Tema 2 Fundamentos v1

1

Diseño de Máquinas

Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga 2

Tema 2 - Fundamentos► Esfuerzos y deformaciones simples

Tracción – Compresión Cortadura Flexión Torsión

► Combinación de esfuerzos► Teorías de Rotura estática► Esfuerzos de Contacto

Esferas Cilindros Caso General

► Concentración de esfuerzos

2


Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión 1/2

► F – Fuerza en el eje longitudinal. (Compresión –F)

► A – Área de la sección► - Esfuerzo tensión Normal► E – Módulo de Young o de

Elasticidad► µ – Módulo de Poison► - Deformación unitaria► l – Longitud► - Deformación

11

22

F

AF

FA

A

FFE

A lA EAE

F kl l

Material en zona elástica lineal

Dirección longitudinal


Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión 2/2

► F – Fuerza en el eje longitudinal. (Compresión –F)

► A – Área de la sección► - Esfuerzo tensión Normal► E – Módulo de Young o de

Elasticidad► µ – Módulo de Poisson ► - Deformación unitaria► l – Longitud► - Deformación

Dirección transversal

= -

Material en zona elástica lineal

3

Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga

5

Esfuerzos y deformaciones simplesTracción – Compresión

(Relación de problemas del Tema 2)

Cálculo y Diseño de Máquinas - Universidad de Málaga6

Esfuerzos y deformaciones simples Cortadura 1/1

F

A

► F – Fuerza normal al eje longitudinal

►A – Área de la sección► - Esfuerzo o tensión

de cortadura

τmed (no real)

4


7

Esfuerzos y deformaciones simples Flexión 1/15

V

► Al cortar por una sección cualquiera, para equilibrar hay que aplicar: M – Momento Flector V – Fuerza cortante

► V=0Flexión PuraEsfuerzos:► Viga recta, material homogéneo y

cumple la Ley de Hooke► Se estudian secciones alejadas de

las cargas► Eje de simetría en el plano de la

flexión► Eje de los momentos normal al

plano de simetría► Las secciones permanecen planas



Efecto del Momento Flector M : Esfuerzos de tracción y compresión, ley de NavierI - Momento de Inercia, W – Módulo resistente = 0 Línea neutra, = Max superficie

max

max

MI

RM M

I WC

3

2

32

6

CIRCULAR

RECTANGULAR

DW

b hW

Plano de flexión

5



Efecto de la fuerza cortante V : Esfuerzo de cortadura = Max. Línea neutra = 0 Superficie

max 0

c

R

c

Vy dA

I bV

y dAI b

FORMA DE LA SECCIÓN max

Rectangular max

3

2

V

A

Circular max

4

3

V

A

Corona Circular max

2 V

A


Esfuerzos y deformaciones simplesFlexión 4/15

En flexión general acción conjunta de V y M ► Combinación de esfuerzos

► El inducido por V es pequeño y se suele despreciar

6


11




Cálculo de deformaciones elásticas en Flexión►Métodos: Teorema de Mohr - Punto Energía de deformación - Punto Ecuación diferencial de la elástica – Viga completa Funciones de singularidad – Viga completa


7


Ecuación Diferencial de la Elástica Integrar dos veces el

diagrama de momentos flectores

Aplicar condiciones de contorno

( )( )

( )

( ) ( )

M xx dx

E I x

y x x dx

q x ‐

M



► Método1. Calcular V(x) por tramos2. Obtener el momento flector M(x)

por tramos.3. Integrar el momento flector M(x)

dividido por EI para obtener el giro(x) [en radianes]

4. Integrar el giro (x) para obtener laflecha y(x)

5. Aplicar las condiciones de contornopara obtener las 2 constantes deintegración

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )

V x q x dx

M x V x dx

M xx dx

E I x

y x x dx


8


a1 = 100 mma2 = 200 mml= 400 mma3 = 450 mmEI = 5 108 Nmm2

F1 = 1000 NF2 = 1500 N

F1 F2

RA RB

a1

a2

l

a3

A 1 2 B 3

¿Cálculo de “deformaciones” en Flexión?



