntesis (BBN)

•Partículas relativistas en equilibrio: fotones, electrones y positrones (e+e-↔ 𝛾𝛾)

•Partículas relativistas desacopladas: neutrinos •Partículas no relativistas, bariones (no antibariones, debido a la asimetría materia-antimateria):

⌘b ⌘nb

n�= 5.5⇥ 10�10

✓⌦bh2

0.020

◆

•Hay muchísimos menos bariones que fotones!

Las energías de enlace nuclear son del orden del MeV, por ello BBN ocurre cuando la temperatura del universo es de 1 MeV,la sopa cósmica está compuesta por:

•Los neutrones y los protones interaccionan via las interacciones débiles:

•Los elementos ligeros se forman via interacciones nucleares:

p+ ⌫̄ $ n+ e+ p+ e� $ n+ ⌫ n $ p+ e� + ⌫̄

p+ n !D+� D +D ! n+ 3He 3He+D ! p+ 4He

•Los cálculos son más sencillos de lo que en principio pueden ser porque vamos a asumir:•No se forman elementos más pesados que el helio (con la excepción del litio).•A temperaturas superiores a 0.1 MeV sólo existen protones y neutrones libres.Friday, November 22, 13

2.4 Big Bang Nucleosíntesis (BBN)

p+ n !D+�•A temperaturas superiores a 0.1 MeV sólo existen protones y neutrones libres.•Para explicar esto, consideremos el proceso

•en equilibrio dn

dt+ 3Hn = n0

1n02h�vi

✓n3n4

n03n

04

� n1n2

n01n

02

◆ nD

nnnp=

n0D

n0nn

0p

•Anteriormente hemos visto n0i ⌘ gi

Zd3p

(2⇡)3e�Ei/T gi(miT/2⇡)

3/2e�mi/T mi � T

nD

nnnp=

3

4

✓2⇡mD

mnmpT

◆3/2

e(mn+mp�mD)/T•Luego, como n� = n0�

Equilibrio

•El factor 3/4 se refiere a los estados de spin (g). En el factor multiplicativo, podemos aproximar la masa del deuterio por dos veces la masa del protón, y:

nn, np / nbnD

nb⇠ ⌘b

✓T

mp

◆3/2

e(BD)/T

donde BD=2.2 MeV. Al menos que T<<BD, todos los bariones son protones y neutrones, sin elementos ligeros. Esto es lo que ocurre a T> 0.1 MeV. Para T < 0.1 MeV, se producen deuterio y helio, pero no elementos más pesados, ya que no existen isótopos pesados estables con número másico A=5. En las estrellas, la reacción:

ocurre, pero en el universo temprano las densidades son tan bajas que los núcleos no pueden encontrar a otro, dado el ritmo de expansión del universo.

4He+4 He+4 He !12 C

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2.4 Big Bang Nucleosíntesis (BBN)

Friday, November 22, 13

2.4 Big Bang Nucleosíntesis (BBN)•Para determinar la síntesis de elementos ligeros, el primer paso es determinarel cociente entre neutrones y protones, para lo que tenemos que resolver:

dn

dt+ 3Hn = n0

1n02h�vi

✓n3n4

n03n

04

� n1n2

n01n

02

◆p+ e� $ n+ ⌫

•En el límite no relativista, en equilibrio:

n0i ⌘ gi

Zd3p

(2⇡)3e�Ei/T

n0p

n0n

=e�mp/T

e�mn/T

Rdpp2e�p/2mpT

Rdpp2e�p/2mnT

n0p

n0n

= eQ/T

Q ⌘ mn �mp = 1.293 MeV

•Por lo tanto, para temperaturas superiores a 1 MeV, hay tantos protones como neutrones. Conforme la temperatura va bajando, también lo va haciendo la fracciónde neutrones.

Xn ⌘ 1

1 + np

nn

x ⌘ Q/T

dXn

dx= x�

np

/H(x)�e�x �X

n

(1 + e�x)�

n0l h�vi

•T=Q, el ritmo de interacción es mayor que el ritmo de expansión del universo.•Cuando T< 1 MeV, el ritmo de producción es mucho menor que el ritmo de expansión, y las conversiones se vuelven totalmente ineficaces.

