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Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
Tema 2: Modelado deTema 2: Modelado desistemas físicos.sistemas físicos.
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
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Indice
1. Procedimiento de modelado2. Principios de conservación3. Ecuaciones constitutivas
3.1 Transporte3.2 Reacción3.3 Propiedades físicas3.4 Otras relaciones/restricciones
4. Ejercicios y aplicaciones
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1. Procedimiento de modelado
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Definición del problema
Describir el proceso a modelar y el objetivo.Especificar entradas y salidasEspecificar el grado de exactitud requerido y el ámbito de aplicaciónEspecificar las características temporalesEspecificar la distribución espacial.
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Identificar los factores y mecanismoscontrolantes
Qué procesos físico-químicos y qué fenómenos suceden:Reacción químicaDifusión de masaConducción de calorTransferencia de calor por conveccionEvaporaciónMezcla turbulentaTransferencia de masa o energíaFlujo de fluidos
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6Ejemplo
Identificar los mecanismos controlantes en el siguiente sistema.
Flujo de líquido entrante y salienteFlujo de aceite entrante y saliente a la camisaTransferencia de calor entre la camisa y el tanqueTrabajo del agitadorPérdidas de calor a través de la camisaPérdidas de calor a través de la superficie del líquidoEvaporación de líquido
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Evaluarlos datos
Construir el modelo
Evaluar los datos empíricos de que disponemos y su exactitud.Evaluar los parámetros de que disponemos y su exactitud.Si faltan datos o parámetros puede ser que el problema haya que redefinirlo.
Desarrollar las ecuaciones del modelo.Procedentes de principios de conservación (serán ecuaciones algebraicas/diferenciales)Procedentes de ecuaciones constitutivas (serán en general ecuaciones algebraicas).Verificar que el modelo está correctamente especificado: Análisis de los grados de libertad.Verificar la consistencia del modelo: chequeo de unidades y dimensiones.
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Subprocedimiento para construir el modelo
Establecer los volúmenes donde se van a realizar los balances de materia, energía y momento.
Establecer las leyes termodinámicas, como ecuaciones de estado...
Relación entre diferentes volúmenes donde se aplican las ecuaciones, por ejemplo entre diferentes fases.
Determinar qué variables (total, componentes, molar o másica,...) van a caracterizar el sistema: entradas, salidas y estados internos
Definir las restricciones del proceso, bien sean por operación o por control
Plantear los balances de conservación: materia, energía y momento.
Plantear las ecuaciones de transporte de calor, masa y momento entre los diferente volúmenes.
Definir y aplicar las suposiciones del modelo.
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Grados de libertad (DOF)
Los grados de libertad se definen como:
DOF= Número de variables(incógnitas) – Número de ecuaciones
Indican el número de variables que se deben fijar para que el problema estébien formulado o completamente determinado. (DOF=0)
Si tras un análisis de DOF tenemos:
DOF>0 Sistema indeterminado, hay que especificar menos variables o bien añadir nuevasEcuaciones independientes que las contengan.
DOF<0 Sistema sobredeterminado. Las ecuaciones que sobran pueden ser:Redundantes: No añaden información al sistema (no son independientes)Inconsistentes: Son ecuaciones independientes que hacen el sistema irresoluble.
Es importante hacer un análisis de los grados de libertad antes de resolver el modelo.
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Verificar laSolución del modelo
Resolver el modelo
Identificar la forma matemática del modelo.(generalmente AEs/ODEs/DAEs)Escoger un procedimiento (método numérico) de resolución.Intentar evitar problemas matemáticos (como “alto índice”) que dificultan el uso de métodos estándar de resolución.
Verificar si el modelo se comporta correctamente.Verificar la correcta implementación (código del programa) del modelo.
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Validar el modelo
Se chequea el modelo (los resultados de su simulación) con la realidad modelada.Posibilidades de validar el modelo:
Verificar las suposiciones de forma experimental.Comparar el comportamiento del modelo y del proceso real.Comparar el modelo con datos del proceso.