F1 F2

RA RB

a1

a2

l

a3

A 1 2 B 3

y

x

Criterio de signos:x

V y M positivos

(producen que V+ y M+ aumenten)Tomamos + Fi

Mi

q(x)


9


2 68

3 68

PU N TO 1

1(100) 1.500(100) 47,5 10 0.0325 1º51́

2 5 101

(100) 1.500(100) 142,5 10 100 4,256 5 10

y m m

68

PUNTO A

1(0) 47,5 10 0.0475 2º43́

2 5 10(0) 0y

2 2 6 38

3 3 68

PU NTO 2

1(200) 1.500 200 1.000(200 100) 47,5 10 2.32 10 0º8́

2 5 101

(200) 1.500 200 1.000(200 100) 142,5 10 200 5,8336 5 10

y m m

2 2 2 68

PUNTO B

1(400) 1.500 400 1.000(400 100) 1.500(400 200) 47,5 10 0.0424 2º26́

2 5 10(400) 0y

2 2 2 2 68

3 3 3 3 68

PU NTO 3

1(450) 1.500 450 1.000(450 100) 1.500(450 200) 1.000(450 400) 47,5 10 0.0424 2º26́

2 5 101

( ) 1.500 4́50 1.000(450 100) 1.500(450 200) 1.000(450 400) 142,5 10 450 2,1256 5 10

y x m m



y

xq

RA RB

a1

a2

a3


10


En ejes se suele utilizar la hipótesis de carga concentrada: es más fácil de calcular y es más conservadora

l/3

l

(0,25 - 0,3) l

l

l

F

F/2F/2

(0,2 - 0,3) l

(a)

(b)

(c)

(d)

(0,2 - 0,3) l



RA

RB

30 50 40

2.500 N

130.000 mmN

1 42 3

(a)

250

2.750A

B

R

R

0 1 0 0

1 0 1 1

( ) 250 0 130.000 30 2.500 80 2.750 120

( ) 250 0 130.000 30 2.500 80 2.750 120

V x x x x x

M x x x x x

VIGAS DE SECCIÓN VARIABLE


11


RA

RB

30 50 40

2.500 N

130.000 mmN

1 42 3

V ( N )

M ( mm N )

250

2 .75

0

7.50

0

110.

000

122.

500

(a)

(b)

(c)



Punto Giro (º) Flecha (mm)1 -0.0032 02 -0004 -0.00183 0.0012 -0.0034 0.0059 0

RA

RB

30 50 40

2.500 N

130.000 mmN

1 42 3

(a)


12


Esfuerzos y deformaciones simples Torsión de secciones circulares 1/3

► T – Momento Torsor, coincidente con el eje longitudinal

► Barra cilíndrica recta, material homogéneo y cumple la Ley de Hooke

► Se estudian secciones alejadas de las cargas

MxMx

x


29

Esfuerzos y deformaciones simplesTorsión de secciones circulares 2/3

► – Esfuerzo de cortadura ► Las secciones permanecen planas► I0 – Momento polar de inercia► r – Distancia radial► l – Distancia entre dos secciones► Máximo esfuerzo en la superficie

max =(xz)max – Esfuerzo de cortadura en la superficie

I0 – Momento polar de inercia W0 – Módulo resistente de torsión

→

10

12 1 2 1

20

2

TI

RR R

TI

R

R

∙32

ó

∙32

ó

Esfuerzos:

13


Esfuerzos y deformaciones simples Torsión de secciones circulares 3/3

z

-z

τxz

l=ϴr

Material en zona elástica

ϴ(rad)=Tl

GI

Sección, Material y T

ctes

Deformaciones (ϴ ):




Material:Sys=90MPa, G=0.8 e 5 MPa

14


Combinación de Esfuerzos 1/10► Estado de esfuerzo de P:

Recoge las σ al cortar por cualquierplano.