Ratio of neutrons to total nuclei

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2.4 Big Bang Nucleosíntesis (BBN)

nD

nb⇠ ⌘b

✓T

mp

◆3/2

e(BD)/T nD ⇠ nb

•Luego la producción de deuterio ocurre para T=Tnuc=0.07 MeV. Puesto que la energía de enlace es mayor para helio que para deuterio, el factor en la exponencial favorece la producción de helio respecto al deuterio. Todos los neutrones restantes a Tnuc forman helio. Como hacen falta 2 neutrones para formar un núcleo de helio:

X4 ⌘ 4n4He

nb⌘ 2Xn(Tnuc) Yp = 0.2262 + 0.0135 ln(⌘b/10

�10)

•La manera de medir la abundancia de helio esirse a sistemas astrofísicos poco evolucionados(“low metallicity systems”)•No todo el deuterio se quema en helio, ya que D+p→3He +𝛾  no es totalmente eficiente,

debido a la densidad de bariones, que es pequeña. La cantidad de deuterio está íntimamente relacionada con la densidad bariónica. Las abundancias de D se miden en los espectros de absorción de cuásares a redshifts z≃3.

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2.4 BBNBig Bang Nucleosynthesis

• Integrating the Boltzmann equation for nuclear processes duringfirst few minutes leads to synthesis and freezeout of light elementsLight Elements

Burles, Nollett, Turner (1999)

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2.5 Recombinación

Para explicar esto, consideremos el proceso

•en equilibrio

•A temperaturas superiores a 1 eV los electrones y fotones interaccionan vía Compton scattering, y los electrones interaccionan con los protones vía Coulomb scattering.Se forman átomos de hidrógeno (energía de enlace, 13.6 eV), pero al haber muchos más fotones que bariones cada átomo que se forma es rápidamente ionizado.

e� + p $ H + �

Xe ⌘np

np + nH=

ne

ne + nH

dn

dt+ 3Hn = n0

1n02h�vi

✓n3n4

n03n

04

� n1n2

n01n

02

◆

dn

dt+ 3Hn = nbh�vi

⇣(1�Xe)(meT/2⇡)

3/2e�(me+mp�mH)/T �X2enb

⌘

ne = nbXe

dXe

dt=

⇣(1�Xe)� �X2

enb↵(2)

⌘

� ⌘ h�vi(meT/2⇡)3/2e�✏0/T Ritmo de ionización

Ritmo de recombinación a n=2 (n=1 no tiene efecto ninguno, ya que originaría un fotón que a su vez ionizaría a otro átomo neutro!)

↵(2) ⌘ h�vi

↵(2) = 9.78↵2/m2e(✏0/T )

1/2 ln(✏0/T )

Universe’s neutrality

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2.5 Recombinación

Recombination

Saha

2-levelioni

zatio

n fr

actio

n

scale factor a

redshift z

10–4

10–3

10–2

10–1

1

10–3

103104 102

10–2

Saha equation fails to describe the recombination process once that equilibrium becomes difficult to maintain:

dn

dt+ 3Hn = n0

1n02h�vi

✓n3n4

n03n

04

� n1n2

n01n

02

◆

e� + p $ H + �

n� = n0�

nenp

nH=

n0en

0p

n0H

X2e

1�Xe=

1

ne + nH(meT

2⇡)3/2e�(me+mp�mH)/T

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2.5 Desacoplo de los fotones de la materia•Los fotones se desacoplan de la materia cuando el ritmo de interacción del scattering de Compton es inferior al ritmo de expansión del universo:

sección eficaz de Thomson =0.665 10-24 cm2

ne�T = Xenb�T = H

Xe�T⌦bh2a�3⇢critmp = H

H2(a) = H20 (⌦m(a) + ⌦r(a) + ⌦de(a))

El redshift de la época de desacoplo es aproximadamente z=1000 así queel desacoplo ocurre durante la época de recombinación!

ne�T

H= 113Xe(⌦bh

2/0.02)(0.15/⌦mh2)1/2✓1 + z

1000

◆3/2 ✓1 +

1 + zeq3600

0.15

⌦mh2

◆�1/2

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