Realizar validaciones estadísticas: contraste de hipótesis, cálculo de medias, distribuciones, varianzas,...Corregir el modelo si los resultados de la validación no son de la exactitud especificada al formular la definición del modelo.
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Resumen: Elementos de un modelo.
Suposiciones.Características espaciales y temporalesCondiciones de flujoPropiedades a ignorar: dinámicas, términos de flujo,...Etc...
Ecuaciones y variables características.Ecuaciones de balance (diferenciales) y constitutivas (algebraicas)Variables: flujos, temperaturas, presiones, concentraciones, entalpías y acumulaciones de masa, energía y momento.
Condiciones iniciales.Condiciones iniciales para la resolución numérica (modelos dinámicos)
Condiciones de contorno (en el caso de modelos distribuidos).Parámetros.
Procedencia, valor, unidades, validez y precisión de los parámetros empleados.
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1.Definición:
-Agrupado/distribuido
-¿Dinámico?
Objetivo del modelo:
-Control/diseño/...
2.Mecanismos controlantes:
•Reacción química
•Transferencia de masa
•Transferencia de calor
•Transferencia de Momento
MODELADO DE UN REACTOR CSTR
Suposiciones:
1. Mezcla perfecta
2. Adiabático
ProblemDefinition
IdentifyControllingfactors
Evaluate the problemdata
Constructthe model
Solvethe model
Verify the modelsolution
Validatethe model
ProblemDefinition
IdentifyControllingfactors
Evaluate the problemdata
Constructthe model
Solvethe model
Verify the modelsolution
Validatethe model
EJEMPLO
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14ProblemDefinition
IdentifyControllingfactors
Evaluate the problemdata
Constructthe model
Solvethe model
Verify the modelsolution
Validatethe model
3. Datos:
•Datos fisicoquímicos
•Datos de cinética química
•Parámetros del equipo
•Datos fisicoquímicos: Cp, entalpías, densidades,...
•Datos de cinética química: k0,Ea,Hreac
•Parámetros del equipo: V
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15ProblemDefinition
IdentifyControllingfactors
Evaluate the problemdata
Constructthe model
Solvethe model
Verify the modelsolution
Validatethe model
4. Construcción del modelo:Suposiciones.Ecuaciones y variables características.
Ecuaciones de balance y constitutivas Variables.
Condiciones iniciales.Parámetros.
Suposiciones:
1. Mezcla perfecta
2. Reacción de primer orden
3. Adiabático
4. Propiedades constantes (densidad,...)
5. ...
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Condiciones iniciales:Ecuaciones:
CA(0)=CAiT(0)=Ti
Ecuaciones de balance
•Balances de masa
•Global
•A componentes
•Balance de energía
Parámetros y entradas:
•V,k0,EA,Cp,....•CAi,Ti,Fi
•Ecuación de Arrhenius
•Ecuación de la entalpía
•Relación concentración-masa
•...
0
aERT
Ar k e C−
=H Cp T= ∆
A Am C V=
Ecuaciones constitutivas
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17ProblemDefinition
IdentifyControllingfactors
Evaluate the problemdata
Constructthe model
Solvethe model
Verify the modelsolution
Validatethe model
5. Resolución del modelo:
•Modelo dinámico: Ecuaciones algebraido diferenciales (DAEs)
6. Verificación del modelo7. Validación del modelo
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2. Principios de conservación
Se basan en los principios físicos que indican que la masa, la energía y el momento no pueden ser ni creados ni destruidos sino solo transformados.
Se establecen sobre una región de interés (con un volumen y una superficie asociada). Esta región se suele denominar volumen de control.
Los volumenes de control muchas veces se establecen:
•Los volúmenes físicos de los equipos.•Las diferentes fases presentes en un equipo.
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Ejemplos de volúmenes de control
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El balance dinámico sobre el sistema:
Cambio neto = Entra por - Sale por + Generación – Consumoen el tiempo la frontera la frontera neta neto
Este balance se aplica a: Masa, energía y momento.