► Caracterización: dV que recogelas componentes de esfuerzo alcortar por los 3 planos de unsistema de referencia arbitrario

► Triaxial: son necesarias 6 componentes x , y , z , xy , yz , zx

►xy = yx►yz = zy►zx = xz


Combinación de Esfuerzos 2/10

Existe un sistema de referencia 123 tal que las componentes de esfuerzo cortante son nulas1 , 2 , 3 : Esfuerzos principales (1 > 2 > 3 )

15


34

Combinación de Esfuerzos 3/10Círculo de Mohr

(Representación del estado de tensiones en un punto)

Otto Mohr (1835-1918)

O

n(σn , τ)τ

σn

Circunferencias de Mohr:• los puntos sobre cada circunferencia representan planos

perpendiculares al formado por las direcciones principales quela definen

• El ángulo central barrido sobre la circunferencia es el doble delque se recorre en el espacio



► una de las componentes principales es cero

Estado de esfuerzo biaxial o plano

16



► una de las componentes principales es cero

► Son necesarias tres componentes: x , y , xy (xy = yx )

Estado de esfuerzo biaxial o plano


Combinación de esfuerzos 6/10Existe un sistema de referencia AB tal que las componentes de esfuerzo cortante son nulasA , B : Esfuerzos principales (A > B )

Círculo de Mohr

A , B , x , y , xy

17


Combinación de Esfuerzos 7/10Circunferencia de MohrRepresenta el estado de esfuerzo plano

2

2max

max

max

2

2

22

x ym

x yxy xy

A m xy

B m xy

xy

x y

tg



+

A

(300,150)

B

(50,-150)

(370.26,0)(-20.26,0)

X

Y

R

R=max XY=195.26

B A

XSIM (300,-150)

A

2

m= 175

x = 300 MPa

y = 50 MPa

xy = 150 MPa

A = 370.26 MPa

B= -20.26 MPa

= 25.09 º

=25.09º

18



Flexión + Torsión

Solo el de T(se desprecia el de V)

σ=0



De esfuerzo plano a triaxial: Añadir a los esfuerzos principales A y B un tercer esfuerzo de valor ceroOrdenar de forma que 1 > 2 > 3

19


►Materiales Dúctiles: Fallo por fluencia Criterio del esfuerzo cortante máximo Cirterio de Von Misses

►Materiales Frágiles: Fallo por fractura Criterio de Mohr Criterio de Mohr Modificado

Teorías de Rotura o Falla estática 1/16

Un elemento de máquinas se considera que ha fallado cuando no cumple su función


Teorías de Rotura estática 2/16

Ensayos de:

Tracción

Compresión

Cortadura (torsión)

¿Otras cargas?

Fallo por fluenciaMATERIALES DÚCTILES

20



Ensayos de:

Tracción

Compresión

Sy-Sy



Teorias de Rotura estática 4/16MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO O DE TRESCA (1814-1885)Se produce la falla por fluencia cuando el esfuerzo cortante máximo supera al que se da en el ensayo de tracción

1 3max

1 31 3

max

:

2

2

Para que no falle

SySy N

Sy

21


Teorías de Rotura estática (3/16)

Ensayos de:

Tracción

Compresión

CortaduraSy-Sy

Sys



Teorias de Rotura estática 5/16

MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O DE VON MISES (1883-1953)

Esfuerzo equivalente de Von Mises ’: Aquel esfuerzo normal que genera la misma energía de distorsión que la combinación de los esfuerzos aplicados

2 22

1 2 2 3 3 1

2 2 2

´2

´ 3

x y x y xy

22


Teorias de Rotura estática 6/16MATERIALES DÚCTILESTEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN MÁXIMA O DE VON MISES (1883-1953)Se produce la falla por fluencia cuando al esfuerzo equivalente de Von Mises supera al que se da en el ensayo de tracción.