Agrupados DinámicosDistribuidos Estáticos
Modelos macroscópicos (ODEs)Modelos microscópicos (PDEs)
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2.1 Sistemas agrupados dinámicos
No hay descripción espacial.
Balance de masa global
∫∫∫∫∫ ⋅−=Av
dAnvdVdtd )(ρρ
Suposición: Volumen bien mezclado: densidad independiente del espacio
Suposición:Flujo de densidad homogéneo: densidad independiente de la superficie
∫∫ ⋅−==A
dAnvdtdm
dtVd )()( ρρ
v = velocidad
F= flujo másico
V = volumen
A = superficie
= densidad
m = masa
outoutoutinininm
i Ai ii AvAvdAvdtdm
dtVd ρρρρ −=== ∑ ∫∫=1
)(
outinoutoutoutininin FFAvAvdtdm −=−= ρρAcumula = Entra - Sale
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Balance de masa a componentes
Balance a cada especie (componente) presente en el sistema (volumen de control)
∫∫∫∫∫∫∫∫ +⋅−=v iA iv i dVrdAnvdV
dtd )(ρρ
VrFFVrAvAvdt
dmioutiiniioutioutioutiiniiniini
i +−=+−= ,,,,,,,, ρρ
Acumula = Entra – Sale + Genera - Consume
Expresado en masa
Expresado en moles
Vrnndtdn
ioutiinii +−= ,,
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Consideraciones finales
Los balances de materia se pueden establecer en masa o en moles.El principio de conservación sólo se aplica a la masa global, por tanto si se expresa el balance de materia global en moles hay que tener en cuenta el término de generación/consumo por reacción.En los balances a componentes, sean en masa o en moles siempre hay que tener en cuenta el término generación/consumo por reacción.El balance a componente se puede reescribir a balance a la concentración del componente:
)(1dt
dMxdt
dMxMdt
dxdtdxM
dtdMx
dtdMx
iiii
ii −=⇒+=
EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO
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Balance de energía
PVHUgzvK
+===
φ2/2
φ++= KUEEnergía cinética
Energía potencialEnergía interna
Por los flujos másicos (convección)Por conducción y radiación de calorTérminos de trabajo
La transmisión de energía puede ser:
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( ) ( ) ( ) : :
( ) ( )( ) ( ) ( ( )( ) )
( ) ( )( ) ( ) ( ) :
c r s E F s Fv A
c r s Ev A A
c r s E Ev A
d EdV E v n dA Q Q W W W W trabajo eje W trabajo flujodtd U K dV U K v n dA Q Q W W PV v n dAdtd U K dV H K v n dA Q Q W W W trabajdt
ρ ρ
ρ φ ρ φ ρ
ρ φ ρ φ
= ⋅ + + + + +
+ + = + + ⋅ + + + + + ⋅
+ + = + + ⋅ + + + +
∫∫∫ ∫∫
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫∫ ∫∫ expo ansion
Suposiciones:•La independencia de la densidad tanto del volumen como de la superficie•Energía cinética y potencial despreciables (baja velocidad y poca dif. de altura)
( ) ( )in in in out out out c r s EdU v A h v A h Q Q W Wdt
ρ ρ= − + + + +
Balance de energía II
Acumula = transmite por flujo + transmite por calor + término de trabajo
Fsrcoutoutinin WWQQhFhFdtdH ++++−=
)( RFsrcoutoutinin HrVWWQQhFhFdtdH ∆−+++++−=
Tiene el calor de reacción de forma implícita en el cálculo de las entalpías.
Suposición: PV constante
EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO
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Balance de momento ( o balance de fuerzas)
Acumula = momento entra – momento sale + generación de momento
Las fuerzas que generan momento son:•Fuerzas gravitatorias•Fuerzas de fricción•Fuerzas de presión•Fuerzas de cizalla
cfpgoi ffffdtMvd ++++Μ−Μ=)(
El balance a momento es un problema tri-dimensional dado que las magnitudes involucradas son vectores. (muchas veces se simplifica y se considera únicamente una dimensión)
EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO
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Balances a un sistema
Las ecuaciones resultantes de establecer los balances a un sistema son:
Balances de masa
Global---------------------------1
Componentes-----------------NC-1
Balance de energía-----------------------1
Balances de momento--------------------3
(NC= número de componentes)
Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas agrupados dinámicos son ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs)
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2.2 Sistemas agrupados estacionariosNo hay descripción espacial.
No se considera la evolución temporal. El tiempo deja de ser una variable.
No hay acumulación de :•Materia•Energía•Momentoen el sistema, dado que estamos en el estado final de equilibrio.
Todos los términos de las variables de estado (términos de acumulación) que son las derivadas temporales se igualan a CERO.
outin FF −=0 Vrnn ioutiini +−= ,,0
)(0 RFsrcoutoutinin HrVWWQQHFHF ∆−+++++−=
cfpgoi ffff ++++Μ−Μ=0
B. Materia
B. Energía
B. Momento
Las ecuaciones generadas por estos balances en sistemas agrupados estacionarios son ecuaciones diferenciales algebraicas (AEs)
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3. Ecuaciones constitutivasSon ecuaciones algebraicas que junto con las ecuaciones procedentes del balance conforman el modelo. Estas ecuaciones:
•Relacionan las cantidades conservadas (variables extensivas) convariables intensivas.
•Definen cantidades fisico-químicas como densidades, entalpías,...•Definen los ratios de transferencia (masa, energía,...)•Definen otras relaciones que permiten constituir el modelo.
Se pueden establecer 5 grupos que establecen ecuaciones constitutivas:
Fenómenos de transferencia: masa, calor/energía y momento.Expresiones de cinéticas de reacción. Equilibrio químico.Relaciones termodinámicas. Relaciones entre volúmenes de control.Restricciones de equipos, control,...
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3.1. Fenómenos de transferencia
Transporte molecular (fenómenos microscópicos)Cantidad Calor Masa MomentoFlujo q NA ZFuerza T/ z CA/ z vz/ zPropiedad Conductividad Difusividad Viscosidad
kT DA Ley Fourier Fick NewtonRelación q= kT T/ z NA= DA CA/ z Z= vz/ z
Transporte global (fenómenos macroscópicos)Cantidad Calor Masa MomentoFlujo q NA ZFuerza T CA PPropiedad Trans. Calor Trans. Masa Fricción
hT kLRelación q= hT T NA= NA CA (factor fricción)
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3.2. Descripción cinética (Reacción Química)
Reacción simple:
nAA---------->nBB
;CkrCCkfrdtnd
vV1=r
nABA
j
j
== ,...),,(
;
βα ek=k RTE-
0a
Las expresiones cinéticas dependen mucho del tipo de aplicacióny del sistema multi-fase de que se trate.La geometría, reacciones laterales, inhibiciones hacen que en la práctica se tengan expresiones complicadas.
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Equilibrio Químicoqueda descrito:
Donde j son los coeficientes estequiométricos (reactantes <0) y j son lospotenciales químicos.
Para una reacción de equilibrio en fase gas:
naA nbB
La ecuación anterior queda:
nb B - na A = 0
y para gases el potencial químico se puede definir:
j = jo + RT ln Pj
jo : Potencial químico estándar
Pj : Presión parcial del componente j.
0=jj
NC
1=jµνΣ
EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO
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3.3 Relaciones termodinámicas
Importancia de las propiedades físicas*Cualquier programa de simulación de procesos suele contener un servicio de propiedades físicas.
*La calidad del diseño, simulación o estudio de un proceso depende de la forma en que las leyes físicas y químicas son aplicadas al problema.
*Las tareas principales que debe proporcionar un servicio de propiedades fisicas son:
•Suministrar de forma reiterada estimaciones de un número de diferentespropiedades físicas durante la ejecución de la simulación
•Proveer al usuario de valores de las propiedades de interés durante el cálculo o bien al final de la simulación.