2 22

1 2 2 3 3 1

2 22

1 2 2 3 3 1

2 2 2

2 2 2

: ´´

2

2

33

x y x y xy

x y x y xy

SyPara que no falle Sy N

SySy N

SySy N



► La rotura por fluencia se produce fuera de las áreas marcadas

► Se cuantifica hallando el coeficiente de seguridad N>1 No rotura N<=1 Rotura

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

23


Teorías de Rotura estática 8/16► Ejemplo: Sy=400 MPa x=300 MPa y=-200 MPa xy=150 MPa

-600

-400

-200

0

200

400

600

-600 -400 -200 0 200 400 600

B(M P a)

A (M P a)

Línea de Carga

Rotura Tresca

Rotura Von Mises

Trabajo

1 3

2 2 2 2 2 2

4000.69

314.55 ( 241.55)

4000.79

3 300 ( 200) 300( 200) 3 150

Tresca

VM

x y x y

SyN N N

SyN N N

►Circulo de Mohr 1=314.55 Mpa = A

3=-241.55 MPa= B

2=0 MPa


-600

-400

-200

0

200

400

600

-600 -400 -200 0 200 400 600

B(M P a)

A (M P a)

Teorías de Rotura estática 9/16► Ejemplo: Sy=400 MPa x=200 MPa y=300 MPa xy=100 MPa

Línea de Carga

Rotura Tresca

Rotura Von Mises

Trabajo

1 3

2 2 2 2 2 2

4001.10

361.80 0

4001.26

3 200 300 200 300 3 100x y x y

SyN N N

SyN N N

►Circulo de Mohr 1=361.80 Mpa = A

2=138.20 Mpa = B

3=0 MPa

24



Sy

Sys

Tresca Von MisesLimites de Fluencia en cortadura predichos:

•Tresca :•Sys=0.5 Sy

•Von Mises:•Sys=0.577 Sy



Tracción

Compresión

Sut-Suc

•No límite de fluencia

•Resistencia a la compresión mayor que a tracción

MATERIALES FRÁGILES

Coulomb-Mohr

25



Tracción

Compresión

Cortadura

Sut-Suc

Sus

Si el mayor círculo de Mohr del estado de esfuerzo sale fuera de las envolventes se produce la rotura



1A BSuc Sut

Suc Sut Suc N

1BA

Sut Suc N

26



-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

B (M Pa)

A (M Pa)

Mohr

Mohr Mod.

Trabajo

► Ejemplo: Sut=400 MPa Suc=800MPa x=100 MPa y=-300 MPa xy=150 MPa

► Circulo de Mohr 1 =150 Mpa = A

3 =-350 Mpa = B

2 =0 MPa

► NMOHR=1.23► NMOHR M=1.60



►TRESCA y MOHR Conservadora Adecuada para diseño

► VON MISES y MOHR MODIFICADA Realista Adecuada para diseño y comprobación

27


Teorías de Rotura estática

Calcular D por resistencia

estática para:

1) Sy=450 MPa, N=2

2) Sut=00MPa

Suc=900MPaN=4

Datos:F=1000NL1=200mmL2=150mm

Ejercicio

F

L1

L2


Esfuerzos de Contacto 1/17Esfuerzo local en la zona de contacto entre piezas: Rodamientos Levas Engranajes

28


Esfuerzos de Contacto 2/17

Esfuerzos de Hertz (1857 –1894)En función de la forma de la huella:1. Contacto Circular o esférico2. Contacto lineal o cilíndrico3. Contacto elíptico o general


Esfuerzos de contacto 3/17

CONTACTO CIRCULAR1. Esfera contra Esfera2. Esfera contra Plano3. Cilindro contra cilindro,

mismo diámetro y ejes cruzados 90º

29



CONTACTO CIRCULARLa huella es circularCuerpos con E del mismo ordende magnitud:

►Distribución de Presión:elipsoide de revolución

►Presión máxima PMAX enel centro de la huella

F

F

F

F



2

2 21 2

1 23

1 2

3

2

1 1

31 18

0.31

0.48

0.3

M AX

M AX M A X

FP

a

E Ea F

d d

P

z a

Superficie cóncava d<0

Superficie plana d =

CONTACTO CIRCULAR

30


65

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

/P M A X ,/P M A Xz/a


20.31

0.48

0.3

X ZM A X

M AX M AXP

z a

M AX

Y

Z

Z

X Y

CONTACTO CIRCULAR Estado de esfuerzo compresión triaxial Rotura desde el interior por τMAX