•Permitir al usuario introducir sus propios datos para nuevos componentes y emplearlos en el paquete de simulación
• Proporcionar al usuario una forma de estimar de forma media las propiedadesde compuestos de los que se sabe poco más que su estructura.
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*El cálculo de las propiedades físicas se lleva gran parte del tiempo del cálculototal de las simulaciones.
*Dependiendo del problema y del programa empleado el tiempo dedicado a laspropiedades físicas puede ser del orden del 80%
*Cualquier preprocesamiento que se pueda hacer es por tanto muy necesario.
Un ingrediente esencial para el éxito es la elección deUN SISTEMA DE REFERENCIA ÓPTIMO.
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3.3.1 Relaciones entre propiedades
Son relaciones no-lineales entre variables termodinámicas.
= f(P,T,x) Densidad
h = g(P,T,x) Entalpía
(T = Temperatura, P=Presión, x = fracción molar)
La entalpía se puede aproximar:
∫+=T
T p dTTcThTh0
)()()( 0
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3.3.2. Descripción del equilibrio
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
(1) (2) ( )
p
p
pi i i i
T T TP P PG G G
= = ••• == = ••• == = ••• = ∀
iI = i
II
Equilibrio de fases
yP=px iiii
Liquido-Vapor
En el equilibrio se produce la igualdad de los potenciales químicos.
O con las fugacidades:fi
I=fiII
γ
C+TB-A=logp
i
iii
EJEMPLOEJEMPLOEJEMPLO
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3.3.3. Ecuaciones de Estado.
Relacionan Presión, Volumen y Temperatura para sistemas de un componente y para mezclas multicomponente.
nRTPV =
Ecuación de los gases ideales:
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Propiedades involucradas
Las propiedades involucradas en los diferentes modelos de unidades de operación se puedenresumir:
Propiedades termodinámicas:
-Coeficiente de fugacidad (o equivalente: potencial químico, K-value,...)
-Entalpía
-Entropía
-Energía de Gibbs
-Volumen (y magnitudes relacionadas)
Propiedades de transporte:
-Viscosidad
-Conductividad térmica
-Coeficiente de difusión
-Tensión superficial
Es fundamental elegir una opción correcta para que los resultados de la simulación puedanser válidos.
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Existen muchos métodos desarrollados para diferentes aplicaciones, se eligeen función:
de los componentes que participan,
de la interacción entre estos componentes (qué tipo de mezclas forman: polar, no polar, ideal, con asociacion,...),
de las condiciones en que se desarrolla el proceso (rangos de temperatura, presión,...),
de la presencia de electrolitos,
de la presencia de sólidos,...
de la disponibilidad de parámetros
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Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades termodinámicas:
Cálculo de Ecuaciones de estado:
Ideal Gas
Peng-Robinson
Redlich-Kwong
Hayden-O´Conell
Lee-Kessler
Cálculo de coeficientes de actividad:
NRTL (Non Random Two Liquids)
Redlich-Kister
Wilson
Van Laar
UNIFAC
UNIQUAC
Ideal Liquid
Volumen molar y densidad:
API Liquid Volume
Costal Liquid volume
Brelvi-O’Conell
Solids Volume Polynomial
Algunos métodos que existen para el cáculo de las propiedades de transporte:
Cálculo de la difusividad:
Chapman-Enskog-Wilke-Lee Binaary
Nernst-Hartley Electrolytes
Dawson-Khoury-Kobayashi Mixture
...
Cálculo de la conductividadtérmica:
IAPS
Sato-Riedel
Stiel-Thodos
TRAPP
Cálculo de la viscosidad:
Andrade
Chung-Lee-Starling
Letsou-Stiel
Lucas
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Ejemplo
A continuación se muestra el método de NRTL, este método calcula loscoeficientes de actividad de líquidos y está recomendado para sistemas químicosaltamente no ideales con aplicaciones para el equilibrio líquido-vapor y líquido-líquido.