Esfuerzos de Contacto 7/17CONTACTO LINEAL•Cilindro contra cilindro paralelos de igual longitud La huella es rectangularCuerpos con E del mismo orden de magnitud:► Distribución de presión:

cilindro elíptico► Presión PMAX máxima en

el centro de la huella

F

F

b1d

2d

31


Esfuerzos de Contacto 8/17CONTACTO LINEAL

2 21 2

1 2

1 2

2

1 1

21 1

0.3

0.786

0.3

M AX

M AX M AX

FP

wb

E EFw

bd d

P

z w

Superficie cóncava d<0

Superficie plana d =


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

/P M A X ,/P M A X

Z/w

Esfuerzos de Contacto 9/17CONTACTO LINEAL

0.3

0.786

0.3

M AX M AXP

z w

Y

Z

M A X

Z

Y

X

32


Esfuerzos de Contacto 10/17CONTACTO ELÍPTICOLa huella es elípticaCuerpos con E del mismo orden de magnitud:► Distribución de presión

elíptica► Presión PMAX máxima en

el centro de la huella

F

F


Esfuerzos de Contacto 11/17CONTACTO ELÍPTICO a, b (huella)PMAX

dependen de: - Ángulo que forman los

planos de curvatura principales (max o min)

curvaturas principales:► r1,r2 - Radios de curvatura

máximos► r´1 ,r´2 - Radios de

curvatura mínimos

F

F

33


Esfuerzos de Contacto 12/17CONTACTO ELÍPTICO

2

32

0.3

1 2.66 0.53

0.7929 0.3207

M AX

M AX M AX

FP

ab

baP

b ba a

bz b

a

b/a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

z/b 0.785 0.745 0.665 0.590 0.530 0.480

MAX/PMAX 0.3 0.322 0.325 0.323 0.317 0.31

F

F


Esfuerzos de Contacto 13/17CONTACTO ELÍPTICOCuerpos con diferente material

1 1 32 4 3 4

112 4

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

(1 ) 3; 1

4(1 )

1 1; ;

1 1 1 1 12 ' '

1 1 1 1 1 1 1 1 12 cos

2 ' ' ' '

C B

C A

C A B A B

a c e FR Rc ab F e

E Rb c e

R R R R RA B B A A B B A

A Br r r r

B Ar r r r r r r r

1.4560.06022 21 2

11 2

2

1 1 1; 1 1A

C B

RF

E E E R

34


Esfuerzos de contacto 14/17CONTACTO ELÍPTICOCuerpos del mismo material

3 3

2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

;

4 4;

1 1 1 1 3 1' '

2cos ;

1 1 1 1 1 1 1 1 12 cos 2

2 ' ' ' '

F m F ma b

n nE

m n

r r r r

BA

A m

Br r r r r r r r

0.70159015

34.9119220.48699868

15.2612248 0.94573717 ln

(º) 20 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

3.778 2.731 2.397 2.136 1.926 1.754 1.611 1.486 1.378 1.284 1.202 1.128 1.061 1.0

0.408 0.493 0.530 0.567 0.604 0.641 0.678 0.717 0.759 0.802 0.846 0.893 0.944 1.0


Esfuerzos de Contacto 15/17CONCLUSIONES GENERALES► En el centro de la huella de contacto el estado de

tensiones es de compresión triaxial (Zunchado)► radios curvatura PMAX► La PMAX que puede soportar el material en la

superficie es muy superior al límite de fluencia► La rotura se produce en el interior debida al

esfuerzo cortante► La profundidad a la que se produce indica hasta

donde debería llegar un tratamiento superficial

35



Ejemplo►Hallar los esfuerzos de

contacto en una rueda de tren para una carga de 10 T E=2.1 105 MPa = 0.29

R=1000

D=800



1

1

2

2

´ 1000

800´ 400

290º

874.71

283.48

3.37

887.24

287.60

3.34

MAX

MAX

MAX

MAX

r

r

r

r

P MPa

Mismo Material MPa

z mm

P MPa

Diferente Material MPa

z mm

R=1000

D=800

Cuerpo 1 : RailCuerpo 2 : Rueda

Tema 2 Fundamentos v1

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