]Gx
Gx-S[
GxGx+
Gx
Gx=
kjkk
mjmjmm
ijkjk
k
ijj
jkikk
jijijj
∑∑
∑∑∑∑ ττ
γln
273.15K)-(Td+c=
Tf+lnTe+Tb+a=
)(-=G
ijijij
ijijij
ijij
ijijij
α
τ
ταexpDonde:
Este método fue desarrollado por Renon y Prausnitz en 1968 y tiene
un fundamento teórico y una parte ajustada experimentalmente.
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3.4 Relaciones entre volúmenes de control y restricciones
Las relaciones entre volúmenes de control se dan cuando existenvarias fases que están confinadas en un recipiente.Los sistemas de proceso siempre están sometidos a un control para garantizar que cumplen las especificaciones, esto implica que muchas veces es necesario modelar los elementos que componen el sistema de control: sensores, transmisores, controladores, actuadores,...Ciertas restricciones debidas a los equipos o modos de operaciónpueden tener que ser incluidas igualmente en los modelos.
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4. Ejercicios y aplicaciones.
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Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. I Tanque agitado
outoutinin
outin
QQdt
dM
FFdt
dM
ρρ −=
−=
outoutpoutininpinp
outoutinin TcFTcFdt
TcVdhFhF
dtdH −=→−=
)( ρ
ghAFout 2ρ=
Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------M,h,T,FoutEcuaciones------------------------------3
AhVM ρρ ==
Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------M,h,T,FoutEcuaciones------------------------------4
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Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. II Evaporador (un componente)
),(),(
ln
TPfHTPfh
BTAP
RTMP
QHQhQdt
hVd
QQFFdt
Vd
V
outVinLLL
outVinLoutinLL
==
+=
=
+−=
−=−=
ρ
ρρρ
ρρρ
Datos Fin,Q, L
Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------VL, V,Qout,T,PEcuaciones------------------------------4
Falta una ecuación de salida para Qout
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46
rcontroladoVfFTPfH
TPfh
BTAP
RTMP
QHQhQdt
hVd
QQFFdt
Vd
Lin
V
outVinLLL
outVinLoutinLL
)(),(
),(
ln
==
=
+=
=
+−=
−=−=
ρ
ρρρ
ρρρ
Datos Fout ,Q, L
Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------VL, V,Fin,T,PEcuaciones------------------------------5
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Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. III CSTR en serie
33,44,33,3
33,44,33,3
433
22,33,22,2
22,33,22,2
322
11,22,11,1
11,22,11,1
211
RRBBBR
RRAAAR
R
RRBBBR
RRAAAR
R
RRBBBR
RRAAAR
R
rVxnxndt
dNx
rVxnxndt
dNx
FFdtVd
rVxnxndt
dNx
rVxnxndt
dNx
FFdtVd
rVxnxndt
dNx
rVxnxndt
dNx
FFdtVd
+−=
−−=
−=
+−=
−−=
−=
+−=
−−=
−=
ρ
ρ
ρ
ARiRT
E
Ri cekr Ri
a
,0
−
=
Grados de libertad:Incógnitas-------F2, F3 , F4 , x2A, x3A , x4A, x2B, x3B , x4B , V1,V2 ,V3 , r1,r2 ,r3 , c2A, c3A , c4A,Ecuaciones------------------------------15
Ri
ARiARi V
nc ,
, =
Balance de materia
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Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. IV Depósitos comunicados
224
1212
2112
21
4232
211
2
)(2
)(2
ghAF
hhgAF
elsehhgAF
hhif
FFFdtVd
FFdtVd
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=
−−=
−=
>
−+=
−=
Grados de libertad:Incógnitas-------------------------------V1, V2, F2, F4Ecuaciones------------------------------4
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Realizar un modelo del sistema y analizar los grados de libertad. V Reactor batch
)()(
)(322221111
cHref
cHst
refstRppp
TTUAQTTUAQ
QQVrHTcQTcQdt
TcVd
−=−=
−+∆−−−= ρρρ
VrcQcQdt
dVc
VrcQcQdt
dVc
FFdtVd
BBB
AAA
+−=
−−=
−=
,22,11
,22,11
21ρ
ARTE
cekra−
= 0
)()(
tan)(
,,,,,
,,
cHoutcoutcpoutcincinccpcc
outcinccc
c
TTUATcWHFdt
TcVd
docalenWFdtVdV
c −+−=
−=
ρ
ρ
)()(
)(
,,,,,,
,,
cHoutcoutcpoutcincincpinccpcc
outcincccc
TTUATcFTcFdt
TcVd
enfriandoFFdt
cVd
c −+−=
−=
ρ
ρ
⎩⎨⎧
≥<
=
⎩⎨⎧
>≤
=
22
11
0
0
Fbtbt
F
atFat
F
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤<≤
=
⎩⎨⎧
>≤
=
0
0
0
btQbta
atQ
atQat
Q
refref
stst
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50
Grados de libertad:Incógnitas-------V, cA, cB , F2 , r,T,Qst ,Qref ,Vc,st, Tc,st , Vc,ref, Tc,refEcuaciones------------------------------11
222 2ghAF ρ=
y.................12
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Fin tema 2
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Ejemplo de balance de materia
Tanque. Tanque con camisa.
, ,
in out
cc in c out
dM F Fdt
dMF F
dt
= −
= −
outoutinin
outin
QQdt
dM
FFdt
dM
ρρ −=
−=
, ,0 0cc in c out
Mc VdM
F Fdt
ρ=
= ⇒ = −
c
c
Supongo cteDadoV cte
ρ ==
Tanque de mezcla perfecta sin reacción.
BBBB
AAAA
xFxFxFdt
dMx
xFxFxFdt
dMx
FFFdt
dM
,33,22,11
,33,22,11
321
−+=
−+=
−+= ∑ =1,3 ix
Incógnitas: BA xxMF ,3,33 ;;;
VOLVERVOLVERVOLVER
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Ejemplo de balance de energía.
Tanque de mezcla perfecta sin reacción y con camisa.
outcoutcpoutcincincpinccpcc
outoutpoutininpinp
outoutinin
TcFTcFdt
TcVd
TcFTcFdt
TcVdhFhF
dtdH
c,,,,,,
)(
)(
−=
−=→−=
ρ
ρ)( cH TTUA −−
)( cH TTUA −+
Flash
houtoutininc
hVVLLinin
QhFhFdt
dH
QhFhFhFdtdH
−−=
+−−=
VOLVERVOLVERVOLVER
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
54
Ejemplo de balance de momento.
Válvula de control
psd FFFdt
dMvdt
d −−==Μ
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−−=⇒=
−−=
kPAx
dtdx
kc
dtxd
kM
dtdxckxPA
dtxdM
dtdxv
cvkxPAdtdvM
2
2
2
2
VOLVERVOLVERVOLVER
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
55
Ejemplo de sistema con reacción.
Reactor continuo de tanque agitado.
CBA →+
)()(
)()(
,,,,,,
333322221111
cHoutcoutcpoutcincincpinccpcc
cHRpppp
TTUATcFTcFdt
TcVd
TTUAVrHTcQTcQTcQdt
TcVd
c −+−=
−−∆−−+=
ρ
ρρρρ
outcinc
CCCc
BBBB
AAAA
FFcamisa
VrcQcQcQdt
dVc
VrcQcQcQdt
dVc
VrcQcQcQdt
dVc
FFFdt
dMreactor
,,
,33,22,11
,33,22,11
,33,22,11
321
0 −=
+−+=
+−+=
−−+=
−+=
ARTE
cekra−
= 0
VOLVERVOLVERVOLVER
Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez
56
Ejemplo de sistema con equilibrio.Flash
VVLLinin hFhFhFdtdH −−=
AoutvAoutlAinA
outvoutlin
yFxFzFdt
dMx
FFFdt
dM
,,
,,
−−=
−−=
i
ii
BBB
AAA
xxy
óxkyxky
)1(1 −+=
==
αα
VOLVERVOLVERVOLVER